Evolution of the number of natural catastrophes

Recently (here and there) I mentioned Reinsurers comments on the increase on the number of catastrophes. But actually, there are other sources of information about catastrophes. For instance the http://www.cred.be/, Centre for Research on the Epidemiology of Disasters. As the mention it below, there has been an increase in the number of natural catastrophes. For a disaster to be entered into the so-called EM-database at least one of the following criteria must be fulfilled:

• Ten (10) or more people reported killed.
• Hundred (100) or more people reported affected.
• Declaration of a state of emergency.
• Call for international assistance.

Note that it is possible to download data (here), so I guess I will work further with that database. To be continued…

Lecture de blog(s): quelques précautions

En finissant mon billet sur le million de pages vues en deux ans sur ce blog, je me suis rendu compte de l’énormité de la chose…. et je me suis dit qu’il convenait de faire une mise en garde (ça en fait des lecteurs potentiels pour mes élucubrations). L’écriture d’un blog est un exercice particulier. Contrairement à une page ouebe régulièrement mise à jour, dans un blog, on ne revient pas en arrière.

Ou plutôt pas complètement….Et les billets s’accumulent. Si un billet contient des fautes, je peux le reprendre, et je raye les fautes. Mais généralement, des lecteurs font des remarques qui éclairent le billet, et le font gagner en clarté. Contrairement aux blogs très fréquentés où les commentateurs sont là pour critiquer, souvent de manière malsaine, ou pour discuter entre eux, il y a peu de commentaires sur mon blog, et souvent, je trouve qu’ils corrigent bien mes imprécisions ou mes coquilles (comme ici).

Moralité, je recommande aux lecteurs intéressés de ne pas se contenter des billets, mais d’aller faire un tour sur les commentaires. Voilà, maintenant au boulot, il y a des billets à finir !

Statistiques, rappels de probas

Avant de commencer les travaux pratiques de vendredi, quelques rappels sur les notions de convergence.

  • Convergence en loi

Soit http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver15.png une suite de variables aléatoires, de telle sorte que http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver62.png soit la fonction de répartition de http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/conv99.png. On dira que la suite http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver15.png converge en loi vers la variable aléatoire http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone-deriv1.png de loi http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone2.png si

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver6%c3%b4.png

en tout point de continuité de http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone2.png. On notera

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver6.png

La convergence en loi est la forme la plus faible de convergence: en général, elle n’implique pas les autres formes de convergence que nous verrons, alors que ces autres formes de convergence impliquent la convergence en loi.

De manière équivalente, on aura convergence en loi si et seulement si, pour toute fonction bornée

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver54.png

En particulier, on aura convergence en loi si et seulement si on a convergence des fonctions génératrice en tout point.

  • Convergence en probabilité

La suite http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver15.png converge en probabilité vers la variable aléatoire http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone-deriv1.png si

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conv50.png

que l’on notera

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver4.png

Parmi les résultats classiques, on a aussi que si

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver40.png

et

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver31.png

alors http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver30.png. C’est ce mode de convergence qui intervient dans la loi faible des grands nombres.
si http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver26.png est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées d’espérance http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver27.png et de variance http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver28.png et que l’on considére la moyenne empirique

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver24.png

alors  http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver22.png et

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver21.png

Donc http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/conv98.png.

  • Convergence presque sure

La suite http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver15.png converge en probabilité vers la variable aléatoire http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone-deriv1.png si

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver13.png

ou encore

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver12.png

que l’on notera

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver2.png

La convergence presque sûre implique une convergence en probabilité.
La convergence presque sûre est utilisée dans la loi forte des grands nombres.

  • Convergences L1 et L2

La suite http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver15.png converge en norme L1 vers la variable aléatoire X si

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver11.png

et on parlera de convergence en moyenne quadratique, ou L2, si

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver10.png
  • Convergences et transformations

Comme nous le (re)verrons vendredi matin, la transformation des variables aléatoires est un point fondamental en statistique. Soit http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver7.png une fonction continue en tout point d’un ensemble http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver9.png tel que http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver8.png, alors
si http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver6.png alors http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver5.png
si http://freakonometrics.free.fr<br />
/blog/latex/conver4.png alors http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver3.png
si http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/conver2.png alors http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/converg1.png
Pour aller plus loin sur les notions de convergence, je renvois au livre de Adrianus Willem van der Vaart, Asymptotic Statistics, paru chez Cambridge University Press.

  • Transformations

Sinon sur les transformations, je devrais présenter (en cours) la formule classique de transformation d’une variable à densité par une fonction bijective et dérivable, http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/changevar999.png. La formule est de la forme

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/changementvar1.png

En fait, si on se souvient que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/changevar3.png, ou http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/changevar4.png, on peut aussi écrire

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/changevar2.png

L’intérêt de cette relation est qu’elle peut se généraliser en dimension quelconque. Si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/changevar99.png (toujours avec une transformation bijective possédant un Jacobien http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/changecar8.png strictement positif), on a

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/changevar5.png

avec http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/changevar7.png. Je peux renvoyer ici pour quelques compléments (et exemples). Mais nous reviendrons plus tard sur le cas multivarié…