Category Archives: Publications

Changement Climatique et Assurance

Je profite des vacances pour mettre en ligne un petit billet, version préliminaire un (court) article écrit avec Anne Eyrault-LoiselAlexis Hannart, et Julien Tomas, sur le changement climatique et l’assurance. Toutes les remarques et critiques sont bienvenues….

Impact du changement climatique

Munich Re (2014) a montré, au regard des données des 50 dernières années que la fréquence des catastrophes météorologiques et climatique ne cesse d’augmenter. Et les pertes assurées également, en grande partie à cause du développement de l’assurance. Selon Mills (2009), 16% des pertes liées aux conditions météorologiques étaient assurées dans les années 1980, pour atteindre 37,6% en moyenne au cours des 10 dernières années. La croissance économique, l’augmentation des richesses, l’industrialisation de zones vulnérables et la concentration des populations expliquent une grande partie de l’augmentation, comme le note Botzen et al. (2010).

Figure 1 : catastrophes météorologiques et climatiques dans le monde, modifié de Munich Re (2014).

Figure 2 : Montants des sinistres causés par les catastrophes météorologiques et climatiques dans le monde, modifié de Munich Re (2014).

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‘Mathiness’ et Assurance

Au printemps dernier, l’économiste Paul Romer avait initié une discussion passionnante autour de la notion de “mathiness” (“mathitude” pourrait être la traduction la plus simple pour reprendre l’expression de Lavigne (2015)), posant la question de la place du formalisme mathématique en économie. Ou plus précisément, des liens entre les théorèmes mathématiques et la réalité économique. Et la principale critique faite par Paul Romer est que les mathématiques sont trop souvent utilisées pour obscurcir, plutôt qu’éclairer un débat. Cette discussion n’est pas nouvelle, mais il est intéressant de voir qu’elle survient à un moment où les assureurs s’interrogent, eux aussi, sur les modèles actuariels.

Science économique, et économie

Le point de départ de la discussion de Romer (2015) est qu’il est surprenant qu’en plus de 20 ans, la théorie de la croissance n’ait toujours pas abouti à un consensus. Son explication repose sur le concept de mathiness. Pour reprendre l’expression de Tim Harford, “economics has a reputation for producing rigourous nonsense“. Dans les années 40, Paul Samuelson avait initié un mouvement visant à clarifier les arguments des économistes, en cherchant des fondements plus « scientifiques ». La route de l’enfer serait-elle pavée de bonnes intentions ?

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Mutualisation et Segmentation en Assurance

L’article Segmentation et Mutualisation, les deux faces d’une même pièce, coécrit avec Michel Denuit et Romuald Elie paraîtra dans les jours à venir, dans un numéro autour du big data en assurance, avec des articles de Patrick Thourot, sur la tarification du pay as you drive, de Lucie Taleyson, sur la tarification dans les assurances collectives, et tout plein d’articles passionnants, signés François-Xavier Hay ou encore Arnaud Chaput.

L’article (disponible en pdf) présente l’impact de la segmentation dans un environnement concurrentiel. Il d’un exemple simple, pour ne pas dire simpliste. Il sera perfectionné avec le pricing game organisé mi novembre. A suivre donc…

Copulas and Financial Time Series

I was recently asked to write a survey on copulas for financial time series. The paper is, so far, unfortunately, in French, and is available on https://hal.archives-ouvertes.fr/. There is a description of various models, including some graphs and statistical outputs, obtained from read data.

To illustrate, I’ve been using weekly log-returns of (crude) oil prices, Brent, Dubaï and Maya.

The dataset is available from an excel file, oil.xls (I thought it was possible to load it direclty from the internet, but it did not work… so I suggest to download the file first, and then load it)

> library(xlsx)
> temp <- tempfile()
> download.file(
+ "http://freakonometrics.free.fr/oil.xls",temp)
trying URL 'http://freakonometrics.free.fr/oil.xls'
Content type 'application/vnd.ms-excel' length 99328 bytes (97 KB)
downloaded 97 KB
> oil=read.xlsx(temp,sheetName="DATA",dec=",")
Error in .jcall("RJavaTools", "Ljava/lang/Object;", "invokeMethod", cl,  : 
  java.io.IOException: block[ 0 ] already removed - does your POIFS have circular or duplicate block references?
> oil=read.xlsx("D:\\home\\acharpen\\mes documents\\oil.xls",sheetName="DATA")

Then we can plot those three time series

> head(oil)
        Date      WTI    brent   Dubai     Maya
1 1997-01-10  2.73672  2.25465  3.3673   1.5400
2 1997-01-17 -3.40326 -6.01433 -3.8249  -4.1076
3 1997-01-24 -4.09531 -1.43076 -6.6375  -4.6166
4 1997-01-31 -0.65789  0.34873  0.7326  -1.5122
5 1997-02-07 -3.14293 -1.97765 -0.7326  -1.8798
6 1997-02-14 -5.60321 -7.84534 -7.6372 -11.0549

> Time=as.Date(oil$Date,"%Y-%m-%d")
> plot(Time,oil[,3],type="l",ylab="Brent, weekly log returns",ylim=range(oil[,3:5]))

The idea is to use some multivariate ARMA-GARCH processes here. The heuristics here is that the first part is used to model the dynamics of the average value of the time series, and the second part is used to model the dynamics of the variance of the time series. Two kinds of models are considered in the paper

  • a mutivariate GARCH process (or a model on the dynamics of the variance matrix) on the residuals from the ARMA models
  • a multivariate model (based on copulas) on the residuals of the ARMA-GARCH process

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How social media usage does and does not predict protests

This post, published today in Monkey Cage, is based on some research, with Marco T. Bastos and Dan Mercea (recently published in the Journal of Communication, see also http://papers.ssrn.com)

A storm of protests in 2011 disputed the legitimacy of the institutional status quo across authoritarian and democratic countries alike. From the Arab Spring to the Indignados, from the London riots to the Occupy movement, a heated debate has ensued about whether people’s coming onto the streets may be aided in any significant manner by the use of social media. The debate has lingered for a decade now and is revisited with every new uprising that rises to international prominence.

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Tents, Tweets, and Events: Ongoing Protests and Social Media

Our paper, entitled Tents, Tweets, and Events: The Interplay Between Ongoing Protests and Social Media, written with Marco Toledo Bastos (aka ) and Dan Mercea (aka) just appeared in the Journal of Communication

Recent protest movements have fuelled deliberations about the extent to which social media ignite protests. In this paper we compare time-series data of Twitter, Facebook, and onsite protest activity to test the hypothesis of Granger-causality between social media streams and protestors attending demonstrations during the Indignados in Spain, the Occupy movement in the U.S., and the Vinegar protests in Brazil. After applying a Gaussianization procedure to the time series, we confirmed the hypothesis that contentious communication on Twitter and Facebook was Granger-causal of onsite protest activity during the Indignados and the Occupy protests, with bidirectional causality between online and onsite protest activity in the Occupy series. The Vinegar protests in Brazil presented Granger-causality only between Facebook and Twitter and between protestors and injured or arrested protestors. The results indicate that the causal relationship between online and onsite political varies considerably across different socioeconomic contexts with different levels of Internet penetration.

Modeling Earthquake Dynamics

In 2012, with Marilou Durand, student at UQAM, we have been working on the seismic gap hypothesis, see e.g. McCann et al. (1978) or Kagan & Jackson (1991), or to be more specific, on the dynamics between earthquakes magnitude (or seismic moment) and inter-occurence durations. Our paper should appear soon in the Journal of Seismology,

In this paper, we investigate questions arising in Parsons & Geist (2012). Pseudo causal models connecting magnitudes and waiting times are consider, through generalized regression. We do use conditional model (magnitude given previous waiting time, and conversely) as an extension to joint distribution model described in Nikoloulopoulos & Karlis (2008). On the one hand, we fit a Pareto distribution for earthquake magnitudes, where the tail index is a function of waiting time following previous earthquake; on the other hand, waiting times are modeled using a Gamma or a Weibull distribution, where parameters are function of the magnitude of the previous earthquake. We use those two models, alternatively, to generate the dynamics of earthquake occurrence, and to estimate the probability of occurrence of several earthquakes within a year, or a decade.

The paper is online on https://hal.archives-ouvertes.fr/.

Feldstein and Horioka, Mother of all puzzles

The joint paper  The “Mother of all puzzles” at thirty: A Meta-Analysis is finally out.

This paper provides a meta-analysis of 1651 point estimates of Feldstein and Horioka saving retention coefficient from 49 peer-reviewed papers published over three decades. We get two main results. First, correcting for publication bias, we find a consistent underlying coefficient lying between 0.56 and 0.67 for studies using the original paper. Second, heterogeneity reported in the estimates of the Feldstein and Horioka can be explained by a few main factors. In particular, we find evidence that the saving retention coefficient is systematically underestimated with models written in first difference, models using the saving ratio or the current account ratio as the dependent variable instead of the investment ratio, and models including indicators of the public deficit or indicators of the country size as additional explanatory variables.

Big Data : passer d’une analyse de corrélation à une interprétation causale

Le rôle d’un actuaire dans une compagnie d’assurance est assez souvent d’estimer la probabilité qu’un événement survienne, ou ses possibles conséquences financières, et fonction de variables dites « explicatives ». On voit en effet que certaines variables sont « statistiquement corrélées » avec la survenance d’un accident dans l’année, mais prétendre que l’on dispose d’une « explication » est un peu dangereux. Ce sont pourtant les interrogations qui étaient soulevées lors des débats sur l’utilisation du sexe en tarification : si les femmes ont moins d’accidents, en moyenne, que les hommes, pourquoi ne pas utiliser cette variable en tarification ? Le problème est que s’arrêter à une étude des corrélations ne permet pas de vraiment comprendre ce qui se cache vraiment derrière un phénomène. Dans un précédant billet, on notait que de telles études pouvaient conduire à des interprétations paradoxales, et erronées.
Comme le notait Dubuisson (2008), « comme le reconnaissent les actuaires, la mise en évidence d’un lien causal entre le critère choisi et la variation de la sinistralité s’apparente à la quête du Graal ». Les données massives, big data, permettent peut être d’avoir accès à davantage d’information, et de mieux comprendre ce qui peut causer un risque. Un exemple classique est un paradoxe qui a été long à comprendre par les épidémiologistes, sur la mortalité infantile, le poids des bébés et le tabagisme de la mère. Nous allons reprendre cet exemple ici et analyser comment l’utilisation de données massives a permis de mieux comprendre ce qui pouvait réellement causer une surmortalité infantile.

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Log-transform kernel density estimation of income distribution

Our paper Log-transform kernel density estimationof income distribution, written with Emmanuel Flachaire is now available on http://papers.ssrn.com/id=2514882,

Standard kernel density estimation methods are very often used in practice to estimate density function. It works well in numerous cases. However, it is known not to work so well with skewed, multimodal and heavy-tailed distributions. Such features are usual with income distributions, defined over the positive support. We first show that a preliminary logarithmic transformation of the data, combined with standard kernel density estimation methods, can provide a much better fit of the overall density estimation. Then, we show that the fit of the bottom of the distribution may not be satisfactory, even if a better fit of the upper tail can be obtained in general.

De la difficulté de faire des prévisions (quand on a peu de données)

Depuis plusieurs mois, on observe un engouement (probablement légitime) pour le big data. Si beaucoup peut être fait pour utiliser les volumes énormes de données à la disposition des assureurs, il convient de garder en mémoire que dans beaucoup de cas, les données sont rares et que la technologie ne devrait pas pouvoir changer grand chose. Le manque de données (fiables) crée une variabilité importante.

  • Loi des grands nombres, approximations et statistique asymptotique

Tout comme les assureurs, les statisticiens aiment les gros volumes de données. Pour les assureurs, les gros portefeuilles sont considérés comme moins incertains, et pour les mêmes raisons, les statisticiens disposent, avec des grosses bases de données, d’estimateurs moins volatiles (on parle d’ailleurs du risque associé à un estimateur). Supposons que l’on suive un portefeuille de 1047 assurés, pendant un an, et que 159 ait réclamé un sinistre auprès de la compagnie. La probabilité qu’un assuré ait un sinistre est

Si on admet que l’ont dispose d’assez d’observations, on peut utiliser une approximation Gaussienne du taux de réclamation, et obtenir un intervalle de confiance à 95%, de telle sorte qu’il y a 95 chances sur 100 que le taux de réclamation appartienne à l’intervalle1

On utilise ici l’approximation2 de la loi binomiale (le nombre de personnes qui réclame suit une loi binomiale) par une loi Gaussienne, comme sur la Figure ci-dessous,

Avec cette approximation, on peut valoriser des contrats de réassurance. On peut ainsi approcher les probabilités d’avoir des dérives de la sinistralité dans notre portefeuille. Dans cet exemple, on notera que la probabilité d’avoir un taux de réclamation excédant 20% est de l’ordre de 0.0014%.

  • Prédire des “cygnes noirs”

Supposons qu’un assureur décide de vendre à des collectivités locales des contrats d’assurance en cas de marée noire. Dans un modèle actuariel standard, la prime à payer devrait être , où  est la probabilité qu’une marée noire survienne par kilomètre de côte,  la longueur de la côte de la région assurée, et  le montant de l’indemnité versée. Après 5 ans d’expérience, l’assureur souhaite faire le bilan de son produit. Sauf qu’aucune marée noire n’a été observée. Que peut-il dire sur son tarif ?

Cet exemple (à peine) fictif est a rapprocher d’une question posée dans les années 1950 à l’actuaire L.H. Longley-Cook: est-il possible de prédire (ou d’estimer) la probabilité d’observer, une année donnée, une collision en plein vol, entre deux avions ? Il n’y avait jamais eu de (grave) collision d’avions commerciaux lorsque la question avait été posée. Et sans aucune expérience passée, les statisticiens ne savaient trop quoi répondre. Pourtant, Longley-Cook avait prédit ” anything from 0 to 4 […] collisions over the next ten years“, comme le raconte McGrayne (2012). Deux ans plus tard, 128 personnes perdirent la vie au dessus de Grand Canyon lors d’une telle collision, et quatre an plus tard, ce sont 133 personnes qui périrent au dessus de New York.

  • La réponse Bayésienne

L’idée de Longley-Cook était d’utiliser des techniques bayésienne en actuariat. Comme le notait Liu et al. (1996)Statistical methods with a Bayesian flavor […] have long been used in the insurance industry”. Dans Charpentier (2007), nous avions vu l’apport des techniques de crédibilité et les liens avec la statistique bayésienne. Et comme le raconte McGrayne (2012), Arthur Bailey a joué un rôle essentiel, précisément en proposant des techniques dans le cas d’évènements (très) rares.

[Arthur] Bailey spent his first year in New York [in 1918] trying to prove to himself that ‘all of the fancy actuarial [Bayesian] procedures of the casualty business were mathematically unsound.’ After a year of intense mental struggle, however, he realized to his consternation that actuarial sledgehammering worked. He even preferred it to the elegance of frequentism. He positively liked formulae that described ‘actual data . . . I realized that the hard-shelled underwriters were recognizing certain facts of life neglected by the statistical theorists.’ He wanted to give more weight to a large volume of data than to the frequentists small sample; doing so felt surprisingly ’logical and reasonable.’ He concluded that only a ‘suicidal’ actuary would use Fishers method of maximum likelihood, which assigned a zero probability to nonevents. Since many businesses file no insurance claims at all, Fishers method would produce premiums too low to cover future losses.

Pour rappel, le théorème de Bayes permet d’écrire

Si on suppose disposer d’un échantillon d’observations  de loi , où, classiquement  est vu comme un paramètre inconnu que l’on cherche à estimer. Ici, on va supposer qu’il s’agit d’une variable aléatoire dont on va pouvoir obtenir une distribution (dite à posteriori) compte tenu des observations dont on dispose. On écrit alors

où le premier terme est une loi a priori que l’on se donne sur le paramètre , et le second est la vraisemblance de l’échantillon.

Afin d’illustrer un peu, reprenons notre exemple initial, où on dispose de 5 assurés, et qu’aucun n’ai réclamé de sinistre. Que peut-on dire sur la probabilité qu’un assuré ait un sinistre. Avec les approches classiques, la probabilité estimée serait nulle. Ce qui est gênant pour calculer ensuite une prime convenable. La réponse Bayésienne consiste à suppose que la probabilité de réclamer un sinistre est une variable aléatoire, dont on peut calculer la loi a posteriori, compte tenu du fait que l’on observé – pour l’instant – cinq observations nulle. En utilisant la relation précédente, la densité a posteriori est ici

où le second terme est la probabilité d’avoir cinq fois 0 avec une loi de Bernoulli, ce qui vaut , et où le premier terme est une loi que l’on se donne, a priori pour .

Une loi qui pourrait sembler naturelle serait la loi uniforme, pouvant être perçu comme non informative. Dans ce cas, la densité de , a posteriori, est proportionnelle à . Comme le montre la Figure ci-dessous, on a ici beaucoup de chance que  prenne une valeur proche de 0 (ce qui a du sens, car on n’a jamais observé de réclamation, jusqu’à présent). A priori, il a avait 95 chances sur 100 que la probabilité soit inférieure à 95% (c’est l’idée de la loi uniforme comme loi a priori). Après cinq expériences sans sinistre, a posteriori, il y a 95 chances sur 100 que la probabilité de réclamer soit inférieure à 40%. Si nous avions observé dix fois la valeur nulle, il y aurait, a posteriori, 95 chances sur 100 que la probabilité de ne pas réclamer soit inférieure à 25%.

La Figure ci-dessous montre la déformation de la loi a posteriori, au fur et à mesure de la mise à jour, avec la loi a priori à gauche, puis a posteriori sachant qu’une observation est arrivée (nulle), puis une seconde, puis une troisième, etc.

Sur la figure ci-dessous, il s’agit à nouveau de la déformation de la loi a posteriori, avec une loi a priori différente (en l’occurrence, la loi dite non-informative de Jeffreys)

  • Les outils statistiques pour le small data

De même que le big data pose des problèmes aux techniques statistiques classiques, et permet de découvrir les techniques d’apprentissage, le small data pose des problèmes à laquelle la statistique classique n’apporte aucune réponse. Les actuaires redécouvrent les techniques bayésiennes, mais aussi d’autres outils qui permettent malgré tout d’apporter des réponses quantitatives pertinentes. Pour quantifier l’incertitude lors du calcul des provisions pour sinistres à payer, les actuaires utilisent des techniques de rééchantillonage (bootstrap) depuis une vingtaine d’années (rappelé dans Charpentier, Devineau & Nessi (2010)) pour tenir compte du peu de données dans les triangles de liquidation. Si le big data ouvre des perspectives fascinantes à explorer pour les actuaires (en particulier en souscription), il convient de garder en mémoire que dans beaucoup de cas, les actuaires doivent quantifier des risques avec très peu de données. L’avenir n’est aucunement au big data ! L’avenir est au contraire dans la connaissance de techniques permettant de traiter à la fois des gros volumes de données, mais aussi de faire face à un insuffisance de données.

1 Dans le cas des événements (très) rares, l’approximation par une loi de Poisson sera nettement meilleure, mais ici, la probabilité est de l’ordre de 15%, ce qui est trop élevé.

2 On retrouve ici les intervalles de confiance mentionnés désormais dans les sondages.

Copula Density Estimation

The joint paper, written with Gery Geenens and Davy Paindaveine, entitled Probit transformation for nonparametric kernel estimation of the copula density” is now online on http://arxiv.org/abs/1404.4414

Copula modelling has become ubiquitous in modern statistics. Here, the problem of nonparametrically estimating a copula density is addressed. Arguably the most popular nonparametric density estimator, the kernel estimator is not suitable for the unit-square-supported copula densities, mainly because it is heavily affected by boundary bias issues. In addition, most common copulas admit unbounded densities, and kernel methods are not consistent in that case. In this paper, a kernel-type copula density estimator is proposed. It is based on the idea of transforming the uniform marginals of the copula density into normal distributions via the probit function, estimating the density in the transformed domain, which can be accomplished without boundary problems, and obtaining an estimate of the copula density through back-transformation. Although natural, a raw application of this procedure was, however, seen not to perform very well in the earlier literature. Here, it is shown that, if combined with local likelihood density estimation methods, the idea yields very good and easy to implement estimators, fixing boundary issues in a natural way and able to cope with unbounded copula densities. The asymptotic properties of the suggested estimators are derived, and a practical way of selecting the crucially important smoothing parameters is devised. Finally, extensive simulation studies and a real data analysis evidence their excellent performance compared to their main competitors.”

Natural Catastrophe Insurance: How Should Governments Intervene?

The paper, written with Benoit le Maux, “Natural Catastrophe Insurance: How Should Government Intervene?” should appear soon in the Journal of Public Economics.

This paper develops a theoretical framework for analyzing the decision to provide or buy insurance against the risk of natural catastrophes. In contrast to conventional models of insurance, the insurer has a non-zero probability of insolvency which depends on the distribution of the risks, the premium rate, and the amount of capital in the company. When the insurer is insolvent, each loss reduces the indemnity available to the victims, thus generating negative pecuniary externalities. Our model shows that government-provided insurance will be more attractive in terms of expected utility, as it allows these negative pecuniary externalities to be spread equally among policyholders. However, when heterogeneous risks are introduced, a government program may be less attractive in safer areas, which could yield inefficiency if insurance ratings are not chosen appropriately.

The paper is still available on the http://papers.ssrn.com/1832624 website.