Statistiques, STT2700, cours 05/01

Petite précision suite au cours de ce matin: le cours du vendredi a lieu de 10.30 à 11.30 (il y avait une faute de frappe sur le plan de cours ici). Pour les billets liés au cours, il faut aller .

Côté travaux pratiques, ils commencent ce vendredi, et l’énoncé est en ligne ici (j’ai repris les exercices de la session d’automne).

Enfin, petit complément par rapport à une question posée à la fin du cours. Un élève m’avait demandé s’il ne fallait pas supposer la fonction de répartition dérivable pour définir une densité. Une variable aléatoire http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone-deriv1.png est continue si sa fonction de répartition http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone2.png est continue. http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone2.png est par ailleurs croissante. Aussi, on peut montrer que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone2.png est dérivable presque partout. Comme le montrent Douglas S. Kurtz, Jaroslav Kurzweil et Charles Swartz dans Theories of integration: the integrals of Riemann, Lebesgue, Henstock,

ou plus particulièrement, on a le résultat suivant

On retrouve le même résultat, appelé théorème de Lebesgue dans l’ouvrage de Yeh, Real analysis: theory of measure and integration

Maintenant pour associer densité et dérivée, il faut faire un peu attention (cf le commentaire ici). Maintenant, en faisant quelques raccourcis (supposer la fonction à variations finies par exemple), on a le résultat suivant. Si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone2.png est supposée continue, la densité est une fonction http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone4.png qui vérifie

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone3.png

En fait, comme le montrent les théorèmes ci-dessus, cette densité est unique, sauf aux points de non dérivabilité de http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone2.png, qui sont de mesure nulle, autrement dit http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone4.png est unique presque partout. Et, pour les points où http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone2.png est dérivable,

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/montone5.png

et ailleurs… ? peu importe, en fait….
Considérons la fonction de répartition suivante, continue et dérivable partout, sauf en 0, et à variations finies.

La densité est alors, pour http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/monontone6.png

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/monotone7.png

c’est à dire 1/2 sur http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/monontone11.png et 1/4 sur http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/monotone12.png,

et peu importe la valeur (finie) donnée en 0: on peut définir http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/monotone13.png la dérivée à droite, et http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/monotone15.png la dérivée à gauche, par exemple (si ces dérivées existent), de telle sorte que

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/monotone20.png

Bref, la densité est définie pour une loi continue (sans autre hypothèse), presque toujours. Pour aller plus loin, je renvoie ici par exemple….