La semaine passée, en cours, j’avais rappelé que quand 
décrivait le compte de 
variable multinomiales prenant 
modalités, la variable
suit asymptotiquement une loi 
. Et plus généralement, on peut montrer que 
. Le soucis est que la matrice de variance covariance n’est pas la matrice identité. Pire que ça, elle n’est pas diagonale. Encore pire, elle n’est pas inversible.
On ne peut alors pas utiliser le joli résultat qui nous dit que si 
, alors 
suit une loi du chi-deux à degrés de liberté (dimension du vecteur 
). Car il faut que 
soit inversible. Or ici, je pense qu’on peut montrer que
(à un facteur près). Et comme on a une loi de probabilité, le terme de droite est nul. Bref, 
et son inverse n’existe alors pas. Cela dit, 
n’est valeur propre qu’une fois, d’où la dimension 
qui apparaît sans cesse (à condition que les 
soient non-nuls, ce qui était une hypothèse dans la définition de la loi multinomiale : toutes les modalités existent vraiment).
L’idée est alors de poser
suit asymptotiquement une loi 
. Et plus généralement, là encore, 
.
Ce qui est amusant, c’est que dans le cas binomiale (j’avais dit qu’il était intéressant de voir la loi multinomiale comme une généralisation de la loi binomiale),
puisque
Et en fait, un peut de calculs rapides permettent de noter que
de telle sorte que 
alors que 
. Bref, c’est clairement sur cette dernière quantité qu’il faut travailler !
Et là on fait des calculs.
L’astuce est d’utiliser la formule de Stirling
alors pour 
soit
![https://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{P}(\boldsymbol{N}=\boldsymbol{n})\sim\frac{n^{n+\frac{1}{2}}e^{-n}\sqrt{2\pi}}{\prod_{j=1}^k%20[n_j^{n_j+\frac{1}{2}}e^{-n_j}\sqrt{2\pi}]}p_1^{n_1}\cdots%20p_k^{n_k}](https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cmathbb%7BP%7D%28%5Cboldsymbol%7BN%7D=%5Cboldsymbol%7Bn%7D%29%5Csim%5Cfrac%7Bn%5E%7Bn+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7De%5E%7B-n%7D%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7D%7B%5Cprod_%7Bj=1%7D%5Ek%20[n_j%5E%7Bn_j+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7De%5E%7B-n_j%7D%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D]%7Dp_1%5E%7Bn_1%7D%5Ccdots%20p_k%5E%7Bn_k%7D)
et donc
de telle sorte que
On peut alors faire des développements limités, en faisant intervenir
et non pas la version avec 
au dénominateur. On peut alors réécrire la somme en faisant intervenir termes (et non pas ), exactement comme dans les calculs faits dans le premier cours, avec les calculs de variances. Bref, un peu de calcul supplémentaire permet de montrer que
C’est donc
et non pas
qui sera utilisée comme statistique de test par la suite.
Pour utiliser le test du chi-deux comme test d’ajustement de loi, je pourrais reprendre l’exemple des buts lors des coupes du monde de Football
soccer1982=read.table("http://freakonometrics.free.fr/soccer1982")
S82=(soccer1982$V1+soccer1982$V2)
soccer1998=read.table("http://freakonometrics.free.fr/soccer1998")
S98=(soccer1998$V1+soccer1998$V2)
soccer2010=read.table("http://freakonometrics.free.fr/soccer2010")
S10=(soccer2010$V1+soccer2010$V3)
Je voulais revenir rapidement sur le prix Nobel décerné il y a moins de 48 heures à Jean Tirole, suite à plusieurs billets que j’ai pu lire, ici et là sur internet. Il y a quelques années, dans un chapitre de 
