Il y a plusieurs mois, j’avais fait un billet sur le paradoxe de Simpson (ici). Pour reprendre un exemple simple, supposons que l’on a deux hôpitaux, affichant les statistiques suivantes, pour les personnes “saines”,
| hôpital | total | survivants | décès | taux de survie |
|
| hopital A | 600 | 590 | 10 | 98% | x |
| hopital B | 900 | 870 | 30 | 97% |
et pour les personnes “malades” (on suppose vraiment que le critère est identique pour les deux hôpitaux)
| hôpital | total | survivants | décès | taux de survie |
|
| hopital A | 400 | 210 | 190 | 53% | x |
| hopital B | 100 | 30 | 70 | 30% |
Bref, peu importe son état de santé, on a toujours intérêt à choisir l’hôpital A. D’où le paradoxe. En revanche, si on combine, on obtient “globalement”,
| hôpital | total | survivants | décès | taux de survie |
|
| hopital A | 1000 | 800 | 200 | 80% | |
| hopital B | 1000 | 900 | 100 | 90% | x |
on note que l’on a intérêt à choisir l’hôpital B. Étonnant non ? (l’exemple vient de Marco Scarsini, et je n’ai jamais trouvé plus élégant).
J’évoque souvent ce paradoxe en économétrie, et c’est ce que j’avais fait dans mon précédant billet (ici). En fait, Roger Nelsen propose un petit exemple simple permettant de comprendre comment on peut obtenir un tel paradoxe. L’idée est de noter que
et
et pourtant
Cela n’a a priori rien d’exceptionnel… On peut parfaitement avoir
et
tout en ayant,
C’est ce que l’on peut visualiser ci-dessous,
Merci Roger….
J’avais raconté l’autre jour l’aventure de mon fils qui souhaitait faire des triangles avec des bouts de bois (
, 
, 
Or on ne peut constituer un triangle que si la plus grande des longeurs n’excède pas la somme des deux autres. Supposons que 
Mais attends deux minutes mon bonhomme (oui, je parle à mon fils). Si j’avais choisi de découper le plus petit morceau, on sait qu’il est impossible de constituer un triangle car par définition 
Supposons que l’on casse le baton en deux, et que l’on tire ensuite au hasard (avec probabilité 1/2 et 1/2) quelle partie sera alors coupée en deux, on doit se ramener au cas précédant non ? La probabilité de constituer un triangle doit alors être
, ville (au sens large) où l’on a soutenu sa thèse
, ville (au sens large) où l’on a obtenu un poste de maître de conférence
et 
doivent être positifs.
dont la loi est simplement
Ayant parlé plusieurs fois de Luc Chatel sur mon blog je n’ai pas pu m’enpêcher de mettre l’image qui est à la une du Canard de cette semaine.
symétrique, où l’on peut gagner 20 euros si la Corée gagner (et rien si elle perd) et un autre où l’on peut gagner 20 euros si la Corée perd. Bref, soit je suis acheter sur la Corée, soit je suis vendeur. Le prix de ces contrats indiquent la probabilité qu’a la Corée de gagner. On parle aussi de back or lay, deux évènements étant possibles.
telle que
où 
est l’ensemble des gains possibles, et 
un équivalent certain.
(mutuellement exclusif comme on dit, formant une partition de 
), un seul pouvant survenir (en l’occurrence l’équipe qui reçoit gagne, ou l’équipe qui reçoit perd, ou il y a match nul). On considère un bookmaker qui accepte de payer 
si l’évènement i survient à un joueur qui aura parié 1 euro. On pourra légitimement pense que 
. Notre souhait est de relier ces 
, si un lien quelconque pouvait exister. Ce problème avait été soulevé par Ramsey ou de Finetti.
le montant total placé sur l’évènement 
. On pourra dire que l’on est à l’équilibre si 
est constant. Autrement dit, le ratio des cotes doit être l’inverse des ratios de montants placés,
On peut ainsi s’intéresser à
sera la part gardée par le bookmaker. On peut penser qu’un bookmaker fixe 
, et alors
en mathématique financière). On peut d’ailleurs noter que si on note 
le produit
. On définie alors la probabilité implicite des parieurs sous la forme
Tout le monde connaît l’expérience où l’on compare les gains financiers obtenus par un traders expérimenté et un singe. Même si beaucoup de sites évoquent “la célèbre expérience“, je n ’en ai pas trouvé beaucoup – en France – qui donnent une référénce claire. Cette expérience était née d’une théorie de Burton Malkiel dans son livre a random walk down wall street, qui affirmait “
Depuis qu’on peut facilement commander des livres d’occasion outre-atlantique, j’avoue en abuser un peu… La dernière commande que j’ai faite est le “origins of value“. Cet ouvrage, qui est une compilation d’articles d’histoire de la finance, contient un chapitre passionnant sur Leonardo Pisano alias Fibonacci. Pour remettre dans le contexte, Fibonacci vivait il y a fort fort longtemps, autour de 1200 (300 ans avant la renaissance et Léonard de Vinci). Je peux renvoyer 
mathématiques arabes, alors que la norme était plutôt l’arithmétique romaine. Pour ceux qui ont essayé un jour dans leur vie de lire des nombres latins (même dans Astérix), la logique est assez déroutante ! Par exemple 888 s’écrit DCCCLXXXVIII… Essayez avec cette écriture de poser une addition ! Les nombres arabes – eux – utilisaient le système décimale, ce qui a fait gagné énormément de temps de calcul (on peut aussi remonter à l’arithmétique indienne, mais on sort largement du cadre de mon billet). Fibonacci évoque d’ailleurs constamment l’utilisation de la règle de trois (sans l’appeler ainsi, j’étais revenu 
Goetzmann reprend tout cela dans un article publié en 2003, ” Fibonacci and the Financial Revolution” en ligne 
