Category Archives: Publications

The return period of the 2003 heat wave

The paper on “on the return period of the 2003 heat wave” has been published online here, before Christmas. It should be published soon by Climatic Change, http://link.springer.com/article/...

Extremal events are difficult to model since it is difficult to characterize formally those events. The 2003 heat wave in Europe was not characterized by very high temperatures, but mainly the fact that night temperature were no cool enough for a long period of time. Hence, simulation of several models (either with heavy tailed noise or long range dependence) yield different estimations for the return period of that extremal event.

To go further on the impact on mortality (which was not the aim of the paper), there is a paper in Nature (here).

Lecture notes on risk and insurance

I just finished some lectures notes on risk and insurance. The notes, that can be downloaded [pdf], are in French, and will be used at the JES (Journées d’Etudes Statistiques), organised at the CIRM (mentioned here). Previous notes on risk measures [pdf] and copulas [pdf]. Again, all comments are welcome…

Copules et risques corrélés

https://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso2/.copula-density-proj_m.jpg

J’avais promis dans un commentaire que je mettrais bientôt en ligne un survey sur les copules…. après plusieurs mois de retard, le document est en ligne [pdf], et il est sobrement intitulé copules et risques multiples. Toutes les remarques et critiques sont les bienvenues ! Il s’agit d’un chapitre pour un livre dont je mettrais la référence en ligne ultérieurement. A priori, ce document devrait servir de base pour le cours qui sera donné dans un mois au CIRM (mentionné ici, dans le cadre des Journées d’Études Statistiques).

There are known knowns. There are things we know that we know….

Après la publication de l’opuscule ce qui vient à nous, i.e. le premier volet du catalogue de la Biennale d’Art Contemporain (ici), le second opuscule ce qui devient a été mis en ligne voilà 15 jours (ici), et finalement, le troisième – ce qui survient – vient d’être mis en ligne ce week-end (). J’en parle parce que Julien Prévieux y a repris une interview que nous avions enregistré il y a quelques semaines, où nous discutions de la gestion des risques, des catastrophes improbables, et de la prédiction du futur en environnement incertain… Une expérience géniale, d’autant plus que Julien a une culture fabuleuse sur ces sujets, et surtout un œil très différents des chercheurs académiques, des étudiants, ou des praticiens de l’assurance ! Les discussions qu’on a pu avoir ont beaucoup nourri ma réflexion sur la prédiction des catastrophes, ceux qui survolent régulièrement le blog ont du s’en rendre compte !

La suite à l’ouverture de la biennale, avec en particulier le travail de Goldin & Senneby….

PS pour les amateurs, la vidéo dont est extrait le titre est en ligne ici,

On the return period of the 2003 heat wave

The paper on the 2003 heat wave has been submitted a few months ago, and now, the preprint can be downloaded (here for the preprint version, or here on Hal). The paper has a long story, that I will probably summarize here, some day…

Extremal events are difficult to model since it is difficult to characterize formally those events. The 2003 heat wave in Europe was not characterized by very high temperatures, but mainly the fact that night temperature were no cool enough for a long period of time. Hence, simulation of several models (either with heavy tailed noise or long range dependence) yielddifferent estimations for the return period of that extremal event. 

The paper has been presented in several conferences, in started a couple of days after the birth of Romane, in March 2005, in talks on dependencies in environmental series….

Les modèles en réassurance

Publication d’un papier sur les modèles en réassurance dans la revue Risques (ici), suite à un questionnement sur la pertinence des modèles classiques utilisés par les réassureurs. La question initiale était partie de la constatation – que l’on retrouve ici ou – sur l’utilisation (ou la mauvaise utilisation) de modèles sophistiques en finance de marché, en essayant d’expliquer que – d’un point de vue épistémologique au moins – les modèles des réassureurs étaient plus robustes. En particulier, on notera que les modèles les plus anciens utilisés par les réassureurs (en particulier la loi de Pareto comme je l’avais évoqué ici) ont eu une légitimité pratique durant plusieurs décennies avant d’être justifiés par la théorie des valeurs extrêmes. Je ferais d’ailleurs bientôt un billet sur l’histoire des valeurs extrêmes en statistiques, en revenant en particulier sur les travaux de Gumbel ou de Fréchet.

Sinon le code utilisé dans le papier est en ligne ici, et la base

> sinpe = read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/sinpe.csv",header=TRUE,sep=";")
> head(sinpe)
      DSUR  MNTPE
1 19850206 240439
2 19851228 125674
3 19850504 488331
4 19851118 457347
5 19850220 990919
6 19851214 182939
> annee=as.numeric(substr(as.character(sinpe$DSUR),1,4))
> sinistres=sinpe$MNTPE[annee>1992]
> XS=sinistres/100000

On se limite ici aux sinistres survenus après 1992. Si l’on visualise ces montants de sinistres, on obtient

> datesur=as.Date(as.character(sinpe$DSUR),"%Y%m%d")
> jour=datesur[annee>1992]
> plot(jour,sinistres/100000,xlab="",ylab="Coût individuel",cex=.5,ylim=c(0,600))
> ded=50
> abline(h=ded)

On peut aussi faire le graphique Pareto-log-log,

> library(evir)
> n=length(X)
> plot(log(sort(X)),log((n:1)/(n+1)),
+ xlab="Coûts des sinistres (logarithme)",ylab="Fonction de survie (logarithme)",cex=.8)
> out <- gpd(XS, 15)
> XI=as.numeric(out$par.ests[1]); BETA=as.numeric(out$par.ests[2]) 
> x0=seq(2,8,.01)
> lines(x,-1/XI*(x-log(15)),col="red")

(l’ajustement de la loi de Pareto permettant de tracer la droite rouge) ou encore visualiser l’estimateur de Hill de l’indice de queue,

> hill(X)

Pour finir, le code suivant permet de calculer la prime pure (ou plus généralement une prime de Wang) soit de manière non-paramétrique (burning cost) ou bien en utilisant l’ajustement d’une loi de Pareto. Le papier étant un papier de vulgarisation, j’ai pris le seuil de manière arbitraire, sans aucune recherche de valeur “optimale”

> DEDUC = seq(10,50,by=5)
> lambda=0;  seuil=5
> WG1=WG2=rep(NA,length(DEDUC))
> for(k in 1:length(DEDUC)){
+ deductible=DEDUC[k]
+ out <- gpd(XS, seuil)
+ XI=as.numeric(out$par.ests[1]); BETA=as.numeric(out$par.ests[2]) 
+ G0=function(x){1-pgpd(x+seuil, xi = XI, mu = seuil, beta = BETA)}
+ G=function(x){(G0(x+deductible-seuil))/(G0(deductible-seuil))}
+ F=function(x){pnorm(qnorm(G(x))+lambda)}
+ (wang1=integrate(F, 0, Inf))
+ X=XS[XS>deductible]
+ n=length(X)
+ FS= function(z){
+ m=rep(NA,length(z))
+ for(i in 1:length(m)){
+ m[i]=sum(X>z[i]+deductible)/n}
+ return(m)
+ }
+ G=function(x){pnorm(qnorm(FS(x))+lambda)}
+ (wang2=sum(G(seq(0,800,.01))*.01))
+ WG1[k]=as.numeric(wang1$value)
+ WG2[k]=wang2
+ }
> plot(DEDUC,WG2-DEDUC,type='b',xlab="Niveau de la priorité ('00 000 euros)",ylab="Prime pure par sinistres réassuré",ylim=c(0,50))
> lines(DEDUC,WG1-DEDUC,type='b',col="red",pch=4)
> legend(10,50,c("Aujustement d'une loi de Pareto","'Burning cost'"),
+ col=c("red","black"),lty=1,cex=.8,pch=c(4,1))

Peut on faire l’économie du formalisme quand on parle d’extrêmes ?

Tous les blogs économiques saluent la parution en poche du joli petit livre de Daniel Zajdenweber, Economie des Extrêmes. En particulier, beaucoup de monde salue ce livre qui explique simplement des choses complexes…. Par exemple Alexandre dès 2001 “Passé le premier chapitre, un peu ardu, et qui nécessite du lecteur des connaissances de base en statistique et probabilités (notion de lois de probabilité, d’espérance, de variance…) qui décrit en termes littéraires les caractéristiques de ces lois, l’auteur applique ces résultats à un grand nombre de phénomènes concrets, et en tire les conséquences“. Mais peut-on parler d’économie des extrêmes sans être technique ?

Histoire que mon message ne soit pas déformé, je trouve passionnant ce petit livre introductif à la problématique des risques extrêmes (qui est un de mes dadas depuis quelques années) mais j’espère qu’il servira d’encouragement à une lecture d’ouvrages plus détaillés sur le sujet. Car la vulgarisation a des limites que l’on atteint vite quand on parle de sujets aussi complexes.

L’exemple que j’ai le plus étudié est celui des sinistres de perte d’exploitation (longuement évoqué par Daniel Zajdenweber dans son livre). Il y a quelques années j’avais utilisé cette partie du livre comme base pour faire un sujet d’examen pour le cours de “réassurance et grands risques” que je donnais alors à l’ENSAE1. Et malheureusement, mes compétences littéraires sont très limitées, donc je vais faire des maths. Dans le livre, la figure suivante est présentée,

qui correspond effectivement à la fonction tracée dès 1925 par Karl Gustav Hagstroem (j’avais souligné (ici) ses travaux précurseurs où l’intérêt de la loi de Pareto pour modéliser les très grands riques apparaissait pour la première fois). C’est en effet assez naturel: si on a une loi de Pareto, i.e.

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/z01.png

alors on pourrait écrire, en passant au logarithme

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/z02.png

Si on représente la version empirique, c’est à dire le nuage de points

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/z03.png

alors pour une loi de Pareto, les points devraient être alignés suivant une droite, et la pente doit correspondre au paramètre de la fonction puissance. C’est visiblement l’idée exploitée ici.

Autrement dit, les pointillés ne sont un intervalle de confiance, mais juste un outils graphique pour se demander si la pente vaut 1, ou pas. Daniel Zajdenweber affirme que la pente doit ici être -1.

Le fait que la valeur soit unitaire ou pas a en effet un impact très important en terme d’assurabilité du risque de perte d’exploitation. Rappelons que pour une variable positive (et c’est le cas ici). Et si on a une telle loi de Pareto (de puissance unitaire), alors la prime pure d’un traité de réassurance, couvrant entre m et M s’écrit

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/z06.png

soit

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/z07.png

ce qui correspond aux calculs de Daniel Zajdenweber… Mais encore une fois “l’absence d’espérance mathématique de la distribution des sinistres” est une conclusion très forte sur laquelle on peut essayer de revenir.

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/z04.png

aussi ici

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/z05.png

autrement dit, l’espérance est finie si la pente est strictement plus grande (en valeur absolue) que 1. Si la pente est inférieure (ou égale) à 1, le risque n’est pas assurable ! Ce qui est une conclusion très très forte pour les assureurs.
J’ai donc demandé à la FFSA la base de données utilisée ici, et pour éviter des problèmes d’inflation des coûts de sinistres entre 1992 et 2000. Si je prends tous les sinsitres, on obtient l’ajustement de Pareto suivant

soit une pente (en valeur absolue de 1.47). Mais encore une fois, l’ajustement de Pareto se fait sur les grands sinistres. Hill a proposé un estimateur très populaire pour estimer ce coefficient, où on ne prend en compte que les k observations les plus grandes, et on regarde l’estimation de la pente du graphique de Pareto pour ces quelques valeurs. On représente alors l’estimation en fonction du nombre de grands sinistres, ou du seuil définissant les graphs sinistres. Numériquement, en posant

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/z08.png

on peut écrire comme estimateur de la pente

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/z09.png

soit, en simplifiant le numérateur,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/z10.png

tel que l’a construit Hill en 1975. Graphiquement, on a ici

Bref, la question est ce savoir si on atteint la valeur 1 pour les grands sinistres. Graphiquement, on a malgré tout envie de rejeter cette hypothèse.
Une solution peut être de faire un test statistique, basé sur de ratio de vraisemblance, comme le suggèrent Reiss & Thomas (2001) or Coles (2001). En fait, on peut même utiliser d’autres estimateurs que celui de Hill, comme celui obtenu en faisant un ajustement de loi GPD (Pareto généralisée
) sur la loi des Excès, ou une loi GEV sur des maximas par blocs (Generalized Extreme Value). On introduit alors la statistique de test suivante

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/z12.png

et on regarde les p-value (ainsi que la correction de Bartlett à droite),

On peut aussi, plus simplement, estimer plusieurs coefficients de pentes pour des seuils différents, et regarder la borne supérieure de l’intervalle de confiance,

Bref, même si avec un des ajustements de loi GPD on hésite à retenir une pente unitaire, la plupart des tests rejettent cette hypothèse, et donc le risque de perte d’exploitation semble être assurable, d’espérance mathématique finie. Bref, les dessins c’est très bien pour faire passer une idée, mais ne retenir que ça pour en tirer des conclusions aussi fortes me laisser sceptique….

Perte d’exploitation, une application de la théorie des extrêmes

Je remets ici un lien vers un vieux papier puisque plusieurs personnes m’en ont récemment demandé une version électronique. La version officielle du papier est en ligne sur le site du Bulletin Français d’Actuariat (http://www.institutdesactuaires.com/bfa/, ou ici pour le papier tel qu’il a été publié). Pour ceux qui souhaitent aller plus loin, je mets à leur disposition la base (brute, xls) qui a servie à l’étude. Il s’agit de la version expurgée des noms des assurés, ainsi que de (certaines) informations sur les contrats.

Insurability is a major issue for risk managers in the insurance industry. Zajdenweber (1996) mentioned that business interruption is hardly insurable, using extreme value results: the right tail of the distribution should be modeled using some Pareto distribution with parameter 1, which has none finite moment. Since the expected value in tails is infinite, on a theoretical point of view, it becomes impossible to assess the price of that risk, and to hedge it using standard insurance covers. As we shall see, the use of more advanced results in extreme value theory (a wide survey will be proposed) may let us think that the assumption of very fat tails may be not relevant. For instance, we will propose a test to see if a distribution has a finite mean. We shall also discuss at the end the use of the pure premium as a criteria to assess whether a risk is or not insurable.

Article (de vulgarisation) sur les mesures de risque

Parution d’un article sur l’histoire des mesures de risques, dans la revue Risques, en partant des débats suite à la vaccination, jusqu’à l’adoption de la VaR (Value-at-Risk, i.e un quantile statistique) sous la pression de JP Morgan. En particulier, je voulais rappeler dans ce débat le lien avec la “probabilité de ruine“, étudiée en actuariat depuis plus d’un siècle correspondant à la principale mesure de risque car explicitement liée à la solvabilité d’une compagnie d’assurance.

Tails of Archimedean copulas

Publication de Tails of Archimedean Copulas, coécrit avec Johan Segers, dans le Journal of Multivariate Analysis, enfin… en ligne sur http://sciencedirect.com/science…

A complete and user-friendly directory of tails of Archimedean copulas is presented which can be used in the selection and construction of appropriate models with desired properties. The results are synthesized in the form of a decision tree: Given the values of some readily computable characteristics of the Archimedean generator, the upper and lower tails of the copula are classified into one of three classes each, one corresponding to asymptotic dependence and the other two to asymptotic independence. For a long list of single-parameter families, the relevant tail quantities are computed so that the corresponding classes in the decision tree can easily be determined. In addition, new models with tailor-made upper and lower tails can be constructed via a number of transformation methods. The frequently occurring category of asymptotic independence turns out to conceal a surprisingly rich variety of tail dependence structures.

Estimation de quantile par noyau beta

Le papier sur l’estimation de quantile par noyau beta, coécrit avec Abder Oulidi, est accepté pour publication dans Statistics and Computing, http://link.springer.com/…

In this paper we propose several nonparametric estimators of quantiles based on Beta kernel and applied to transformed data by the generalized Champernowne distribution initially fitted to the data. A Monte-Carlo based study will show that those estimators improve the efficiency of a traditional ones, not only for light tailed distributions, but also heavy tails, when the probability level is close to 1. We also compare these estimators with the Extreme Value Theory Quantile applying to Danish data on large fire insurance losses.

Dynamic dependence ordering for Archimedean copulas and distorted copulas

The paper on Dynamic dependence ordering for Archimedean copulas and distorted copulas should appear soon in Kybernetika.

This paper proposes a general framework to compare the strength of the dependence in survival models, as time changes, i.e. given remaining lifetimes X, to compare the dependence of X given X>t, and X given X>s, where s>t. More precisely, analytical results will be obtained in the case the survival copula of X is either Archimedean or a distorted copula. The case of a frailty based model will also be discussed in details.

Article (de vulgarisation) sur les tables de mortalité

Parution d’un article sur l’histoire des tables de mortalité. Le but était d’expliquer la problématique de la construction des nouvelles tables, i.e. des tables prospectives, faites en prenant en compte la dynamique des taux de mortalité, avec les améliorations observées depuis une cinquantaine d’années (si ce n’est plus).

Les tables de mortalité sont un élément essentiel en actuariat puisque légalement, le seul rôle reconnu aux actuaires est précisément dans la certification des tables. Mais de plus, historiquement, les tables de mortalité sont intéressantes puisqu’elle ont permis aux actuaires de participer au développement de la théorie des probabilités. Sur un exemple simple, on peut ainsi voir une élégante application des calculs de lois conditionnelles.

Article (de vulgarisation) sur la crédibilité

Parution d’un court article sur la Théorie de la Crédibilité dans la revue Risques.

La théorie de la crédibilité est une jolie application de l’approche bayésienne de la statistique, puisque l’on cherche à déterminer la probabilité d’appartenir à une classe de risque conditionnellement à une expérience de sinistralité observée. La théorie développée par Hans Bühlmann propose d’ailleurs de jolies applications, en particulier sur les jeux de fléchettes, où l’on compare la moyenne sur un sous-groupe homogène (ou supposé l’être) avec la moyenne de la population totale. En faisant intervenir des variance intra et des variances inter, on arrive à un résultat relativement simple et élégant.

Pricing catastrophe options in incomplete markets

The paper on the pricing of catastrophe options just appeared in the Proceedings of the Actuarial and Financial Mathematics Conference.

In complete markets, pricing financial products is easy (at least from a theoretical point of view). In incomplete markets (e.g. when the underlying process has jumps with random size, such as an insurance loss process), the price is no longer unique. So on the one hand, it becomes difficult to provide a tractable price of insurance-linked derivatives. On the other hand, when facing catastrophic losses, using the pure premium as a price might not be relevant (e.g. for solvency issues). Both financial market and (re)insurance industry have proposed techniques to price identical hedging products that can be related (e.g. Esscher transform and more generally distorted risk measures in insurance, Gerber-Shiu transform in finance). In this paper, we focus on indifference utility techniques, assuming that stock prices have jumps,related to major catastrophic losses, and thus, partial hedging should then be possible.

La conférence cette année se tiendra les 5 et 6 février (site) a Bruxelles.