Lors du dernier cours de statistique, nous avons vu comme se construisent des tests, et comment on compare leur puissance. Considérons pour cela des observations \{x_1,\cdots,x_n\} tirées suivant une loi uniforme \mathcal{U}([0,\theta]). Et on se pose la question de savoir si l’hypothèse H_0:\theta\leq\theta_0 est rejetée, ou acceptée, avec \theta_0=1 par exemple. L’hypothèse alternative sera ici le complémentaire, autrement dit H_1:\theta>\theta_0.
Comme on l’a vu, la construction d’un test se fait en utilisant une statistique de test (ou plus simplement un estimateur du paramètre inconnu), avec \psi(\mathbf{x})=\mathbf{1}(\widehat{\theta}(\mathbf{x}))\leq c. On prend la décision D_1 (consistant à rejeter H_0) si \psi(\mathbf{x})=1, et la décision D_0 (consistant à ‘accepter’ H_0) si \psi(\mathbf{x})=0.
Le risque d’erreur de première espèce est basé sur \mathbb{E}[\psi(\mathbf{X})]. Si l’hypothèse H_0 est une hypothèse simple H_0:\theta=\theta_0, le risque d’erreur de première espèce est , soit \alpha=\mathbb{P}[\widehat{\theta}(\mathbf{X})>c \vert X_1,\cdots,X_n\sim F_{\theta_0}] pour un seuil c. On va déterminer le seuil c de manière à ce que le risque de première espèce soit 5%.
Pour cela, il nous fait un estimateur \widehat{\theta} dont on connaîtrait la loi. Commençons par l’estimateur du maximum de vraisemblance. Rappelons que l’estimateur du maximum de vraisemblance est \widehat{\theta}=\max\{x_i\}. Nous avons vu – dans la section sur les statistiques d’ordre – que \mathbb{P}[\max\{X_i\}]=\left(\frac{x}{\theta}\right)^n
pour x\leq\theta. Aussi, pour un seuil c, \mathbb{P}[\widehat{\theta}>c]=1-\left(\frac{c}{\theta}\right)^n
pour c\leq\theta. Le risque de première espèce \alpha=\underset{\theta\leq\theta_0}{\max}\left\lbrace\mathbb{P}\big[\widehat{\theta}\geq c\vert X\sim F_{\theta}\big]\right\rbrace
soit \alpha=\underset{\theta\leq\theta_0}{\max}\left\lbrace1-\left(\frac{c}{\theta}\right)^n\right\rbrace
qui atteindra son maximum en \theta_0. Aussi \alpha=1-\left(\frac{c}{\theta_0}\right)^n
soit c=\theta_0\cdot[1-\alpha]^{1/n}. Les régions d’acceptation et de rejet sont les suivantes,
