# Examen final ACT6420

Chose promise, chose due: les deux bases de données qui seront utilisées pour l’examen sont désormais en ligne. 10 questions porteront sur l’analyse de la série temporelle suivante

serie=read.table("http://freakonometrics.free.fr/exam-ts.txt")
X=serie$x XTS=serie=ts(X,start=c(1999,9),frequency=12) (qui peut être modélisée soit comme un objet série temporel, soit comme un vecteur numérique). Enfin, 10 questions porteront sur la base de données suivante examen=read.table( "http://freakonometrics.blog.free.fr/public/ data/basket-exam-v2.csv", header=TRUE,sep=";") (si l’importation ne marche pas, veillez à ce que l’adresse du fichier tienne sur une ligne). Cette base devait servir initialement pour l’examen intra. Elle contient des matchs de baskets universitaires (aux États-Unis). Les variables sont les suivantes • EQUIPE le nom de l’équipe qui sert de référence • HALFDIFF le nombre de points de différence à la mi-temps (négatif signifie que l’EQUIPE perdait) • WINNER vaut 1 si l’équipe a gagné le match, 0 sinon, • TOTALPOINTSDIFF le nombre de points de différence à la fin du match • SECONDHALFPOINTS est le nombre de points marqués par l’EQUIPE pendant la seconde mi-temps • NODIFF_PTS_1000-LEFT la différence de points entre les équipes 10 minutes avant la fin du match (au milieu de la seconde période) • HOMETEAM vaut 0 si l’équipe joue à l’extérieur, 1 si elle joue à domicile • HALFWINNER vaut 1 si l’EQUIPE gagnait (supérieur ou nul) à la mi-temps • HALFLOOSER vaut 1 si l’EQUIPE perdait (inférieur ou nul) à la mi-temps • SECONDHALFPOINTSOTHER est le nombre de points marqués par l’adversaire au cours de la seconde mi-temps La variable d’intérêt sera le nombre de points d’écart à la fin du match. Enfin, 20 questions supplémentaires porteront sur la compréhension générale du cours. Les calculatrices seront autorisées. Maintenant, pour tous ceux qui ont encore du mal avec R, je recommande • “R pour les débutants”d’Emmanuel Paradis (PDF) • “Brise Glace-R” d’Andrew Robinson er Arnaud Schloesing (PDF) • “Introduction à la programmation en R” de Vincent Goulet (PDF) (les questions d’analyse de sortie ne porteront pas sur la programmation en R, mais davantage sur l’analyse critique des sorties, et leur interprétation). # Copulas and tail dependence, part 3 We have seen extreme value copulas in the section where we did consider general families of copulas. In the bivariate case, an extreme value can be written where $A(\cdot)$ is Pickands dependence function, which is a convex function satisfying Observe that in this case, where $\tau$ is Kendall’tau, and can be written For instance, if then, we obtain Gumbel copula. This is what we’ve seen in the section where we introduced this family. Now, let us talk about (nonparametric) inference, and more precisely the estimation of the dependence function. The starting point of the most standard estimator is to observe that if $(U,V)$ has copula $C$, then has distribution function And conversely, Pickands dependence function can be written Thus, a natural estimator for Pickands function is where $\widehat{H}_n$ is the empirical cumulative distribution function of This is the estimator proposed in Capéràa, Fougères & Genest (1997). Here, we can compute everything here using > library(evd) > X=lossalae > U=cbind(rank(X[,1])/(nrow(X)+1),rank(X[,2])/ + (nrow(X)+1)) > Z=log(U[,1])/log(U[,1]*U[,2]) > h=function(t) mean(Z<=t) > H=Vectorize(h) > a=function(t){ + f=function(t) (H(t)-t)/(t*(1-t)) + return(exp(integrate(f,lower=0,upper=t, + subdivisions=10000)$value))
+ }
> A=Vectorize(a)
> u=seq(.01,.99,by=.01)
> plot(c(0,u,1),c(1,A(u),1),type="l",col="red",
+ ylim=c(.5,1))

Even integrate to get an estimator of Pickands’ dependence function. Note that an interesting point is that the upper tail dependence index can be visualized on the graph, above,

> A(.5)/2
[1] 0.4055346

# Copulas and tail dependence, part 2

An alternative to describe tail dependence can be found in the Ledford & Tawn (1996) for instance. The intuition behind can be found in Fischer & Klein (2007)). Assume that  and   have the same distribution. Now, if we assume that those variables are (strictly) independent,

But if we assume that those variables are (strictly) comonotonic (i.e. equal here since they have the same distribution), then

So assume that there is a  such that
Then =2 can be interpreted as independence while =1 means strong (perfect) positive dependence. Thus, consider the following transformation to get a parameter in [0,1], with a strength of dependence increasing with the index, e.g.

In order to derive a tail dependence index, assume that there exists a limit to

which will be interpreted as a (weaktail dependence index. Thus define concentration functions

for the lower tail (on the left) and

for the upper tail (on the right). The R code to compute those functions is quite simple,
> library(evd);
> data(lossalae)
> X=lossalae
> U=rank(X[,1])/(nrow(X)+1)
> V=rank(X[,2])/(nrow(X)+1
> fL2emp=function(z) 2*log(mean(U<=z))/
+ log(mean((U<=z)&(V<=z)))-1
> fR2emp=function(z) 2*log(mean(U>=1-z))/
+ log(mean((U>=1-z)&(V>=1-z)))-1
> u=seq(.001,.5,by=.001)
> L=Vectorize(fL2emp)(u)
> R=Vectorize(fR2emp)(rev(u))
> plot(c(u,u+.5-u[1]),c(L,R),type="l",ylim=0:1,
+ xlab="LOWER TAIL      UPPER TAIL")
> abline(v=.5,col="grey")

and again, it is possible to plot those empirical functions against some parametric ones, e.g. the one obtained from a Gaussian copula (with the same Kendall’s tau)

> tau=cor(lossalae,method="kendall")[1,2]
> library(copula)
> paramgauss=sin(tau*pi/2)
> copgauss=normalCopula(paramgauss)
> Lgaussian=function(z) 2*log(z)/log(pCopula(c(z,z),
+ copgauss))-1
> Rgaussian=function(z) 2*log(1-z)/log(1-2*z+
+ pCopula(c(z,z),copgauss))-1
> u=seq(.001,.5,by=.001)
> Lgs=Vectorize(Lgaussian)(u)
> Rgs=Vectorize(Rgaussian)(1-rev(u))
> lines(c(u,u+.5-u[1]),c(Lgs,Rgs),col="red")

or Gumbel copula,

> paramgumbel=1/(1-tau)
> copgumbel=gumbelCopula(paramgumbel, dim = 2)
> Lgumbel=function(z) 2*log(z)/log(pCopula(c(z,z),
+ copgumbel))-1
> Rgumbel=function(z) 2*log(1-z)/log(1-2*z+
+ pCopula(c(z,z),copgumbel))-1
> Lgl=Vectorize(Lgumbel)(u)
> Rgl=Vectorize(Rgumbel)(1-rev(u))
> lines(c(u,u+.5-u[1]),c(Lgl,Rgl),col="blue")

Again, one should look more carefully at confidence bands, but is looks like Gumbel copula provides a good fit here.