Pendant nos vacances dans l’Aubrac avec des amis, Christian avait acheté Libé, et machinalement, j’ai entrepris de le survoler le lendemain matin (en sirotant mon café). Je suis tombé sur le paragraphe suivant qui a retenu mon attention pendant plusieurs jours…
L’auteur n’est pas n’importe qui, puisqu’il s’agit de Kenneth Rogoff (ici), grand spécialiste de l’économie américaine. Relisons la phrase afin de mieux comprendre ce qu’il dit: pour “25% des propriétaires immobiliers aux États-Unis” […] “la valeur de leur maison serait inférieure à leur crédit immobilier” 1. Je me permettrais de réécrire la phrase sous la forme suivante “pour un quart des propriétaires immobiliers américains n’ayant pas fini de rembourser leur crédit, la vente de leur maison ne leur permettrait pas de rembourser leur crédit” (c’est en tous les cas comme ça que je la comprends).
Cette petite phrase pourrait être intéressante, En tous les cas, elle semble importante dans l’argumentation visant à expliquer que les américains sont beaucoup trop endettés2. Mais 25%, en quoi est-ce vraiment exceptionnel ou incroyable voire inquiétant ? C’est quoi le pourcentage acceptable ou normal que l’on s’attendrait à avoir ?
N’ayant pas de statistiques sur le sujet, faisons des calculs.
- un peu de calcul d’actualisation de crédits
Car intuitivement, si un acheteur emprunte avec un faible apport, et sur une longue durée, son crédit va lui coûter cher, éventuellement plus cher que la maison. Au moins au début. Car avec le temps, la valeur du crédit diminue, alors que le prix de la maison, habituellement, augmente.
Considérons une maison de valeur 1 (a l’achat, histoire de simplifier, et de raisonner en pourcentage pour l’apport initial, par exemple). On dispose d’un capital initial
(correspondant à l’apport), on contracte un crédit pour une durée
, et on suppose que le taux pour le crédit est
, et que le taux d’inflation est
(la valeur de la maison peut augmenter dans le temps, mais aussi éventuellement baisser si la valeur de
est négative). A la date
, à son actif, le propriétaire possède la maison, d’une valeur
(ce qu’il touche s’il revend la maison, si l’on oublie les frais associés); et au passif, il doit rembourser à la banque un montant
, où
est le montant des remboursement effectues tous les ans, i.e. solution de

Si on veut faire les choses proprement, il faudrait intégrer les frais de notaire (disons 7% de la valeur de la maison), ici notés
,

La valeur de la maison est inférieure à la valeur du crédit si

(les frais de notaires étant payés à l’achat comme on l’évoquait auparavant, mais aussi en cas de revente3). On peut faire le calcul facilement, sous R,
valeur = function(t,T,a,r=.05,i=0,delta=.07){ k=(1-a+delta)/sum(1/(1+r)^(0:(T-1))) s=(1+i)^t v=(T-t)*k return(c(s*(1-delta),v))}
Par exemple, si
est nul, on compare la valeur du crédit à la valeur de la maison au moment de l’achat. Pour quelqu’un ayant un apport de 25%, prenant un crédit avec 20 échéances (sur 20 ans) que l’on commence à rembourser le jour de la signature, la valeur de son crédit (sur une somme empruntée de 0.75) est de 1.2533, environ, si le taux de crédit est de l’ordre de 5%. C’est plus que la valeur (brute) de la maison (ici 1), voire beaucoup plus que ce que rapporterait la revente la maison, qui rapporterait 0.93, ce qui ne lui permet pas de rembourser le crédit….
> valeur(0,20,.25,.05,0) [1] 0.9300 1.2533
Sur la même durée, vu après la 5ieme échéance (i.e. au bout de 25% des échéances) avec toujours un apport initial de 25%, la valeur du crédit restant à payer à la banque est de l’ordre de 0.94, c’est à dire à peu de choses près, la valeur de revente de la maison s’il n’y a pas d’inflation (ou de perte de valeur du bien immobilier).
> valeur(5,20,.25,.05,0) [1] 0.9300000 0.9399846
Autrement dit, dans un monde avec une inflation nulle, avec des cohortes d’acheteurs constantes dans le temps, qui prendraient des crédits de 20 ans avec un apport de 25% de la valeur de la maison, 25% des emprunteurs ont, en moyenne, un crédit à rembourser supérieur à la valeur de revente de leur maison, comme le dit l’article. Cette proportion augment
- quand les taux d’emprunt augmentent
- quand la durée des emprunts augmente
- quand l’apport initial diminue
Mais on peut essayer de visualiser tout ça,
- visualisation des valeurs du crédit, et de la maison
dessin=fonction(T=20,a=.333,r=.05,i=.02,delta=.07){
S=V=rep(NA,T)
for(j in 1:T){
S[j]=valeur(j-1,T,a,r,i)[1]
V[j]=valeur(j-1,T,a,r,i)[2]}
YL=range(S,V)
plot(1:T-.5,V,type="b",col="red",ylim=YL)
lines(1:T-.5,S,col="blue",type="b")
}
Comme on le voit sur le dessin ci-dessous, la proportion des acheteurs dont la valeur du crédit excède la valeur de la maison est d’environ 20% (même avec un apport non négligeable, ici un tiers, et une inflation non nulle, ici 2%). On le voit sur le graphique ci-dessous, avec en bleu la valeur de la maison, et en rouge, la valeur du crédit,

On peut d’ailleurs faire varier les différents paramètres, comme le taux d’emprunt, avec une baisse (passant de 5% à 3%),

ou avec une hausse (passant de 5% à 7%),

On peut aussi faire varier l’apport initial (passant à 50%),

On peut enfin supprimer l’inflation, et supposer que le prix de la maison n’augmente pas vraiment…

Moralité? 25% semble effectivement important, trop important (pour une économie en bonne santé). Mais il ne faut pas se leurrer, car un pourcentage raisonnable (ou viable) semblerait être davantage aux alentours de 15% que de 0%.
- du crédit immobilier au crédit automobile
Et cela dit, 25% serait un pourcentage relativement faible si on regardait non pas les crédit immobiliers, mais les crédit automobiles. Car par rapport à la situation précédente, on est dans un cas où les taux sont élevés, et où la valeur du bien ne cesse de se dégrader. Par contre la durée est souvent plus courte. Une déflation de 10% n’est peut-être pas la meilleure modélisation qui soit de la perte de valeur du véhicule, mais en première approximation, ça devrait convenir,,,
Graphiquement, on a

Bref, dans le cas du crédit auto (où l’acheteur achèterait intégralement à crédit), dans une situation normale entre 70% et 80% des acheteurs de voiture à crédit sont dans une situation où la revente de leur voiture ne permettrait pas de rembourser leur crédit… Ne faudrait-il pas s’en inquiéter également ? Acheter à crédit un bien dont la valeur ne cesse de baisser, n’est-ce pas dangereux ?

1 au début de l’été, en discutant avec des couples d’amis, dont deux venaient d’avoir des postes de profs à l’autre bout de la France (et qui devaient revendre leur maison), j’ai été surpris de voir que quand ils parlaient de “ne pas perdre d’argent lors de la revente“, ils valorisaient la maison à partir du prix initial, auquel ils ajoutaient les frais de notaires, mais oubliaient le coût du crédit.
2 je me contenterais ici de discuter ce chiffre de 25%, et non pas de savoir si c’est grave que la revente de la maison ne permette pas de rembourser le crédit.
3 je préfère prendre en compte ces frais, car sinon, comme je l’avais déjà évoqué ici, l’achat d’une maison semble toujours une opération gagnante.


qui donne la distribution “typique” des notes. Autrement dit, la médiane est à 63,ce qui signifie que plus de moitie a une note qui est “bien“,”très bien” voire “excellent“. En revanche, une distribution comme celle dessous est considérée comme “dure et discriminatoire”
Pour mieux comprendre les notations au Canada et en France, j’ai voulu faire une petite étude (non, je ne reviendrai pas sur les notes). On continue aujourd’hui àtrouver ce genre de distribution à Montréal. Par exemple, si on considère les cours, analyse (en première année), algèbre linéaire et calcul, on a les histogrammes suivants









La loi de Benford (que j’avais pu évoquer 







puis on veut voir si l’autre indique le même pneu (s’il ment, il a alors une chance sur quatre de donner le même que son voisin). Cette intuition que la probabilité serait 1/16 est alors un peu surprenante. Cela correspondrait au cas où le professeur sait quel pneu avait éclaté, mais pas les étudiants (on retrouve le mythe que l’enseignant sait toujours tout). Ou au cas où trois étudiants étaient dans la voiture et que l’on demande que les trois répondent la même chose.
(histoire de formaliser un peu). Le but du jeu est dedeviner sur quelle face la pièce va tomber: si on devine bien, on gagne, sinon on perd. Et le but de mon billet est de comprendre quelle est la stratégie qu’il convient de mettre en œuvrer si on connaît, ou si on estime
.
, on prédit pile, sinon on prédit face (à chaque lancer si on fait plusieurs lancers consécutifs).
la variable correspondant à la valeur prise au lancer, disons 1 si on tomber sur pile et 0 sur face. Et notons
la valeur prédite. On gagne si
, et la probabilité de gagner est alors




. Considérons le polynôme
, dont les racines sont
et
, i.e sur
,


lancers, on a un échantillon
et on estime la probabilité de tomber sur pile par
(qui tire une loi uniforme sur le segment unité), pour la prochaine valeur, on prédit

, et la probabilité de gagner est alors

(comme auparavant). En revanche, dans le second cas, le calcul de la probabilité de gagner est








est la proba annuelle d’incident par an et par réacteur, en supposant les centrales indépendantes, la probabilité d’avoir un incident sur
réacteurs sur une durée de
années est


Hier matin, au moment de quitter la maison, j’ai jeté un œil à la météo (car à Montréal le temps est très changeant, pas seulement d’un jour sur l’autre, comme je l’avis mentionné en arrivant en septembre, 
la variable indicatrice indiquant s’il pleut, ou pas (1 s’il pleut, et 0 sinon) à l’instant
. Supposons qu’il existe un processus latent sous-jacent,
tel que

qui peut encore s’écrire
ou, ce qui sera pleut être plus utile ensuite
Avec notre modèle latent, cette probabilité peut s’écrire
c’est à dire en notant
la fonction de répartition (jointe) du vecteur aléatoire
cette probabilité s’écrit
Or Wassily Hoeffding a montré qu’il était possible d’encadrer une fonction de répartition, avec les bornes suivantes: pour tout 


où 

(qui est associée à la probabilité d’avoir de la pluie pendant une heure en moyenne) et de la corrélation
(qui est associée à la dynamique du processus). Pour simplifier, si on prend 






de services possibles. A son premier service, il choisit le service
. La première difficulté est que le service soit correct (ou passe le filet pour faire simple), et on note
la probabilité qu’un tel service passe le filet. Si le service est passé, il a une certaine probabilité de gagner le point, que l’on notera
. Bien que ne connaissant pas vraiment le tennis, il n’est pas absurde de supposer qu’il y ait une forme d’arbitrage,
petit), mais s’il passe le filet le serveur sera à son avantage, et la probabilité de gagner le point sera élevée (
donné, la probabilité de gagner le point (sur ce premier service) est alors
.
, avec une fonction croissante pour
, puis décroissante pour
.
correspondant à son premier et second service, respectivement. La probabilité de gagner le point, à stratégie
donnée, est alors
donné


.


s’interprète comme
, i.e. la tangente de la fonction rouge, et on veut que cette tangente soit de pente
, qui est la pente de la courbe bleue (comme l’avait noté David Gale),
Suite à mon 




















On a tous des secrets plus ou moins difficiles à révéler… Enfin, quand je dis secret c’est un bien grand mot (c’est un peu au sens que pourrait utiliser ma fille quand elle me dit “papa j’ai un secret: ce midi, j’ai mangé deux fois du dessert“). Par exemple, quand un collègue me dit “tu pourrais m’envoyer les transparents de ta présentation“, et que je dois lui répondre “tu sais, ils sont sur mon blog“: je dévoile un faux secret… Oui, tous les profs qui tiennent un blog en parlent un jour ou l’autre: avouer à des collègues qu’on tient un blog, c’est un secret que l’on révèle encore péniblement… Péniblement n’est peut être pas le mot car si une fois sur deux cela provoque une espèce de réaction condescendante, une fois sur deux cela permet au contraire d’entamer des discussions intéressantes car les interlocuteurs peuvent être curieux…
, des coûts qui s’appellent
, des tailles des gens qui s’appellent
, des choses inconnues qui s’appellent
ou
suivant le problème… bref, j’aime les lettres mais surtout pas les chiffres (sauf peut être quelques uns, je ne tiens pas à me brouiller avec tout le monde) !




le fait d’être en échec scolaire (population bleue) et
le fait d’être “enfant d’immigré” (population rouge, je ne discuterais pas la définition, mais les calculs), et que l’on suppose que
ce sont les enfants “d’autochtones” (population verte), alors on cherche
, et le monsieur prétend que ça doit être 2/3.
et
, et que
et
.










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