Somewhere else, part 24

Still interesting posts, here and there, on the internet,

 

et cette semaine, plusieurs articles en francais,

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De la difficulté de faire parler les chiffres…

Parution d’un court article intituléde la difficulté de faire parler des chiffres pour analyser la gravité des accidents de la route” dans le dernier numéro de Variance. Le numéro complet est en ligne sur http://ensae.org/…. Sinon, tous les articles de vulgarisation sont en ligne sur http://freakonometrics.hypotheses.org/….

Le code pour le premier graphique (sur les tuées) est

base=read.table(
"http://freakonometrics.free.fr/base-graph-accidents-graves.txt",
header=TRUE,sep=";")
base$date=as.Date(base$date)
base$dateavant=as.Date(base$dateavant)
base$dateapres=as.Date(base$dateapres)
plot(base$date,base$compte,main="Blessés graves sur route entre 2002 et 2009",
xlab="Date",
ylab="Nombre de blessés sur la route, par jour",col="white")
points(base$dateavant,base$compteavant,col="light green")
lines(base$dateavant,base$tendanceavant,col="red",lty=2)
lines(base$dateavant,base$splinesavant,lwd=3,col="red")
points(base$dateapres,base$compteapres,col="light blue")
lines(base$dateapres,base$tendanceapres,col="red",lty=2)
lines(base$dateapres,base$splinesapres,lwd=3,col="red")

alors que pour les seconds (sur les blessés)

base=read.table(
"http://freakonometrics.free.fr/base-graph-accidents-deces.txt",
header=TRUE,sep=";")
base$date=as.Date(base$date)
base$dateavant=as.Date(base$dateavant)
base$dateapres=as.Date(base$dateapres)
plot(base$date,base$compte,main="Blessés graves sur route entre 2002 et 2009",
xlab="Date",
ylab="Nombre de blessés sur la route, par jour",col="white")
points(base$dateavant,base$compteavant,col="light green")
lines(base$dateavant,base$tendanceavant,col="red",lty=2)
lines(base$dateavant,base$splinesavant,lwd=3,col="red")
points(base$dateapres,base$compteapres,col="light blue")
lines(base$dateapres,base$tendanceapres,col="red",lty=2)
lines(base$dateapres,base$splinesapres,lwd=3,col="red")

Jeux et assurance

Félicitations à Christophe Dutang, qui a obtenu il y a quelques heures le prix Scor de la meilleure thèse de doctorat en actuariat. Christophe avait soutenu sa thèse à Lyon sur “Étude des marchés d’assurance non-vie à l’aide d’équilibres de Nash et de modèles de risques avec dépendance” (les transparents sont en ligne sur sa page, et la thèse est en ligne sur http://tel.archives-ouvertes.fr/…)

La cérémonie avait lieu mercredi soir, et je ne pouvais pas y être car je fêtais mon anniversaire en famille (et accessoirement, je suis à Montréal pour finir la session). En fait, je n’ai jamais eu l’occasion de me rendre à cette cérémonie annuelle (même lorsque le prix m’avait été attribué, voilà quelques années, car j’étais alors à Valparaiso). Je pourrais aussi souligner que si je trouve que le prix est une très bonne idée, le lieu n’est pas idéal.

Histoire de jouer un peu les vieux cons, Le Cercle de l’Union Interallié est un club très select, très sexiste (« les femmes n’ont pas accès aux instances dirigeantes du Cercle » comme le précise http://fr.wikipedia.org/…), et en plus la cravate est de rigueur pour les hommes (sinon, on ne peut pas entrer). Si je sors mon costume à l’occasion (certains collègues ont eu l’occasion de se moquer), je dois avouer que mes cravates sont depuis fort longtemps dans la malle à déguisement des enfants. Et elles ne sont pas prêt d’en sortir !

En attendant, félicitations à Christophe qui méritait le prix… Et félicitations à Aymric Kamega qui a obtenu le même soir une mention spéciale !

Interview mutualisation vs. segmentation

Hier, j’ai été un peu surpris quand un ancien collègue en France m’a parlé d’une interview exclusive (de moi) sur http://argusdelassurance.com/…. Je me suis souvenu qu’il y a quelques semaines, Madeleine m’avait contacter pour me poser quelques questions sur les assurance « à la carte », et la plus grande modularité des produits. Elle avait mis le doigt sur deux questions importantes, “comment procéder au calcul quand les offres sont personnalisées” et “est-ce intéressant pour l’assureur, pour l’assureur” ? Pour la première partie, c’est technique, et ça correspond à ce qu’on fait dans les cours de tarification (on en reparle dans quelques semaines, promis). Par contre le second point est plus troublant. Avec la théorie économique d’un côté, et les principes d’antisélection et d’aléa moral. En particulier, j’avais voulu reprendre simplement un modèle qu’on avait utilisé dans le livre avec Michel Denuit (tome 1). Cet exemple nécessite un peu de formalisation, et j’ai été très surpris de voir que Madeleine l’avait gardé. Mieux, qu’elle l’avait clarifié (il faut dire qu’elle m’avait demandé un courriel en fin de journée, et que j’avais tapé ça rapidement, tout en faisant les devoirs des grands, et le bain de la plus petite… quand je relis ce que j’avais envoyé, et ce qu’elle en a fait, je suis admiratif). Mais prenons deux minutes pour reformuler cette histoire de segmentation d’un marché de l’assurance…

Commençons par le cas le plus simple, sans segmentation, avec mutualisation parfaite (et donc prime unique). En utilisant un principe de prime pure, si https://latex.codecogs.com/gif.latex?S désigne la perte (aléatoire) pour un assuré, la prime à payer serait https://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(S). Et dans ce cas, en moyenne, le bilan de l’assureur serait équilibré, car https://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(S-\mathbb{E}(S))=0. Si on regarde l’incertitude associée aux dépenses (disons la variance pour faire simple), les assurés n’ont aucune variance car la dépense est la même pour tous. Tout le risque (la variance) est à la charge de l’assureur. On peut résumer ça dans le petit tableau suivant,

Assurés Assureur
Dépense https://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(S) https://latex.codecogs.com/gif.latex?S-\mathbb{E}(S)
Dépense moyenne https://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(S) https://latex.codecogs.com/gif.latex?0
Variance https://latex.codecogs.com/gif.latex?0 https://latex.codecogs.com/gif.latex?\text{Var}(S)

On a ici la répartition des dépenses et du risque (que nous appellerons variance, à la Markowitz) entre l’assureur et les assurés.

Continuons dans un monde parfait (disons avec information parfaite) mais avec cette fois de la segmentation (parfaite). Autrement dit, si la variable de risque est un variable https://latex.codecogs.com/gif.latex?\Omega, connue par l’assureur, alors il devrait faire payer https://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(S|\Omega) pour un assuré portant le risque https://latex.codecogs.com/gif.latex?\Omega. Cette fois, la décomposition des dépenses et des risques se fait de la manière suivante

Assurés Assureur
Dépense https://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(S|\Omega) https://latex.codecogs.com/gif.latex?S-\mathbb{E}(S)
Dépense moyenne https://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(S) https://latex.codecogs.com/gif.latex?0
Variance https://latex.codecogs.com/gif.latex?\text{Var}(\mathbb{E}(S|\Omega)) https://latex.codecogs.com/gif.latex?\text{Var}(S-\mathbb{E}(S|\Omega))

Cette fois, l’assureur prend à sa charge les risques purement aléatoire, mais les assurés prennent à leur charge une partie de la variabilité, correspondant à l’hétérogénéité. On notera que la variance de l’assureur est ici https://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(\text{Var}(S|\Omega)): on retrouve ici la formule classique de décomposition de la variance

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\text{Var}(\mathbb{E}(S|\Omega))+\mathbb{E}(\text{Var}(S|\Omega))=\text{Var}(S)

Mais dans la vraie vie, c’est plus compliqué car avec une première composante qui repose sur les assurés, et la seconde sur les assureurs. C’est d’ailleurs le théorème de Pythagore, avec la variance liée à l’hétérogénéité à gauche, et à droite, la composante purement aléatoire. (le risque intrinsèque de l’assuré) n’est pas connu. On doit faire une segmentation imparfaite, car on dispose de quelques variables explicatives, que l’on notera par un vecteur https://latex.codecogs.com/gif.latex?\boldsymbol{X}. On va essayer de construire un proxy de la variable de risque https://latex.codecogs.com/gif.latex?\Omega. La décomposition entre l’assureur et ses assurés se fait de la manière suivante

Assurés Assureur
Dépense https://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(S|\boldsymbol{X}) https://latex.codecogs.com/gif.latex?S-\mathbb{E}(S|\boldsymbol{X})
Dépense moyenne https://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(S) https://latex.codecogs.com/gif.latex?0
Variance https://latex.codecogs.com/gif.latex?\text{Var}(\mathbb{E}(S|\boldsymbol{X})) https://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(\text{Var}(S|\boldsymbol{X}))

qui correspond à la décomposition précédente, en remplaçant la variable non-observée https://latex.codecogs.com/gif.latex?\Omega par le proxy construit à partir de https://latex.codecogs.com/gif.latex?\boldsymbol{X}.   Là encore, en moyenne, l’assureur est à l’équilibre, car

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(\mathbb{E}(S|\boldsymbol{X}))=\mathbb{E}(S)

autrement dit segmenter n’a pas de conséquence, en moyenne, sur le résultat de l’assureur. Par contre, la variance de l’assureur est ici

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(\text{Var}(S|\boldsymbol{X}))=\mathbb{E}(\text{Var}(S|\Omega))+\mathbb{E}(\text{Var}(\mathbb{E}(S|\Omega)|\boldsymbol{X}))

et la variance total du portefeuille est alors la somme

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\text{Var}(\mathbb{E}(S|\boldsymbol{X}))+\mathbb{E}(\text{Var}(S|\Omega))+\mathbb{E}(\text{Var}(\mathbb{E}(S|\Omega)|\boldsymbol{X}))

avec à gauche, un terme lié à la segmentation, au centre le hasard, et à droite, un terme de solidarité entre assuré (qu’on pourrait appeler de mutualisation), lié au fait que le risque n’est que partiellement assurable. C’est la mutualisation résiduelle qui peut exister en assurance santé si on exclue les tests génétiques: à partir de quelles variables explicatives https://latex.codecogs.com/gif.latex?\boldsymbol{X}, on peut inférer le risque de maladie, mais moins que si des tests génétiques permettaient d’approcher https://latex.codecogs.com/gif.latex?\Omega avec une plus grande précision… Autrement dit, segmenter imparfaitement, ou partiellement, permet de maintenir un effet de mutualisation dans le portefeuille…. de faire de l’assurance en quelque sorte…

 

Somewhere else, part 23

Some interesting posts, this week,

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Estimation et prévision pour des séries temporelles

Pour la fin de cours de modèles de prévision , quelques transparents sur l’identification et l’estimation des modèles SARIMA, quelques compléments sur les tests (racines unités et non-stationnarité, ainsi que saisonnalité), et enfin, quelques pistes pour construire des prédictions (avec une quantification de l’incertitude), avec des codes R. Les transparents sont en ligne ici (même si la page de garde est identique aux autres, il s’agit de nouveau matériel). Maintenant que les transparents sont finis (et en ligne) les prochains billets seront orientés autour de la modélisation et des aspects computationnels.

Méthodes de lissage en assurance

Dans le cours de modèles de prévision, j’avais abordé les méthodes de régression locale rapidement, en finissant la section sur les données individuelles. On verra plus d’outils la session prochaine dans le cours actuariat IARD, a.k.a. ACT2040 (que je donnerai cet hiver). En attendant, je mets en ligne les transparents du cours que vient de donner Julien Tomas à l’Institut de science financière et d’assurances (à Lyon, en France), dans un contexte d’assurance dépendance.

(et que Julien m’a autorisé à diffuser).

ACT2121, éléments de correction

Le second intra avait lieu lundi dernier. L’énoncé est en ligne, ainsi que des éléments de correction (comportant également des statistiques par réponse, la bonne réponse étant en rouge). Comme annoncé au tableau, dans la question 21, il y a eu un copier-coller malencontreux (les bonnes réponses ont été écrites au tableau). Toutes mes excuses. Quant à la question 29, certains élèves s’étaient plaint de ne avoir de table de loi normale à disposition. J’avais projeté au tableau la table suivante. A mes yeux, la probabilité qu’une loi normale (centrée et réduite) soit inférieure à 2 devrait être sue par coeur (comme beaucoup d’autres quantités).