L’idée du lissage exponentiel est de supposer que , où on suppose que le bruit
est ici un bruit indépendant (imprévisible). On va alors supposer que

où désigne un poids attribué à la nouvelle observation dans la fonction de lissage
.
On parle de lissage pour moyenne mobile à poids exponentiel (ewma, exponentially weighted moving average, évoqué ici ou là sur ce blog). En effet
i.e., en itérant
La méthode de Holt-Winters propose de généraliser ce lissage, en introduisant deux (voire trois) composantes.
sera interprété comme un niveau
correspondant à la variation du processus
qui correspond à un cycle (éventuel)
On suppose désormais, dans cette méthode (dite de Holt-Winters), que
et
D’un point de vue plus pratique, la programmation se fait comme suit,
> HW=HoltWinters(X,alpha=.2,beta=0) > plot(HW)
Cette trois composantes seront utilisées pour faire une prévision de la série: la prédiction sera de la forme , à la date
, pour un horizon
(avec les notations du précédant billet).
> P=predict(HW,24,prediction.interval=TRUE) > plot(HW,xlim=range(c(time(X),time(P)))) > polygon(c(time(P),rev(time(P))),c(P[,2],rev(P[,3])), + col="yellow",border=NA) > lines(P[,1],col="red",lwd=3)