Comme je l’avais énoncé rapidement à la fin du chapitre sur les intervalles de confiance, il existe une forme de dualité entre tests et intervalles de confiance. Par exemple, si on considère un test sur la moyenne, de la forme
contre
dans un modèle Gaussien,
, la région d’acceptation (de niveau
) sera de la forme


soit acceptée avec un niveau
(erreur de première espèce associée à un test bilatéral), une condition nécessaire et suffisante est que
appartienne à l’intervalle de confiance (symétrique) centré sur la moyenne empirique.Il y a ainsi dualité entre deux concepts
- prendre une valeur acceptée pour un test bilatéral de niveau

- prendre une valeur appartenant à l’intervalle de confiance symétrique de niveau 1-

Considérons par exemple le test asymptotique du rapport de vraisemblance (évoqué ici), dont la région d’acceptation sera de la forme

, l’intervalle de confiance pour
est

> n=20; alpha=.05 > X=sample(0:1,size=n,replace=TRUE) > neglogL=function(p){-sum(log(dbinom(X,size=1,prob=p)))} > pml=optim(fn=neglogL,par=0.5,method="BFGS")$par Warning messages: 1: In dbinom(x, size, prob, log) : NaNs produced 2: In dbinom(x, size, prob, log) : NaNs produced > p=seq(0,1,by=.01) > logL=function(p){sum(log(dbinom(X,size=1,prob=p)))} > > TLR=function(p0){2*(logL(pml)-logL(p0))<qchisq(1-alpha,df=1)} > (IC=sapply(p,TLR)) [1] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE [13] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE [25] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE [37] TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE [49] TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE [61] TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE [73] TRUE TRUE TRUE TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE [85] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE [97] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE > c(p[min(which(IC==TRUE))],p[max(which(IC==TRUE))]) [1] 0.34 0.75

Graphiquement, on visualise l’intervalle de confiance (à 95%) entre les deux traits verticaux.
De manière duale, à partir d’un intervalle de confiance
pour
, on peut construire un test. Si
appartient à
, on accepte H_0, sinon on rejette cette hypothèse. Par construction,


appartient à cet intervalle, on accepte
(contre l’hypothèse bilatérale
).
> a=mean(X)-1.96/sqrt(n)*sqrt(mean(X)*(1-mean(X))) > b=mean(X)+1.96/sqrt(n)*sqrt(mean(X)*(1-mean(X))) > c(a,b) [1] 0.3319638 0.7680362

La région entre les deux traits verticaux est la région d’acceptation.

-value en cours (avant de parler tout à l’heure de tests asymptotiques). Intuitivement, la
est vraie.
et on cherche à tester
. On dispose pour cela d’un échantillon
.
telle que plus
est grande, plus on s’éloigne de 
. Si
, on va construire une région de rejet de la forme
est choisi en fonction d’une probabilité d’erreur de première espèce souhaitée a priori, i.e.
. On dispose de
observations pour tester
. L’échantillon est le suivant

, la région critique s’obtient à l’aide du rapport de vraisemblance



. Ici,
, la puissance est la probabilité de rejeter
sous l’hypothèse où
est vraie (rejeter
.
, on définit alors une fonction puissance pour toute valeur
lorsque H_1 est une hypothèse de la forme
.
.
. Ce qui n’a pas de sens si l’on s’en tient au formalisme énoncé en cours:
, correspondant à la puissance du test (cf la discussion dans le paragraphe précédant).
: si
on accepte
: si
on rejette 
2 would be obtained by chance only 8.9 times in a hundred, from a series of values in random order. There is thus some reason to suspect that the distribution of rainfall in successive years is not wholly fortuitous, but that some slowly changing cause is liable to affect in the same direction the rainfall of a number of consecutive years.”
de
vérifie la propriété asymptotique suivante.
Or on a une propriété intéressante sur les convergences de vecteurs Gaussiens (pour rester assez général). Soit
une suite de vecteurs aléatoires telle que
où
. Alors
où
(pour un paramètre univarié, ça sera alors ). Mais ce résultat n’est intéressant que si
est connue. En fait, si on a la suite des variances vérifie
, alors
Traduit sur notre estimateur du maximum de vraisemblance, cela signifie que
ou encore
Trois tests peut alors être mis en œuvre (et tant qu’à faire, on peut essayer de l’illustrer sur un exemple: encore et toujours du pile/face).
Mais avant toute chose, commençons par calculer l’estimateur du maximum de vraisemblance, ainsi que le score et l’information de Fisher. Dans ce modèle de variables de Bernoulli, on connaît des formes explicites de ces quantités. Mais ici, on va utiliser la méthode la plus générale qui soit, i.e. on va maximiser la log-vraisemblance, puis on va calculer le score et l’information de Fisher à la valeur de
Trois tests (équivalent asymptotiquement comme on le verra en cours) sont alors possibles.
entre l’estimateur du maximum de vraisemblance, et la valeur que l’on cherche à tester (comme le montre le dessin ci-dessous). Cette différence doit être “petite” si
On peut alors utiliser la statistique suivante
Asymptotiquement, en utilisant le résultat évoqué au début, cette statistique tend, sous l’hypothèse que 
On pose alors
(le 2 sera détaillé un peu en cours, c’est mis là de manière à avoir trois tests équivalents). Asymptotiquement, on peut montrer que cette statistique tend, sous l’hypothèse que 
La statistique de test est alors ici
Et là encore, asymptotiquement, on peut montrer que cette statistique tend, sous l’hypothèse que