Est-ce vraiment trop injuste ?

Depuis le début de la semaine, après avoir déposé les enfants au camp de jour du Musée des Beaux Arts, je viens à pieds à l’université. Chaque fois, je me dis que je pourrais prendre le bus, mais comme aucun ne vient, je commence en marchant, en me disant que si un bus passe, je le prendrais. Et tous les matins, j’arrive au bureau sans m’être fait dépassé par le moindre bus. Et bien sur, j’en ai croisé un paquet qui passaient en sens inverse…

C’est vraiment trop injuste ? En tant que statisticien, je dirais que non, tout simplement à cause du biais de sélection. Si on veut formaliser un peu, on va oublier l’aléa, et raisonner avec des bus qui passent de manière purement déterministe. On va aussi supposer qu’il y en a autant dans un sens que dans l’autre…

J’ai une distance http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso6/bus-01.gif à parcourir, on suppose que les bus sont espacés d’une distance http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso6/bus-02.gif, et qu’ils avancent à une vitesse http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso6/bus-03.gif. Autrement dit, les bus passent tous les http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso6/bus-04.gif secondes (si ma vitesse est exprimée en secondes).

Moi, j’avance à une vitesse http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso6/bus-07.gif avec http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso6/bus-06.gif (oui, on va supposer que je vais moins vite que le bus… ce qui n’est pas forcément une hypothèse faible aux heures de pointes, mais disons que le problème n’a de sens que si aller en bus me permet d’aller plus vite). Le temps que je vais mettre si je fais tous le trajet à pied est . Maintenant, comptons les bus qui passent en face. Je vais croiser tous ceux qui sont déjà sur ma portion de trajet, et il y en a http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso6/bus-08.gif. En plus, je croiserais tous ceux qui vont arriver à l’université, et qui n’y sont pas encore, soit http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso6/bus-09.gif, i.e. le temps qu’il me reste à marcher divisé par le temps qui s’écoule entre deux bus. On a alors un total de http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso6/bus-10.gif bus à croiser, en face.

De mon coté cette fois. Je peux compter tous ceux qui vont arriver à l’université, sauf que cette fois, je devrais enlever tous ceux qui sont déjà sur le trajet, et que je ne croiserais pas (car je vais moins vite qu’eux, par hypothèse). Le nombre de bus qui vont me doubler sera alors cette fois http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso6/bus-11.gif

Si je regarde le ratio du nombre de bus croisés sur le nombre de bus qui m’aura doublé, j’obtiens

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Les plus malins auront noté que ce ratio est aussi le ratio entre la vitesse des bus qui me croisent divisé par la vitesse des bus qui me doublent, quand je suis le référentiel (les vitesses sont exprimées par rapport à moi).

Par exemple, si je vais deux fois mois vite que le bus, il y aura trois fois plus de bus qui passent en sens inverse. Et sept fois plus si je vais juste 25% moins vite que le bus. Ce qui n’est pas absurde, quand on pense que je fais le trajet en 20 minutes, et le bus 15…