On commencera ce mardi les GLM, après avoir introduit les lois exponentielles (qui ont du être revues en démonstration vendredi dernier). La notation utilisée sera que la loi (densité ou fonction de probabilité) de sera de la forme

Pour un complément plus exhaustif, je renvoie au chapitre en ligne.

• Le modèle linéaire (Gaussien)

Le modèle de base est le modèle Gaussien que l’on avait revu au dernier cours,

> X=c(1,2,3,4)
> Y=c(1,2,5,6)
> base=data.frame(X,Y)
> reg1=lm(Y~1+X,data=base)
> nbase=data.frame(X=seq(0,5,by=.1))
> Y1=predict(reg1,newdata=nbase)

Pour une prédiction (unique), on obtient la prédiction suivante

Le code pour une telle représentation est le suivant

> plot(X,Y,pch=3,cex=1.5,lwd=2,xlab="",ylab="")
> lines(nbase$X,Y1,col="red",lwd=2)
> u=2
> mu=predict(reg1)[2]
> sigma=summary(reg1)$sigma
> y=seq(0,7,.05)
> loi=dnorm(y,mu,sigma)
> segments(u,y,loi+u,y,col="light green")
> lines(loi+u,y)
> abline(v=u,lty=2)
> points(X[2],Y[2],pch=3,cex=1.5,lwd=2)
> points(X[2],predict(reg1)[2],pch=19,col="red")
> arrows(u-.2,qnorm(.05,mu,sigma),
+ u-.2,qnorm(.95,mu,sigma),length=0.1,code=3,col="blue")

On peut multiplier les prédictions, en se basant sur l’hypothèse d’homoscédasticité (la variance sera alors constante)

Mais on peut aller plus loin

• Le modèle linéaire généralisé

Plusieurs modèles peuvent etre estimés, en changeant la loi de la variable à expliquer, et la fonction lien,

> reg2=glm(Y~1+X,data=base,family=poisson(link="identity"))
> Y2=predict(reg2,newdata=nbase,type="response")
> reg3=glm(Y~1+X,data=base,family=poisson(link="log"))
> Y3=predict(reg3,newdata=nbase,type="response")
> reg4=glm(Y~1+X,data=base,family=gaussian(link="log"))
> Y4=predict(reg4,newdata=nbase,type="response")
> sigma=sqrt(summary(reg4)$dispersion)

Pour le modèle Poissonnien avec un lien identité, on obtient

On obtient ainsi une variance qui augmente avec la prédiction,

Pour une régression de Poisson avec un lien logarithmique,

i.e. pour nos quatre prédictions

On peut comparer avec une prédiction d’un modèle Gaussien avec un lien logarithmique,

i.e. pour les quatre prédictions