Les dernières élections présidentielles ont remis en avant l’importance des soudages, utilisés comme outils de prévision, même si les sondeurs s’en défendent. Comme l’ont dit Niels Bohr et Pierre Dac, « la prévision est difficile surtout lorsqu’elle concerne l’avenir », et des solutions alternatives ont été envisagées. Comme c’est la mode, le « big data » a été mentionné (deviner les intentions de vote à partir des tweets ou des informations publiées sur une page Facebook), mais les marchés prédictifs (et les sites de paris) ont aussi été largement utilisés. Mais est-il si simple d’utiliser les prix (ou les cotes) sur ces marchés prédictifs pour en déduire des probabilités ? Et peut-on vraiment les utiliser ?
Sur quoi parie-t-on ?
Comme le rappelle Rhode & Strumpf (2008) utiliser les paris pour connaître les croyances et donc les probabilités qu’un évènement se réalise n’est pas nouveau. Par exemple lors des élections papales au Vatican. En 1549, Matteo Dandolo c(ambassadeur de Vénitie) notait (raconté dans Baumgartner (2003)) que « it is therefore more than clear that the merchants are very well informed about the state of the poll, and that the Cardinals’ attendants in Conclave (i conclavisti) go partners with them in the wagers, which thus causes many tens of thousands of crowns to change hands ». Et les marchés de paris lors des élections ont été populaires aux Etats-Unis, jusqu’à la seconde guerre mondiale. Rhode & Strumpf (2008) avance plusieurs raisons pour la perte d’intérêt au cours de la seconde moitié du XXème siècle : les améliorations des techniques de sondages et la légalisation des paris sur chevaux (avec pour conséquence la disparition du marché illégal des paris).
Plus récemment, avec le développement des sites et donc d’un marché des paris, on a vu apparaître des paris (contrats vendus sur le marché en ligne intrade.com, liquidé en 2015) sur la survenance de tremblement de terre de magnitude dévastatrice (plus de 9 sur l’échelle de Richter), le vainqueur de la cérémonie des Oscars, la diminution de la couverture de la glace en Arctique entre deux années, ou encore l’observation du boson de Higgs. Polgreen et al. (2007) évoquent des paris sur la survenance d’épidémies de grippe. Un autre exemple – que l’on va détailler un peu – est celui du passage d’une loi sur l’énergie (et l’instauration de mesures contraignantes de limitation des émissions de gaz à effet de serre) aux Etats-Unis. Le titre permettant de toucher 1USD en cas d’adoption du projet de loi a été lancé en mai 2009. Le 26 juin 2009, la Chambre des Représentants a adopté (à une courte majorité) le projet de loi (avec pour objectif de réduire de 17 % d’ici à 2020 par rapport à 2005 et de 80 % d’ici à 2050 les émissions de CO2). A ce moment, le titre était échangé pour 50¢, comme le montre le Graphique 1. Il restait à faire approuver la loi par le Sénat. Six mois plus tard, en signant l’accord de la conférence de Copenhague en décembre 2009, les Etats-Unis s’étaient davantage engagés, et un an plus tard (début 2011), le Sénat serait renouvelé lors des élections de mi-mandat. Le gouvernement de Barack Obama espérait faire approuver la session “lame duck” du congrès, les élections de mi-mandat devant probablement renforcer la majorité Républicaine. Mais le jeudi 22 juillet, le chef de file Démocrate au Sénat Harry Reid a annoncé le retrait du projet de loi, faute de majorité pour l’approuver. Ce jour-là, le titre s’échangeait pour 10¢.
Figure 1 : Evolution du prix du passage du contrat sur le passage du ‘American Clean Energy and Security Act’ devant le Sénat (2009-2010)
Source : auteur, données Meng (2017)
Voir un prix comme une probabilité
Avant toutes choses, rappelons qu’une propriété fondamentale des probabilités est la somme des probabilités d’un évènement et de son complémentaire doivent sommer à un. C’est assez logique si les probabilités sont vues comme des « fréquences », correspondant au nombre de cas favorables sur le nombre de cas possibles. Cette interprétation devient plus délicate quand on imagine le cas de variables aléatoires continues, et un passage par la théorie de la mesure s’impose (en particulier pour admettre qu’un « évènement de probabilité nulle » puisse malgré tout survenir). Mais historiquement, d’autres définitions des probabilités avaient été proposées, en particulier par Jacques Bernoulli, qui avait introduit une notion de « probabilité morale » (comme le rappelle Johnson (2017)) que l’on verra réapparaître dans les travaux de de Finetti sous le nom de « probabilité subjective », ou à la même époque, dans les travaux de Frank Ramsey. Pour ce dernier, une probabilité mesure un degré de croyance – « a degree of belief », qui pouvait se mesurer au travers de paris – « through betting odds » – et les prix que les joueurs sont disposés à payer donnent une information quant à ces croyances. Il devient alors possible de déduire des probabilités à partir de prix.
L’idée n’était pas nouvelle, puisqu’elle avait été émise par dans Van Rekeningh in Spelen van Gelucken publié par Christiaan Huyghens en 1655 (en latin sous le titre ‘De Ratiociniis in Aleæ Ludo‘), et utilisée quelques années plus tard, en 1671 par Wilhelmina de Witt dans le contexte d’annuités. Le prix d’un contrat versant une rente jusqu’au décès pouvant être vu à comme une moyenne pondérée d’annuités (à maturité fixe), en observant les prix des différents contrats d’assurance, on pouvait extraire des probabilités interprétées comme des probabilités de survie. Ces mesures de probabilités n’étaient plus construites à partir de fréquences observées, mais construites à partir de prix historiques observés. On retrouvera cette idée en mathématique financière presque trois siècles plus tard, avec le théorème fondamental de valorisation, et les prix d’Arrow-Debreu. Cette littérature est riche et abondante (on peut renvoyer à Charpentier (2014)), mais il existe également des résultats moins connus, sur la création d’un consensus à partir de probabilités, et les applications pour les paris.
Travaillant sur le marché de pari hippique, Eisenberg & Gale (1959) ont obtenu des résultats relativement généraux, qui peuvent se formaliser ainsi : considérons un individu i\in\{1,2,\cdots,I\} qui a la possibilité de parier sur un cheval j\in\{1,2,\cdots,J\} lors d’une course. Chaque joueur possède une somme totale b_i (que l’on normalise de telle sorte que b_1+b_2+\cdots+b_I=1, et qu’il place la somme \beta_{i,j} sur le cheval . Ces montants vérifient la contrainte \beta_{i,1}+\cdots+\beta_{i,J}=b_i , et on note \pi_j la somme total placée sur le cheval j, de telle sorte que \beta_{1,j}+\cdots+\beta_{I,j}=\pi_j. Compte tenu de la contrainte de budget, notons que \pi_1+\cdots+\pi_J=1, de telle sorte que les montants \pi_j peuvent être interprétés comme des probabilités. Supposons maintenant que chaque joueur ait des croyances (que chaque cheval gagne) matérialisées par un vecteur de probabilités \mathbf{p}_i=(p_{i,1},\cdots,p_{i,J}). Eisenberg Gale (1959) définissent alors une situation d’équilibre, dès lors que si \beta_{i,j}>0 alors on doit avoir
p_{i,j}=\pi_j \cdot \max_s\left\{\frac{p_{i,s}}{\pi_s} \right\}" Il montre qu’un tel équilibre existe, et qu’il est unique. On retrouve ici un résultat connu en mathématique financières sous le nom de loi du prix unique, même si les croyances ne sont pas explicitement mentionnées. Et c’est ce résultat qui permet d’interpréter les prix sur un marché prédictif comme des probabilités.
En s’inspirant du modèle de Eisenberg Gale (1959), Manski (2005) obtient une interprétation sur un marché prédictif. Dans ces marchés, on ne peut pas parier sur un cheval dans une course, mais sur la survenance d’un évènement. Considérons un contrat offrant 1$ si un évènement A survient (élection d’un nouveau pape, départ d’un pays de la zone euro, etc), proposé au prix \pi_A. S’il existe un contrat sur l’évènement complémentaire \bar A (on va supposer ici que c’est le cas), il devrait être proposé au prix \pi_{\bar A}=1-\pi_A, sinon un arbitrage serait possible[i]. Considérons maintenant un agent i croyant avec probabilité [lap_i>\pi_A, cette personne a intérêt à investir tout son argent pour acheter son titre, sinon, il a intérêt à investir dans l’autre titre, associé à \bar A. Au niveau agrégé la demande pour les titres de type A et \bar A sera respectivement
\frac{1}{\pi_A}\sum_i b_i P(p_i>\pi_A) et
<br />
\frac{1}{\pi_{\bar A}}\sum_i b_i P[p_i<\pi_A] et on aura un équilibre si \sum_i b_i=\frac{1}{\pi_A}\sum_i b_iP[p_i>\pi_A]=\frac{1}{\pi_{\bar A}}\sum_i b_iP[p_i<\pi_A]Si on suppose que les croyances (p_i) et les richesses (b_i) sont indépendantes, on peut interpréter les prix \pi_A et \pi_{\bar A} comme des probabilités, \pi_{A}=P[p_i>\pi_A] et \pi_{\bar A}=P[p_i<\pi_A] si les agents sont homogènes. Wolfers & Zitzewitz (2007) propose une interprétation différente, plus économique, dans le contexte d’agents ayant une utilité logarithmique.
Marché et pari en ligne
La situation que nous venons de décrire est celle d’un marché parfait, où un équilibre se fait entre les parieurs, et cet équilibre donne des prix interprétables comme des probabilités de gain (on parle éventuellement de « pari mutuel »). Mais la pratique des paris en ligne est souvent différente, car les prix sont proposés par un bookmaker. Comme le nom l’indique, ces personnes – à la base – enregistrent les paiements, mais en pratique, ce sont aussi eux qui fixent les prix. Par exemple lors des dernières élections présidentielles en France, plusieurs sites proposaient de parier sur l’issue du second tour.
Tableau 1 : côtes lors des élections présidentielles de 2017
| côtes (sites de paris en ligne) | Intention de votes (instituts de sondage) | |||||
| bet365 | comeon | betsafe | FT | Bloomberg | BBC | |
| Macron | 1/8 | 1/8 | 1/7 | 64% | 60.5% | 61% |
| Le Pen | 5/1 | 9/2 | 9/2 | 36% | 39.5% | 39% |
Source : http://www.onlinebettingsites.com/2017-french-election/ (données fin avril 2017)
Comme le montre le Tableau 1, les côtes offertes par les bookmakers sont différentes entre les sites de paris. Une cote de 1/8 signifie qu’en pariant 8€, mon gain net sera de 1€ si le candidat l’emporte le jour de l’élection (et je perds ma mise si le candidat perd). La « probabilité » associée est ici \pi_{A}=8/9\sim88.89\% pour E. Macron (mon gain brut étant de 9/8€ pour 1€ misé) et \pi_{\bar A}=1/6\sim16.67\%. Le soucis – on retrouve ici la discussion initié par Jacques Bernoulli – est que ces « probabilités » ne somment pas à 1, puisque 8/9+1/6\sim1.055\%. La différence vient du fait qu’il ne s’agit pas un « juste » prix, le bookmaker s’assurant un rendement certain (de l’ordre de 5,5% de la mise initiale, quel que soit le site choisi). Les vraies probabilités induites par ces cotes sont ici respectivement \pi_A=16/19\sim 84.2\% et \pi_{\bar A}=3/19\sim 15.8\%. Les sites de paris en ligne donneraient une probabilité de gain pour Emmanuel Macron de 84%, alors que les sondages indiquent une intention de vote de 62%, pour les instituts de sondage.
A-t-on réellement une probabilité, ou une fourchette ?
On le voit, les grandeurs données ne sont pas identiques, l’une indiquant une croyance sur une probabilité de gagner, et l’autre une proportion de votes que devrait avoir un candidat. Dans le modèle de Manski, les probabilités induites par la moyenne des croyances et les prix coïncident si on suppose que les agents ont une utilité logarithmique. Comme le montre Wolfers & Zitzewitz (2006), si on suppose que les agents ont une aversion au risque, ça ne sera plus le cas. En particulier, l’article suggère de considérer des bornes pour \pi_A de la forme [\pi_{A}^2,2\pi_A-\pi_A^2, représentées sur la Figure 2, où est appelé « prix de marché » pour reprendre une notation proche de la Figure 1.
Figure 2 : Bornes sur les croyances moyennes
Faut-il utiliser les prédictions des marchés prédictifs ?
On l’a vu lors de la dernière élection en France, beaucoup s’interrogent sur la place pris par les sondages, en particulier en notant qu’il ne s’agissait pas d’une photographie neutre, mais que les électeurs pouvaient choisir leur candidat précisément à la lecture des sondages (la fameuse théorie du « vote utile » en particulier). Le danger à utiliser les marchés prédictifs comme outils de prévision est que ces dangers sont manipulables, comme l’a montré Schröder (2008). Un autre danger – et cela a été noté lors de la dernière élection présidentielle aux Etats-Unis – les côtes sur les sites en ligne de pari reflètent les croyances d’une certaine « élite » (disons les personnes souvent relativement éduquées, et la classe supérieure, suivant la politique), contrairement aux sondages, qui sont supposés être conduits sur un échantillon représentatif des électeurs, et sont supposer refléter les choix du « peuple » (et non pas une opinion ou une croyance). Si les parieurs tiennent comptent de ces sondages, les prix reflètent leurs croyances. Une dernière critique que l’on peut faire est que la majorité des marchés prédictifs représentent des volumes de transactions très faibles.
Les sondages traditionnels font face aujourd’hui à une défiance croissante. Il devient difficile de constituer un échantillon représentatif, le taux de non-réponse atteint des proportions jamais atteint (et nul ne sait si cette non-réponse est corrélée avec des choix électoraux). Et la confusion règne, entre les sondages classiques, et les « sondages en lignes » hébergés sur divers sites d’information. Mais pour reprendre l’anecdote raconté par Scott Armstrong dans Knowledge@Wharton en 2004, si dans une réunion du conseil exécutif d’une grande entreprise on demande à tous les participants de faire des prévisions quant aux résultats pour l’année prochaine, ou si on demande aux participants de parier sur les résultats de l’année prochaine, quels prévisions seront les plus crédibles ?
Références
Arrow, K.J. & Debreu, G. Existence of an equilibrium for a competitive economy, Econometrica, vol. 22, 1954
Baumgartner, F. Behind locked doors: a history of papal elections. 2003
Charpentier, A. L’efficience des marchés : hypothèse de modèle ou fait stylisé ? Risques, 96. 2014
Frank, E., Verbeek, E. & Nüesch, S. Inter-Market Arbitrage in Betting. Economica, 2012.
Johnson, T. Ethics in Quantitative Finance: a pragmatic theory of markets. Wiley, 2017.
Knowledge@Wharton, How Credible Are Polls? Is There a Better Way to Predict Outcomes in Politics and Business, 3 Novembre 2004,
Manski, C.F. Interpreting the Predictions of Prediction Markets. Working Paper 10359, 2004
Meng, K.C. Using a Free Permit Rule to Forecast the Marginal Abatement Cost of Proposed Climate Policy. American Economic Review vol 107, 2017
Polgreen. Use of Prediction Markets to Forecast Infectious Disease Activity. Healthcare Epidemiology, 2007
Ramsey, F.P. Truth and probability, dans The Foundations of Mathematics and other Logical Essays, 1931 .
Rhode, P.W. & Strumpf, K. (2008) Historical Election Betting Markets: an International Perspective.
Schröder, J. Manipulations in Prediction Markets. Universitätsverlag Karlsruhe, 2009.
The Economist, The Future of Futurology, 15 Novembre 2007
Wolfers, J. & Zitzewitz, E. Interpreting Prediction Market Prices as Probabilities. Working Paper 12200, 2006
Wood, T. Do betting markets outperform election polls? Hardly. The Washington Post, Août 2016
[i] Comme l’a montré Franck et al. (2012), comme il existe aujourd’hui plusieurs sites de paris (plusieurs marchés), il peut exister des arbitrages entre les marchés, rarement au sein d’un marché.
la probabilité de voter pour R, et 
la probabilité de voter pour S. On note 
la probabilité de voter pour un autre candidat, 
.
et 
sont les fréquences empiriques obtenues à partir de 
personnes sondées, rappelons que
(hypothèse 
) car c’est finalement de ça qu’on parle ici, l’idée la plus naturelle serait d’introduire la statistique de test d’égalité des proportions,
=44.75%
=3.71 avec 2000 personnes interrogées. Sous 
= 10.436. La statistique de test est ici