De l’uniformité des tirages du loto

J’ai abordé à plusieurs reprises les tirages du loto (ici ou ), en mentionnant par exemple que Slutsky avait proposé les utiliser comme générateurs de nombres aléatoires. Or je suis tombé un peu par hasard l’autre jour sur un rapport – qui date un peu, certes – expliquant que la loterie britannique était biaisée, la boule 37 tombant (selon ledit rapport) un peu trop souvent.
On retrouve le même genre de remarque sur le loto français, où certains trouvent surprenant que certains numéros soient sortis plus souvent que d’autres…. Certains notent – sans rire – que le fait que la boule 7 soit sorti 722 fois sur 4858 tirages confirme le pouvoir magique de ce chiffre (en moyenne, une boule n’est sortie que 694 fois). Je laisse les amateurs de pratiques ésotériques s’amuser avec la base qui est téléchargeable ici (on pourra noter que les multiples de 5 apparaissent aussi plus souvent que la moyenne).

  • De la normalité des tirages

Mais je m’égare. Le but était de voir si, sur les tirages du loto en France, certaines boules sortaient éventuellement tropsouvent. Si on prend la base et que l’on regarde les statistiques d’ordre, on obtient le graphique suivant

En l’occurrence, la boule qui est le plus sortie est sortie 745 fois (il s’agit du 34), et celle qui est le moins sortie est sortie 652 fois (le 29). Cette répartition me rappelant la  fonction quantile de la loi normale, j’ai décidé de la représenter aussi sur le graphique. Intuitivement, quand on tire des boules dans une urne (avec remise), on s’attend à trouver un loi binomiale, qui s’approche d’une loi normale quand le nombre de tirages est grand. Avec près de 5000 tirages, on pourrait penser que l’approximation asymptotique ne serait pas absurde.
Mais si l’ajustement n’est pas mauvais pour les boules les plus sorties, on voit qu’il est assez mauvais pour les boules les moins sorties….La première explication à laquelle j’ai pensée est que mon approximation est valide si l’on fait des tirages avec remise. Or formellement, entre chaque tirage, on remet bien toutes les boules dans l’urne, mais à l’intérieur d’un tirage, les tirages se font sans remise (ce qui fait qu’une boule ne peut sortir qu’un fois par tirage). Bref, ceci pourrait expliquer la non-normalité…

  • Le latin cube

Ceci m’a fait pensé à l’idée du latin hypercube, qui est souvent utilisé pour rendre “plus uniforme” les tirages avec des lois de Monte Carlo.
Les figures ci-dessous montrent des simulations de Monte Carlo classiques à gauche, et avec une partition avec 10 tirages uniformes dans 100 carrés, à droite.

C’est l’idée du latin hypercube… Les figures ci-dessous correspondent à des estimations nonparamétriques des densités par des noyaux betas, avec le même paramètre de lissage (pouvant être interprété comme une fenêtre),

Autrement dit, l’utilisation de la méthode latin hyperbube permet d’avoir des choses beaucoup plus uniformes…
C’est finalement la même chose que l’on a ici. Mais ceci fait qu’on devrait être de variance plus faible, mais cela n’explique pas l’asymétrie que l’on observe. Car effectivement, si l’on calcul la skewness (moment centré réduit d’ordre 3), on obtient 0,1928.

  • Faisons un peu de simulations

Afin de voir s’il y avait un soucis, la méthode la plus simple consiste à faire du Monte Carlo. Et afin de valider cette histoire de latin cube, deux techniques ont été considérée ici,

  • tirer 34000 boules (avec remise) parmi {1,2,….,49}, ce qui doit se rapprocher de la normalité,
  • tirer 7 boules (sans remise) parmi {1,2,….,49}, et répéter 4858 fois cette opération, ce qui correspond à un vrai tirage du loto.

En faisant 10000 tirage de ces 4858 tirages du loto, on obtient les résultats suivants, résumés par les valeurs moyenne en trait plein, et les quantiles à 5% et 95% en trait pointillé. Les traits verts sont la simulation de vrais tirages, et les traits mauves correspondent à la version avec remise. On peut noter que la courbe verte présente moins de variance que la courbe mauve, ce qui semble confirmer ce que je racontais dans le paragraphe précédant,

Bref, on note que les boules qui sont peu sorties sont finalement trop sorties par rapport à ce qu’aurait du donné des tirages indépendants. Mais ceci ne prouve rien, si ce n’est que c’est statistiquement surprenant….