Encore une année record…

Comme l’a noté la blogosphère ces dernières heures, il semble que des records aient (encore) été battus en terme de catastrophes naturelles: “catastrophes naturelles : une année 2010 exceptionnelle” (ici) ou “2010, année record des catastrophes naturelles” (). Maintenant on peut remonter un peu dans le temps aussi: “catastrophes naturelles: 2008 bat des records” (ici) ou “2008 a battu des records de catastrophes naturelles” (), “en 2007, les catastrophes naturelles ont atteint un nombre record” (ici), “catastrophes naturelles : 2005 bat des records en matière d’intensité et de coûts” (ici) ou “les catastrophes ont entraîné une facture record en 2005” (), “déjà record, le bilan 2004 des catastrophes naturelles s’alourdit” (ici), “année 2000 : record de catastrophes naturelles” (ici) et “catastrophes naturelles : encore une année record” (en 2000, ) etc, etc.

Bon, en tant que statisticien, les rares résultats que je connaisse sur les records sont des théorèmes en log (i.e. en variation lente). Si http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/record01.png est une suite de variables i.i.d. et que l’on définie les durées entre records,

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/records02.png

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/record03.png, avec http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/record04.png. Alfred Rényi a montré que

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/record08.png

alors que Marcel Neuts a montré que

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/record09.png

En particulier, on note que

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/record11.png

Autrement dit, plus le temps avance, plus les records doivent devenir rares.
Par exemple, regardons la simulation suivante. Considérons un processus Poissonnien homogène, http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/catnat01.png, avec les dates des catastrophes, et http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/catnat02.png leur coût.

On note

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/catnat04.png

le nombre annuel de catastrophes (éventuellement, on ne considère que les catastrophes dont le cout dépasse un seuil prédéfini, comme cela semble généralement être le cas).

On peut définir le processus de records,

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/catnat07.png

qui ressemble à ça

Bon, maintenant, si on a des records tous les ans (ou presque) c’est probablement que l’hypothèse i.i.d. n’était pas valide.
Supposons par exemple qu’il y ait de l’inflation, i.e. les coût sont http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/catnat03.png.

Dans ce cas, le processus de nombre d’événements annuels est

et celui des records

Si on répète l’expérience un grand nombre de fois, le nombre moyen d’événements par année me cesse de croître (en rouge ci-dessous)

et le processus de records moyen (avec le cas i.i.d. en bleu),

Autrement dit, si l’inflation est trop importante, il est possible d’avoir régulièrement de nouveaux records.
Une autre possibilité est de supposer qu’il n’y a pas d’inflation, mais que le nombre de sinistres ne cesse de croître (ici un processus de Poisson à intensité linéaire), c’est à dire une fréquence plus importante des événements climatiques extrêmes

Le nombre annuel de catastrophes est alors

soit, si l’on considère le processus de records

Là encore, si l’on répète l’expérience un grand nombre de fois, le nombre moyen de catastrophes ne cesse de croître

alors que le processus de records a la moyenne suivante

Bref, il est possible d’avoir effectivement des records presque tous les ans. Cela signifie probablement que les sinistres coûtent de plus en plus cher (hausse de la valeur à risque), mais aussi probablement que les catastrophes sont de plus en plus fréquentes. On retrouve finalement ce que je disais il y a quelques mois maintenant (ici).