Pour poursuivre un ancien billet, je voulais revenir plus particulièrement sur l’algorithme de Panjer, et sur la précision de l’approximation faite en discrétisant la loi des coûts individuels. Les références sont ici
- Panjer, H H. (1981). “Recursive evaluation of a family of compound distributions.” ASTIN Bulletin 12 (1): 22–26.
- Sundt ,B. et Jewell, W.S. (1981). “Further results on recursive evaluation of compound distributions” ASTIN Bulletin 12 (1): 27–39.
Je reprends ici un partie de l’article de wikipedia sur le sujet. Comme toujours, on souhaite approcher la loi de

On suppose ici que les coûts individuels sont discrets, et on pose
![f_k = P[X_i = hk].\,](https://upload.wikimedia.org/math/0/a/e/0aec4af2d75e9eb87a5091179a297b4a.png)
On suppose de plus que les nombres sont dans une classe un peu particulière, vérifiant
![P[N=k] = p_k=](https://upload.wikimedia.org/math/8/4/1/8410ac49ee291dbbc206bca59999d6a3.png)
En fait, cette condition n’est pas trop forte, la plupart des lois classiques étant de ce type.

.
est alors obtenue par récurrence, en posant


et ensuite
L’avantage c’est que tout cela a été programmé sous R… Pour la discrétisation, je reprends ici actuar qui propose plusieurs techniques. En particulier on distinguera entre une borne supérieure et une borne inférieure, une version arrondir et une version sans biais.
> fx <- discretize(pgamma(x, 2, 1), method = "upper", from = 0, to = 17, step = 0.5) > fx <- discretize(pgamma(x, 2, 1), method = "lower", from = 0, to = 17, step = 0.5) > fx <- discretize(pgamma(x, 2, 1), method = "rouding", from = 0, to = 17, step = 0.5) > fx <- discretize(pgamma(x, 2, 1),method = "unbiased", lev = levgamma(x, 1), from = 0, to = 17, step = 0.5)
On peut alors utiliser l’algorithme de Panjer pour calculer la loi composée basée sur ces discrétisations. Au niveau de la programmation, le code est le suivant
> fx <- discretize(pgamma(x, 2, 1), from = 0, to = 22,
+ step = 0.5, method = "unbiased", lev = levgamma(x,2, 1))
> Fs <- aggregateDist("recursive", model.freq = "poisson",
+ model.sev = fx, lambda = 10, x.scale = 0.5)
Graphiquement, on obtient la distribution suivante pour la loi composée (fonction de répartition et fonction quantile).


, correspondant aux dates d’arrivée des sinistres, ou bien par
.
sera un processus de Poisson homogène d’intensité
si les durées entre arrivées,
i.i.d. de loi exponentielle de paramètre
est alors
. La première idée pour simuler un tel processus est de supposer qu’il existe
.
qui vaut

Il y a quelques années, j’ai animé les sessions de probabilité & statistiques de la “préparation au concours interne” pour devenir administrateur de l’INSEE. Comme je suis régulièrement contacté à ce sujet, j’ai décidé de mettre en ligne quelques pages d’
Sinon oui, j’ai effectivement rédigé une “bible corrigée”, reprenant l’essentiel des annales, et proposant des corrections d’exercices données à l’oral. Le document fait 200 pages et doit être truffé de coquillettes (de petite coquilles), et je ne préfère donc pas le laisser en ligne… mais il suffit de me le demander. On peut également utiliser les “commentaires” de ce billet pour proposer des éléments de correction pour ceux qui le souhaitent.
Sinon je met aussi un lien vers le site