Mais qui connaît la loi logistique ?

Certains élèves ont pris peur en voyant apparaitre la loi logisitque dans le cours d’économétrie des variables qualitatives, car autant j’avais passé pas mal de temps lors des remises à niveau sur la loi normale, la loi de Student, la loi de Poisson…. jamais je n’avais présenté la loi logistiquue.. Mais qui connaît la loi logisitique ?

  • La loi logistique (en tant que loi)

En maths, on a introduit très tôt les fonctions de la forme

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où K et r sont des réels positifs et a un réel quelconque, qui sont ce que l’on appelle les solutions (en temps continu) du modèle de Verhulst.

C’est Pierre François Verhulst qui a donné le nom de “courbe logistique“, en expliquant, en 1845  « nous donnerons le terme de logistique à cette courbe ». Comme toujours, il faut revenir aux racines étymologique, en notant que  « logistique » a même racine que logarithme, et que logistikos signifie “calcul” en grec (on peut retrouver plus d’information ici , ou encore ).

Ces fonctions ont été introduites par Pierre François Verhulst, qui était un élève d’Adolphe Quetelet, et qui dévait étudier un modèle d’évolution de population qui ne soit pas exponentielle. Cette courbe a été utilisée dans l’étude des populations à partir des années 20 par Raymond Pearl et Lowell Jacob Reed, mais qui ne créditent Verhulst de la paternité de la découverte qu’en 1922. En revanche, on ne retrouve le terme de “logistique” qu’en 1924 dans une correspondance entre George Yule et Reed. On notera que c’est Joseph Berkson qui défendra l’idée d’ajuster certaines courbes par une fonction logistique (modèle logit) plutôt que par la fonction de répartition de la loi de Gauss (modèle probit, introduit par Bliss en 1934, mais c’est une autre histoire que je raconterais sûrement un jour….).

En dynamique des populations, le modèle de Verhulst est un modèle de croissance proposé vers 1840. Pour reprendre l’explication de wikipedia sur le sujet (inspiré de plusieurs ouvrages sur le sujet dont de Handbook on logisitic distribution) Verhulst a proposé ce modèle en réponse au modèle de Malthus qui proposait un taux d’accroissement constant sans frein conduisant à une croissance exponentielle de la population. Le modèle de Verhulst imagine que le taux de natalité et le taux de mortalité sont des fonctions affines respectivement décroissante et croissante de la taille de la population. Autrement dit, plus la taille de la population augmente, plus son taux de natalité diminue et son taux de mortalité augmente.

On appelle y la taille de la population, m(y) le taux de mortalité et n(y) le taux de natalité. La taille de la population suit l’équation différentielle

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Si m et n sont des fonction affines respectivement croissante et décroissante (ce qui une hypothèse un peu forte, mais qui a longtemps été utilisée comme on l’avait vu en cours d’actuariat en M1) alors n – m est une fonction affine décroissante. L’équation peut s’écrire

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avec a et b deux réels positifs, si la croissance est positive quand y est proche de 0. En posant K=a/b, l’équation devient

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avec a > 0 et K > 0 . Aussi, histoire de formaliser, on recherche des fonctions strictement positives définies sur https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/r+.png et vérifiant le système https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/5za365c4a.png et

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ce qui conduit à la solution dite logistique
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  • La cote au lieu de la probabilité

Bref, voilà pour la loi…. mais comment voit-on apparaître cette loi en économétrie ? Pour rappel, on cherche à modéliser la probabilité de survenant d’un évènement. Mais il existe d’autre outils que la probabilité en tant que telle. En particulier, la cote d’un évènement – ou odds in favor of an event” – est la quantité

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où p est la probabilité de réalisation de cet évènement.
Cette grandeur est bien connue par les turfistes…. Bon, dans ce cadre (les paris), cette probabilité n’a rien d’une probabilité historique, mais il s’agit plutôt d’une probabilité risque neutre comme on dit en finance: il s’agit de la probabilité extraite des prix. Considérons un exemple simple (où on ne mise que sur le vainqueur)

  • Le parieur A mise 10 € sur le cheval numéro 1.
  • Le parieur B mise 5 € sur le cheval numéro 2.
  • Le parieur C mise 20 € sur le cheval numéro 3.
  • Le parieur D mise 15 € sur le cheval numéro 4.

On suppose que les sommes misées reflètent les croyances des joueurs (qui ont tous la même aversion pour le risques). Autrement dit, les joueurs pensent que le cheval 1 a deux fois plus de chances de gagner que le cheval 2. Bref, La cote d’un cheval est obtenue en divisant la somme des enjeux joués sur les autres chevaux par la somme des enjeux joués sur le cheval choisi (ou l’inverse, ça dépend de

la manière dont on souhaite le présenter), soit ici

  • Pour le cheval 1, une cote de [5+20+15]/10=4 (on dira 4 contre 1)
  • Pour
    le cheval 2, une cote de [10+20+15]/5=9 (on dira 9 contre 1)
  • Pour le cheval 3, une cote de [10+5+15]/20=3/2 (on dira 1.5 contre 1)
  • Pour le cheval 4, une cote de [10+5+20]/15=7/3

Ca existe également en football (comme en témoigne le ticket ci-contre où figurent les cotes). Bref, cette cote est une manière très naturelle de parler de probabilité. L’énorme avantage est qu’une probabilité est définie sur [0,1] alors qu’une cote peut prendre n’importe quelle valeur positive.

  • La régression logistique

On souhaite donc modéliser la cote à l’aide de variables explicatives. Mais comme le score peut être négative, il est assez “naturel” de prendre le logarithme (comme pour la régression Poissonnienne par exemple). Aussi, on peut comprendre l’écriture de la forme suivante

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ou encore

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Or la fonction qui apparaît à gauche est la fonction quantile de la loi logistique. Quod erat demonstrandi…

  • Un cas particulier de GLM

La transformation logistique apparaît très naturelle quand on utilise les GLM (modèles linéaires généralisés). En effet, il faut que la loi s’écrive sous la forme exponentielle
(comme j’en avais parlé ici ou , par exemple). Pour reprendre les notations du cours d’actuariat 2, il faut écrire la loi binomiale

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sous la forme^

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soit ici (on n’a pas de paramètre de surdispersion)

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En notant que la loi binomiale se réécrit

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ou encore

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On en déduit que le paramètre naturel est

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et que

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(moyennant un peu de réécriture). Bref, on note une relation naturelle (on parlera de fonction de lien canonique) de la forme entre le paramètre usuel de la loi binomiale et le paramètre dit naturel de la loi exponentielle,

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ou encore

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La fonction de répartition logistique apparaît là encore presque par enchantemant…. enfin, presque…

Optimum de Pareto

Les exercices de la PC8 sont en ligne ici et (merci à Yukio pour la dernière feuille), et ceux de la PC9 ici.

  • Définition de l’optimalité au sens de Pareto

Tout d’abord, pour la petite histoire, Wilfredo Pareto (1848-1923) a pris la suite de Walras à la chaire d’économie politique à l’Université de Lausanne quand celui-ci est parti à la retraite. C’est dans son « Manuel d’économie politique » que se trouve son apport décisif sur l’optimum économique. D’abord, en passant de l’hypothèse walrasienne de cardinalité à celle d’ordinalité des préférences et de l’utilité, ce qui l’amène à privilégier la notion de courbes d’indifférence qu’il emprunte aux travaux d’Edgeworth. Ensuite, et surtout, il va introduire un critère de définition de l’optimum économique.
Le critère d’optimalité paretienne est proche de la conception utilitariste de la justice sociale héritée de John Bentham (et donc dans l’individualisme): une allocation Pareto-optimale est nécessairement « individuellement rationnelle » en ce sens que chaque agent la préfère à sa dotation initiale. Or, une allocation individuellement rationnelle n’est pas toujours « équitable » en ce sens qu’un agent au moins peut avoir envie d’une allocation obtenue par un autre agent. Pour dépasser les limites du critère paretien, d’autres conceptions de l’équité que l’utilitarisme ont été introduite, que ce soit la conception libertarienne (avec von Mises, Hayek et Nozick) ou la conception libérale-égalitaire (avec en particulier Rawls et Sen). Pour reprendre la terminologie de Gérard Debreu (1966) un optimum est  « un état réalisable auquel n’est préféré aucun état réalisable ». Connaissant (décrétant) l’optimum , le marché doit déterminer l’équilibre général correspondant. Elle doit donc trouver les prix relatifs “fictifs” ou “prix ombres” comme certains les ont appelés.
D’un point de vue quantitatif, l’utilité d’un individu X doit être est maximale sous contrainte que celle de Y doit rester supérieure à un niveau donné. Supposons que les deux consommateurs consomment deux biens, notés (1) et (2),

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sous contraintes

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où https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zefgrhtjhjht.png et https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zenklkn.png désignent les quantités des deux biens qui sont disponibles, respectivement. Classiquement, on résout ce programme d’optimisation à l’aide du lagrangien

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les conditions du premier ordre donnent

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On en déduit alors simple que

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ce qui correspond à une égalité des TMS à l’équilibre.
Formellement, on retombe sur des équations semblables en considérant le programme d’optimisation suivant

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Le point optimal est obtenu à l’aide du diagramme d’Edgeworth (je peux renvoyer ici pour des slides d’Abdul Noury expliquant simplement la construction, et la lecture, de ce diagramme). Sur le dessin ci-dessous, on la région verte est l’ensemble des allocations pour lesquelles on augmente à la fois l’utilité de X et de Y,

Le théorème de bien être nous garantie que tout optimum de Pareto dans l’espace des répartitions des biens est atteignable en situation de concurrence pure est parfaite moyennant une redistribution forfaitaire des dotations initiales. En fait, tout se passe comme si les deux consommateurs étaient face l’un à l’autre pour négocier des échanges de bien (1) contre bien (2) et réciproquement, dans le but d’améliorer leur bien-être.
Le TMS représente le prix « psychologique » d’échange entre (1) et  (2) pour le consommateur considéré, c’est-à-dire la quantité maximum de (2) qu’un agent accepte de céder pour avoir une quantité infinitésimale supplémentaire de (1). Le TMS correspond à un prix psychologique limite. On arrive finalement à la conclusion qu’un état optimal doit être un état réalisable (avec saturation des contraintes, i.e. pour chaque bien, la somme des quantités allouées aux deux consommateurs doit être égale à sa quantité totale disponible) et cet état doit être efficient, en vérifiant l’égalisation des TMS pour les deux consommateurs.

  • Optimalité au sens de Pareto à la cantine

Lorsque j’étais élève à l’ensae, je ne sais plus quel prof nous avait illustré l’optimalité au sens de Pareto à partir du passage à la cantine de l’insee… Quand on va chercher de l’eau à la fontaine à eau, il y a deux arrivées d’eau, mais qui se fournissent à la même source. Autrement dit, si deux personnes se servent en même temps, le débit est deux fois plus faible que si une seule personne se sert. De mémoire, si on est seul à prendre de l’eau, il faut environ 30 secondes pour remplir un pichet. Supposons que j’arrive à la fontaine à eau, et que quelqu’un soit en train de servir depuis 10 secondes. Deux possibilités s’offrent à moi,

  • commencer à me servir dès que j’arrive: la première personne a fini de se servir au bout de 40 secondes, et 50 secondes pour moi
  • attendre que la personne qui se sert ait fini: la première personne a fini de se servir au bout de 20 secondes, et moi 50 secondes

Bon, le raisonnement n’a de sens que si personne ne vient entre temps se servir sur l’autre fontaine (ou alors qu’au moins elle tienne le même raisonnement que moi, c’est à dire qu’elle attende que j’ai fini avant de se servir).

Si je compara les deux situations, on voit que le second cas permet à l’autre personne d’améliorer strictement la situation. Autrement dit l’optimum de Pareto est d’attendre que l’autre personne se soit servi avant de se servir.