Category Archives: Probability

Actuarial science, M1-actuariat, Probability

Méthodes numériques et convolution, suite

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Pour poursuivre un ancien billet, je voulais revenir plus particulièrement sur l’algorithme de Panjer, et sur la précision de l’approximation faite en discrétisant la loi des coûts individuels. Les références sont ici

Je reprends ici un partie de l’article de wikipedia sur le sujet. Comme toujours, on souhaite approcher la loi de

 S = \sum_{i=1}^N X_i\,

On suppose ici que les coûts individuels sont discrets, et on pose

f_k = P[X_i = hk].\,

On suppose de plus que les nombres sont dans une classe un peu particulière, vérifiant

 P[N=k] = p_k=

En fait, cette condition n’est pas trop forte, la plupart des lois classiques étant de ce type.

La formule permettant d’obtenir

g_k =P[S = hk] \,.

est alors obtenue par récurrence, en posant

g_0=p_0\cdot \exp(f_0 b)\text{ if }a = 0,\,

g_0=\frac{p_0}{(1-f_0a)^{1+b/a}}\text{ for }a \ne 0,\,

et ensuite

g_k=\frac{1}{1-f_0a}\sum_{j=1}^k \left( a+\frac{b\cdot j}{k} \right) \cdot f_j \cdot g_{k-j}.\,

L’avantage c’est que tout cela a été programmé sous R… Pour la discrétisation, je reprends ici actuar qui propose plusieurs techniques. En particulier on distinguera entre une borne supérieure et une borne inférieure, une version arrondir et une version sans biais.

> fx <- discretize(pgamma(x, 2, 1), method = "upper", from = 0, to = 17, step = 0.5)
> fx <- discretize(pgamma(x, 2, 1), method = "lower", from = 0, to = 17, step = 0.5)
> fx <- discretize(pgamma(x, 2, 1), method = "rouding", from = 0, to = 17, step = 0.5)
> fx <- discretize(pgamma(x, 2, 1),method = "unbiased", lev = levgamma(x, 1), from = 0, to = 17, step = 0.5)

On peut alors utiliser l’algorithme de Panjer pour calculer la loi composée basée sur ces discrétisations. Au niveau de la programmation, le code est le suivant 

>  fx <- discretize(pgamma(x, 2, 1), from = 0, to = 22,
+  step = 0.5, method = "unbiased", lev = levgamma(x,2, 1))
>  Fs <- aggregateDist("recursive", model.freq = "poisson",
+  model.sev = fx, lambda = 10, x.scale = 0.5)

Graphiquement, on obtient la distribution suivante pour la loi composée (fonction de répartition et fonction quantile).

Actuarial science, M1-actuariat, Probability, Ruin theory, Stochastic Processes

Simulation d’un processus de Poisson

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Le prochain cours reviendra sur la solvabilité des compagnies d’assurance, et en particulier sur la modélisation et le calcul de la probabilité de ruine. En particulier, nous passerons pas mal de temps sur le “processus de Poisson“.

Nous verrons en cours les notions de base sur les processus de Poisson$ \{N_t\}$. En particulier, nous verrons qu’ils se caractérisent soit par le processus d’arrivées $ \{T_i\}$, correspondant aux dates d’arrivée des sinistres, ou bien par$ W_i=, correspondants aux durées intersinistres. En effet, on peut obtenir des expressions de la forme $ N_t=.

Dans sa forme la plus simple, on s’intéresse aux processus homogènes. $ \{N_t: t \ge 0 \}$ sera un processus de Poisson homogène d’intensité $ \lambda > 0$ si les durées entre arrivées, $ W_i$ i.i.d. de loi exponentielle de paramètre $ \lambda $. L’algorithme naturel pour simuler les dates d’arrivées de sinistre $ T_1,T_2,\ldots,T_n$ est alors

  1. poser $ T_0 =
  2. pour $ i = on génère$ E$ suivant une loi exponentielle de paramètre $ \lambda $, puis on pose $ T_i =

Les choses vont se compliquer si on suppose que le processus de Poisson n’est plus homogène. Cette hypothèse est peut être davantage réaliste pour l’assurance. Par exemple, les assureurs savent qu’il y a plus d’accidents automobiles les jours de brouillard, ou de pluie, ou de verglas. On peut donc supposer qu’il existe un cycle lié au climat.

On suppose ici que le processus de Poisson est d’intensité $ \lambda(t)$. La première idée pour simuler un tel processus est de supposer qu’il existe $ \overline{\lambda}$ tel que $ \lambda(t)\leq\overline{\lambda}$ pour tout $ t$. On note $ T_1^* ,T_2^* , T_3^* ,\ldots$ des arrivées successives d’un processus de Poisson de paramètre $ \overline{\lambda}$. On met alors en place une stratégie acceptation/rejet, telle que l’on garde le $ i$ème sinistre $ T_i^*$ avec probabilité $ \lambda(T_i^* )/\overline{\lambda}$. La suite $ T_1, T_2, \ldots$ ainsi construite suit un processus de Poisson nonhomogène d’intensité $ \lambda(t)$. D’où l’algorithme

  1. On pose $ T_0 = et $ T^* = 0$
  2. on génère une variable exponentielle$ E$ d’intensité $ \overline{\lambda}$.
  3. On pose alors$ T^* = T^* + E$.
  4. On génère une variable $ U$ uniforme sur $ (0,1)$: si $ U>\lambda(T^*)/\overline{\lambda}$ on rejette (et on retourne en 2.), et sinon on pose $ T_i = .

Une autre méthode consiste à noter que l’incrément

$ N_t-N_s$, $ 0 < s < t$, suit une loi de Poisson d’intensité$ \widetilde{\lambda} = \int_s^t \lambda(u)du$. Aussi, la fonction de répartition $ F_s$ du temps d’attente $ W_s$ est qui vaut

On peut utiliser la méthode suivante pour simuler le processus de Poisson

  1. Poser $ T_0 =
  2. Générer $ U$ suivant une loi uniforme sur $ (0,1)$
  3. Poser $ T_i =

Pour aller plus loin, je renvoie à des bouquins sur la simulation de processus, ou pour les applications assurantielles au Statistical Tools for Finance and Insurance, chez Springer.

Probability, Statistics, Training

Formation administrateur de l’insee

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Il y a quelques années, j’ai animé les sessions de probabilité & statistiques de la  “préparation au concours interne” pour devenir administrateur de l’INSEE. Comme je suis régulièrement contacté à ce sujet, j’ai décidé de mettre en ligne quelques pages d’annales des années passées. Certaines sont très anciennes, et l’esprit du concours a sensiblement changé (me semble-t-il). J’ai retrouvé des scans et j’ai tout mis ensemble (ce qui explique la taille du fichier, 21Mo). Il y a sûrement des incohérences, et des questions qui manquent, mais c’est l’essentiel doit être là. Pour les examens des années plus récentes, le service concours met les annales à disposition, je crois.

Sinon oui, j’ai effectivement rédigé une “bible corrigée”, reprenant l’essentiel des annales, et proposant des corrections d’exercices données à l’oral. Le document fait 200 pages et doit être truffé de coquillettes (de petite coquilles), et je ne préfère donc pas le laisser en ligne… mais il suffit de me le demander. On peut également utiliser les “commentaires” de ce billet pour proposer des éléments de correction pour ceux qui le souhaitent.

Sinon je met aussi un lien vers le site http://www.sauvonslastatistiquepublique.org/, qui propose (enfin) de parler un peu de statistique publique (qui d’ailleurs est au programme du concours d’administrateur interne). Un lien aussi vers le papier de Pierre Yves Geoffard sur le même sujet, dans Libé.