Publication d’un papier sur les modèles en réassurance dans la revue Risques (ici), suite à un questionnement sur la pertinence des modèles classiques utilisés par les réassureurs. La question initiale était partie de la constatation – que l’on retrouve ici ou là – sur l’utilisation (ou la mauvaise utilisation) de modèles sophistiques en finance de marché, en essayant d’expliquer que – d’un point de vue épistémologique au moins – les modèles des réassureurs étaient plus robustes. En particulier, on notera que les modèles les plus anciens utilisés par les réassureurs (en particulier la loi de Pareto comme je l’avais évoqué ici) ont eu une légitimité pratique durant plusieurs décennies avant d’être justifiés par la théorie des valeurs extrêmes. Je ferais d’ailleurs bientôt un billet sur l’histoire des valeurs extrêmes en statistiques, en revenant en particulier sur les travaux de Gumbel ou de Fréchet.
Sinon le code utilisé dans le papier est en ligne ici, et la base là
> sinpe = read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/sinpe.csv",header=TRUE,sep=";") > head(sinpe) DSUR MNTPE 1 19850206 240439 2 19851228 125674 3 19850504 488331 4 19851118 457347 5 19850220 990919 6 19851214 182939 > annee=as.numeric(substr(as.character(sinpe$DSUR),1,4)) > sinistres=sinpe$MNTPE[annee>1992] > XS=sinistres/100000
On se limite ici aux sinistres survenus après 1992. Si l’on visualise ces montants de sinistres, on obtient
> datesur=as.Date(as.character(sinpe$DSUR),"%Y%m%d") > jour=datesur[annee>1992] > plot(jour,sinistres/100000,xlab="",ylab="Coût individuel",cex=.5,ylim=c(0,600)) > ded=50 > abline(h=ded)
On peut aussi faire le graphique Pareto-log-log,
> library(evir) > n=length(X) > plot(log(sort(X)),log((n:1)/(n+1)), + xlab="Coûts des sinistres (logarithme)",ylab="Fonction de survie (logarithme)",cex=.8) > out <- gpd(XS, 15) > XI=as.numeric(out$par.ests[1]); BETA=as.numeric(out$par.ests[2]) > x0=seq(2,8,.01) > lines(x,-1/XI*(x-log(15)),col="red")
(l’ajustement de la loi de Pareto permettant de tracer la droite rouge) ou encore visualiser l’estimateur de Hill de l’indice de queue,
> hill(X)
Pour finir, le code suivant permet de calculer la prime pure (ou plus généralement une prime de Wang) soit de manière non-paramétrique (burning cost) ou bien en utilisant l’ajustement d’une loi de Pareto. Le papier étant un papier de vulgarisation, j’ai pris le seuil de manière arbitraire, sans aucune recherche de valeur “optimale”
> DEDUC = seq(10,50,by=5)
> lambda=0; seuil=5
> WG1=WG2=rep(NA,length(DEDUC))
> for(k in 1:length(DEDUC)){
+ deductible=DEDUC[k]
+ out <- gpd(XS, seuil)
+ XI=as.numeric(out$par.ests[1]); BETA=as.numeric(out$par.ests[2])
+ G0=function(x){1-pgpd(x+seuil, xi = XI, mu = seuil, beta = BETA)}
+ G=function(x){(G0(x+deductible-seuil))/(G0(deductible-seuil))}
+ F=function(x){pnorm(qnorm(G(x))+lambda)}
+ (wang1=integrate(F, 0, Inf))
+ X=XS[XS>deductible]
+ n=length(X)
+ FS= function(z){
+ m=rep(NA,length(z))
+ for(i in 1:length(m)){
+ m[i]=sum(X>z[i]+deductible)/n}
+ return(m)
+ }
+ G=function(x){pnorm(qnorm(FS(x))+lambda)}
+ (wang2=sum(G(seq(0,800,.01))*.01))
+ WG1[k]=as.numeric(wang1$value)
+ WG2[k]=wang2
+ }
> plot(DEDUC,WG2-DEDUC,type='b',xlab="Niveau de la priorité ('00 000 euros)",ylab="Prime pure par sinistres réassuré",ylim=c(0,50))
> lines(DEDUC,WG1-DEDUC,type='b',col="red",pch=4)
> legend(10,50,c("Aujustement d'une loi de Pareto","'Burning cost'"),
+ col=c("red","black"),lty=1,cex=.8,pch=c(4,1))
En cours d’actuariat, nous commencerons à parler des tables de mortalité prospectives.
Pour avoir un cycle de semaines entières, il faut compter 400 ans, soit 20871 semaines (ce que l’on appelle un cycle grégorien). Mais en 400 ans, on a 4800 mois, soit 4800 “13”… qui n’est pas divisible par 7, ce qui tend à laisser penser que certains jours de la semaine tomberont (un peu) plus souvent que les autres… Et Brown a montré que c’était le cas (dès 1933, dans le American Mathemical Monthly1). Pour les amateurs, Jean-Luc Nothias avait fait un article en mars dernier sur le sujet (
1 B. H. Brown, “Solution to Problem E36”, American Mathematical Monthly, vol. 40, issue 10 (1933), p. 607 Pour faire simple, un cycle grégorien correspond à 400 années, soit 136097 jours, ou encore 20 871 semaines. Si on regarde la distribution des jours on voit que samedi et jeudi tombent 684 fois, lund et mardi 685, mercredi et dimanche 687, et vendredi 688. Bon, d’accord, je pinaille…
Talk at the statistical seminar at the Université de Bretagne Occidentale, in Brest, 
