Depuis plusieurs mois, on observe un engouement (probablement légitime) pour le big data. Si beaucoup peut être fait pour utiliser les volumes énormes de données à la disposition des assureurs, il convient de garder en mémoire que dans beaucoup de cas, les données sont rares et que la technologie ne devrait pas pouvoir changer grand chose. Le manque de données (fiables) crée une variabilité importante.

• Loi des grands nombres, approximations et statistique asymptotique

Tout comme les assureurs, les statisticiens aiment les gros volumes de données. Pour les assureurs, les gros portefeuilles sont considérés comme moins incertains, et pour les mêmes raisons, les statisticiens disposent, avec des grosses bases de données, d’estimateurs moins volatiles (on parle d’ailleurs du risque associé à un estimateur). Supposons que l’on suive un portefeuille de 1047 assurés, pendant un an, et que 159 ait réclamé un sinistre auprès de la compagnie. La probabilité qu’un assuré ait un sinistre est

Si on admet que l’ont dispose d’assez d’observations, on peut utiliser une approximation Gaussienne du taux de réclamation, et obtenir un intervalle de confiance à 95%, de telle sorte qu’il y a 95 chances sur 100 que le taux de réclamation appartienne à l’intervalle¹

On utilise ici l’approximation² de la loi binomiale (le nombre de personnes qui réclame suit une loi binomiale) par une loi Gaussienne, comme sur la Figure ci-dessous,

Avec cette approximation, on peut valoriser des contrats de réassurance. On peut ainsi approcher les probabilités d’avoir des dérives de la sinistralité dans notre portefeuille. Dans cet exemple, on notera que la probabilité d’avoir un taux de réclamation excédant 20% est de l’ordre de 0.0014%.

• Prédire des “cygnes noirs”

Supposons qu’un assureur décide de vendre à des collectivités locales des contrats d’assurance en cas de marée noire. Dans un modèle actuariel standard, la prime à payer devrait être , où  est la probabilité qu’une marée noire survienne par kilomètre de côte,  la longueur de la côte de la région assurée, et  le montant de l’indemnité versée. Après 5 ans d’expérience, l’assureur souhaite faire le bilan de son produit. Sauf qu’aucune marée noire n’a été observée. Que peut-il dire sur son tarif ?

Cet exemple (à peine) fictif est a rapprocher d’une question posée dans les années 1950 à l’actuaire L.H. Longley-Cook: est-il possible de prédire (ou d’estimer) la probabilité d’observer, une année donnée, une collision en plein vol, entre deux avions ? Il n’y avait jamais eu de (grave) collision d’avions commerciaux lorsque la question avait été posée. Et sans aucune expérience passée, les statisticiens ne savaient trop quoi répondre. Pourtant, Longley-Cook avait prédit ” anything from 0 to 4 […] collisions over the next ten years“, comme le raconte McGrayne (2012). Deux ans plus tard, 128 personnes perdirent la vie au dessus de Grand Canyon lors d’une telle collision, et quatre an plus tard, ce sont 133 personnes qui périrent au dessus de New York.

• La réponse Bayésienne

L’idée de Longley-Cook était d’utiliser des techniques bayésienne en actuariat. Comme le notait Liu et al. (1996) “Statistical methods with a Bayesian flavor […] have long been used in the insurance industry”. Dans Charpentier (2007), nous avions vu l’apport des techniques de crédibilité et les liens avec la statistique bayésienne. Et comme le raconte McGrayne (2012), Arthur Bailey a joué un rôle essentiel, précisément en proposant des techniques dans le cas d’évènements (très) rares.

[Arthur] Bailey spent his first year in New York [in 1918] trying to prove to himself that ‘all of the fancy actuarial [Bayesian] procedures of the casualty business were mathematically unsound.’ After a year of intense mental struggle, however, he realized to his consternation that actuarial sledgehammering worked. He even preferred it to the elegance of frequentism. He positively liked formulae that described ‘actual data . . . I realized that the hard-shelled underwriters were recognizing certain facts of life neglected by the statistical theorists.’ He wanted to give more weight to a large volume of data than to the frequentists small sample; doing so felt surprisingly ’logical and reasonable.’ He concluded that only a ‘suicidal’ actuary would use Fishers method of maximum likelihood, which assigned a zero probability to nonevents. Since many businesses file no insurance claims at all, Fishers method would produce premiums too low to cover future losses.

Pour rappel, le théorème de Bayes permet d’écrire

Si on suppose disposer d’un échantillon d’observations  de loi , où, classiquement  est vu comme un paramètre inconnu que l’on cherche à estimer. Ici, on va supposer qu’il s’agit d’une variable aléatoire dont on va pouvoir obtenir une distribution (dite à posteriori) compte tenu des observations dont on dispose. On écrit alors

où le premier terme est une loi a priori que l’on se donne sur le paramètre , et le second est la vraisemblance de l’échantillon.

Afin d’illustrer un peu, reprenons notre exemple initial, où on dispose de 5 assurés, et qu’aucun n’ai réclamé de sinistre. Que peut-on dire sur la probabilité qu’un assuré ait un sinistre. Avec les approches classiques, la probabilité estimée serait nulle. Ce qui est gênant pour calculer ensuite une prime convenable. La réponse Bayésienne consiste à suppose que la probabilité de réclamer un sinistre est une variable aléatoire, dont on peut calculer la loi a posteriori, compte tenu du fait que l’on observé – pour l’instant – cinq observations nulle. En utilisant la relation précédente, la densité a posteriori est ici

où le second terme est la probabilité d’avoir cinq fois 0 avec une loi de Bernoulli, ce qui vaut , et où le premier terme est une loi que l’on se donne, a priori pour .

Une loi qui pourrait sembler naturelle serait la loi uniforme, pouvant être perçu comme non informative. Dans ce cas, la densité de , a posteriori, est proportionnelle à . Comme le montre la Figure ci-dessous, on a ici beaucoup de chance que  prenne une valeur proche de 0 (ce qui a du sens, car on n’a jamais observé de réclamation, jusqu’à présent). A priori, il a avait 95 chances sur 100 que la probabilité soit inférieure à 95% (c’est l’idée de la loi uniforme comme loi a priori). Après cinq expériences sans sinistre, a posteriori, il y a 95 chances sur 100 que la probabilité de réclamer soit inférieure à 40%. Si nous avions observé dix fois la valeur nulle, il y aurait, a posteriori, 95 chances sur 100 que la probabilité de ne pas réclamer soit inférieure à 25%.

La Figure ci-dessous montre la déformation de la loi a posteriori, au fur et à mesure de la mise à jour, avec la loi a priori à gauche, puis a posteriori sachant qu’une observation est arrivée (nulle), puis une seconde, puis une troisième, etc.

Sur la figure ci-dessous, il s’agit à nouveau de la déformation de la loi a posteriori, avec une loi a priori différente (en l’occurrence, la loi dite non-informative de Jeffreys)

• Les outils statistiques pour le small data

De même que le big data pose des problèmes aux techniques statistiques classiques, et permet de découvrir les techniques d’apprentissage, le small data pose des problèmes à laquelle la statistique classique n’apporte aucune réponse. Les actuaires redécouvrent les techniques bayésiennes, mais aussi d’autres outils qui permettent malgré tout d’apporter des réponses quantitatives pertinentes. Pour quantifier l’incertitude lors du calcul des provisions pour sinistres à payer, les actuaires utilisent des techniques de rééchantillonage (bootstrap) depuis une vingtaine d’années (rappelé dans Charpentier, Devineau & Nessi (2010)) pour tenir compte du peu de données dans les triangles de liquidation. Si le big data ouvre des perspectives fascinantes à explorer pour les actuaires (en particulier en souscription), il convient de garder en mémoire que dans beaucoup de cas, les actuaires doivent quantifier des risques avec très peu de données. L’avenir n’est aucunement au big data ! L’avenir est au contraire dans la connaissance de techniques permettant de traiter à la fois des gros volumes de données, mais aussi de faire face à un insuffisance de données.

¹ Dans le cas des événements (très) rares, l’approximation par une loi de Poisson sera nettement meilleure, mais ici, la probabilité est de l’ordre de 15%, ce qui est trop élevé.

² On retrouve ici les intervalles de confiance mentionnés désormais dans les sondages.