Tous ceux qui ont des enfants – ou qui jouent encore au Lego – le savent : régulièrement, Lego sort des séries de figurines, vendus en sachets individuels hermétiques, un peu comme les anciennes cartes à jouer. On est à la saison 15, et il y a 16 figurines par séries,
D’ordinaire, les enfants réclament un paquet, quand on va dans un magasin de jeux (genre pour acheter un cadeau pour un anniversaire) mais là, ma fille les a réclamé tous.
Bon, après le moment où je ris dans ma barbe, j’ai quand même fini par me demander combien ça pourrait coûter si on achetait des paquets, de manière à récupérer les 16 figurines.
La bonne stratégie pour faire le calcul me semble d’ordonner les personnage par ordre d’apparition, et de modéliser le nombre de paquets achetés entre deux premières apparitions, comme indiqué sur le dessin ci-dessous
Si désigne le nombre total de paquets à acheter, on note
le nombre de paquets à acheter, entre l’apparition de la (
)ème nouvelle figurine, et la
ème (avec la convention que
vaut 1, i.e. à l’achat du premier paquet, on a notre première figurine), on a
soit (par linéarité de l’espérance)
ou encore
> sum(16/(1:16)) [1] 54.09166
Pour ceux qui ont oublié leur calculatrice, on peut se souvenir que
> log(16)*16 [1] 44.36142
qui diffère du résultat numérique car il manquait la constante d’Euler
i.e.
Numériquement, on obtient, en prenant pour 0.57721 (cf Google)
> (log(16)+ 0.57721)*16 [1] 53.59678
Mais je m’écarte du sujet… à 3€, il faut débourser, en moyenne, 162€ pour avoir les 16 personnages, soit plus de 10€ (en moyenne) par personnage !
> sum(16/(1:16))*3 [1] 162.275
On est ici au même prix que l’hotel Lego friends (oui, c’est une demande récurrente)
Par simulation, on peut confirmer cet ordre de grandeur (avec ici un million de simulation de la variable),
> rpaquet=function(i) sum(1+rgeom(16,prob=(1:16)/16)) > S=unlist(lapply(1:1e6,rpaquet)) > mean(3*S) [1] 162.1709
mais surtout, on peut avoir des quantiles, par exemple
> median(S)*3 [1] 150
après avoir déboursé 150 euros, il y a 50% de chances que l’on ait déjà toutes les figurines.
> quantile(S,.9)*3 90% 237
Et il y a 1 chance sur 10 pour qu’on dépasse les 237€. Mine de rien, pour 16 petites figurines, on dépasse là le prix du Falcon Millenium,
Je pense que les enfants ne sont pas prêt que je leur rachète des petites figurines !