Category Archives: Maths

Maths can be cool (to impress your kids)

Just imagine that your kids need some help, to prepare fishes for April 1st, like

Her: “please, Daddy, help us to draw some fishes”

Me: “Sure, Daddy is a champion, actually, I do that everyday at work: drawing fishes – and more generally nice stuff – is exactly Daddy’s job”.

OK, no need to talk neither about Talbot’s curvesellipse negative pedal curvenor Burleigh’s ovals, unless you don’t want to scare them, e.g.

t=seq(0,2*pi,length=100) 
b=.8
c=sqrt(1-b^2)
x=cos(t)-c*sin(t)^2
y=(1-2*c^2+c*cos(t))*sin(t)/b
plot(x,y)

From now on, it is rather simple to draw fishes,

t=seq(0,2*pi,length=100)
y=cos(t)-sin(t)^2/sqrt(2)
x=cos(t)*sin(t)
plot(x,y,type="l",axes=FALSE,xlab="",ylab="")
polygon(c(-2,-2,2,2),
c(-2,2,2,-2),col="light blue",border=NA)
polygon(x,y,col="red",border=NA)
axis(1)
axis(2)
lines(x,y,type="l")

so we can easily get nice fishes,

Probabilité et contre-intuition

Je suis tombé un peu par hasard sur un vieux papier de Peter Enis, Enis (1973), qui revient sur une relation que l’on prend toujours pour acquis (moi le premier) à savoir http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/proba07.gif. Mais il faut des hypothèses complémentaires pour que cette relation soit vraie. Le fait que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/proba09.gif existe par exemple ne suffit pas ! (je laisse les amateurs de résultats contre-intuitifs le temps de réfléchir à cette affirmation)

Supposons par exemple que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/proba02.gif, conditionnellement à http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/proba03.gif, suive une loi normale centrée, d’écart-type http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/proba08.gif,

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/proba06.gif

où http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/proba03.gif est une variable (strictement) positive. Presque sûrement http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/proba05.gifquelle que soit la loi de http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/proba03.gif. Et donc http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/proba04.gif. Mais si la loi de http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/proba03.gif présente des queues “trop épaisses” (sans pour autant être extrême pour autant d’ailleurs), il est fort possible que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/proba02.gif ne soit plus intégrable ! Par exemple (c’est ce que propose Enis (1973)), on peut supposer que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/proba03.gif suit une loi Gamma de paramètres 1/2 et 2, i.e. de densité

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/proba01.gif

Dans ce cas, http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/proba02.gif suit une loi de Cauchy, qui n’est pas d’espérance finie. C’est pénible, hein ?

Bon, d’un autre côté, c’est très lié à la définition de l’espérance conditionnelle retenue. En l’occurrence, j’utilisais l’espérance de la loi conditionnelle. Mais je ferais peut être un billet un jour sur les diverses constructions de l’espérance conditionnelle.

Des calculs en base 12 à la magie des log-rendements

Un des gros avantages dans la culture anglo-saxonne, c’est que culturellement, les anglais ont été de grands amateurs du système duodécimal (en base 12). Par exemple, il y a 12 pouces dans un pied, ou le fait que jusqu’aux années 70, il y avait 12 pences dans un schilling… Et ce que j’apprécie, c’est que ce système pousse à manipuler les fractions (2, 3, 4, 6 étant des diviseurs de 12) alors que le système décimal pousse à utiliser les nombres à virgule. Et compte tenu de la proximité avec les États-Unis, même si ici le système métrique a été adopté, il reste des fonds de ces calculs en base 12.
Par exemple, à l’école à Montréal, les tables d’addition et de multiplication vont jusqu’à 12. Aussi, l’autre soir, je faisais réviser les tables (de multiplication) de 11 et 12 à mon fils, et on a passé du temps sur http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-18.gif et http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-19.gif. Car sa première réponse à combien font huit fois douze ? a été ben…. cent ?. J’ai bien entendu protesté (c’est un euphémisme) pour la forme, tout en sachant qu’il est naturel de croire que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-01.gif, ou que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-02.gif. N’est ce pas ce qu’on pense quand on apprend qu’un prix a augmenté de 20% avant de baisser de 20% le lendemain ? Car c’est la même erreur que l’on commet. Et mine de rien, raisonner avec des rendements, c’est pénible…. (tous ceux qui ont discuté taux d’intérêt avec un banquier le savent).
Pour rappel, on définie le rendement comme la variation relative, i.e.

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-03.gif

L’intérêt de cette formule est évident

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-04.gif

Et si on regarde ce qui se passe sur deux jours

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-05.gif

Aussi, si un jour on a un rendement de http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-06.gif, et le lendemain un rendement de http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-07.gif

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-08.gif

Autrement dit, si on subit une baisse de 10% puis une hausse de 10% (ou le contraire d’ailleurs), on ne revient pas à la position initiale, car http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-09.gif(ou ce que je voyais avec mon fils quand on notait que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-10.gif). En fait, on perd de l’argent… Damned, c’est pénible ça, non ? D’autant plus que si on répète cette alternance (entre une baisse de 10% puis une hausse de 10%) sur un an, au final, on a perdu 85% de valeur… Autrement dit, avec des rendements d’espérance nulle, et symétriques, la volatilité à elle seule fait perdre de l’argent…
Si on s’intéresse maintenant aux log-rendement,

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-11.gif

cette fois, on note que

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-12.gif

(on retrouve très explicitement la croissance exponentielle des prix). En faisant des développements limités, i.e. si les rendements sont faibles, alors on observe que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-13.gif. En effet

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-15.gif

Aussi, si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-14.gif vaut 0.05, on parlera (abusivement) de hausse de 5%. Si on regarde une évolution sur deux jours,

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-16.gif

Autrement dit, si on subit une baisse de 10% (en log-rendement) puis une hausse de 10% (ou le contraire), on revient à la position initiale (et donc on a une variation nulle) car http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-20.gif.
C’est probablement pour ça que les financiers utilisent des log-rendements: ils n’ont pas (en toute rigueur) la même interprétation que la variation relative, mais au moins on peut faire les calculs de manière très intuitive.

Good old days, politics and mathematics

2012 will be, in several countries, a presidential election year. Some decades ago, candidates were not always supposed to spend months on some demagogicdemocratic debates, but had time to spend on more important problems. Like mathematics… For instance, a congressman, who became the 20th president of the United States, James Garfield, gave the following proof to the Pythagorean theorem (actually, he wrote that proof five years before he become President). The legend claims that he found this proof in 1876 during a mathematics discussion with some of the members of Congress… Those were good old days, when politicians were interested in mathematics, and sciences. The proof he suggested was the following

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/PYTH-1.gif

i.e. http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/pyth02.gif, since

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/pythagore01.gif

I found that nice graph in Roger Nelsen’s book. For more details, Klebe (1995), or on wikipedia. And for those who love proofs without words, look at the 96 geometrical proofs of the Pythagorean theorem mentioned on http://www.cut-the-knot.org/.

Régression, variables explicatives et géométrie

La régression (comme tout calcul d’espérance conditionnelle) est un problème de projections

Un théorème intéressant est le théorème dit de Frisch-Waugh, permettant de comprendre la différence fondamentale entre un modèle de régression multiple, et les modèles de régression simple. On reviendra sur ce point en cours en évoquant rapidement le paradoxe de Simpson. La formulation est la suivante: on veut régresser http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2016/05/FW15.gif sur http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2016/05/FW16.gif et http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2016/05/FW17.gif, deux ensembles (a priori disjoints) de variables explicatives,

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2016/05/FW02.gif

Les équations normales (associées au problème de minimisation de la somme des carrés des erreurs) sont

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2016/05/FW11.gif

de telle sorte qu’à l’optimum on peut relier les estimateurs des deux jeux de paramètres par

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2016/05/FW12.gif

La première partie correspond à la régression de http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2016/05/FW15.gif sur http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2016/05/FW13.gif, mais il reste un second terme dès lors que http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2016/05/FW16.gif et http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2016/05/FW17.gif ne sont pas orthogonales. Notons http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2016/05/FW04.gifla matrice de projection (orthogonale) sur http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2016/05/FW16.gif

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2016/05/FW06.gif

Alors on peut écrire

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2016/05/FW03.gif

En posant

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2016/05/FW07.gif et http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2016/05/FW08.gif,

on retrouve un modèle linéaire classique (à condition de travailler sur la projection des variables sur le sous-espace engendré par http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2016/05/FW16.gif , i.e. en transformant les variables),

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2016/05/FW10.gif

Pour aller plus loin sur la géométrie des moindres carrées, et sur le théorème de Frisch-Waugh, je peux renvoyer à des notes de cours, et à quelques transparents

Le graphique ci-dessous correspond au cas où les variables explicatives sont orthogonales, et dans ce cas, la régression multiple est équivalente à deux régressions simples

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2016/05/FW1.gif

Le graphique ci-dessous au cas non orthogonal,

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2016/05/FW2.gif

Le code qui permet de vérifier ces histoires de projections successives est relativement simple. Tout d’abord on importe les données, et on regarde le modèle global,

> chicago=read.table(
+ "http://freakonometrics.free.fr/chicago.txt",
+ header=TRUE,sep=";")
> Y=chicago$Fire
> X1=chicago$X_1
> X2=chicago$X_2
> X3=chicago$X_3
> base=data.frame(Y,X1,X2,X3)
> tail(base)
Y    X1 X2     X3
42  4.8 0.152 19 13.323
43 10.4 0.408 25 12.960
44 15.6 0.578 28 11.260
45  7.0 0.114  3 10.080
46  7.1 0.492 23 11.428
47  4.9 0.466 27 13.731
> regression=lm(Y~X1+X2+X3)
> summary(regression)

Call:
lm(formula = Y ~ X1 + X2 + X3)

Residuals:
Min     1Q Median     3Q    Max
-9.737 -4.565 -1.479  3.751 16.079

Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 22.07525    6.19447   3.564 0.000910 ***
X1          -0.62764    5.28130  -0.119 0.905953
X2           0.22378    0.06161   3.632 0.000744 ***
X3          -1.55059    0.38195  -4.060 0.000204 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 6.527 on 43 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.4417,	Adjusted R-squared: 0.4027
F-statistic: 11.34 on 3 and 43 DF,  p-value: 1.314e-05

> n=length(Y)
> X=matrix(c(rep(1,n),X1,X2,X3),n,4)
> X[1:5,]
[,1]  [,2] [,3]   [,4]
[1,]    1 0.604   29 11.744
[2,]    1 0.765   44  9.323
[3,]    1 0.735   36  9.948
[4,]    1 0.669   37 10.656
[5,]    1 0.814   53  9.730

Ensuite, on va projeter seulement sur les deux premières variables (et la constante)

> FWX1=X[,1:3]
> regression12=lm(Y~X1+X2)
> solve(t(FWX1)%*%FWX1)%*%t(FWX1)%*%Y
[,1]
[1,]  0.08069764
[2,] 11.56913900
[3,]  0.15108490
> summary(regression12)$coefficients
Estimate Std. Error    t value   Pr(>|t|)
(Intercept)  0.08069764 3.49182154 0.02311047 0.98166664
X1          11.56913900 5.05014782 2.29085156 0.02681947
X2           0.15108490 0.06854408 2.20420043 0.03278652
>
>
> FWX2=X[,4]
> H1=FWX1%*%solve(t(FWX1)%*%FWX1)%*%t(FWX1)
> M1=diag(rep(1,n))-H1
> FWX2s=M1%*%FWX2
> FWYs =M1%*%Y
> (beta2=solve(t(FWX2s)%*%FWX2s)%*%t(FWX2s)%*%FWYs)
[,1]
[1,] -1.550594
> summary(regression)$coefficients[4]
[1] -1.550594
>
> (beta1=solve(t(FWX1)%*%FWX1)%*%t(FWX1)%*%Y-
+        solve(t(FWX1)%*%FWX1)%*%t(FWX1)%*%FWX2%*%beta2)
[,1]
[1,] 22.0752495
[2,] -0.6276442
[3,]  0.2237765
> summary(regression)$coefficients[1:3]
[1] 22.0752495 -0.6276442  0.2237765

On retrouve bien l’estimateur du dernier paramètre à l’aide du théorème de Frisch-Waugh, puis en utilisant les équations normales, on en déduit les trois premiers.

Even odds

This evening, I found a nice probabilistic puzzle on http://www.futilitycloset.com/“A bag contains 16 billiard balls, some white and some black. You draw two balls at the same time. It is equally likely that the two will be the same color as different colors. What is the proportion of colors within the bag?”
To be honest, I did not understood the answer on the blog, but if we write it down, we want to solve

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/futil-01.gif

Let us count: if http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/futil-04.gif is the total number of balls, and if http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/futil-03.gif is the number of white http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/futil-05.gifballs then

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/cccccwwwwwww.gif

I.e. we want to solve a polynomial equation (of order 2) in http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/futil-07.gif, or to be more precise, in  http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/futil-00.gif

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/futil-06.gif

If http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/futil-04.gif is equal to 16, then http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/futil-03.gif is either 6 or 10. It can be visualized below

> balls=function(n=16){
+ NB=rep(NA,n)
+ for(k in 2:(n-2)){
+ NB[k]=(k*(k-1)+(n-k)*(n-k-1))
+ }
+ k=which(NB==n*(n-1)/2)
+ if(length(k)>0){
+ plot(1:n,NB,type="b")
+ abline(h=n*(n-1)/2,col="red")
+ points((1:n)[k],NB[k],pch=19,col="red")}
+ return((1:n)[k])}
> balls()
[1]  6 10

But more generally, we can seek other http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/futil-04.gif‘s and other pairs of solutions of such a problem. I am not good in arithmetic, so let us run some codes. And what we get is quite nice: if http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/futil-10.gif admits a pair of solutions, then http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/futil-10.gif is the squared of another integer, say http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/futil-13.gif. Further, the difference between http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/futil-11.gif and http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/futil-12.gif is precisely http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/futil-13.gif. And http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/futil-12.gif will be one of the answers when the total number of balls will be http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/futil-20.gif. Thus, recursively, it is extremely simple to get all possible answers. Below, we have http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/futil-04.gifhttp://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/futil-03.gifhttp://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/futil-21.gif and the difference between http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/futil-21.gif and http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/futil-03.gif,

> for(s in 4:1000){
+ b=balls(s)
+ if(length(b)>0) print(c(s,b,diff(b)))
+ }
[1] 9 3 6 3
[1] 16  6 10  4
[1] 25 10 15  5
[1] 36 15 21  6
[1] 49 21 28  7
[1] 64 28 36  8
[1] 81 36 45  9
[1] 100  45  55  10
[1] 121  55  66  11
[1] 144  66  78  12
[1] 169  78  91  13
[1] 196  91 105  14
[1] 225 105 120  15
[1] 256 120 136  16
[1] 289 136 153  17
[1] 324 153 171  18
[1] 361 171 190  19
[1] 400 190 210  20
[1] 441 210 231  21
[1] 484 231 253  22
[1] 529 253 276  23
[1] 576 276 300  24
[1] 625 300 325  25
[1] 676 325 351  26
[1] 729 351 378  27
[1] 784 378 406  28
[1] 841 406 435  29
[1] 900 435 465  30
[1] 961 465 496  31

Thus, given http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/futil-22.gif, consider an urn with http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/futil-23.gif balls. We draw two balls at the same time. It is equally likely that the two will be the same color as different colors. Then the number of colors within the bag are respectively

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/futil-24.gif

Finally, observe that the http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/futil-11.gif‘s are well known, from Pascal’s triangle,

also known as triangular numbers,

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/tr-pascal.gif

Maths can be magic, sometimes…

Tout le monde peut sortir vainqueur d’un pari ?

Petit paradoxe du jour (emprunté à http://www.futilitycloset.com/). Avec un collègue, suite à un pari stupide, nous nous sommes engagé à mettre une cravate, et celui qui a payé sa cravate le plus cher devra la donner à l’autre (ce que nous ne savions pas avant de choisir ladite cravate). A priori, nous avons autant de chance l’un que l’autre de gagner. Si je perds, je perds le prix de ma cravate, disons http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/cravate01.gif. Alors que si je gagne, je gagne une cravate qui vaut plus cher que la mienne, disons http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/corrrec-01.gif, avec http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/corrre-2.gif. Aussi, mon espérance de gain est

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/cravate04.gif

aussi, en moyenne, je vais sortir gagnant de ce pari. Sauf que mon collègue peut faire le même raisonnement… Donc en moyenne, on y gagne tous… Étonnant, non ?

Quel lancer de dé faire à Serpents et Échelles ?

Hier soir, j’évoquais l’utilisation des chaînes de Markov au jeu Serpents et Échelles. Comme me le faisait remarquer Jean-Philippe, de manière assez étrange, les enfants sont toujours beaucoup plus content après avoir fait un 6 qu’après avoir fait un 1. Mais est-ce réellement la valeur optimale que le dé doit prendre ? Ça dépend bien sûr de la position. Par exemple, au premier lancer, on peut se demander ce que deviendrait le nombre de tours moyen nécessaires pour finir le jeu, conditionnellement aux 6 lancers possibles. On peut calculer, toujours conditionnellement aux 6 valeurs possibles de dés (et des positions où on va se retrouver), l’espérance du nombre de tours pour finir la partie,

esperance=function(h0){
INITIAL = as.numeric(which(M[h0+1,]>0))-1
ESPERANCE=rep(NA,length(INITIAL))
names(ESPERANCE)=INITIAL
for(k in 1:length(INITIAL)){
initial=rep(0,n+1); initial[INITIAL[k]]=1
distrib=initial%*%M
game=rep(NA,1000)
for(h in 1:length(game)){
game[h]=distrib[n+1]
distrib=distrib%*%M}
ESPERANCE[k]=sum(1-game)}
return(ESPERANCE)}

(à partir du code mis en ligne hier), e.g. pour le premier lancer,

> esperance(0)
1        2        3        5        6       14
32.16499 31.99947 31.82348 31.47954 31.36441 29.83020

où la valeur indiquée est la position où l’on pourrait se retrouver (la dernière correspond à un 4). On note que le meilleur premier lancer possible est celui qui nous amène sur la première échelle, i.e. la 4ème case,

Si on regarde case par case, on a les valeurs des “meilleurs” lancers de dés suivant (sans forcément l’unicité) en fonction de sa position sur le plateau

(avec en rouge les serpents et en bleu les échelles). Amusant non ?

11/11/11 11:11

Aujourd’hui, c’est la fête du parallélisme ! Déjà que 11:11 mettait Pierre Desproges dans un état proche de l’orgasme, mais qu’il soit 11:11 le 11/11/11… c’est la fête ! Tous les amateurs de parallélisme vont apprécier.

On va aussi dire que c’est la fête du théorème de Thalès.

Monsieur Thalès, alias Thalès de Millet (Θαλῆς ὁ Μιλήσιος) était un brave monsieur qui faisait des mathématiques il y a un peu plus de 2500 ans (et contrairement à ce que croit ma fille, je n’ai pas connu cette époque là, ni celle des – vrais – dinosaures). Selon Plutarque, dans Le Banquet des Sept Sages, un pharaon (en l’occurrence Ahmès II) aurait dit que personne ne serait capable de calculer la hauteur de la grande pyramide de Khéops. “Challenge accepted” se serait alors écrié Thalès (πρόκληση αποδεκτή à l’époque) et il aurait relevé le défi en calculant le rapport entre son ombre et celle d’un bout de bois…


vous avez mesuré la pyramide sans le moindre embarras et sans avoir eu besoin d’aucun instrument. Après avoir dressé votre bâton à l’extrémité de l’ombre que projetait la pyramide, vous construisîtes deux triangles par la tangence d’un rayon, et vous démontrâtes qu’il y avait la même proportion entre la hauteur du bâton et la hauteur de la pyramide qu’entre la longueur des deux ombres

(Denis Guedj en parle dans le Théorème du Perroquet). Formellement, si on utilise le dessin à droite, ce théorème dit que si les droites rouges sont parallèles, alors

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/latex/thales.gif

Ce théorème est fondamental non seulement en géométrie, mais plus généralement, car c’est la base de la règle de trois ! En effet, le parallélisme induit de la proportionnalité. Et la proportionnalité est la base de tout. J’avais fait un billet sur la règle de trois et les techniques de provisionnement en assurance non-vie, et j’en ai parlé dans le cours de tarification, lorsque l’on faisait des régressions avec un modèle multiplicatif. Mais je parle trop, cet instant magique ne dure qu’une seconde, et ça serait dommage de le gâcher avec mes petites histoires…

Dictées, et mathématiques

Tous les soirs, c’est la guerre avec mon fils pour faire les devoirs… et surtout pour préparer la dictée du vendredi. Car pour se préparer, on fait trois dictées à la maison, avant la dictée en classe (le mardi soir, le mercredi soir et le jeudi soir). Le truc, c’est qu’avec sa mère, on n’adore pas faire la dictée, donc la règle tacite est “celui qui a fait la dictée un soir ne la fera pas le lendemain…“.

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso4/plumier.gif

Mon fils, qui cherchait à négocier un cinéma en fin de semaine, proposa la règle suivante “si je fais moins de trois fautes au moins une fois je peux aller au cinéma samedi !…“. Afin de ne pas sembler trop laxiste, il a fallu que je demande un peu plus, “euh… si deux soirs de suite, tu fais moins de trois fautes, tu as gagné !…“. Bon, il faut reconnaître que j’ai toujours tendance à faire des dictées avec des phrases plus alambiquées, et la probabilité de faire plus de trois fautes est plus grande s’il fait une dictée avec son père que s’il fait une dictée avec sa mère. Avant-hier, comme nous étions mardi soir, je lui demande “maintenant que tu connais la règle, avec qui tu commences ?“. Alors, quelle aurait du être la stratégie optimale de mon fils…?

Oui, il faut que tout le monde cherche, alors on va poursuivre encore un peu l’interlude musical (d’ailleurs, mon admiration sans bornes au premier qui reconnaît les deux morceaux: je lui remettrais personnellement un Sheldon d’or)…

Faisons le calcul: soit http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso4/dictee01.gif la probabilité de faire moins de trois fautes avec son père, et http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso4/dictee02.gifla probabilité de faire moins de trois fautes avec sa mère. S’il commence avec son père (i.e. puis sa mère puis enfin son père, sur les trois soirs), la probabilité de gagner son cinéma est

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso4/dictee03.gif

En revanche, en commençant avec sa mère, elle s’écrit

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso4/dictee04.gif

Or comme http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso4/dictee05.gif (la probabilité de faire moins de trois fautes est plus faible avec son père), alors http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso4/dictee06.gif, et donc, la seconde stratégie est moins bonne: il a donc intérêt à faire deux fois la dictée avec moi, même si c’est avec moi qu’il fait le plus de fautes… Étonnant non ? (en fait pas tant que ça si on note que pour gagner, il est indispensable qu’il ait moins de trois fautes à la dictée du mercredi… donc il est naturel de penser qu’il faut que cette dictée se fasse avec sa mère)

De la difficulté de générer du hasard

J’avais parlé cet été de l’utilisation des chiffres du us treasury balance comme générateur (involontaire) de nombres aléatoires. Cet été, un débat intéressant a secoué le Québec, suite à la plainte déposée par deux joueurs (compulsifs) de l’Extra. L’histoire est raconté en détails sur le site de canoe.ca, ou de lapresse.ca. Le jeu est assez simple. L’histoire un peu moins (c’est pour cela que j’ai préféré renvoyer vers deux sources racontant la même histoire). Pour essayer d’expliquer simplement ce qui s’est passé revenons un peu sur le jeu. Tous les jours, Loto-Québec tire au hasard un nombre de 7 chiffres.

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2015/12/extra06.gif

Comme on le voit ci-dessus, le but est d’avoir les premiers (ou les derniers) chiffres bons.
Quand on achète un ticket, un numéro nous est attribué… et on espère qu’il sera tiré le soir. Mais le soucis est que les joueurs qui intentent un procès n’achetaient pas un mais dix tickets. Et étrangement, à chaque fois, ils avaient un ticket gagnant, et un seul.
En fait, quand on achetait dix combinaisons d’extra, il semble que le premier chiffre sans remise parmi 0 à 9, les cinq suivants avec remise parmi 0 à 9 et le dernier sans remise parmi 0 à 9 (pour reprendre la formulation qu’a utilisé Christian Léger de l’UdM pour me l’expliquer). Sur un achat, on ne voit rien, on a des nombres uniforme… mais avec répétition, ça se complique.
En fait, c’est toujours quand on étudie la dynamique des générateurs de nombres aléatoires que l’on a des surprises.
Par exemple sur les tirages de l’extra (et non pas les numéros des combinaisons des billets, car on ne les trouve pas sur internet, il faudrait acheter les billets pour refaire l’expérience). On peut récupérer l’historique des tirages en ligne, sur le site de loto-quebec.com.

> extra=read.table("http://freakonometrics.blog.
free.fr/public/data/extra-loto-quebec.csv",sep=";",header=TRUE)
> n=1940
> extra=extra[1:(n-1),1:2]
> X=extra[,2]/10000000
Si on regarde les 1940 derniers tirages (car avant, il semble qu’il n’y avait pas 7 mais 6 chiffres), on a la série suivante,

Et un test d’uniformité semble confirmer l’intuition que les nombres sont uniformément répartis,
> ks.test(X,'punif')

	One-sample Kolmogorov-Smirnov test

data:  X 
D = 0.021, p-value = 0.3895
alternative hypothesis: two-sided

Mais générer du hasard, ça n’est pas que ça… Et sur cette série, si on fait des tests sur l’indépendance des observations, on est un peu surpris,

> library(lawstat)
> runs.test(X, plot.it = FALSE, alternative = "two.sided")

	Runs Test - Two sided

data:  X 
Standardized Runs Statistic = -1.8, p-value = 0.07273

> runs.test(X, plot.it = FALSE, alternative = "positive.correlated")

	Runs Test - Positive Correlated

data:  X 
Standardized Runs Statistic = -1.8, p-value = 0.03637

> library(FitAR)
> LjungBoxTest(qnorm(X), k=0, lag.max=12, 
+ StartLag=1, SquaredQ=FALSE)
  m   Qm pvalue
  1  7.2 0.0075
  2  9.2 0.0102
  3 10.9 0.0125
  4 10.9 0.0276
  5 15.3 0.0090
  6 15.4 0.0171
  7 16.1 0.0244
  8 16.3 0.0380
  9 16.7 0.0538
 10 20.6 0.0240
 11 20.8 0.0357
 12 20.8 0.0533

Les traders sont des animaux curieux…

Et je dis ça d’autant plus sereinement que j’ai travaillé un temps en salle de marche, que j’ai pas mal d’anciens élèves qui y sont, ainsi que la majorité de mes copains de promo…

On a beaucoup lu sur les cracks en maths qui partaient faire de la finance. Je ne pense pas qu’il y ait besoin d’être un crack en maths pour aller jouer en salle de marche (comme je l’ai dit à plusieurs reprises ici ou , pas mal de problème de finance sont des problèmes de buveurs d’alcool qui ont du mal à rentrer chez eux), mais c’est vrai que lors des entretiens d’embauche, il n’est pas rare de mettre des petits exos de maths. Le but est surtout de se faire une idée sur la manière dont les candidats résolvent un problème, et de vérifier que les candidats peuvent faire preuve d’un peu de logique (cela dit, j’ai fait la même chose lorsque j’ai recruté un collègue lorsque je travaillais à Hong Kong dans une compagnie d’assurance).
J’y pensais l’autre jour en lisant chasseur de tête (Hodejegerne en vo) de Jo Nesbø (sans l’inspecteur Harry Hole), où un des personnages demandait

En fait, la réponse proposée est fausse, ou partiellement fausse… Et si je le sais c’est parce qu’il y a quelques mois, je discutais avec un ancien élève qui me racontait qu’il posait la même question lors des entretiens d’embauche (ou de stages). Plus précisément, ça commence calmement…

« donnez nous deux nombres premiers qui soient deux nombres impairs consécutifs »

Effectivement, pour l’instant, ce n’est pas trop dur…  on peut penser à 3 et 5, ou 5 et 7, 11 et 13, ou encore 17 et 19. Les plus tordus penseront à 31721 et 31723, voire 49919 et 49921. Bref, cette propriété est assez commune chez les nombres premiers, donc c’est facile…

« donnez nous trois nombres premiers qui soient trois nombres impairs consécutifs »

Si on a pensé à 3 et 5 avant, on pensera naturellement à 3, 5 et 7… Et ça marche… Mais ensuite vient la question plus vicieuse…

« pourriez-vous en trouver trois autres »

plus dur déjà… Un indice ? Comme c’est un entretien d’embauche dans une banque (et pas un exercice d’agrégation de mathématiques), soit il y a une réponse simple… soit la réponse est que ça n’est pas possible….

Et effectivement, ça n’est pas possible. Car si on prend trois nombres impairs consécutifs, il y en a toujours un qui est un multiple de 3. Formellement, on a retenu n, n+2 et n+4

Si les deux premiers (n et n+2) sont premiers, alors n=3k-1 et n+2=3k+1. Et donc n+4=3k+3=3(k+1) qui est un multiple de trois…

Si les deux derniers (n+2 et n+4) sont premiers, alors n+2=3k-1 et n+4=3k+1. Et donc n=3k-3=3(k-1) qui est un multiple de trois…

Enfin, si le premier et le dernier sont premiers, alors n=3k-2 et n+4=3k+2. Et donc n+2=3k qui est un multiple de trois… Donc la seule solution est que le multiple de 3 qui doit apparaître soit précisément 3. Donc la solution unique est 3, 5 et 7.

Je sais pas vous… mais moi ça me laisse un petit goût de pas-fini… On aurait envie d’aller plus loin, genre

« donnez nous n nombres premiers qui soient nombres consécutifs, en comptant de p en p »

en notant que, pour l’instant, on a regardé (uniquement) le cas où n vaut 3, et p vaut 2. Et il y a peut-être un résultat plus général derrière, non ?

Comme me l’a fait note Jürgen, la question un peu mieux formulée (en termes mathématiques) serait

« donnez nous une progression arithmétique de longueur n et de raison p formée de nombres premiers »

Intuitivement, on se doute qu’il faut regarder si n et p sont premiers entre eux (car c’est dans ce cas que la réponse risque de ne pas exister) et c’est ce que m’a confirme Agnès. En fait

  • dans le cas où n et p sont premiers entre eux

si n n’est pas premier, alors il n’y a aucune solution. Par exemple (n,p)=(4,2).
En revanche, si n est premier, alors il n’y a qu’un nombre fini de solution (qui peut être nul, ou 1 comme dans la question initiale). L’idée est que le premier terme est à chercher dans l’ensemble des entiers

{n-(n-1)p, n-(n-2)p, …, np, n}

En particulier, n doit être un des termes de la progression.

Par exemple, si (n,p)=(3,2) il y a une seule solution (3,5,7) alors que pour (n,p)=(5,2) il n’y a pas de solution.Et si (n,p)=(5,6) il y a une seule solution avec (5, 11, 17, 23, 29).

  • dans le cas où n et p ne sont pas premiers entre eux

Dans ce cas, la question doit être difficile (toujours selon Agnès), et on conjecture qu’il y a un nombre infini de solutions. Je ne sais pas si ça aide, car je ne sais pas si cet infini est grand ou pas… au sens où il faudrait peut être attendre un temps long infiniment long pour avant de tomber sur une telle suite…
En fait, Jürgen me suggérait de regarder un article de Green et Tao (ici) qui ont montré qu’il existe une infinité de progressions arithmétiques (formées de premiers) de longueur arbitraire. Plus précisément, on conjecture que le nombre de progressions de longueur n et de raison p (formées de nombres premiers) dans l’ensemble des nombres entiers de 1 à m serait de l’ordre de m/log(m)^n. Pour rappel, le théorème des nombres premiers dit qu’il y a m/log(m) nombres premiers entre 1 et m (Hadamard, La Vallée Poussin, 1896, ici).

Intéressant problème, non ? En tous les cas, au moins pour repérer des nerds… pour embaucher des gens qui pourront éviter d’acheter ou de vendre n’importe quoi, je ne sais pas trop le rapport…

Cela dit, pour ceux que ces problèmes amusent, un conteur dans le Lot nous a posé une question que je ne serais pas surpris de voir réapparaître dans les entretiens d’embauche, « Dans un lointain pays, un roi souhaite commander plusieurs bagues en or parfaitement identiques a 10 joailliers (et il peut en demander autant qu’il le souhaite à chacun) de 10 grammes chacune . Si 9 sont parfaitement honnêtes, 1 d’entre eux ne peut s’empêcher d’enlever 1 gramme d’or à chacune des bagues qu’il fabrique… Mais le roi ne sait pas lequel. Comment peut-il le démasquer en faisant une unique pesée..? ».

Avis aux amateurs…

En fait, comme il peut demander autant qu’il le souhaite, il demande 1 bague au premier joaillier, 2 au second, 3 au troisième, …., 10 au dernier. Il pèse alors toutes les bagues ensemble. Si tous étaient honnêtes, il y aurait 550 grammes. Le nombre de grammes qu’il manque dit quel joaillier a triché. S’il manque 3 grammes, c’est que 3 bagues sont trop légères, et c’est donc le troisième joaillier qui a triché.

Loi des grands nombres et théorème central limite en assurance

Dans le dernier numéro de la revue Risques figure un petit article sur la loi des grands nombres et le théorème central limite en assurance (ici) Le but était de remettre un peu les pendules à l’heure sur la différence entre les implications de ces deux résultats, et surtout d’amorcer une discussion sur l’importance des hypothèses (en particulier celle de risques indépendants).

Petit calcul de probabilités

En mars 1996, Parade Magazine publiait une question intéressante relative à un calcul de probabilité (la question est reproduite ici, ainsi qu’une discussion autour de l’existence de ce professeur… mais comme le note le site , il semble qu’il s’agisse d’une légende urbaine). De manière un peu surprenante, la réaction de la personne est que – si les deux élèves ont menti – la probabilité que deux personnes désigne le même pneu d’une voiture serait de 1/16. Pourtant, si on note A, B, C et D les quatre pneus de la voiture, un dénombrement rapide donne 16 situations possibles,

(A,A) (A,B) (A,C) (A,D)
(B,A) (B,B) (B,C) (B,D)
(C,A) (C,B) (C,C) (C,D)
(D,A) (D,B) (D,C) (D,D)

mais 4 paires concordantes. Soit un chance sur quatre que les étudiants indiquent le même pneu. Intuitivement, on demande à un étudiant quel pneu a crevé (jusque là pas de calculs de probabilités) http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/101_3.jpgpuis on veut voir si l’autre indique le même pneu (s’il ment, il a alors une chance sur quatre de donner le même que son voisin). Cette intuition que la probabilité serait 1/16 est alors un peu surprenante. Cela correspondrait au cas où le professeur sait quel pneu avait éclaté, mais pas les étudiants (on retrouve le mythe que l’enseignant sait toujours tout). Ou au cas où trois étudiants étaient dans la voiture et que l’on demande que les trois répondent la même chose.

Pourquoi frapper aussi fort la balle au service ?

Au tennis, il n’est pas rare de voir les joueurs servir très fort sur leur première balle, puis de se calmer sur la seconde. Est-ce pour se reposer un peu après le premier effort ou bien y-a-t-il une réelle logique derrière ?

Modélisons un peu tout ça (en reprenant une modélisation présentée par David Gale en 1971). Un joueur a un ensemble http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv01.gif de services possibles. A son premier service, il choisit le service http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv02.gif. La première difficulté est que le service soit correct (ou passe le filet pour faire simple), et on note http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv03.gif la probabilité qu’un tel service passe le filet. Si le service est passé, il a une certaine probabilité de gagner le point, que l’on notera http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv05.gif. Bien que ne connaissant pas vraiment le tennis, il n’est pas absurde de supposer qu’il y ait une forme d’arbitrage,

  • un service puissant a peu de chance de passer (http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv06.gif petit), mais s’il passe le filet le serveur sera à son avantage, et la probabilité de gagner le point sera élevée (http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv05.gif grand)
  • un service faible a de grandes chances de passer (http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv06.gif grand), mais la balle sera alors facile pour l’adversaire, et la probabilité de gagner le point sera faible (http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv05.gif petit)

A un service http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv07.gif donné, la probabilité de gagner le point (sur ce premier service) est alors http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv08.gif.

Supposons que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv01.gif soit “ordonné” au sens où http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv06.gif peut être supposée strictement croissante.
Compte tenu de la remarque que nous avions faite initialement, il n’est pas absurde de supposer que la fonction

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv09.gif

soit à valeur dans http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv10.gif, avec une fonction croissante pour http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv.gif, puis décroissante pour http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv12.gif.

Le joueur cherche à maximiser sa probabilité de gagner le point.

Mais au tennis, si le premier service ne passe pas, le serveur a le droit a une deuxième chance. Le serveur choisi alors en réalité un couple http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv15.gif correspondant à son premier et second service, respectivement. La probabilité de gagner le point, à stratégie http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv16.gif donnée, est alors

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv17.gif

On peut noter que la stratégie optimale pour la seconde balle est indépendante de ce qui a été fait pour la première. En effet, si on cherche à résoudre, à http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv18.gif donné

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv20.gif

la condition du premier ordre est

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisser21.gif

i.e

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv22.gif

Autrement dit, le second service doit être celui qui maximise sa probabilité de gagner le point, i.e. http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv23.gif.
Mais si on sait qu’il est optimal de jouer http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv23.gif, dans ce cas, pour le premier service, le joueur cherche à résoudre

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennissserv24.gif

dont la condition du premier ordre est

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv25.gif

i.e.

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv26.gif

Le point s_1 qui vérifie cette condition peut se visualiser sur la figure ci-dessous, car http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv27.gif s’interprète comme http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv28.gif, i.e. la tangente de la fonction rouge, et on veut que cette tangente soit de pente http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv29.gif, qui est la pente de la courbe bleue (comme l’avait noté David Gale),

Autrement dit, il est optimal de servir plus fort la première fois que la seconde… Comme quoi finalement tout peut se démontrer avec un joli modèle…