Niveau et puissance de test (paramétrique)

Lors du dernier cours de statistique, nous avons vu comme se construisent des tests, et comment on compare leur puissance. Considérons pour cela des observations \{x_1,\cdots,x_n\} tirées suivant une loi uniforme \mathcal{U}([0,\theta]). Et on se pose la question de savoir si l’hypothèse H_0:\theta\leq\theta_0 est rejetée, ou acceptée, avec \theta_0=1 par exemple. L’hypothèse alternative sera ici le complémentaire, autrement dit H_1:\theta>\theta_0.

Comme on l’a vu, la construction d’un test se fait en utilisant une statistique de test (ou plus simplement un estimateur du paramètre inconnu), avec \psi(\mathbf{x})=\mathbf{1}(\widehat{\theta}(\mathbf{x}))\leq c. On prend la décision D_1 (consistant à rejeter H_0) si \psi(\mathbf{x})=1, et la décision D_0 (consistant à ‘accepter’ H_0) si \psi(\mathbf{x})=0.

Le risque d’erreur de première espèce est basé sur \mathbb{E}[\psi(\mathbf{X})]. Si l’hypothèse H_0 est une hypothèse simple H_0:\theta=\theta_0, le risque d’erreur de première espèce est https://latex.codecogs.com/gif.latex?\alpha=\mathbb{E}[\psi(\mathbf{X})\vert%20X_1,\cdots,X_n\sim%20F_{\theta_0}], soit \alpha=\mathbb{P}[\widehat{\theta}(\mathbf{X})>c \vert X_1,\cdots,X_n\sim F_{\theta_0}] pour un seuil c. On va déterminer le seuil c de manière à ce que le risque de première espèce soit 5%.

Pour cela, il nous fait un estimateur \widehat{\theta} dont on connaîtrait la loi. Commençons par l’estimateur du maximum de vraisemblance. Rappelons que l’estimateur du maximum de vraisemblance est \widehat{\theta}=\max\{x_i\}. Nous avons vu – dans la section sur les statistiques d’ordre – que \mathbb{P}[\max\{X_i\}]=\left(\frac{x}{\theta}\right)^n

pour x\leq\theta. Aussi, pour un seuil c, \mathbb{P}[\widehat{\theta}>c]=1-\left(\frac{c}{\theta}\right)^n

pour c\leq\theta. Le risque de première espèce \alpha=\underset{\theta\leq\theta_0}{\max}\left\lbrace\mathbb{P}\big[\widehat{\theta}\geq c\vert X\sim F_{\theta}\big]\right\rbrace

soit \alpha=\underset{\theta\leq\theta_0}{\max}\left\lbrace1-\left(\frac{c}{\theta}\right)^n\right\rbrace

qui atteindra son maximum en \theta_0. Aussi \alpha=1-\left(\frac{c}{\theta_0}\right)^n

soit c=\theta_0\cdot[1-\alpha]^{1/n}. Les régions d’acceptation et de rejet sont les suivantes,

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