Les traders sont des animaux curieux…

Et je dis ça d’autant plus sereinement que j’ai travaillé un temps en salle de marche, que j’ai pas mal d’anciens élèves qui y sont, ainsi que la majorité de mes copains de promo…

On a beaucoup lu sur les cracks en maths qui partaient faire de la finance. Je ne pense pas qu’il y ait besoin d’être un crack en maths pour aller jouer en salle de marche (comme je l’ai dit à plusieurs reprises ici ou , pas mal de problème de finance sont des problèmes de buveurs d’alcool qui ont du mal à rentrer chez eux), mais c’est vrai que lors des entretiens d’embauche, il n’est pas rare de mettre des petits exos de maths. Le but est surtout de se faire une idée sur la manière dont les candidats résolvent un problème, et de vérifier que les candidats peuvent faire preuve d’un peu de logique (cela dit, j’ai fait la même chose lorsque j’ai recruté un collègue lorsque je travaillais à Hong Kong dans une compagnie d’assurance).
J’y pensais l’autre jour en lisant chasseur de tête (Hodejegerne en vo) de Jo Nesbø (sans l’inspecteur Harry Hole), où un des personnages demandait

En fait, la réponse proposée est fausse, ou partiellement fausse… Et si je le sais c’est parce qu’il y a quelques mois, je discutais avec un ancien élève qui me racontait qu’il posait la même question lors des entretiens d’embauche (ou de stages). Plus précisément, ça commence calmement…

« donnez nous deux nombres premiers qui soient deux nombres impairs consécutifs »

Effectivement, pour l’instant, ce n’est pas trop dur…  on peut penser à 3 et 5, ou 5 et 7, 11 et 13, ou encore 17 et 19. Les plus tordus penseront à 31721 et 31723, voire 49919 et 49921. Bref, cette propriété est assez commune chez les nombres premiers, donc c’est facile…

« donnez nous trois nombres premiers qui soient trois nombres impairs consécutifs »

Si on a pensé à 3 et 5 avant, on pensera naturellement à 3, 5 et 7… Et ça marche… Mais ensuite vient la question plus vicieuse…

« pourriez-vous en trouver trois autres »

plus dur déjà… Un indice ? Comme c’est un entretien d’embauche dans une banque (et pas un exercice d’agrégation de mathématiques), soit il y a une réponse simple… soit la réponse est que ça n’est pas possible….

Et effectivement, ça n’est pas possible. Car si on prend trois nombres impairs consécutifs, il y en a toujours un qui est un multiple de 3. Formellement, on a retenu n, n+2 et n+4

Si les deux premiers (n et n+2) sont premiers, alors n=3k-1 et n+2=3k+1. Et donc n+4=3k+3=3(k+1) qui est un multiple de trois…

Si les deux derniers (n+2 et n+4) sont premiers, alors n+2=3k-1 et n+4=3k+1. Et donc n=3k-3=3(k-1) qui est un multiple de trois…

Enfin, si le premier et le dernier sont premiers, alors n=3k-2 et n+4=3k+2. Et donc n+2=3k qui est un multiple de trois… Donc la seule solution est que le multiple de 3 qui doit apparaître soit précisément 3. Donc la solution unique est 3, 5 et 7.

Je sais pas vous… mais moi ça me laisse un petit goût de pas-fini… On aurait envie d’aller plus loin, genre

« donnez nous n nombres premiers qui soient nombres consécutifs, en comptant de p en p »

en notant que, pour l’instant, on a regardé (uniquement) le cas où n vaut 3, et p vaut 2. Et il y a peut-être un résultat plus général derrière, non ?

Comme me l’a fait note Jürgen, la question un peu mieux formulée (en termes mathématiques) serait

« donnez nous une progression arithmétique de longueur n et de raison p formée de nombres premiers »

Intuitivement, on se doute qu’il faut regarder si n et p sont premiers entre eux (car c’est dans ce cas que la réponse risque de ne pas exister) et c’est ce que m’a confirme Agnès. En fait

  • dans le cas où n et p sont premiers entre eux

si n n’est pas premier, alors il n’y a aucune solution. Par exemple (n,p)=(4,2).
En revanche, si n est premier, alors il n’y a qu’un nombre fini de solution (qui peut être nul, ou 1 comme dans la question initiale). L’idée est que le premier terme est à chercher dans l’ensemble des entiers

{n-(n-1)p, n-(n-2)p, …, np, n}

En particulier, n doit être un des termes de la progression.

Par exemple, si (n,p)=(3,2) il y a une seule solution (3,5,7) alors que pour (n,p)=(5,2) il n’y a pas de solution.Et si (n,p)=(5,6) il y a une seule solution avec (5, 11, 17, 23, 29).

  • dans le cas où n et p ne sont pas premiers entre eux

Dans ce cas, la question doit être difficile (toujours selon Agnès), et on conjecture qu’il y a un nombre infini de solutions. Je ne sais pas si ça aide, car je ne sais pas si cet infini est grand ou pas… au sens où il faudrait peut être attendre un temps long infiniment long pour avant de tomber sur une telle suite…
En fait, Jürgen me suggérait de regarder un article de Green et Tao (ici) qui ont montré qu’il existe une infinité de progressions arithmétiques (formées de premiers) de longueur arbitraire. Plus précisément, on conjecture que le nombre de progressions de longueur n et de raison p (formées de nombres premiers) dans l’ensemble des nombres entiers de 1 à m serait de l’ordre de m/log(m)^n. Pour rappel, le théorème des nombres premiers dit qu’il y a m/log(m) nombres premiers entre 1 et m (Hadamard, La Vallée Poussin, 1896, ici).

Intéressant problème, non ? En tous les cas, au moins pour repérer des nerds… pour embaucher des gens qui pourront éviter d’acheter ou de vendre n’importe quoi, je ne sais pas trop le rapport…

Cela dit, pour ceux que ces problèmes amusent, un conteur dans le Lot nous a posé une question que je ne serais pas surpris de voir réapparaître dans les entretiens d’embauche, « Dans un lointain pays, un roi souhaite commander plusieurs bagues en or parfaitement identiques a 10 joailliers (et il peut en demander autant qu’il le souhaite à chacun) de 10 grammes chacune . Si 9 sont parfaitement honnêtes, 1 d’entre eux ne peut s’empêcher d’enlever 1 gramme d’or à chacune des bagues qu’il fabrique… Mais le roi ne sait pas lequel. Comment peut-il le démasquer en faisant une unique pesée..? ».

Avis aux amateurs…

En fait, comme il peut demander autant qu’il le souhaite, il demande 1 bague au premier joaillier, 2 au second, 3 au troisième, …., 10 au dernier. Il pèse alors toutes les bagues ensemble. Si tous étaient honnêtes, il y aurait 550 grammes. Le nombre de grammes qu’il manque dit quel joaillier a triché. S’il manque 3 grammes, c’est que 3 bagues sont trop légères, et c’est donc le troisième joaillier qui a triché.