Economie, et optimisation sous contraintes

Premier cours de microéconomie à l’X. Pour les PC (salle PC10), la liste des exercices est disponible ici, avec au programme la consommation des ménages. Je mets ici les exos de la prochaine PC (et une autre feuille d’exercices – que nous ne traiterons pas).

Petit complément sur la résolution du programme d’optimisation avec contrainte, via le Lagrangien. Comme je l’ai évoqué (très) rapidement, c’est lié à des résultats connus sous le nom de théorème (ou condition) de Kuhn et Tucker. De manière assez générale, le but est de trouver X^* in mathbb{R}^n qui maximise f(X) , sous contrainte g(X) ge 0, c’est-à-dire résoudre le programme
X^*in arg max_{X in mathbb{R}^n} f(X) sous contrainte g(X) ge 0g(X)=(g_i(X))_{1 le i le m} (correspondant à un ensemble de m contraintes).

Comme précisé en cours, l’idée de la résolution du problème (sous des hypothèses – fortes – de concavité des fonctions) est d’introduire des multiplicateurs de Lagrange (autant que de contraintes) lambda = (lambda_i)_{1 le i le m} in mathbb{R}_+^m , et on définit le Lagrangien comme la fonction 
L(X, lambda) = f(X) + sum_{i=1}^m lambda_i g_i(X)

On considère alors le problème d’optimisation (sans contrainte) du Lagrangien. Les conditions du premier ordre donne n premières conditions, à savoir

frac{partial f}{partial X}(X) + sum_{i=1}^m lambda_i frac{partial g_i}{partial X}(X)=0

et les m dernières correspondent à une saturation des contraintes (en fait  g_i(X)>0 Rightarrow lambda_i = 0, donc si la contrainte n’est pas saturée, le multiplicateur de Lagrange est nul). Ces n+m conditions sont appelées “conditions de Kuhn-Tucker“. L’intérêt de cette formalisation est que l’on a le résultat suivant:

X^*in arg max_{X in mathbb{R}^n} f(X) sous les contraintes g(X) ge 0 si et seulement si (X^*, lambda^*) , est solution des conditions de Kuhn-Tucker.

Pour plus plus d’information, je peux renvoyer aux slides de Christophe Gonzales àParis 6, ici, ou aux notes de Julien Grenet, de l’ENS, . Sinon j’avais fait un billet il y a quelque temps sur un sujet connexe (et qu’on verra apparaître dans les cours suivants normalement), i.e. le principe de dualité en optimisation (ici).