La semaine passée, en cours, j’avais rappelé que quand
décrivait le compte de
variable multinomiales prenant
modalités, la variable

suit asymptotiquement une loi
. Et plus généralement, on peut montrer que
. Le soucis est que la matrice de variance covariance n’est pas la matrice identité. Pire que ça, elle n’est pas diagonale. Encore pire, elle n’est pas inversible.
On ne peut alors pas utiliser le joli résultat qui nous dit que si
, alors
suit une loi du chi-deux à
degrés de liberté (dimension du vecteur
). Car il faut que
soit inversible. Or ici, je pense qu’on peut montrer que

(à un facteur
près). Et comme on a une loi de probabilité, le terme de droite est nul. Bref,
et son inverse n’existe alors pas. Cela dit,
n’est valeur propre qu’une fois, d’où la dimension
qui apparaît sans cesse (à condition que les
soient non-nuls, ce qui était une hypothèse dans la définition de la loi multinomiale : toutes les modalités existent vraiment).
L’idée est alors de poser

suit asymptotiquement une loi
. Et plus généralement, là encore,
.
Ce qui est amusant, c’est que dans le cas binomiale (j’avais dit qu’il était intéressant de voir la loi multinomiale comme une généralisation de la loi binomiale),

puisque

Et en fait, un peut de calculs rapides permettent de noter que

de telle sorte que
alors que
. Bref, c’est clairement sur cette dernière quantité qu’il faut travailler !
Et là on fait des calculs.
L’astuce est d’utiliser la formule de Stirling

alors pour 
soit
![https://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{P}(\boldsymbol{N}=\boldsymbol{n})\sim\frac{n^{n+\frac{1}{2}}e^{-n}\sqrt{2\pi}}{\prod_{j=1}^k%20[n_j^{n_j+\frac{1}{2}}e^{-n_j}\sqrt{2\pi}]}p_1^{n_1}\cdots%20p_k^{n_k}](https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cmathbb%7BP%7D%28%5Cboldsymbol%7BN%7D=%5Cboldsymbol%7Bn%7D%29%5Csim%5Cfrac%7Bn%5E%7Bn+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7De%5E%7B-n%7D%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7D%7B%5Cprod_%7Bj=1%7D%5Ek%20[n_j%5E%7Bn_j+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7De%5E%7B-n_j%7D%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D]%7Dp_1%5E%7Bn_1%7D%5Ccdots%20p_k%5E%7Bn_k%7D)
et donc

de telle sorte que
On peut alors faire des développements limités, en faisant intervenir

et non pas la version avec
au dénominateur. On peut alors réécrire la somme en faisant intervenir
termes (et non pas
), exactement comme dans les calculs faits dans le premier cours, avec les calculs de variances. Bref, un peu de calcul supplémentaire permet de montrer que

C’est donc

et non pas

qui sera utilisée comme statistique de test par la suite.
Pour utiliser le test du chi-deux comme test d’ajustement de loi, je pourrais reprendre l’exemple des buts lors des coupes du monde de Football
soccer1982=read.table("http://freakonometrics.free.fr/soccer1982")
S82=(soccer1982$V1+soccer1982$V2)
soccer1998=read.table("http://freakonometrics.free.fr/soccer1998")
S98=(soccer1998$V1+soccer1998$V2)
soccer2010=read.table("http://freakonometrics.free.fr/soccer2010")
S10=(soccer2010$V1+soccer2010$V3)