Pour poursuivre le billet commencé ici, avant d’expliquer comment notre personne imbibée d’alcool est allée du bar à son appartement, je voulais raconter une petite mésaventure qu’il a eu.

Lors de ses multiples essais de clés, des agents de la maréchaussée ont trouvé étrange qu’il ait besoin d’autant d’essais pour trouver la bonne clé.

On part d’une distribution a priori d’une chance sur deux,

On sait que

alors que

et 0 sinon.
On peut alors utiliser la formule de Bayes pour déterminer la probabilité qu’une personne soit ivre sachant qu’il lui a fallu essais,

où

Je laisse les plus courageux écrire la forme de cette probabilité, mais ça n’est pas sorcier….
Si on regarde ce qui se passe avec =15 clés, par exemple, on obtient la probabilité suivante, en fonction du nombre d’essais nécessaire pour ouvrir la porte,

Pour la partie de droite, on a un résultat assez intuitif: s’il faut plus d’essais que le nombre de clés dans le trousseau, c’est qu’on est ivre. En revanche, tant qu’on n’atteint pas la valeur fatidique de , alors plus le nombre de clés essayé est grand, plus cela “prouve” que l’on a de forte chances d’être à jeun. On retrouve ça sur le graphique ci-dessous,

Moralité, si on se fait arrêté par la police après avoir eu besoin de 12 essais pour trouver la bonne clé, ce petit laïus permet de prouver que l’on a peu de chances d’être ivre (malgré les apparences, j’en convient).
Mais pour l’instant, nous avons supposé que la maréchaussée intervenait lors de l’ouverture. Que se passe-t-il si elle intervient avantl’ouverture de la porte ? Autrement dit, on cherche ici

dont l’évolution pour notre trousseau de =15 clés donne

ou, en fonction de  et ,

On retrouve alors quelque chose qui pourrait paraître plus intuitif… Quoi que. Si au 12ème essai, la porte n’était pas ouverte, la police a tout intérêt à arrêter notre jeune héros, car la probabilité qu’il soit ivre est supérieure à la probabilité a priori. En revanche, s’il réussit à l’ouvrir au 13ème essai, elle a intérêt à ne pas l’arrêter, car il y a de très fortes chances pour qu’il soit à jeun. Étonnant non ?