Théorème de l’enveloppe

28/08/2009 Arthur Charpentier 1 Comment

Un tout petit complément sur l’utilité inverse, et l’exercice 2 de la PC de jeudi après midi.
Tout d’abord un petit rappel sur le théorème de l’enveloppe. Supposons que l’on cherche à maximiser une fonction (dite objectif) $f(bold x,bold r)$ qui dépend de paramètres $bold r$ , i.e. on cherche

$f^*(bold r) = max_{bold x} f(bold x,bold r),$

La fonction $f^*(bold r)$ est alors la fonction optimale pour les paramètres $bold r$ donnés. Soit $bold x^*(bold r)$ la valeur optimale en $bold x$ , fonction du paramètre $bold r$ , de telle sorte que

$f^*(bold r) = f(bold x^*(bold r), bold r)$

Le théorème de l’enveloppe nous permet de voir comment $f^*(bold r)$ varie lorsque le paramètre change, et plus particulièrement, on a

$frac{partial f^*(bold r)}{partial r_i} = frac{partial f(bold x,bold r)}{ partial r_i} Bigg|_{bold x =$

Autrement dit, la dérivée de $f^*(bold x,bold r)$ suivant $r i$ est donnée par la dérivée partielle de $f(bold x,bold r)$ suivant $r i$ , lorsqu’on l’évalue en $bold x =$ .

Notons qu’il existe aussi une version un peu plus générale qui autorise un programme d’optimisation avec contrainte.
Supposons que l’on s’intéresse à

$max_{bold x} f(bold x,bold r) ;; s.t. ;; bold g(bold x,bold r) = bold 0$

dont le Lagrangien s’écrit

$mathcal{L}(bold x,bold r) = f(bold x,bold r) - boldsymbol{lambda} cdot bold g(bold x,bold r)$

où de manière classique $boldsymbol{lambda} = (lambda_{1},dots,lambda_{n})$ est l’ensemble de multiplicateurs de Lagrange où

$bold g(bold x,bold r) = (g_{1}(bold x,bold r),dots,g_{n}(bold x,bold r))$

Le théorème de l’enveloppe permet d’écrire

$frac{partial f^*(bold r)}{partial r_i} = frac{partial mathcal{L}(bold x,bold r)}{partial r_i} Bigg|_{ bold x =$

L’autre point important de la PC était le principe de dualité dans les programme d’optimisation, que j’avais abordé ici.
Bref, tout ça permet d’introduire la notion d’utilité inverse et de demande Hicksienne. Pour reprendre calmement cette partie (en s’inspirant d’une page de wikiversité sur le sujet), le programme classique visait à chercher

$max_{mathbf{x}in Bleft(mathbf{p},y<br /> ight)}uleft(mathbf{x}<br /> ight)$

où la contrainte budgétaire s’écrit classiquement

$B=left{mathbf{x}in X|mathbf{p}mathbf{x}=sum_{i=1}^Np_ix_i le y<br /> ight}$

La solution est alors notée $mathbf{x}^mleft(mathbf{p},y<br /> ight)$ (on parle de demande Marshalienne). Je passe rapidement sur le programme d’optimisation de l’agent, mais nous avions vu que le taux marginal de substitution était égal au rapport des prix. En effet, le Lagrangien s’écrit

$mathcal{L}equiv u(mathbf{x})-lambda(mathbf{p}mathbf{x}-y)$

ce qui donne de conditions du premier ordre de la forme

$frac{partial u(mathbf{x}^m)}{partial x_i}=u'_i=lambda p_i forall i$ .

L’idée maintenant est d’injecter les fonction de demande dans la fonction d’utilité, ce qui permet d’obtenir la fonction d’utilité inverse

$v(mathbf{p},y)=u(mathbf{x}^m(mathbf{p},y))$

Une manière alternative d’étudier ce problème est de regarder le programme dual (on a supposé la fonction d’utilité convexe), i.e on cherche à trouver le panier de bien le moins cher possible nous procurant une utilité au moins égale à une utilité minimale, i.e. on cherche à résoudre

$min_{mathbf{x}|u(mathbf{x})gebar u}mathbf{p}mathbf{x}$

La solution de ce programme d’optimisation $mathbf{x}^h(mathbf{p},bar u)$ est appelée demande hicksienne. On peut alors considérer la fonction de dépense minimale,

$e(mathbf{p},bar u)=mathbf{p}mathbf{x}^h(mathbf{p},bar u)$

Le lemme de Shepard permet d’écrire

: $x^h_i(mathbf{p},bar u)=frac{partial e(mathbf{p},bar u)}{partial p_i}$

Ce résultat se montre finalement assez simplement: en effet, par construction

$e(mathbf{p},bar u)=sum_{i=1}^Np_ix_i^h(mathbf{p},bar u)$

dont un calcul de dérivée rapide permet d’écrite

$frac{partial e(mathbf{p},bar u)}{partial p_k}={color{Red}sum_{i=1}^Np_ifrac{partial x_i^h(mathbf{p},bar u)}{partial p_k}}+x_k^h(mathbf{p},bar u)$

Rappelons que la condition de premier ordre s’écrit

$u'_i=frac{p_i}{lambda}$

Comme en $u(mathbf{x})=bar u$ , nous sommes à un optimum, on en déduit

$sum_{i=1}^Nu'_ifrac{partial x_i^h(mathbf{p},bar u)}{partial p_k}=0$

et donc

$frac{1}{lambda}{color{Red}sum_{i=1}^Np_ifrac{partial x_i^h(mathbf{p},bar u)}{partial p_k}}=0$

et comme $lambda e 0$ c’est que la somme rouge est nulle. D’où le lemme dit de Shepard.
Les théorèmes de dualité permettent d’obtenir un certain nombre de résultats, parmi lesquels

$e[mathbf{p},v(mathbf{p},y)]equiv y$
$v[mathbf{p},e(mathbf{p},bar u)]equivbar u$
$x^m_i(mathbf{p},y)equiv x^h_i[mathbf{p},v(mathbf{p},y)]$
$x^h_i(mathbf{p},bar u)equiv x^m_i[mathbf{p},e(mathbf{p},bar u)]$

Enfin, en appliquant le théorème de Slutsky, on écrit

ce qui s’écrit encore

$frac{partial x_k^m}{partial p_j}=frac{partial x_k^h}{partial p_j}-frac{partial x_k^m}{partial y}{color{Red}frac{partial e}{partial p_j}}$

Bref, on retrouve ici ce qu’on avait fait en PC.
Mais si ça n’est toujours pas plus clair, il y a des notes de cours de Michael Manove, à Boston University, sur “indirect utility” et “duality“, dont les slides sont ici. Il y a également des compléments mathématiques, dont le théorème de l’enveloppe (Prop. 21.2) ou le théorème de Kuhn-Tucker (Prop.21.13), ici.
On pourra aussi trouver en ligne l’article de Lawrence Blume sur la dualité pour le dictionnaire Palgrave d’économie, ici. Larry a aussi écrit l’article sur la programmation convexe, diponible là.
Sinon je mets ici les exercices des deux prochaines PC.

Games

Jeux noncoopératifs et assurance des catastrophes

28/08/2009 Arthur Charpentier Leave a comment

Présentation d’un papier (pas encore complètement fini) lors de la réunion AST&Risk à Grenoble¹, sur l’assurance des catastrophes naturelles. Les slides seront mis en ligne dès lors que le papier sera finalisé (encore quelques jours)…

En théorie de la décision, les agents prennent des décisions en fonction de leurs croyances, et de leur utilité. Un jeu est un cadre (formel) où les décisions des agents sont interdépendantes: la décision que je prends dépend de ce que font les autres. On parle alors de stratégie.
La notion d’équilibre dans les jeux à somme nulle découle du théorème minimax de John von Neumann (en 1926). Mais c’est John Nash qui a proposé la notion la plus générale en 1950 (je l’avais mentionné ici). Ce résultat est fondamentalement un théorème de point fixe. Pour comprendre la notion d’équilibre de Nash, prenons l’exemple suivant (que j’ai trouvé ici): considérons un jeu avec deux joueurs (A et B) qui doivent choisir entre deux stratégies S1 et S2. Les gains des 2 joueurs (connus) sont représentés dans le tableau suivant sous la forme (Gain de A ; Gain de B).

On se demande simplement comment les agents doivent prendre une décision. Pour résoudre ce problème, on étudie toutes les stratégies possibles

est-ce que (S1 ; S1) est une situation stable ? Non, car le joueur A aura plutôt intérêt à choisir S2 (afin d’augmenter son gain de 3 à 4), tandis que le joueur B voudra dévier en S2 (pour avoir un gain de 4 plutôt que de 3). Bref, les deux joueurs chercheront à dévier: ce n’est pas un équilibre.
en (S1 ; S2), A aura intérêt à choisir la stratégie S2 afin de faire passer son gain de 0 à 1. B n’a pas intérêt à dévier dans cette situation. Si l’un des agents a intérêt à dévier, on se doute qu’on ne restera pas sur cette stratégie: ce n’est pas un équilibre.
en (S2 ; S1), A n’a pas intérêt à dévier, mais B va préférer la stratégie S2 qui lui donne un gain de 2 plutôt que de 1.
en (S2 ; S2), aucun des joueurs n’a intérêt à dévier, il s’agit d’un Équilibre de Nash. Aucun des joueurs ne peut faire mieux en modifiant unilatéralement sa stratégie.

On parle de jeux non-coopératif car les décisions sont prises unilatéralement. On peut alors schématiquement représenter ces déviations sur le schéma suivant

Notons également que l’on a un équilibre de Nash, mais aucunement une situation optimale: les joueurs gagnent respectivement 1 et 2, alors qu’ils pourraient gagner 3 (tous les deux) avec la stratégie (S1 ; S1)

¹ Le groupe organise d’ailleurs un workshop Modélisation spatiale et temporelle de la dépendance & Applications au risque, qui se tiendra à Luminy du 26 au 30 avril 2010, ici.

ECO431, Maths, Microeconomics

Economie, et optimisation sous contraintes

26/08/2009 Arthur Charpentier Leave a comment

Premier cours de microéconomie à l’X. Pour les PC (salle PC10), la liste des exercices est disponible ici, avec au programme la consommation des ménages. Je mets ici les exos de la prochaine PC (et là une autre feuille d’exercices – que nous ne traiterons pas).

Petit complément sur la résolution du programme d’optimisation avec contrainte, via le Lagrangien. Comme je l’ai évoqué (très) rapidement, c’est lié à des résultats connus sous le nom de théorème (ou condition) de Kuhn et Tucker. De manière assez générale, le but est de trouver $X^* in mathbb{R}^n$ qui maximise $f(X) ,$ sous contrainte $g(X) ge 0$ , c’est-à-dire résoudre le programme
$X^*in arg max_{X in mathbb{R}^n} f(X)$ sous contrainte $g(X) ge 0$ où $g(X)=(g_i(X))_{1 le i le m}$ (correspondant à un ensemble de m contraintes).

Comme précisé en cours, l’idée de la résolution du problème (sous des hypothèses – fortes – de concavité des fonctions) est d’introduire des multiplicateurs de Lagrange (autant que de contraintes) $lambda = (lambda_i)_{1 le i le m} in mathbb{R}_+^m$ , et on définit le Lagrangien comme la fonction

$L(X, lambda) = f(X) + sum_{i=1}^m lambda_i g_i(X)$

On considère alors le problème d’optimisation (sans contrainte) du Lagrangien. Les conditions du premier ordre donne n premières conditions, à savoir

$frac{partial f}{partial X}(X) + sum_{i=1}^m lambda_i frac{partial g_i}{partial X}(X)=0$

et les m dernières correspondent à une saturation des contraintes (en fait $g_i(X)>0 Rightarrow lambda_i = 0$ , donc si la contrainte n’est pas saturée, le multiplicateur de Lagrange est nul). Ces n+m conditions sont appelées “conditions de Kuhn-Tucker“. L’intérêt de cette formalisation est que l’on a le résultat suivant:

$X^*in arg max_{X in mathbb{R}^n} f(X)$ sous les contraintes $g(X) ge 0$ si et seulement si $(X^*, lambda^*) ,$ est solution des conditions de Kuhn-Tucker.

Pour plus plus d’information, je peux renvoyer aux slides de Christophe Gonzales àParis 6, ici, ou aux notes de Julien Grenet, de l’ENS, là. Sinon j’avais fait un billet il y a quelque temps sur un sujet connexe (et qu’on verra apparaître dans les cours suivants normalement), i.e. le principe de dualité en optimisation (ici).

Conferences

Journées d’Economie et d’Econométrie de l’Assurance

25/08/2009 Arthur Charpentier Leave a comment

Réjouissons nous un peu, le programme des Journées d’Economie et d’Econométrie de l’Assurance, qui seront organisées à Rennes dans un peu moins de deux mois, est enfin fixé (et se trouve ici pour plus de détails) !
Jeudi matin, le 22 octobre, on commence par deux exposés sur le provisionnement et le risk-management, avec Emmanuuel Pierron du Group Risk Management d’AXA, et Klaus Schmidt de l’université de Dresde. Emmanuel parlera du calcul des provisions dans une optique Solvabilité II et Klaus de l’utilisation du modèle linéaire en provisionnement.
Ensuite, un exposé un peu transversal de Georges Dionne, de HEC Montréal, qui parlera d’économétrie de panels et d’aléa moral.
L’après midi, on attaquera avec 3 interventions sur les grands risques, avec Emmanuel Dubreuil de AON Benfield, puis Nicolas Treich de Toulouse et enfin Robert Kast de Montpellier. Emmanuel reviendra sur la titrisation des grands risques, Nicolas sur l’auto-assurance, et Robert sur la modélisation des catastrophes naturelles.
Le lendemain, le vendredi 23, on commence avec deux exposés sur l’assurance-vie et les risques de longévité/mortalité, avec Olivier Cabrignac de la SCOR et Stéphane Loisel de l’ISFA. Olivier reviendra sur l’assurabilité du risque de longévité, et Stéphane sur la modélisation de ces risques.
Ensuite, 3 interventions sont prévues autour de l’économie de l’assurance, de l’antisélection et de l’aléa moral. On commencera (avant d’aller manger) avec Pierre Picard, de l’Ecole Polytechnique, puis l’après midi, avec Renaud Legal de la Caisse d’Assurance Maladie, et enfin Pierre-Yves Geoffard de PSE. Pierre parlera des contrats avec participations, Renaud reviendra sur l’aléa moral et l’antisélection en assurance santé, et enfin Pierre-Yves conclura avec une application économétrique.
Bref, le programme est fixé, seuls les noms de présidents de session sont encore à finaliser…
Sinon je rappelle que l’inscription est certes gratuite, mais obligatoire, et elle se fait ici.

Maths, Probability

Paradoxe et enseignement des probabilités

24/08/2009 Arthur Charpentier 1 Comment

L’été semble être propice aux billets sur les paradoxes et autres bizarreries intellectuelles (je renvoie par exemple au très bon billet de Laurent, ici). Je vais en rajouter une couche (j’avais déjà parlé du paradoxe des enveloppes, ici ou de Simpson, là). En fait, je voulais revenir sur un paradoxe que j’avais lu en Terminale (à l’époque il y avait une introduction aux probabilités). J’y repense car je suis en train de finir de préparer mon cours de rappels de probabilité, et je cherche des exercices “simples” évitant toute ambiguité afin d’être un peu éclairant… pas comme ici….

Lançons trois pièces de monnaie. Quelle est la probabilité que les 3 pièces tombent du même côté (peu importe lequel) ?

Réponse 1: facile, faisons un peu de dénombrement, il y a 8 cas possibles (PPP, FPP, PFP, PPF, FFP, FPF, PFF, FFF), qui sont équiprobables, et seuls deux nous intéressent (FFF et PPP), on a alors 1 chance sur 4.

Réponse 2: facile, raisonnons deux minutes et essayons de trouver une réponse élégante. Comme j’ai 3 pièces pour seulement deux faces, il y en a forcément deux qui sont tombées du même côté, et pour la troisième, il me reste une chance sur deux, et la réponse est alors 1 chance sur 2.

“Etonnant, non?“.

Bon, c’est un exemple assez classique en théorie des probabilités, je laisse aux lecteurs le temps de la réflexion…. le but étant de montrer qu’il y a une faute dans le raisonnement de la personne ayant donné la seconde réponse… Oui, c’est toute la difficulté des TD de probas: comment expliquer qu’un raisonnement qui semble juste est falacieux…

Academe

Pourboire, des vacances à la rentrée

15/08/2009 Arthur Charpentier Leave a comment

Oui, les vacances ça a du bon…

Comme on se ballade et comme il fait chaud, on traine davantage dans les bars…. Et à chaque fois ce pose la question du pourboire.

POURBOIRE, subst. masc.

Étymol. et Hist. 1760 (Comptes de la duchesse de Mazarin ds R. rétrospective, t. 16, 1892, p. 410). Subst. de la prop. inf. pour boire (de pour* et de boire¹*) att. à partir du xvii^e s. (1662, Molière, École des femmes, IV, 4, éd. E. Despois, t. 3, p. 239 : voilà pour boire).

Je dois reconnaître que la pratique me surprend… Dans certains pays, on nous explique que les serveurs sont payés au pourboire, et donc on rajoute 10%, 15% ou 20% de l’addition, et ce “salaire” me paraît alors justifié.. mais en France ? Certains auteurs en économie ont tenté de justifier le principe (ici par exemple, ou encore là pour un survey) par un mécanisme incitatif, pour les serveurs, mais sur le fond, je dois avouer que j’ai du mal à comprendre la justification (ou alors si c’était justifié, pourquoi ne pas généraliser alors). Peut-être devrais-je aussi laisser un petit bol sur mon bureau, lorsque je fais cours, pour que les élèves me versent un pourboire (ou un “pourapprendre“) si le cours était bien ? C’est un peu comme Pierre Desproges qui s’interrogeait sur la pratique du “rappel” dans les spectacles.
D’un autre côté, cette pratique du pourboire dans l’enseignement peut se retrouver évoquée par exemple chez Éric Maurin (ici) dans Université, un autre financement est possible, qui mentionnait l’idée suivante “Il s’agirait de faire contribuer, non pas les étudiants à l’orée de leur scolarité universitaire, mais les anciens étudiants, une fois qu’ils sont devenus diplômés du supérieur et qu’ils se trouvent dans une période de leur vie professionnelle où le remboursement progressif de leurs études ne leur pose plus de problèmes financiers”. Envisager d’augmenter le nombre de prêts étudiants peut être dangereux, en particulier si les étudiants ne trouvent pas de travail à l’issu de la formation. En revanche, et c’est ce que j’avais entendu dans une interview d’Éric Maurin, on peut penser à un système où les frais d’inscriptions restent modestes, mais que les anciens soient davantage sollicités (via des donations). Cela permet en plus de motiver le corps enseignant qui se doit de dispenser une bonne formation, et de contourner (plus ou moins) l’effet taille¹. Bref, on retrouve l’idée du pourboire…. non ?

¹ la critique habituelle étant que les salaires des très grandes écoles sont bien plus élevés que ceux des élèves issus des universités; les très grands écoles forment un tout petit nombre d’étudiants par rapport aux universités. Dans ce dernier cas, les pourboires par tête seraient faibles, mais les universités bénéficient d’un effet de masse (compte tennu du nombre important d’étudiants).

Statistics

Compter les burkas (ou tant d’autres choses)

07/08/2009 Arthur Charpentier Leave a comment

Plusieurs journaux ont repris une information que j’avais entendu sur la route, en écoutant France Info (pour être honnête, seul l’état du trafic m’intéressait alors¹), que l’on peut retrouver à droite par exemple.
Au delà des félicitations qui s’imposent (pour cet estimation d’un taux de l’ordre de 0,000564% de la population française portant une burka, car malgré la forme utilisée, il s’agit d’une “estimation” et pas du résultat d’un recensement exhaustif), ce comptage des burkas m’a rappelé les jeux que j’ai fais un peu avec ma fille pendant les vacances, à savoir le comptage des princesses ou des baguettes de fée² (ou de plein d’autres choses sur une thématique relativement proche),

A un moment, elle m’avait fait une réflexion très judicieuse suite à un de mes navrants “c’est dur, hein ?” (car je peinais à trouver la troisième fée qui, pour ma défense, était un peu cachée derrière un jolie fleur). Elle m’avait alors répondu “oui, mais ça serait plus dur si l’image bougeait !”. Et effectivement, ça serait beaucoup plus dur… Fort heureusement, Christian Genest (qui est beaucoup plus fort que moi, et dont les enfants sont aussi plus âgés) a proposé une jolie application de “comptage de choses qui bougent” à savoir le comptage des cerfs dans un bois³, ici. Il s’agit d’un superbe article de vulgarisation scientifique, en particulier sur l’utilisation du bootstrap…
¹ France Info est une radio truculente pour ceux qui cherchent des idées pour alimenter leur blog…

J’ai, par exemple, beaucoup aimé apprendre – le lundi 3 août je crois – qu’un chauffeur de car qui avait eu un accident “avait un taux d’alcool dans le sang négatif lors du drame”. J’ai pensé à une confusion entre le taux et le test associé (le test pouvait être “négatif”, je renvoie à la terminologie de la théorie de la décision que j’avais évoquée ici oulà). Mais peut-être me goure-je, et la valeur nulle est une simple référence standard, une valeur “moyenne” de taux d’alcool (c’est à dire de C₂H₅OH) dans le sang. Mais en l’occurrence j’ai des doutes… Sur ce dernier point d’ailleurs, toujours à propos de France Info, je note que Jacques Kessler – qui avec son délicieux accent nous donne les prévisions météo – entretient sciemment une vague confusion entre “températures normales” et”températures moyennes”: la norme serait alors d’être dans la moyenne ? C’est une idée que l’on retrouvait chez Adolphe Quételet dans sa théorie de l’homme “moyen”. Mais là aussi, je pense qu’un billet plus qu’une note de bas de page serait le bienvenu. En attendant, je peux toujours renvoyer ici ou là.
² tout comme mon voisin Laurent qui s’était senti obligé de rétablir l’équilibre, ou tout du moins une certaine parité, dans son blog (ici), je vais parler un peu de ma fille après avoir parlé de mon fils il y a quelques mois maintenant (ici).
³ j’aurais pu me contenter de cet histoire dans mon blog car sur les conseils de leur grand-père, les enfants ont espéré voir des biches au bout du jardin pendant la première semaine de vacances, mais malgré notre vigilence, on n’en a jamais vu. Faire des statistiques sans observations est un problème délicat.

Freakonometrics

Monthly Archives: August 2009