Non, je vais pas faire une analyse des promesses en cette année électorale (bien que le sujet pourrait être amusant, on peut penser aux propos du candidat Newt Gingrich qui veut que la lune devienne un état américain, ici ou là). Non, en fait je voulais faire un billet sur le sujet les assureurs sont-ils vraiment des voleurs ? En effet, lorsqu’en classe on présente le fonctionnement d’un contrat d’assurance – en particulier lorsque l’on parle de tarification et de l’inversion du cycle de production, ou du provisionnement – on explique que l’assuré achète une promesse: celle de se faire indemniser les sinistres survenus pendant la période dite de couverture. Car formellement, c’est bien de cela qu’il s’agit. Sauf qu’il y a toujours quelqu’un pour faire noter que ce n’est peut-être pas aussi simple et que l’assureur, souvent, rechigne à payer.

En fait, il est parfaitement rationnel – d’un point de vue économique (on s’entend) – que l’assureur négocie. En tous les cas si l’assureur a une vision à très court terme… Et c’est ce que justifient Briegleb & Lemaire (1982), sur l’analyse du marchandage ou Lemaire (1982) (dont sera très largement inspiré ce billet).
Considérons un cas très simple: un assuré a subit une perte
(connue, de l’assuré comme de l’assureur). Mais l’assureur refuse de payer. Et l’assuré envisage d’aller au tribunal. Afin de voir s’il s’agit d’une décision rationnelle, on suppose que l’assuré (
) avait une richesse
avant que le sinistre ne survienne, qu’aller en justice lui coûte
, et qu’il estime que sa probabilité de gagner le procès est
. De son coté, la compagnie (
) d’assurance a une richesse
, qu’aller en justice lui coute
, et que la probabilité que la compagnie perde le procès est – selon la compagnie –
(les
sont alors les probabilités que l’assuré gagne son procès, mais vu des deux cotés). Au tribunal, on suppose que le juge rend un verdict du genre tout ou rien (on n’autorise pas ici de compensation plus importantes que le cout réel du sinistre, et on ne parle pas non plus de remboursement des frais d’avocat en cas de victoire du procès).
L’espérance d’utilité de l’assuré est

alors que pour la compagnie d’assurance, son espérance d’utilité est

La situation est Pareto optimale si

décroissante), alors

alors que

Aussi, une condition nécessaire pour que la situation soit Pareto-optimale est que

i.e.
. Aller au tribunal n’est pas Pareto optimal si
croit plus en ses raisons de gagner que
. Si
, il peut alors être optimal de ne pas aller au tribunal…. On ne dit pas ici qu’il faut que la compagnie indemnise (intégralement) l’assuré, mais que l’assureur et l’assuré peuvent avoir intérêt a trouver une solution amiable…
Si
, il peut être intéressant d’aller au tribunal… mais pas forcément… Du point de vue de l’assureur, on peut supposer que sa richesse lui permet de ne pas être risquophobe, ou au moins d’être risque neutre (face a cette assuré au moins). Elle est donc indifférente entre aller au tribunal (et avoir un rendement incertain) et verser un règlement amiable si le versement correspond à son espérance de perte si elle va au procès. Autrement dit
. L’assuré acceptera cette somme si l’utilité qu’il en tire est plus grande que l’espérance d’utilité qu’il aura en allant au tribunal,

La différence entre le terme de gauche et le terme de droite est une fonction
. Si l’agent a une utilité exponentielle

alors

doit être une fonction positive. Un calcul rapide de dérivées montre que cette fonction est convexe, avec un minimum atteint en

Moralité ?
- pour les petits et pour les gros sinistres, il est normal que l’assureur et l’assuré cherchent une solution amiable (transaction)
- en revanche, pour les sinistres de cout intermédiaire, il peut être légitime d’aller au tribunal (procès).

Maintenant, si on a les grandes directions… peut-être peut-on essayer de mieux comprendre quelle serait le montant de la transaction dans le cas ou une solution amiable est envisagée. Nash (1950) a envisagé un jeu non-coopératif afin de décrire le marchandage. La transaction optimale est la quantité
qui maximise le produit des deux gains d’utilité (cf Nash (1950) ou Roth (1979))

La condition du premier ordre donne l’équation suivante

Si on fait un peu de calcul numérique, on note que la solution
est décroissante en
: plus l’assuré est risquophobe, plus faible sera la montant de la transaction…. Ce qui n’est pas surprenant, on retrouve ici un résultat noté dans Peeters (1981), Roth (1982) ou ecnore Osbourne (1985). Maintenant, sur le modèle théorique on pourrait bien entendu argumenter que le tribunal fonctionne selon une règle trop simple du tout ou rien, et qu’un procès peut couter beaucoup cher que le simple remboursement du cout du sinistre. Ou qu’il pourrait créer une jurisprudence. On pourrait aussi regarder économétriquement le lien entre le cout des sinistres et les montants des ententes amiables (c’est ce que fait Ayusoa, Bermúdezb & Santolinoc (2012)) mais c’est une autre histoire…. ou ça pourrait être le sujet pour une autre histoire… à suivre donc.

désigne un poids attribué à la nouvelle observation dans la fonction de lissage
. Le code pour lisser une série est alors assez simple,
sur le lissage. La prévision que l’on fait à la date
, pour un horizon
est alors
. Il est alors possible de voir le poids comme un paramètre et on va alors chercher le poids optimal. La stratégie classique est de minimiser l’erreur de prédiction commise à un horizon de 1




. Le code pour faire un lissage double est là encore assez simple,
(
– we get

or
:

or equivalently
.


denote the parameter (of our parametric model, e.g. the tail index), and we would like to know whether
(where in the context of finite versus infinite mean
). I.e. either
or to its complementary
. Consider the maximum likelihood estimator
, i.e.
and
denote the constrained maximum likelihood estimators on
and
respectively,

and
(on the left), or
and
(on the right)






, où on suppose que le bruit
est ici un bruit indépendant (imprévisible). On va alors supposer que

correspondant à la variation du processus
qui correspond à un cycle (éventuel)
, à la date
(avec les notations du 
Just a short post to mention the page entitled “What is working as an actuary really like ?” on
. Let
denote the Gamma distribution with density (on
)
denote independent
random variables, with
. Then
where

has a distribution in the simplex of 

.
can be visualized below, e.g.
, with some kind of symmetry,
and
, below



, and if
, then
‘s have Beta distributions,





et
. Car sa première réponse à combien font huit fois douze ? a été ben…. cent ?. J’ai bien entendu protesté (c’est un euphémisme) pour la forme, tout en sachant qu’il est naturel de croire que
, ou que
. N’est ce pas ce qu’on pense quand on apprend qu’un prix a augmenté de 20% avant de baisser de 20% le lendemain ? Car c’est la même erreur que l’on commet. Et mine de rien, raisonner avec des rendements, c’est pénible…. (tous ceux qui ont discuté taux d’intérêt avec un banquier le savent).


, et le lendemain un rendement de 

(ou ce que je voyais avec mon fils quand on notait que
). En fait, on perd de l’argent… Damned, c’est pénible ça, non ? D’autant plus que si on répète cette alternance (entre une baisse de 10% puis une hausse de 10%) sur un an, au final, on a perdu 85% de valeur… Autrement dit, avec des rendements d’espérance nulle, et symétriques, la volatilité à elle seule fait perdre de l’argent…

. En effet
vaut 0.05, on parlera (abusivement) de hausse de 5%. Si on regarde une évolution sur deux jours,
.
(either the company defaults, or not), so that













is said to be exchangeable if for all 
for any permutation
of
. A standard example is the case where
, with
and
Since
, a necessary condition is that
i.e.
.
.
on
such that
where
. Note that
A nice proof of that result can be found in
of
,
that can be inverted in
The idea is then to extend the size of the vector
, i.e. for all
, define
so that, if we condition on
,
but since given the sum of components of
elements are equally likely, we can write
The first idea is to work on the blue term, and to invocate a theorem of approximation of the hypergeometric distribution
to a binomial distribution
, when
becomes large. Then
Let
and let
denote the cumulative distribution function of
.
The idea is then to write the sum as an integral, with respect to that distribution,
The theorem is then obtained since
, i.e.
In the case of non-binary sequences, there is an extension of the previous result,
.
on
such that
where
and
For instance, in the Gaussian case mentioned earlier, if
then
where
i.e. conditionally on
, the
. The proof can be found in
where
are i.i.d. random variables. To go further on exchangeability and related topics, see 
Since
if we assume that – given the latent factor –
(either the company defaults, or not),
i.e.
Thus, we can derive the (unconditional) distribution of the sum
i.e.
. In the upper corner is plotted the density of the Beta distribution.
of
random variables is exchangeable if and only if
‘s are conditionnally independent, conditionnally on some random variable
.


, a Generalized Pareto Distribution will fit nicely, then we can use it to derive an estimator of the quantile function (for percentages such that the quantile is larger than the threshold)
, i.e. we keep the
largest observations to fit a GPD, then this estimator can be written








, where
is a slowly varying function. Then, for all
,







exceed the threshold out of a sample of size 
. Then



. Then (under standard suitable conditions)

