Échantillonnage, TCL et LGN

Mercredi matin, nous allons aborder l’échantillonnage. Nous allons partir d’un échantillon http://freakonometrics.free.fr/blog/lgn01.png, supposé indépendant et identiquement distribué. Le modèle sous-jacent est la collection de variables aléatoires http://freakonometrics.free.fr/blog/lgn02.pngindépendantes et identiquement distribuées. Dans un premier temps, on s’intéressera à la moyenne de l’échantillon, correspondant à une réalisation de la variable aléatoire http://freakonometrics.free.fr/blog/lgn04.png définie par

http://freakonometrics.free.fr/blog/lgn05.png

Afin d’avoir des résultats sur le comportement de la moyenne, on rappellera deux théorèmes importants: la loi des grands nombres et le théorème central limite. Afin d’illustrer ces théorèmes, considérons le cas de tirages de PILE et FACE. On suppose que http://freakonometrics.free.fr/blog/lgn06.png désigne la variable aléatoire correspondant au fait d’avoir obtenu PILE au http://freakonometrics.free.fr/blog/lgn07.pngème tirage. On remet des pièces à une centaine d’élèves (chaque élève correspond à une couleur différente), et on regarde la moyenne du nombre de PILE obtenus sur les http://freakonometrics.free.fr/blog/lgn10.png premiers lancers. Et on regarde ce qui se passe quand n augmente. La loi de grands nombres permet d’affirmer que

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ici, si l’on suppose que la pièce n’est pas biaisée, soit

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pour la version faible, ou pour la version forte

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soit

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C’est ce que l’on observe ci-dessous, chaque trait correspondant à la trajectoire http://freakonometrics.free.fr/blog/lgn21.png obtenue par un élève. Un histogramme est représenté à droite.

http://freakonometrics.free.fr/animation-cv-binomiale.gif

On peut aussi centrer (ici retrancher http://freakonometrics.free.fr/blog/lgn22.png) et réduire (ici mulplier par http://freakonometrics.free.fr/blog/lgn23.png) la moyenne empirique pour étudier une éventuelle convergence. On pose alors

http://freakonometrics.free.fr/blog/lgn24.png

Le théorème central limite garantie que

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On a toujours l’histogramme des valeurs obtenues, au bout de http://freakonometrics.free.fr/blog/lgn10.png tirages, par les élèves, avec en rouge la densité de la loi normale centrée réduire. Et là encore, l’expérience semble valider la théorie…

http://freakonometrics.free.fr/animation-cv-CR.gif

Maintenant, pour ceux qui doutent, la base est en ligne ici, et je mets le code pour commencer à jouer avec…

M=read.table("http://freakonometrics.blog.free.fr/public/data/PILEFACE.txt")
nl=ncol(M)
nj=nrow(M)
M1=matrix(M=="PILE",nj,nl)
MS=M1
for(l in 2:nl){MS[,l]=
(apply(M1[,1:l],1,mean)-.5)/sqrt(.25/l)}
arret=100
COULEUR= rev(rainbow(nj))
HIST=hist(MS[,arret])
plot(1:nl,MS[1,],ylim=(c(-3,3)),col="white",
xlim=c(0,250),xlab="Nombre de lancers de pièces",
ylab="Nombre moyen de PILE, centré réduit")
for(j in 1:nj){
lines(1:arret,MS[j,1:arret],col=COULEUR[j])
}
abline(v=arret)