De la rationalité et de l’esprit calculateur

Sinon un cours billet qui m’a été suggéré ce matin, en écoutant un sportif s’exprimer sur les ondes radios. Quand on parle (dans un papier ou dans un cours) de modélisation du comportement des agents dans des sitations complexes (je pense à de la théorie de la décision dans un environnement incertain, ou de théorie des jeux dynamique), une critique récurrente est que les agents ne peuvent pas être aussi rationnels et calculateurs !

J’ai été très surpris ce matin en entendant ce coureur du tour de France (ou cet entraineur je ne sais plus) qui expliquait avec une certaine forme de détachement qu’il serait possible de grapiller quelques seconde aujourd’hui, mais que ce n’était pas la stratégie car le parcours ne s’y prêtait pas, etc… Cette importance de la stratégie avait été souligné il y a quelque jours avec l’histoire des oreillettes, qui permettaient aux coureurs et aux entraîneurs d’élaborer leur stratégie en temps réel.
Avant-hier soir, j’ai fini un très beau livre “le tour des géants” de Nicolas Debon (chez Dargaud, en vente chez tous les bons libraires, ici, par exemple). A priori je n’ai aucune attirance pour le vélo, mais Nicolas s’en sert de prétexte pour raconter une histoire profondément humaine (exactement comme Jirö Taniguchi dans le sommet des dieux qui raconte une histoire de dépassement de soi, comme le tour des géants, d’ailleurs, sur fond d’alpinisme). En fait, pour ceux qui préfère plus de mots et moins de dessins, cette histoire peut être vue comme la mise en image du récit d’Albert Londres sur le Tour de France*.
Quand on compare avec le tour actuel, ce matin le coureur parlait de “repérages” d’étapes la veille… en 1910, la ville de départ et la ville d’arrivée étaient connues, et entre les deux, il fallait trouver son chemin (avec des épisodes de panneaux intervertis, etc). A côté, les coureurs surmédicalisés actuelement (pour prendre un terme plus neutre) passent pour des enfants de coeur ! Et surtout, ils sont incroyablement calculateurs et rationnels aujourd’hui (un peu comme les élèves qui optimisent leur choix de cours voire leur présence en TD en fonction des notes passées).
Loin de moi l’idée de faire du “c’était mieux avant” mais c’est juste que la comparaison est troublante….

L’idée était surtout d’argumenter un peu sur le fait qu’il n’est pas illégitime de supposer les agents rationnels et très calculateurs !
* la série de reportages a été publiée sous le titre tour de France, tour de souffrance et retrace le tour de France de 1924, alors que Nicolas Debon se situe un peu plus tôt, en 1910. Pour information, en 1910, il y avait 15 étapes pour 4 737 kilomètres, en 1924 15 étapes pour 5 425 kilomètres, et en 2008 (l’an dernier) 21 étapes pour une longueur totale de 3 559,5 kilomètres. En 1910, la vitesse moyenne du vainquer a été de 28,680 km/h, 24,250 km/h en 1924, et en 2008 on était à 40,492 kms/h. Bref, un tour avec des étapes très rapides, alors qu’en 1910, ça courait encore la nuit !

Quand les assureurs souhaiteraient faire la pluie et le beau temps

Damned, je me suis fais devancé par un très très beau billet d’Anne (ici) sur l’assurance proposée par AXA et AON. Ca m’apprendra à ne plus lire régulièrement Le Monde

Tout comme Anne, je suis un peu agacé par le nom donné sur le site d’AON: un assureur ne peut pas garantir la pluie et le beau temps, de même qu’il ne peut pas garantir que vous ne tomberez pas malade ou que vous n’aurez pas d’accident de voiture dans l’année ! Ou alors c’est autre chose que de l’assurance…

Je suis également un peu sceptique car ces risques ne sont pas vraiment indépendants, surtout au niveau local (dans un même département, il y a des chances pour que tout le monde soit sinistré la même semaine). Peut être qu’au niveau national, il existe des dipôles climatiques qui font que s’il pleut dans un département, il y a de très fortes chances pour qu’il ne pleuve pas dans un autre. C’était une étude qu’on souhaitait mener avec des collègues de Paris 6, et nous n’avions riens trouvé sur le sujet. Mais les gens d’AXA et de Metnext savent ce qu’ils font, je pense… Car il faut reconnaître que les garanties (ici) excluent beaucoup de choses si on regarde en détails le contrat, en particulier quand on lit qu’il faut “3 heures consécutives” de pluie, “entre 8 heures et 20 heures“…etc.
En tous les cas AON a l’honnêteté d’annoncer clairement la couleur sur son site (ici). Tout d’abord avec de joli petit logo que j’ai reproduit ci dessous, avec cette superbe accroche (évoquée en détails ici) cette garantie est, pour les voyagistes, “une source de revenus complémentaires“…
Sinon il faut reconnaître également que les assureurs offraient déjà ce genre de garanties, mais seulement dans les grands évènements, comme des championnats du monde de football, des tournois de tennis, ou des concerts de grosses stars….pour la première fois, la garantie n’est plus pour Michael Jackson qui souhaiterait remplir des stades, mais pour Robert et Raymonde qui voudraient faire du camping au sec….

Un petit billet sur la racine carrée

En lisant le Canard l’autre jour, je suis tombé sur ce “joli” papier sur la règle de la racine carrée.

Bon, en l’occurence, c’était juste pour évoquer la jolie forme (i.e. la forme du symbole mathématique, aucunement la fonction qui se trouve derrière).
En fait, je voulais en profiter pour revenir sur la square too rule for reinsurance pour reprendre l’expression de Michael Powers. Je connaissais (plus ou moins) une loi de la racine carré en assurance, correspondant au théorème central limite (que j’ai évoqué ici via un papier d’Alain Tosetti), que l’on connait en statistique sous la forme(sous quelques hypothèses)

Mais ici le résultat est de toute autre nature. En faisant un petit modèle de théorie des jeux1, Michael Powers et Martin Shubik avaient étudié, en 2001, la concentration dans le marché de la réassurance (ici). Ils avaient alors élaboré cette square too rule for reinsurance qu’ils ont par la suite validé sur des données (ici).
En supposant que les assureurs ont des fonctions d’utilité CARA (homogènes) alors que les réassureurs sont neutres au risque, que les risques soient indépendants et que les couvertures soient proportionnelles, ils montrent que, pour éviter la saturation du marché, le nombre optimal de réassureur doit être en racine carrée du nombre d’assureurs. En fait, formellement, ce n’est pas trop une “racine carrée“, mais le résultat d’un programme d’optimisation de la forme suivante,

mais si on résout numériquement, on tombe sur une fonction racine carrée, ou presque,

(en tous les cas, la solution au programme semble unique, et asymptotiquement, on a effectivement une racine carrée du nombre d’assureurs). Venezian, Viswanathan et Juca ont testé (ici) cette relation en 2005 sur les données OCDE (que l’on retrouve dans les statistical yearbooks), c’est à dire 18 à 20 pays sur une dizaine d’années. Ils ont alors testé un modèle économétrique simple en passant au log, i.e.

et en étudiant l’évolution de la pente (correspondant à la puissance sur les nombres), les auteurs obtiennent le graphique suivant,

Sauf que derrière se cache peut être aussi des effets prix, ce qui est corrigé par la suite en prenant un modèle de la forme suivante

où le prix est obtenu en utilisant un modèle à la Madsen et Pedersen (2003, ici puis , voire ici ou pour des slides), qui a l’allure suivante

Dans ce cas en utilisant des GMM2 pour estimer les coeffiicients, Michael Powers et Martin Shubik ont obtenu un coefficient de l’ordre de 0,477, ce qui validerait l’hypothèse de loi en “racine carrée“.
Remarque: en notant que la rétrocession était un cas particulier de réassurance, ils évoquent une loi en puissance 1/4 pour le nombre de rétrocessionnaires.
1 je ferais sûrement un billet sur l’utilisation de la théorie des jeux en assurance, et en réassurance puisque je dois faire un exposé fin août à Grenoble sur ce sujet aux journées AST&Risk. A suivre donc….
2 promis, je ferais un cours billet sur les GMM…. ce n’est pas la première fois que j’en parle, mais pour plus d’information, je peux renvoyer ici, pour wikipedia, ou pour des slides de Bernard Salanié, voire enfin ici pour le chapitre dans l’incroyable livre de Russell Davidson et James G. MacKinnon (Estimation et Inférence en Économétrie).

Quantile de sommes, ou somme de quantiles ?

Je reprends ici un commentaire que j’ai longtemps entendu dans mon expérience d’actuaire dans une vie antérieure (et qu’on peut lire – entre les lignes le plus souvent – dans certaines réactions de risk managers). Les quantiles sont la base des mesures de risques, en particulier via la VaR en finance, mais quand j’étais actuaire, on calculait des 90/10 pour désigner des quantiles à 90% des pertes. Donc tout ça n’est pas spécialement nouveau. Je rappelle que la fonction quantile est simplement  où

Les quantiles sont calculés par type de risque (en gestion des risques), et forcément à la fin, on souhaite un quantile de la somme des risques, et il a longtemps été coutume de prendre la somme des quantiles. Je vais donc discuter un peu le résultat suivant,

  • L’égalité n’est pas vraie dans le cas indépendant

Suite à une espère de déformation professionnelle (à cause de la variance), beaucoup de monde pense que

mais ce résultat est faux…. Un exemple est d’ailleurs donné ci-dessous dans le cas de variables exponentielles.

  • L’égalité est vraie dans le cas comonotone…

En fait, le résultat précédant est vrai dans le cas comonotone. La comonotonie correspond au cas de dépendance parfaite positive, de corrélation maximale (si la corrélation existe), i.e.  avec  une fonction strictement croissante. Alors

  • … mais ce n’est pas un “worst case

Seconde bizarrerie, la comonotonie n’est pas le pire des cas. La comonotonie est souvent envisagée comme un worst case scenario mais il n’en est rien (cette idée se retrouve dans les QIS 3 par exemple, ici).
Formellement, si  (la classe de Fréchet), alors

et

En passant en dimension 2 (cas où la borne inférieure est effectivement une vraie fonction de répartition), si et  désignent respectivement des version anticomonotone et comonotone de , alors on peut se demander, en considérant une mesure de risque quelconque  si

En fait, Andre Tchen a montré en 1980 un résultat qui montre que la comonotonie est effectivement un worst case, mais seulement dans certains cas très limités.
Si est une fonction supermodulaire, i.e.

pour tout  et . Alors dans ce cas, pour tout ,

(la preuve se trouve ici). Je renvoie aux papiers de Michel Denuit, de Jan Dhaene ou de Marc Goovarts (ici ou ) pour des applications en tarification sur deux têtes, par exemple, ou sur les primes stop-loss en réassurance

  • Borner (numériquement) le quantile d’une somme

Commençons par un exemple, avec deux lois exponentielles, car c’est le plus simple, et surtout on peut calculer explicitement les bornes (dans le cas général, on se contentera de méthode numérique comme l’avait fait Khalil ici).
Si  et , où, pour être plus précis,

l’encadrement

est valide pour tout  quelle que soit la structure de dépendance entre et , où

Aussi, en prenant les inverses (car ces fonctions sont strictement croissante), on obtient une inégalité en terme de quantile, ou de Value-at-Risk,

pour tout .
Rappelons que dans le cas de variables indépendantes  alors que dans le cas comonotone . La figure ci-dessous montre les valeurs possible pour  la fonction de répartition de la somme, avec le cas indépendant en bleu, et le cas comotonone en rouge.

On peut aussi visualiser les valeurs possibles pour les quantiles de la somme. Dans un cas général, Ce problème a été traité par Makarov en 1981, et par Frank, Nelsen et Schweizer en 1997 (ici), tout en restant en dimension 2. En fait, ils ont travaillé sur les bornes de la fonction de répartition d’une somme mais c’est pareil, comme on l’a vu juste auparavant. Ils ont montré le résultat suivant: si  alors pour tout

désigne la copule anticomonotone (qui est une copule en dimension 2),

en posant , et

On peut retrouver des résultats plus fin en creusant dans la direction de l’arithmetic probability, par exemple avec la thèse de Williamson (ici, cette thèse est remarquable, et trop peu citée, malheureusement). Je ne parle que de la dimension 2, l’extension en dimension supérieure est délicate (je renvoie aux travaux de Paul Embrechts sur le sujet, ici ou , par exemple).

Sommer des variables binomiales négatives

Il existe trois grandes familles de lois utilisées pour modéliser les variables de comptage,

  • la loi binomiale, 
  • la loi de Poisson, 
  • la loi binomiale négative, 

Ces trois lois sont les trois dans la famille de Sundt (ici), au sens où

En plus ces trois lois sont dans la famille exponentielle (et peuvent servir en économétrie via les GLM). Pour la loi binomiale négative, il existe des dizaines de manières de l’écrire. On peut remonter à Blaise Pascal en 1679 pour sa première utilisation. Pour reprendre la présentation de Georges Polya dans le contexte des urnes, on a des boules blanches et noires dans une urne, et on fait des tirages avec remise. Il y a une proportion p de boules noires. Le nombre de boules blanches que l’on a tiré avant de tirer la ième boule noire suit une loi binomiale négative. Mais ça ne marche que si  est un entier. On pourra envisager une écriture plus générale par la suite.
On retiendra aussi l’approche de Greenwood et Yule (1920), présentant la loi binomiale négative comme un mélange de lois de Poisson. Supposons que   suive une loi de Poisson  et que  suit une loi Gamma, de densité

Alors la loin (non conditionnelle) de X est une loi binomiale négative,

L’interprétation via les lois mélanges est assez élégante (j’avais parlé de la surdispersion de la loi de Poisson en pratique ici), et notons d’ailleurs que Greenwood et Yule avaient parlé de “accident proneness” pour décrire la loi sous cette forme
Bref, la loi binomiale négative de paramètres  et  a pour loi de probabilité

.

Remarque: un cas particulier de la loi binomiale négative est la loi ditegéométrique, obtenue quand . J’ai évoqué cette loi ici, afin d’expliquer la notion de période de retour (et l’interprétation d’un probabilité en terme de durée). Feller avait d’ailleur noté que la loi binomiale négative pouvait être vue comme une convolution de lois géométriques.
Mais je m’écarte du sujet…. J’ai reçu un mail cet après midi me demandant (je vire certaines parties pour garder la question) “la loi binomiale négative est elle additive ?”. Je comprends cette question comme la stabilité de la famille de loi par sommation: la somme de variables binomiales négatives (indépendantes) est-elle encore une loi binomiale négative ?
Notons que la loi binomiale négative est indéfiniment divisible. Mais il existe un autre résultat sur l’additivité qui nous sera encore plus utile. Liiders a montré en 1934, puis Quenouille en 1949, que la loi binomiale négative est un loi Poisson composée, lorsque les sauts sont des variables logarithmiques indépendantes (ce qui a aussi été appelé processus de Arfwedson).

où  les  sont i.i.d. de loi

La fonction génératrice est alors

où  correspond à la probabilité, et la puissance est le second paramètre.
En utilisant ce résultat, on peut en déduire que si deux variables ont le même paramètre  c’est à dire la même probabilité sous jacente, alors la loi de la somme (de deux variables indépendantes) est toujours une loi binomiale négative, dont  le paramètre sera lié à la somme de deux lois de Poisson indépendantes: ça sera donc la somme des deux autres paramètres. Aussi, si

 et 

sont deux variables indépendantes, alors

Une autre solution est de faire les calculs…(si quelqu’un veut s’y coller, je suis preneur). Enfin, si on se place dans le cas où les paramètres  sont entiers, l’interprétation en terme d’urne rend ce résultat trivial.
Remarque: on doit également obtenir la stabilité par sommation en relachant l’hypothèse d’indépendance, avec des l’indépendance conditionnellement, à condition que le paramètre de mélange (permettant d’obtenir l’indépendance conditionnelle) coïncide avec le paramètre de mélange permettant d’écrire la loi binomiale négative comme un mélange Poisonnien.
Greenwood, M., and Yule, G. U. (1920). An inquiry into the nature of frequency distributions representative of multiple happenings with particular reference to the occurrence of multiple attacks of disease or of repeated accidents, Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 83, 255-279.
Quenouille, M. H. (1949). A relation between the logarithmic, Poisson, and negative binomial series, Biometrics, 5, 162- 164.

“mais pourquoi tu fais ça ?”

Pour faire un billet sur mon expérience de blogueur depuis quelques mois, je pensais intituler mon billet “les blogueurs et les idiots“. Mais comme ça serait un peu long à expliquer (l’explication ne viendra qu’à la fin) j’ai préféré voler ce titre à un court texte de Gilles Stoltz dans le journal du CNRS1.

Je suis tombé un peu par hasard sur plusieurs blogs se posant des questions sur le rôle des blogs, et en particulier des blogs tenus par des chercheurs ou des scientifiques. Ayant la prétention de croire que je fais partie de ces deux catégories (au moins pour la première comme chercheur-du-dimanche comme je l’expliquais ici), j’ai été très intéressé par ces billets émanent de personnes ayant une réflexion sur le sujet, nettement plus nourrie que la mienne. En particulier, un premier billet  passionnant (ici) s’interroge sur ces chercheurs-blogueurs, “quand il blogue, le chercheur échappe aux mythes de la science livresque et froide pour se risquer à livrer en public la science en train de se faire, que Bruno Latour nomme la science chaude“.

Malheureusement (et c’est un sentiment que j’ai effectivement vécu au contact de collègues), les blogueurs sont critiqués (comme noté ici) “quelques chercheurs ont désormais pris l’habitude de bloguer régulièrement sur des sujets proches de leurs thématiques de recherche. Le phénomène parfois critiqué par une partie de la communauté scientifique, semble connaître si ce n’est un essor, un attrait du public“.

Et il est vrai que le blog n’est peut-être pas un médium classique pour un chercheur. “Le chercheur est souvent un être schizophrène. Il publie ses résultats scientifiques dans des revues à comité de lecture et réserve ses réflexions sur l’activité scientifique pour les discussions de la pause café ou la liste de diffusion de son institut. Ces deux sphères sont très peu perméables et hormis quelques publications grand public comme “Nature” ou les éditoriaux des revues, les canaux de publication formels sont rarement des espaces réflexifs“.

J’ai été tout particulièrement sensible à ce mot de Tom Round, “je m’autorise également à déborder (plus ou moins sérieusement) en donnant mon avis sur des sujets d’actualités plus généraux en essayant de garder un angle d’attaque scientifique“.

J’étais assez sceptique lorsque l’université de Rennes 1 [ce billet était initialement publié sur blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/…] nous a imposé de passer à un format de blog, avec – à terme – une suppression des pages personnelles, mais je dois avouer – une nouvelle fois – y avoir pris goût. Au delà des billets liés à des papiers publiés, des exposés faits ou des cours données, je prends un immense plaisir à entrer ainsi dans la sphère publique, et partager un savoir….Comme le notait le psychanalyste Jacques Hochman (ici) “dans l’antiquité classique, idiotes désigne la sphère privée et par extension celui qui ne participe pas à la vie publique“. C’est aussi un sens que confirme Volaire, cité dans leDictionnaire de la langue française2, d’Emile Littré (1875) “ce n’est point du tout pour faire une mauvaise plaisanterie qu’on a remarqué qu’idiot signifiait autrefois isolé, retiré du monde“. Autrement dit, les scientifiques qui ne partageraient pas avec le reste de la cité seraient – étymologiquement parlant – des idiots…. Quel dommage…

1 Gilles est Chargé de Recherche au CNRS et est en train d’écrire, avec Vincent Rivoirard un livre de stats à destination des élèves de master. Même si je n’aurais pas la prétention d’écrire des choses de la qualité de ce que fait Gilles dans ces travaux de recherche, je me retrouve assez dans son argumentation: “je leur racontais donc que j’écrivais ce manuel et ils s’étonnaient : « Mais pourquoi tu fais ca ? » Sous-entendu : cela ne sert à rien pour ta carrière et tu ferais mieux d’aligner des articles. A quoi je répliquais : « Parce que cela m’amuse et que j’ai l’impression qu’il sera utile pour les étudiants ! ». Or, j’ai longtemps pensé qu’une idée répandue dans le monde de la recherche en mathématiques (et notamment, dans les mathématiques les moins appliquées) était que notre activité avait une part prépondérante de gratuité — en somme, que nous faisions des mathématiques parce que cette activité nous plaisait, et que, ô délice suprême, un salaire venait souvent couronner le tout. Si écrire un manuel de statistiques (relativement avancé quand même !) me plaît, alors pourquoi réfréner cette envie ? Pourquoi devrais-je obligatoirement prendre plus de plaisir à écrire des articles, alors que ces derniers s’inscrivent dans une temporalité très différente et qui me plaît moins ?“.
2 en fait ma propre référence serait plutôt cité dans L’idiotie, de Jean-Yves Jouannais, dans la collection de livres de Beaux-Arts magazine.

“too big to fail” et mesures de risque

Je suis tombé ce matin sur un billet sur “too big to fail” sur le blog de rationalité limitée (ici, et plus récemment ). On retrouve cette idée sur le blog de Paul Krugman (ici) ou sur ce qui s’est passé pour AIG, l’assureur américain, ici ou dans des journaux français, ici avec une interview de Jean-Hervé Lorenzi. Bref, c’est un sujet incroyablement à la mode… et il n’y a pas besoin d’une grande culture historique pour savoir qu’il n’existe aucune entreprise ou civilisation qui soit “too big to fail”. Sur ce dernier point, je renvoie vers le très bon livre de Jared Diamond, sur la disparition des grandes civilisations du passé.Mais on s’écarte un peu du sujet…
Le billet note fort justement que “l’idée est intéressante mais comme toujours se pose la question des critères et des méthodes de mesure”. Bref, tout ça m’a fait penser à un commentaire que m’avait fait un jour la personne qui m’a tout appris sur l’assurance, à savoir Gilles Bénéplanc1. Un grand débat sur les mesures de risque, et leur axiomatique (c’est à dire leurs propriétés souhaitables), porte sur l’axiome dit desous-additivité. Formellement, une mesure de risque est sous-additive si

autrement dit, la fusion diminue le risque. On peut aisément montrer que cet axiome peut d’ailleurs s’écrire

Il est connu que la Value-at-Risk (correspondant à un quantile de la distribution des pertes) n’est pas sous-additivite, hormis certains cas particuliers.

Et la question qui a déchiré nombre d’économistes et de mathématiciens a été “est-ce vraiment génant que la VaR ne soit pas sous-additive ?”. Gilles Bénéplanc avait fait une remarque plein de bon sens à savoir que ces questions visant à comparer

et

étaient en fait stériles car on ne devraient pas fixer les mêmes seuils (les probabilités de faire faillite si on veut interpréter simplement) pour les petites entités et l’entité agrégée. On peut accepter des ruines individuels dans un marché très concurrentiel, mais pas si une entreprise est “too big to fail”…

Il serait donc temps que la réglementation (Solvabilité II pour les compagnies d’assurance) prennent en compte cette idée de “too big to fail”, ça induirait des horizon de ruine différents pour les petites entreprises et les très gros groupes.

1 Gilles Bénéplanc a été co-encadrant de mon mémoire d’actuariat, avec François Bucchini, et comme je l’avais dit lors de la remise du prix SCOR voilà un peu plus de 2 ans, c’est à eux que je dois tout ce que je sais en assurance. Gilles avait fait une jolie thèse (encadrée par Jean Charles Rochet) sur Solvabilité des Entreprises d’Assurances et Financement des Grands Risques, et est aussi éditeur de la revue Risques.