# Correlation with constraints on pairs

An interesting question was posted on http://math.stackexchange.com/726205/…: if one knows the covariances $\text{cov}(X,Y)$ and $\text{cov}(X,Z)$, is it possible to infer $\text{cov}(Y,Z)$? I asked myself a question close to this one a few weeks ago (that I might also relate to a question I asked a long time ago, about possible correlations between three exchange rates, on financial markets). More precisely, if one knows the correlations $\text{corr}(X,Y)$ and $\text{corr}(X,Z)$, is it possible to say something about $\text{corr}(Y,Z)$?

I could not find much details (but maybe I did not look enough in the existing literature). My strategy was to consider the correlation matrix, and to use the fact that a correlation matrix is symmetric, positive semidefinite matrix (also called Gramian matrix, which is a matrix with no negative eigenvalues). given the two correlations, we should consider the function of the third correlation, which indicates whether the smallest eigenvalue is non-negative, or not. Then, I look at the range of the third correlation, to get the minimum and the maximum possible value (I guess we can prove that possible values belongs to some interval). The code to get that is simply

corrminmax=function(r1,r2){
h=function(r3){
R=matrix(c(1,r1,r2,r1,1,r3,r2,r3,1),3,3)
return(min(eigen(R)\$values)>0)}
vc=seq(-1,+1,length=1e4+1)
vr=Vectorize(h)(vc)
indx=which(vr==TRUE)
return(vc[range(indx)])
}

Using this code, it is possible to look at the smallest correlation for the third pair, as well as the maximum correlation,

x1=seq(-1,1,by=.1)
x2=seq(-1,1,by=.1)
W=M=matrix(NA,length(x1),length(x2))
for(i in 1:length(x1)){
for(j in 1:length(x2)){
C=corrminmax(x1[i],x2[j])
W[i,j]=C[1]
M[i,j]=C[2]
}}

If we plot those matrices, we get

par(mfrow=c(1,2))
persp(x1,x2,W,zlim=c(-1,1),col="green",
persp(x1,x2,M,zlim=c(-1,1),col="green",
shade=TRUE,theta=-30)

and if we plot the difference, to get the range of the interval we clearly see that the largest range is obtained when the two correlations are null (in that case, any correlation is valid)

# Retour sur les enjeux du Pôle Nord

Avec presque deux semaines de retard, je voulais revenir avec deux images sur la discussion qui avait eu lieu lors de la conférence “à qui appartient le pôle nord”. En effet, Philippe Reka (a.k.a. @visionscarto) a présenté deux cartes qui m’ont fait longuement réfléchir sur les pays qui pourraient s’intéresser au Pôle Nord (plus que le revendiquer, formellement).

Mon point de départ était de considérer que les nations qui pourraient s’intéresser au Pôle étaient les régions qui ont un pied au delà du cercle artique. On évoquait en souriant le fait que le Canada ne serait pas le Canada sans ses hivers froids, ainsi que l’importance culturelle de ce Nord. Mais Philippe a réussit à prendre le contrepied de ces réflexions (assez conventionnelles) en présentant cette première carte, proposant de voir au delà du cercle artique, en intégrant les pays de second rang. Parmi lesquels la Chine, ou Singapore.

La question qu’il faut se poser est simple: comment relier l’Europe ou même la côte Est des Etats Unis depuis la Chine ? Car comme le notait Marc Levinson dans The Box: How the Shipping Container Made the World Smaller and the World Economy Bigger, pour bien comprendre le fonctionnement de l’économie, et les questions géopoliques associées, il faut comprendre le transport, et plus particuliement le transport maritime. Or comme on le voit – peut-être de manière encore plus convainquante sur la carte ci-dessous – la route actuelle, passant par le Moyen Orient, le Canal de Suez et la mer Méditerranée est longue, et dangeureuse (Philippe a d’ailleurs fait un travail fabuleux sur la cartographie de la piraterie, mais on en reparlera). Mais si une route pouvait être ouverte par le nord de la Russie, par le pôle, ce serait probablement la voie la plus naturelle.

Donc les pays les plus intéressés par le Pôle, et par les voies de transports qui pourraient être créées par le réchauffement climatique (qui va inévitablement changer la géographie de l’arctique) sont certes les pays limitrophes, mais il faut pas oublier les pays plus “lointains”, qui auront sûrement leur mot à dire !

Merci Philippe pour cette vision rafraîchissante du Pôle, qui m’aura beaucoup fait réfléchir sur le pouvoir de la visualisation cartographique !