Le schéma – ou diagramme – des relations entre les modes convergences ressemble à ce qui est présenté sur la droite. C’est grosso modo ce que j’ai dit en cours (sans le représenter explicitement).

Je ne vais pas démontrer ces implications car ce sont des théorèmes (qui peuvent donc se trouver dans n’importe quel textbook de probabilité).

En revanche, un étudiant m’avait demandé si les réciproques étaient vraies. Comme toujours en maths, si les réciproques étaient toujours vraies, on le mettrait. Donc ici les réciproques sont généralement fausses. On peut toutefois se demander quand ces réciproques peuvent être vraies…et quand elles sont fausses.

• de la convergence en proba à la convergence en moyenne

Commençons par le plus simple (à mon avis). Il existe un cas particulier où cette réciproque est vraie: le cas de variables aléatoires bornées. Autrement dit, si et que l’on a pour tout , alors pour tout .
Bon, en fait la condition est un peu trop forte, et il suffit que la suite soit uniformément intégrable.
Maintenant, il existe aussi des cas où cette réciproque sera fausse (et on se doute qu’en construisant une suite non bornée, on devrait y arriver). Par exemple, supposons que pour tout ,

On peut montrer que , car en effet

Toutefois, certes la suite converge dans L1, mais vers une limite différente, étant donné que pour tout . De plus, et donc la suite ne converge pas dans L2.

• de la convergence en loi à la convergence en proba

Un exemple simple ici: si converge en loi vers une constante, alors on aura convergence en probabilité (vers la même constante).
Maintenant la réciproque est relativement simple, l’idée étant que n’implique en rien , au sens où , pour tout . Supposons maintenant que l’on ait à la fois et , où on va supposer que est une loi symétrique. La symétrie signifie que . Notons que l’on a alors forcément . Supposons que la réciproque soit toujours vraie, alors on devrait avoir , et donc on aurait que , ce qui n’arrive que si est la constante .

• de la convergence en proba vers la convergence presque sûre

Je ne vais pas m’étendre sur la construction d’exemples pour lesquels la réciproque est fausse (formellement, il suffit de changer d’espace de probabilité sous-jacent, je peux renvoyer vers les notes de cours de Philippe Briand (ici) et Hélène m’a suggéré également les exercices en ligne là). Par contre, il existe des cas importants où la réciproque est vraie.
Considérons une suite de variables indépendantes et identiquement distribuées . Posons alors On peut alors montrer que si et seulement si (ça doit être du Borel-Cantelli).

• de la convergence en loi à la convergence presque sûre

Je ne vais pas non plus m’étendre davantage, mais on a un résultat qui ressemble à ce que je disais auparavant. En fait, il existe un théorème (dit de Skorohod) qui permet de dire que si on a une convergence en loi, alors on peut construite une suite de variables aléatoires qui
convergera presque sûrement. Formellement on a que si , alors il existe une suite et une variable , telles que et telles que . Mais de manière générale, si la suite n’est pas construite comme il faut ( par en quelques sortes) alors il est assez rare d’avoir la réciproque.