Au tennis, il n’est pas rare de voir les joueurs servir très fort sur leur première balle, puis de se calmer sur la seconde. Est-ce pour se reposer un peu après le premier effort ou bien y-a-t-il une réelle logique derrière ?

Modélisons un peu tout ça (en reprenant une modélisation présentée par David Gale en 1971). Un joueur a un ensemble de services possibles. A son premier service, il choisit le service . La première difficulté est que le service soit correct (ou passe le filet pour faire simple), et on note la probabilité qu’un tel service passe le filet. Si le service est passé, il a une certaine probabilité de gagner le point, que l’on notera . Bien que ne connaissant pas vraiment le tennis, il n’est pas absurde de supposer qu’il y ait une forme d’arbitrage,

• un service puissant a peu de chance de passer ( petit), mais s’il passe le filet le serveur sera à son avantage, et la probabilité de gagner le point sera élevée ( grand)
• un service faible a de grandes chances de passer ( grand), mais la balle sera alors facile pour l’adversaire, et la probabilité de gagner le point sera faible ( petit)

A un service donné, la probabilité de gagner le point (sur ce premier service) est alors .

Supposons que soit “ordonné” au sens où peut être supposée strictement croissante.
Compte tenu de la remarque que nous avions faite initialement, il n’est pas absurde de supposer que la fonction

soit à valeur dans , avec une fonction croissante pour , puis décroissante pour .

Le joueur cherche à maximiser sa probabilité de gagner le point.

Mais au tennis, si le premier service ne passe pas, le serveur a le droit a une deuxième chance. Le serveur choisi alors en réalité un couple correspondant à son premier et second service, respectivement. La probabilité de gagner le point, à stratégie donnée, est alors

On peut noter que la stratégie optimale pour la seconde balle est indépendante de ce qui a été fait pour la première. En effet, si on cherche à résoudre, à donné

la condition du premier ordre est

i.e

Autrement dit, le second service doit être celui qui maximise sa probabilité de gagner le point, i.e. .
Mais si on sait qu’il est optimal de jouer , dans ce cas, pour le premier service, le joueur cherche à résoudre

dont la condition du premier ordre est

i.e.

Le point s_1 qui vérifie cette condition peut se visualiser sur la figure ci-dessous, car s’interprète comme , i.e. la tangente de la fonction rouge, et on veut que cette tangente soit de pente , qui est la pente de la courbe bleue (comme l’avait noté David Gale),

Autrement dit, il est optimal de servir plus fort la première fois que la seconde… Comme quoi finalement tout peut se démontrer avec un joli modèle…