Je suis tombé un peu par hasard sur un vieux papier de Peter Enis, Enis (1973), qui revient sur une relation que l’on prend toujours pour acquis (moi le premier) à savoir 
. Mais il faut des hypothèses complémentaires pour que cette relation soit vraie. Le fait que 
existe par exemple ne suffit pas ! (je laisse les amateurs de résultats contre-intuitifs le temps de réfléchir à cette affirmation)
Supposons par exemple que 
, conditionnellement à 
, suive une loi normale centrée, d’écart-type 
,
où est une variable (strictement) positive. Presque sûrement 
quelle que soit la loi de . Et donc 
. Mais si la loi de présente des queues “trop épaisses” (sans pour autant être extrême pour autant d’ailleurs), il est fort possible que ne soit plus intégrable ! Par exemple (c’est ce que propose Enis (1973)), on peut supposer que suit une loi Gamma de paramètres 1/2 et 2, i.e. de densité
Dans ce cas, suit une loi de Cauchy, qui n’est pas d’espérance finie. C’est pénible, hein ?
B
on, d’un autre côté, c’est très lié à la définition de l’espérance conditionnelle retenue. En l’occurrence, j’utilisais l’espérance de la loi conditionnelle. Mais je ferais peut être un billet un jour sur les diverses constructions de l’espérance conditionnelle.