Les slides de la quatrième partie sont en ligne sur mon blog.
Le cours sera orienté autour des dendrogrammes et des k-means.
Enfin, les bases de données qui seront utilisées en TD sont des bases déjà étudiées en TD, en particulier departement.xls, ou encore decathlon.xls.
Je voulais poster un petit billet puisque c’est la deuxième fois que l’on me pose une question similaire. Pour déterminer un intervalle de confiance pour une proportion, on connaît tous la formule
La question qui m’avait été posée est simple: que se passe-t-il si n est petit, et si – empiriquement – on a trouvé une proportion de 100% ? Dit autrement: “on fait 5 lancers de “pile” ou “face” et que on obtient 5 fois “pile”: que peut-on dire sur p, la probabilité de tomber sur “pile” ?”
On utilisant la formule précédente, on est un peu bloqué…
Le graphique de droite montre, en trait violet, l’intervalle de confiance approché, c’est à dire avec l’intervalle de confiance indiqué ci-dessus. La courbe bleue, encadrant la zone verte correspond à l’intervalle de confiance calculé à partir des quantiles d’une loi binomiale de paramètre la fréquence empirique observée. Ici, on aurait envie de dire que p a 95% de chance d’être supérieure à 47.8%.
En fait, cette “lecture duale” des abaques revient à construire – me semble-t-il – l’intervalle de confiance de Clopper-Pearson. L’intervalle de confiance a ici la forme suivante
Notons que c’est cette technique qui est utilisée sous R, via la fonction binom.test du package de base. Ici, on obtient
> binom.test(x, n, p = 0.5,conf.level = 0.95) Exact binomial test data: x and n number of successes = 5, number of trials = 5, p-value = 0.0625 alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.5 95 percent confidence interval: 0.4781762 1.0000000 sample estimates: probability of success 1
…. ce qui correspond exactement à l’intervalle de confiance calculé précédemment. On retrouve d’ailleurs cette fonction dans binconf i.e.
> binconf(x = 5, n = 5, alpha = .05, method = "exact") PointEst Lower Upper 1 0.4781762 1
qui donne (c’est rassurant) toujours la même chose. On peut aussi programme l’intervalle de confiance proposé par Heldge Blacker, qui donne ici un intervalle de confiance de la forme [50%; 100%]. Pour aller plus loin, je pourrais renvoyer au papier de Lawrence Brown, Tony Cai et Anirban DasGupta, dans Statistical Science sur ce sujet.
On suppose que p est une variable aléatoire. On se donne une information a priori, et on peut se demander ce que devient la loi a posteriori de p, sachant que 5 “piles” ont été observés. On suppose que les tirages sont indépendants, et donc la probabilité d’avoir k fois “piles” sur n tirages suit une loi binomiale, conditionnellement à p, i.e.
Le plus simple est de considérer comme loi a priori la loi conjuguée de la loi binomiale, à savoir une loi beta. Dans ce cas, si p suit a priori une loi B(a,b), alors la loi a posteriori de p, sachant que x “pile” ont été observés est une loi B(a+x,b+n-x).
La courbe en rouge est la densité de la loi a priori (uniforme ou beta de paramètres 2 et 2), et la courbe bleue, la loi a posteriori, avec un intervalle de confiance à 95%. Sur l’exemple de droite, par exemple, on a 95% de chance que p soit compris entre 47,3% et 96,8%.
Tout au long de l’analyse en composantes principales, nous avons parlé du “cercle des corrélations“. Cette notion est fondamentale en ACP, et je voulais insister un peu sur ce point pour le démystifier,
“A chaque point-variable, on associe un point dont la coordonnée sur un axe factoriel est une mesure de la corrélation entre cette variable et le facteur. Dans l’espace de dimension p la distance des points-variables à l’origine est égale à 1. Donc par projection sur un plan factoriel les points-variables s’inscrivent dans un cercle de rayon 1 – le cercle des corrélations – et sont d’autant plus proche du bord du cercle que le pointvariable est bien représenté par le plan factoriel, c’est-à-dire que la variable est bien corrélée avec les deux facteurs constituant ce plan.”
L’angle entre 2 variables, mesuré par son cosinus, est égal au coefficient de corrélation linéaire entre les 2 variables: cos(angle) = r(X1,X2)
Attention, on ne peut interpréter que les variables situées au bord du cercle. En effet, seuls ces points là sont “bien” projetés, comme le rappelle le dession ci-dessous,
