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Des modeles prédictifs en assurance

Cet post est aussi en ligne sur https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02350006, il a été coécrit avec Laurence Barry et Ewen Gallic.

Les compagnies d’assurance émettent des contrats qui prévoient des paiements d’indemnités en cas de survenance d’évènements aléatoires (accident, maladie, décès, etc.). En contrepartie, l’assuré doit s’acquitter d’une prime, dont le montant est déterminé ex-ante, avant le début de la période de couverture. Cette prime se décompose en deux termes : une prime pure (destinée à couvrir les pertes anticipées) et un chargement (incluant des commissions à des agents, divers frais, mais aussi couvrant contre le risque de variabilité des pertes). La prime pure est souvent calculée par classe de risque, et une classification est alors nécessaire.

Assurer une population hétérogène, ou l’importance de la classification

Le regroupement des risques selon diverses informations telles l’âge de l’assuré, son état de santé ou encore sa profession constitue ce que l’on appelle la classification des risques. Cette pratique de segmentation se justifie (à des fins d’admissibilité mais aussi de tarification) par la supposition que les risques sont placés dans des groupes relativement homogènes, au sein desquels les probabilités de survenance sont similaires. Pour Schauer (2006), cette « généralisation », qui vise à voir l’individu sous le prisme de sa classe de risque, de généraliser son comportement à partir de quelques variables explicatives, est probablement la raison d’être de l’actuaire : « to be an actuary is to be a specialist  in  generalization,  and  actuaries  engage  in  a form of decision-making that is sometimes called actuarial ». Statistiquement on cherche une méthode de classification aussi « discriminatoire » que possible[1], en gardant en mémoire que la discrimination est interdite, ce qui rend l’exercice périlleux, et souvent critiqué (nous y reviendrons plus loin).

Les assureurs évoquent souvent deux arguments pour justifier une segmentation. Le premier est qu’elle serait rendue économiquement nécessaire par la concurrence ; ne pas classifier conduit à une anti-sélection, les risques importants restant seuls chez les assureurs qui ne segmentent pas. Dans une telle situation, l’équilibre de marché ne serait pas possible puisque les risques faibles seraient chez un concurrent ayant segmenté. Si le facteur de risque était observable, tant par les assurés que les assureurs, il y aurait un phénomène d’auto-sélection, les assurés à risque faible ayant les polices les moins chères. Cette situation constitue un équilibre séparant de Nash. Mais si le facteur de risque n’est pas observable, un équilibre sous-optimal peut être atteint, résultant d’une externalité négative de cette information non-accessible, à la manière de Wilson (1977), tel que décrit dans Cummins et al. (1982) dans le cas des contrats d’assurance-vie. Cela dit, Kleindorfer & Kunreuther (1980) montrent qu’accéder à davantage d’information ne conduit pas nécessairement à une amélioration du bien-être des consommateurs. De plus si la classification n’est pas autorisée, l’équilibre est maintenu, les risques faibles subventionnant les risques élevés.

Le second argument avancé pour justifier une segmentation est que cette dernière (et le fait, par conséquent, d’ajuster les primes au risque) serait juste et équitable. Mais cette vision de l’équité n’a pas toujours été de mise et semble portée par les développements techniques. Ainsi la classification est devenue de plus en plus fine, multipliant les classes de risque et conduisant à des tarifs « personnalisés ». En plus des avancées statistiques, des facteurs économiques pourraient justifier cette sophistication : la concurrence de plus en plus forte sur certaines branches.

Incertitude en assurance

Il y a plusieurs manières de caractériser l’incertitude en assurance. Comme bien souvent quand on fait des prévisions, il convient de distinguer l’incertitude associée à l’estimation des probabilités et l’incertitude réelle sur le résultat (aléa de l’évènement). Pour la seconde notion, Hacking (1975) parle de probabilité structurelle, et c’est celle qui est souvent utilisée pour introduire les concepts de probabilité, par exemple avec des dés ou des jeux de cartes : les probabilités sont connues, seule l’issue du jeu est incertaine. Par exemple je sais que la probabilité d’avoir 6 en lançant un dé est 1/6 (compte tenu de la géométrie du cube).

D’un point de vue statistique, la probabilité se mesure quand on peut observer une fréquence, c’est-à-dire une répétition de risques semblables. Les statisticiens ont ainsi défini une notion de probabilité empirique, basée sur la répétition[2]. Si, en lançant mille dés j’obtiens 173 fois la face 6, la probabilité empirique d’avoir 6 est de 17,3%. La loi des grands nombres nous assure que cette fréquence va tendre vers la vraie valeur en répétant l’expérience, et le théorème central limite permet d’en contrôler les fluctuations. C’est la première incertitude dont nous parlions au début de cette section, que nous appellerions l’erreur d’estimation.

On peut enfin mentionner deux notions supplémentaires ; tout d’abord, les probabilités conditionnelles. Cette idée est introduite en assurance par de Moivre, ou de Witt, lorsqu’ils notaient que pour estimer une probabilité de décès, il fallait considérer des personnes de même âge. C’est cette idée que l’on retrouve quand on considère une classification : on veut des risques homogènes, similaires, sans être pour autant identiques. La probabilité que l’on obtient est alors conditionnelle à ce facteur commun qui caractérise la classe observée. Dans notre exemple des dés, cela revient à dire qu’il ne faut pas lancer mille dés, mais mille fois le même dé – ou à défaut des dés semblables.

Enfin, les probabilités subjectives ont été formalisées par Bruno de Finetti et Leonard Savage (ainsi que plus philosophiquement par Frank P. Ramsey) pour comprendre et modéliser la prise de décision. Elles sont relativement populaires en économie de l’incertain, mais difficile à mettre en œuvre dans un contexte de valorisation de contrats d’assurance automobile ou habitation. Il s’agit d’un jugement, qui ne peut être confronté à la réalité, mais envisageable pour l’assurance de risques encore mal connus (McGrayne (2012) évoque ainsi les premiers contrats d’assurance aviation). Une approche bayésienne consiste alors à combiner cette probabilité subjective avec la probabilité comme fréquence observée d’un phénomène : partant d’une croyance a priori, on affine l’estimation par une mise à jour progressive en répétant les expériences. Classiquement, la probabilité d’avoir la face 6 sera une moyenne entre notre croyance (1 chance sur 6) et une probabilité dite historique, obtenue en faisant quelques lancés (3 sur 20 lancers, par exemple). Les poids attribués aux deux dépendant du nombre d’expériences effectuées : on donnera plus de crédit à l’expérience si on fait mille lancés que si on en fait soixante.

Incertitude sur le résultat, ou aléa fondamental

Les probabilités prédictives, utilisées pour calculer la prime d’un contrat d’assurance, sont la première étape d’un problème de classification. Un outil classique pour juger de la pertinence d’un classifieur est la courbe ROC, décrite dans Kuhn (2018)) : on compare la probabilité individuelle (a priori, telle que résultant du modèle de classification) à un seuil, compris entre 0 et 1; si la probabilité est inférieure au seuil, l’estimation est que la personne survit, sinon qu’elle décède.

On compare ensuite cette estimation aux réalisations (ex-post) de survie et de décès. Pour chaque seuil, on peut considérer la matrice classique dite matrice de confusion de théorie de la décision : elle consiste à répartir les observations suivant le résultat observé (en colonne) et l’estimation résultant du modèle en ligne (en fonction de la probabilité estimée pour l’individu et le seuil que l’on s’est fixé). On peut ainsi partager la population entre les classements corrects, et les erreurs (dont les « faux positifs » si la personne a survécu malgré une probabilité estimée de décès supérieure au seuil, et les « faux négatifs » si la personne décède malgré une probabilité estimée inférieure au seuil).

Figure 1: Courbe ROC et classification pour un seuil de probabilité valant 1.5%.

La courbe ROC est obtenue en faisant varier le seuil. Chaque seuil correspond à un point de la courbe, rapportant graphiquement les taux de faux positifs (en abscisse) et de vrais positifs (en ordonnée), comme sur la Figure 1.

Considérons un groupe de 1000 assurés, où 20 personnes sont décédées l’an passé. Supposons un modèle dans lequel on admet que la population est parfaitement homogène, la probabilité estimée de décès est de 2% pour tout le monde. Dans ce cas pour tout seuil supérieur à 2%, on estimera que la totalité de la population survit : on aura un taux de faux positifs de 0% et un taux de vrais positifs de 0%, d’où un point (0,0) sur le graphe. A l’inverse pour tout seuil inférieur à 2%, on estimera que la totalité de la population décède : on aura un taux de faux positifs de 100% et un taux de vrais positifs de 100%, d’où un point (1,1) sur le graphe. La courbe de ROC de ce modèle uniforme à 2% est donc la diagonale du carré sur la figure 1.

Mais on peut aussi imaginer qu’il existe un peu d’hétérogénéité avec, par exemple, une probabilité de décès de 1% pour une moitié de la population et de 3% pour l’autre moitié, ou encore que le modèle produit des probabilités comprises entre 1% et 3% de façon non dichotomique. Les données simulées pour construire la courbe noire sur la Figure 1 suppose que la population a des probabilités de décès variables, comprises entre 1% et 3%, obtenues par une régression logistique. Comme le montre le tableau de droite, on commet des erreurs, et comme le montre celle de gauche, la nature de celle-ci varie en fonction du seuil choisi, qui modifie les taux de faux positifs et de faux négatifs.

Le cas extrême serait celui où le modèle aurait correctement attribué une probabilité de 100% aux 20 personnes qui sont effectivement décédées. C’est la courbe rouge sur la Figure 1. Ce partage est possible ex-post, une fois réalisation de l’aléa : a posteriori, il y a une certitude de décès pour ceux qui sont effectivement morts. Mais cela n’a cependant pas grande réalité dans l’assurance, à moins d’imaginer que l’actuaire serait un oracle, qui saurait avec certitude qui va mourir, et qui va survivre. La réalité est plutôt celle de la situation intermédiaire entre la courbe rouge et la diagonale, avant d’arriver dans la région hachurée, où le taux d’erreur est faible, mais pas nul : on ne peut pas prédire, avec certitude, qui va décéder. L’assurance n’est possible que si cette borne supérieure n’est pas trop élevée.

Incertitude statistique, données et modèles

Une question fondamentale pour la survie de l’assurance est de savoir où se situe cette borne supérieure : jusqu’où peut-on aller, entre les deux cas extrêmes (population homogène avec une probabilité de 2% pour tous, et une population très discriminée, avec 2% de la population ayant 100% de chances de mourir, et l’autre 0%) ? Et de quoi cette borne dépend-elle ? En particulier, des modèles plus complexes, tels que les réseaux de neurones très profonds permettent-ils vraiment d’améliorer la prévision ? Et l’enrichissement de données, tel qu’on l’observe grâce aux objets connectés et la fusion avec toutes sortes d’informations externes, va-t-il déplacer la borne supérieure vers le haut ?

Si l’apprentissage profond – voir Goodfellow et al. (2018) – permet d’avoir des classifieurs d’images avec un taux d’erreur proche de 0%, il est difficile d’imaginer qu’il sera possible de prévoir, presque un an à l’avance (à la signature du contrat), qui décèdera dans l’année, qui aura la grippe, qui aura un dégât des eaux, etc. Les modèles plus complexes permettent d’améliorer les prévisions, en tenant compte de non-linéarités, d’effets croisés entre les variables tarifaires, mais pas au point de faire disparaître l’aléa. Et tant que l’assurance est envisagée ex-ante (la prime est fixée au début de la période de couverture), il est difficile d’imaginer que rajouter de l’information fera aussi disparaître l’aléa. C’est d’ailleurs le cas pour les tests génétiques qui n’expliquent qu’une (petite) partie du risque de cancer, par exemple. Et rajouter des données revient souvent à rajouter du bruit, ce qui rend le travail d’analyse plus complexe. Cependant, force est de constater que des modèles plus complexes et des données plus riches tendent effectivement à « améliorer » la prévision, en remontant la courbe ROC vers le haut. Mais se pose-t-on les bonnes questions ? Que signifie vraiment une borne très éloignée du cas homogène, sur la diagonale ?

Homogénéité, équité et causalité

Comme nous l’avons vu, la tarification en assurance repose sur une répartition des risques (des contrats) en catégories, au sein desquelles la distribution des pertes peut être estimée, afin de fixer un niveau de primes. La répartition se fait à partir des caractéristiques de l’assuré, et du bien assuré. En retraçant l’histoire de l’assurance, Ewald (1986) montre que les mécanismes de prévoyance se sont mis en place en déplaçant la charge des accidents du travail sur la société : on abandonne l’idée d’une responsabilité individuelle de l’accident en faveur de la solidarité. L’assurance distingue « entre le dommage que subit tel ou tel individu — c’est affaire de chance ou de malchance — et la perte liée au dommage dont l’attribution est, quant à elle, toujours collective et sociale ». Ce principe de solidarité sociale, de mutualisation des risques, fait que le risque (en assurance) est toujours pensé collectivement.

Aujourd’hui, les tarifs sont considérés comme « justes », ou « actuariellement équitables » si chaque prime correspond à la perte attendue (pour ne pas dire « espérée », au sens mathématique) pour chaque assuré. Dans cette perception de l’équité, une hypothèse essentielle est que les classes soient « homogènes ». En effet, dans l’hypothèse inverse, les personnes les moins risquées subventionnent les personnes les plus risquées, ce qui est perçu comme socialement injuste.

On peut décrire cette version de l’équité actuarielle à l’aide de la formule de décomposition de la variance. La variance globale se décompose en effet en deux termes, la variance inter-classes et la variance intra-classes : l’ « équité actuarielle » vise à ce que  les classes de risque soient relativement distinctes les unes des autres, donc une variance inter-classes forte, accompagnée d’une homogénéité des classes, donc une variance intra-classes faible. D’un point de vue statistique, chercher à augmenter l’une est équivalente à faire diminuer l’autre. Cette mécanique n’est pas toujours claire pour des observateurs non avertis ; ainsi dans l’affaire Manhart, un des cas les plus documentés sur la discrimination par le genre en assurance, le juge Stevens affirme : « we focus on fairness to individuals rather than on fairness to classes […] even a true generalization about a class is an insufficient reason for disqualifying an individual to whom the generalization does not apply» (cité dans Anzalone (2016)). Autrement dit, pour la justice, un critère statistique de type « true generalization » ne peut être opposable à un individu.

Une autre critique importante, que l’on retrouve dans la « gender directive », est le lien entre discrimination et causalité. En effet, statistiquement, les actuaires vont chercher des facteurs de classification fortement corrélés avec la sinistralité. Mais il est possible que ces facteurs ne soient qu’un proxy de la vraie variable causale, restée elle inobservée, conduisant à une mauvaise estimation du risque pour certains. Comme le notent Antonio et Charpentier (2017), le genre a ainsi été longtemps utilisé en assurance automobile car très corrélé avec des variables associées au style de conduite et à d’autres variables historiquement non observables (mais qui le sont aujourd’hui grâce aux objets connectés, comme le kilométrage, les heures de conduites, les types de routes utilisés, etc).

Ce lien avec les mécanismes causaux est d’ailleurs relativement profond, et Hacking (1975) y voit une connexion avec la « révolution probabiliste » : on peut assez facilement mettre en évidence des corrélations, mais les causes, si elles existent, nous restent plus opaques. Laplace au début du 19e siècle déclare ainsi que « la probabilité est relative en partie à nos connaissances, en partie à notre ignorance », liant les probabilités à la fois à une vision newtonienne déterministe du monde et à notre incapacité à le connaitre parfaitement. Cette dernière composante fait que l’on ne peut pas annoncer la date exacte du décès d’un individu, mais statistiquement, dans un groupe homogène, on peut prédire le nombre de décès au cours d’une année. Et pour revenir à la relation causale, le tabagisme par exemple ne cause pas forcément une mort prématurée mais fumer sera vu comme dangereux car il augmente la probabilité de décès pendant une période donnée. Ainsi nous montre Hacking (1975), la causalité est pensée aujourd’hui dans un contexte probabiliste, et non plus déterministe.

Abraham, K.S. (1985) Efficiency and fairness in insurance risk classification, Virginia Law Review 71: 403-451.

Anderson, A.W. (1978). A Critique of the Manhart Brief. The Actuary, 12:5.

Antonio, K. & Charpentier, A. (2017). La tarification par genre en assurance, corrélation ou causalité ? Risques, 109.

Anzalone, C.A. (2016). U.S. Supreme Court Cases on Gender and Sexual Equality. Routledge.

Bailey, H., Hutchison, T. & Narber, G. (1975) The regulatory challenge to life insurance classification, Drake Law Review Insurance Law Annual 4: 779-827

Barry L. (2019). Justice ou justesse? L’équité de l’assurance. Working paper #15, chaire PARI.

Charpentier, A. & Denuit, M. (2004). Mathématiques de l’Assurance Non-Vie : Principes Généraux de Théorie du Risque. Economica.

Cramer, H. (1946). Mathematical Methods of Statistics. Princeton University Press.

Cummins, J.D., Smith, B.D., Vance, R.N. & VanDerhai, J.L. (1982). Risk Classification in Life Insurance. Kluwer-Nijhoff Publishing.

Ewald F. (1986). L’État providence. Grasset.

Fisher, R. A. (1936).  The Use of Multiple Measurements in Taxonomic Problems. Annals of Eugenics. 7 (2): 179–188.

Frézal, S. & Barry, L. (2019). Fairness in Uncertainty: Some Limits and Misinterpretations of Actuarial Fairness, Journal of Business Ethics.

Goodfellow, U., Bengio, Y. & Courville, A. (2018) L’apprentissage profond. Massot Edition.

Hacking, I. (1975) The Emergence of Probability. Cambridge University Press

Hoy, M. (1982) Categorizing risks in the insurance industry, The Quarterly Journal of Economics 97: 321-336.

Kleindorfer, P. & Kunreuther, H. (1980) Misinformation and Equilibrium in Insurance Markets, in Economic Analysis of Regulated Markets, Jörg Finsinger Editor, Springer Verlag, 67-90

Kuhn, M. & Johnson, K. (2018). Applied Predictive Modeling. Springer Verlag.

Martin,G.D. (1976) Gender Discrimination in Pension Plans, Journal of Risk and Insurance 43.

McGrayne, S.B. (2012) The Theory That Would Not Die: How Bayes’ Rule Cracked the Enigma Code, Hunted Down Russian Submarines, and Emerged Triumphant from Two Centuries of Controversy. Yale University Press.

Ramsey P.F. (1926). Truth and Probability.

Schauer, F. (2006) Profiles, Probabilities, and Stereotypes. Harvard University Press.

Von Mises, R. (1957). Probability, Statistics and Truth. Dover publications.

Wilson, C. (1977). A model of insurance markets with incomplete information. Journal of Economic Theory, 16:2, 167-207.

[1] Au sens statistique du mot, dans le sens introduit par Fisher (1936).

[2] Dans cette approche fréquentiste, et notamment pour Ronald Fisher et Richard von Mises, la probabilité d’un évènement unique (dit « one shot ») n’a pas de sens.

Les dérives du principe de précaution

« Dans le doute, abstiens-toi » dit la sagesse populaire. Le principe de précaution (en allemand Vorsorgeprinzip) est né de l’idée qu’il convient d’accepter qu’il existe un doute, ou une incertitude (scientifique), dans la connaissance des risques. Il y a un peu plus de 20 ans, la loi Barnier introduisait le principe de précaution dans le droit français, pour le « risque de dommages graves et irréversibles à l’environnement », communément appelés “risque environnemental”. Il y a un peu plus de 10 ans, il a été inscrit dans la Constitution, approuvé par 531 députés, exprimant ainsi un très large consensus politique, probablement aussi social. Mais aujourd’hui, le principe de précaution est évoqué dans des contextes tout aussi divers que le risque d’actes de terrorisme, mais aussi des procédures de droit civil, ou pénal. Quelles sont les conséquences de cette dérive de l’utilisation du principe de précaution ?

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Données et santé : valeurs, acteurs et enjeux

Ce billet a été rédigé avec Raphaël Suire.

Les données numériques nous concernent tous. En tant qu’usager d’objets connectés ou de services, nous laissons des traces à mesure que nous utilisons, consultons, notifions, commentons des contenus ou des services. D’ailleurs, même quand l’usager de fait rien, l’objet ou la plateforme qui propose du contenu sont en capacité de remonter cette inactivité, ce qui constitue bel et bien une information. En soit, chaque trace prise isolément donne peu d’information sur qui nous sommes. En outre, moins nous sommes routiniers dans l’usage de nos objets ou des services et moins il est simple d’identifier des régularités dans ce que nous faisons. Le caractère routinier peut être difficile à observer. Un horaire d’arrivée au bureau peut sembler complètement aléatoire, et pourtant, la personne prend régulièrement le premier bus qui passe devant chez lui, en sortant à 8 heures très précisément. Un comportement parfaitement déterminé et prévisible, qui se heurte à des obstacles aléatoires peut sembler aléatoire. Il n’en demeure moins que ces données numériques, pour qui sait les stocker et les croiser, constituent de l’or noir et un carburant d’une performance renouvelée pour de nombreuses organisations. Symétriquement, cette exploitation, constitue une source de tension entre des usagers sensibles à la protection de leur donnée personnelle (notion de « privacy concern ») et ces mêmes acteurs. Elle interroge également en profondeur le régulateur, car les réels gagnants seront peu nombreux. Il faut entendre ici, ceux qui au final vont posséder et capturer la valeur des données agrégées. Et enfin, c’est sans compter avec un nouveau terrain de jeu, aux promesses stratosphériques, celui de la santé connectée et un marché mondial estimé à 308 milliards de dollars (Grand View Research, 2015).

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Predictive Modeling

Tomorrow, around noon, I will be giving a talk on predictive modeling for actuaries. In the introduction, I will get back shortly on the idea that a prediction is usually a best estimate, in the sense of getting an expected value. And because

https://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbb{E}(X)=\underset{c\in\mathbb{R}}{\text{argmin}}\{\mathbb{E}\left([X-c]^2\right)\}=\underset{c\in\mathbb{R}}{\text{argmin}}\{\mathbb{E}\left(||X-c||_{L_2}\right)\}

it is natural to use least square ideas. In order to illustrate all those concepts, we will use a simple dataset, with the sex, the height and the weight of a person, as well as declared weight.

Davis=read.table(
"http://socserv.socsci.mcmaster.ca/jfox/Books/Applied-Regression-2E/datasets/Davis.txt")

Since there is a typo in this dataset, we have to invert to figures

Davis[12,c(2,3)]=Davis[12,c(3,2)]

but it’s not a big deal. The variable of interest, here, is someone’s weight

attach(Davis)
Y=weight*2.204622

(here in pounds). We will use explanatory variables such as the sex of that person, or his/her height

X=Davis$height / 30.48

(in inches). So, we will start with the (standard) linear model, just to make sure that we all talk about the same thing.

The goal will be to use (possible) explanatory variable to improve our prediction. We will start with the standard linear model, but we will see that nonlinear models can also easily be obtained,

Non linearities will be discussed. But those models are Gaussian (as mentioned above). And homoscedastic. So we will see how generalized linear models can be used to model the mean and the variance, at the same time. For instance, with a Poisson regression (below), the variance will increase with the expected value.

After this general introduction, we will spend some time on 0-1 variables. We will see how to use a logistic regression, and also discuss more generally which kind of models can be used for classification. ROC curves will be presented, and explained.

Then, we will also see an alternative to the logistic model, namely classification trees and CART techniques

We will also discuss random forrests, bagging and boosting techniques

pdf version of the slides can be downloaded.

Las Vegas and financial institutions

Exactly one month ago, I entered the Bellagio casino to gamble at the roulette. It was actually a request from my daughter’s godfather (who happens to be a probabilist, actually). On a comment on a previous post, he suggested the following deal,

In the Bellagio you put 10$ for me on the 33 and 10$ for you as well. If 33 shows up, you bring me to a French “3 étoiles” restaurant next time you stop by in France. If 33 doesn’t shows up, I bring you to MacDonald…

I have to admit that I like eating in French “3 étoiles” restaurants, so I did gamble. Well, I could not remember the terms of the agreement very well (neither the number to select, nor the amount to put on the table). So I did ask my daughter which number I was supposed to pick, and she choose 22. Anyway, the number that came up was neither the 33 nor the 22, so we lost. And roulette tables at the Bellagio were down to a $15 minimum (from what I remember, I was supposed to play $5 or $10). And I have seen tables with $100 minimum (probably more, but I am not sure, and I could not take much pictures inside) ! So I did play $15 (I did keep chips as souvenirs), and I have to admit that I was excited during a few seconds. I really enjoyed that thrilling sensation ! And I was playing only $15 !

Later on, in the room of the hotel – while we’ve been watching TV – we saw some poker games where people where putting $200,000 on the table (there was almost a million in the pot) ! I tried to explain my kids that this was a reason why there were so many signs on the walls claiming that kids were not supposed to enter casinos, and so many ads about gambling being an addiction. It is not reasonable to put so much on a table ! $200,000 on the table ? This is probably more than all I could possibly own !

I thought about all that yesterday, when I discovered the following Table, about leverage ratios of bank,see  http://fool.com/investing/…

Company

Leverage Ratio (Assets-to-Equity), 2007

Bear Stearns 34:1
Morgan Stanley 33:1
Merrill Lynch 32:1
Lehman Brothers 31:1
Goldman Sachs 26:1

(with similar values in U.K., according to http://voxeu.org/…)

What does 30 mean ? It means that a company with $1 in capital holds $30 in (various) financial positions (see http://newleftreview.org/II/… for a discussion). If you think about it, with a relative decline of 3.5%, the absolute loss is larger than the capital hold by the company… Now, if we forget about Lehman, and focus on me, gambling in Las Vegas, we can try to illustrate this 30:1 leverage ratio as follows. The way I see it is that, if I were a bank with $200,000 equity (equity being, from my understanding, everything I own), I would be able to borrow 30 times this amount, and put this money on some table in Las Vegas. OK, there might be a big difference, since in Vegas, on average I will loose money, while most models in finance claim that (on average) we should gain money (somehow, since it might depend on your reference level). And no one really own the casino in real life. But still. A 30 leverage ratio means that I would be playing more than $6 million on a table in Las Vegas ! How should I understand that 30 leverage ratio ? Am I really such a small player ? Are banks really too big players ? Or perhaps they do not hold enough capital to play that big….

From Simpson’s paradox to pies

Today, I wanted to publish a post on economics, and decision theory. And probability too… Those who do follow my blog should know that I am a big fan of Simpson’s paradox. I also love to mention it in my
econometric classes. It does raise important questions, that I do relate to multicolinearity, and interepretations of regression models, with multiple (negatively correlated) explanatory variables. This paradox has amazing pedogological virtues. I did mention it several times on this blog (I should probably mention that I discovered this paradox via Marco Scarsini, who did learn me a lot of things, in decision theory and in probability). For those who do not know this paradox, here is an example that Marco gave in one of his talk, a few years ago. Consider the following statistics, when healthy people entered in some hospital

hospital total survivors deaths survival
rate
hospital A 600 590 10 98%
hospital B 900 870 30 97%

while, when sick people entered in the same hospitals

hospital total survivors deaths survival
rate
hospital A 400 210 190 53%
hospital B 100 30 70 30%

Somehow, whatever your health situation, you should choose hospital A. Now, if we agregate

hospital total survivors deaths survival
rate
hospital A 1000 800 200 80%
hospital B 1000 900 100 90%

i.e. without any doubts, people should choose hospital B.

Actually, Simpson’s paradox is called Simpson’s paradox because Colin Blyth named it that way in 1972, in his paper entitled on Simpson’s paradox and the sure-thing principle (an economic article in a statistical journal), that can be downloaded from http://www.stat.cmu.edu/~fienberg/…. He found this paradox in a paper published in 1951 by Edward Simpson, even if other papers actually did mention it earlier. The most popular application is probably admission at Berckley’s graduate studiesprograms, and sex bias, see Bickel, Hammel & O’Connell (1975), that can be downloaded from http://www.unc.edu/~nielsen/…. I also mentioned a geometric interpretation of this paradox a few years ago on my blog, which is so simple to understand that the paradox is no longer a paradox actually, since on the example above, we had

and

while

With symbolic notations, one can have at the same time

and

with also

as shown on the graph below

There should be connection between Simpson’s paradox and the ecological fallacy (which is an issue I recently discovered and that I found extremely interesting, related again to difficulties of interpreting
regressions). But that’s another story. My point today is that Colin Blyth did mention another nice paradox, that is related, this time, to stochastic orderings. The idea is the following. Consider the three spinners drawn below (imagine some arrows in those circles)

  • spinner A: no matter where the arrow stops, the gain is 3,
  • spinner B: 56% chances to gain 2, 22% chances to gain 4, and 22% chances to gain 6,
  • spinner C: 51% chances to gain 1, 49% chances to gain 5.

Instead of spinners, it is also possible to consider three different lotteries,

You play against a friend, you pick a spinner, while the friend picks another. Everyone flick his arrow, the highest number wins (no matter the difference). Let us compute the odds. First case, A against B, from
A’s perspective

B-2 B-4 B-6
A-3 56%
+1
win
22%
-1
lose
22%
-3
lose

In that case, A has 56% chance of beating B. Second case, A against C, from A’s perspective,

C-1 C-5
A-3 51%
+1
win
49%
-2
lose
In that case, A has 51% chance of beating C. Third (an final) case, B against C, from B’s perspective. Assuming independence between the spinners, joint probabilities can easily be computed,
C-1 C-5
B-2 28.56%
+1
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27.44%
-3
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B-4 11.22%
+3
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10.78%
-1
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B-6 11.22%
+5
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10.78%
+1
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In that case, B has 61.78% chance of beating C. So, if we try to summarize,
  • A is the best choice, since it beats both with – always – more than 50% chance,
  • C is the worst choice, since it is beaten by both with – always – more than 50% chance,
Now, assume that you play not against one friend, but two friends. An everyone picks a different spinner. Let
us compute the odds, one more time. First case, A against B and C, from A’s perspective
B-2
C-1
B-2
C-5
B-4
C-1
B-4
C-5
B-6
C-1
B-6
C-5
A-3 28.56%
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27.44%
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11.22%
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10.78%
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11.22%
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10.78%
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In that case, A has 28.56% chance of beating B and C. Second case, B against A and C, from B’s perspective,
A-3
C-1
A-3
C-5
B-2 28.56%
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27.44%
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B-4 11.22%
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10.78%
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B-6 11.22%
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10.78%
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In that case, B has 33.22% chance of beating A and B.Third (an final) case, C against A, from C’s perspective,
A-3
B-2
A-3
B-4
A-3
B-6
C-1 28.56%
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11.22%
-3
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11.22%
-5
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C-5 27.44%
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10.78%
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10.78%
-1
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In that case, C has 38.22% chance of beating A and B. So, if we try to summarize, this time

  • C is the best choice, since has (strictly) more than 1/3 chances to win, which the highest probability
  • A is the worst choice, since has (strictly) less than 1/3 chances to win, which the lowest probability

Odd isn’t it ? Now, is there an interpretation of that paradox ? Yes, Martin Gardner, in his paper on induction and probability, mentioned the case of drug testing. The value we had with the spinner is the health level, rated from 1 to 6. Thus, taking drug A, you always get an average health level of 3. With drug C, on the other hand, you get either very sick (level 1) or very well (level 5). Consider now a doctor who wants to maximize the patient’s chance of being well. If only pills A and C are available, then the doctor should choose A. This is what we’ve seen in the first part. Assume that now a company delivers a third pill, called drug B. Then the doctor should find C more interesting…. Odd, isn’t it ?

Colin Blyth gave a more amusing application. Assume that you like to go to the restaurant, and you like get a dessert there. Dessert A – the apple pie – is the average one, with a standard level, that you rank 3 (on a scale from 1 to 6). Dessert C – the cheese cake – can either be awfull (ranked 1) or delicious (ranked 5). You’d better go for the apple pie if you want to maximize the probability of not being disappointed (i.e. maximizing your “best chance” according to Colin Blyth, but I guess it can be interpreted as regret minimization too). Now assume that dessert B – the blueberry pie – is available (with ranks given by the spinner). Then you should go for the cheese cake. I let you imagine the discussion that you can have, then, with your favorite waitress

– Hi Mr Freakonometrics, do you want a piece of apple pie ? (yes, actually she also comes frequently on my blog, and knows me from my pseudo…)

– Probably. But actually, I was wondering if you did have your blueberry pie today ?

– Yes, in fact we do….

– Great, in that case, I’ll go for the cheese cake.

She’ll probably think that I am freak… so I hope she’ll come and read my post, to understand that, actually, it does make a lot of sense to go for what was supposed to be my worst case.

Natural Catastrophe Insurance: How Should the Government Intervene?

An updated version of the joint paper with Benoit Le Maux is online on http://papers.ssrn.com/.

The present paper develops a new theoretical framework for analyzing the decision to provide or buy insurance against the risk of natural catastrophes. In contrast with conventional models of insurance, the insurer has a non-zero probability of insolvency that depends on the distribution of the risks, the premium rate, and the amount of capital in the company. Among several results, we show that risk-averse policyholders will accept to pay higher rates for a government-provided insurance with unlimited guarantee. However, depending on the correlation between and within the regional risks, a government program can be more attractive to high-correlation than to low correlation areas, which may lead to inefficiencies if the insurance ratings are not appropriately chosen.

Some stylized facts about large risk covers

A couple of weeks ago, David Cummins (here) was giving a talk in Laval University. And we’ve seen a series of extremely interesting graphs and figures about catastrophe reinsurance market, as well as Cat Bonds prices. The first one was the rate one line index for catastrophe reinsurance (the rate on line is the excess of loss premium expressed as a percentage of the reinsurance cover), from Guy Carpenter (2010, page 10 here).

Following hurricane Andrew in 1992, prices went up quite high. But following hurricane Katrina (which is, so far, the most costly insured disaster following the second World War, with a cost exceeding 70 billions US$ – 2008 $ – while Andrew was only 24 billions – again 2008 $), the bump is much smaller. I though cycles where much larger in the reinsurance industry.

Then there was a discussion about cat bond pricing, with a graph from Lane Financial (2010, page 13, here) with the ratio premium over expected loss

This is extremely interesting, even if it is only about cat bond, and not about reinsurance covers. Usually, when we introduce premium principles in actuarial courses, we start with the pure premium, i.e.

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/chargement-PP-02.gifThen we explain that with such a price, ruin probability is certain (with an infinite time horizon), so we need to add a safety margin, and a standard idea (but that can be criticized since the expected value has – usually – nothing to do with the variability) is to add a loading proportional to the pure premium. Then the premium is

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/chargement-PP-01.gifFor small risks, like motor insurance, the loading is not huge. Actually, if risks have finite variance, it can be obtained simply using the central limit theorem (but I’ll get back on that point in a couple of weeks). Here, we see that loading http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/thetaloading.gif can be large (up to 400% in 2009).

An finally an updated graph with a comparison between BB corporate bondscoupon, and BB catastrophe bonds coupon,

(I guess the source is again Morton Lane). I found surprising the recent gap (following Katrina) between the two spreads. I guess financial market started to be scared and understood that catastrophes are not that rare…. I wonder what 2008 and 2009 prices looked like.

Discussion on stress scenarios

Friday morning, I had the honor to discuss a presentation by Alexander McNeil, on Stress Testing and Reverse Stress Testing, at the Financial Risks International Forum on Risk Dependencies (here).

This was an opportunity to rediscover techniques I have studied briefly a few years ago, on outliers detection, namely the bagplot (I will probably upload a post on that topic soon, in French unfortunately). The slides of my discussion are available here.

http://freakonometrics.hypotheses.org/5338

Quantile de sommes, ou somme de quantiles ?

Je reprends ici un commentaire que j’ai longtemps entendu dans mon expérience d’actuaire dans une vie antérieure (et qu’on peut lire – entre les lignes le plus souvent – dans certaines réactions de risk managers). Les quantiles sont la base des mesures de risques, en particulier via la VaR en finance, mais quand j’étais actuaire, on calculait des 90/10 pour désigner des quantiles à 90% des pertes. Donc tout ça n’est pas spécialement nouveau. Je rappelle que la fonction quantile est simplement  où

Les quantiles sont calculés par type de risque (en gestion des risques), et forcément à la fin, on souhaite un quantile de la somme des risques, et il a longtemps été coutume de prendre la somme des quantiles. Je vais donc discuter un peu le résultat suivant,

  • L’égalité n’est pas vraie dans le cas indépendant

Suite à une espère de déformation professionnelle (à cause de la variance), beaucoup de monde pense que

mais ce résultat est faux…. Un exemple est d’ailleurs donné ci-dessous dans le cas de variables exponentielles.

  • L’égalité est vraie dans le cas comonotone…

En fait, le résultat précédant est vrai dans le cas comonotone. La comonotonie correspond au cas de dépendance parfaite positive, de corrélation maximale (si la corrélation existe), i.e.  avec  une fonction strictement croissante. Alors

  • … mais ce n’est pas un “worst case

Seconde bizarrerie, la comonotonie n’est pas le pire des cas. La comonotonie est souvent envisagée comme un worst case scenario mais il n’en est rien (cette idée se retrouve dans les QIS 3 par exemple, ici).
Formellement, si  (la classe de Fréchet), alors

et

En passant en dimension 2 (cas où la borne inférieure est effectivement une vraie fonction de répartition), si et  désignent respectivement des version anticomonotone et comonotone de , alors on peut se demander, en considérant une mesure de risque quelconque  si

En fait, Andre Tchen a montré en 1980 un résultat qui montre que la comonotonie est effectivement un worst case, mais seulement dans certains cas très limités.
Si est une fonction supermodulaire, i.e.

pour tout  et . Alors dans ce cas, pour tout ,

(la preuve se trouve ici). Je renvoie aux papiers de Michel Denuit, de Jan Dhaene ou de Marc Goovarts (ici ou ) pour des applications en tarification sur deux têtes, par exemple, ou sur les primes stop-loss en réassurance

  • Borner (numériquement) le quantile d’une somme

Commençons par un exemple, avec deux lois exponentielles, car c’est le plus simple, et surtout on peut calculer explicitement les bornes (dans le cas général, on se contentera de méthode numérique comme l’avait fait Khalil ici).
Si  et , où, pour être plus précis,

l’encadrement

est valide pour tout  quelle que soit la structure de dépendance entre et , où

Aussi, en prenant les inverses (car ces fonctions sont strictement croissante), on obtient une inégalité en terme de quantile, ou de Value-at-Risk,

pour tout .
Rappelons que dans le cas de variables indépendantes  alors que dans le cas comonotone . La figure ci-dessous montre les valeurs possible pour  la fonction de répartition de la somme, avec le cas indépendant en bleu, et le cas comotonone en rouge.

On peut aussi visualiser les valeurs possibles pour les quantiles de la somme. Dans un cas général, Ce problème a été traité par Makarov en 1981, et par Frank, Nelsen et Schweizer en 1997 (ici), tout en restant en dimension 2. En fait, ils ont travaillé sur les bornes de la fonction de répartition d’une somme mais c’est pareil, comme on l’a vu juste auparavant. Ils ont montré le résultat suivant: si  alors pour tout

désigne la copule anticomonotone (qui est une copule en dimension 2),

en posant , et

On peut retrouver des résultats plus fin en creusant dans la direction de l’arithmetic probability, par exemple avec la thèse de Williamson (ici, cette thèse est remarquable, et trop peu citée, malheureusement). Je ne parle que de la dimension 2, l’extension en dimension supérieure est délicate (je renvoie aux travaux de Paul Embrechts sur le sujet, ici ou , par exemple).

Who wants to be a millionnaire ?

Le vrai moyen de gagner beaucoup est de ne vouloir jamais trop gagner et de savoir perdre à  propos.” (Fénélon – Les aventures de Télémaque)

Bon, pour ma part, j’avais tenté une autre solution vendredi dernier: tenter de gagner les 126 millions d’euros de l’Euromillion. Et comme je suis toujours en train de poster des billets sur mon blog, on peut en déduire que je ne suis pas l’heureux vainqueur (car oui, il parait qu’il y en a un… un très bon ami ami à moi… enfin… s’il le souhaite!).

Quelle ne fut pas me surprise de voir des collègues (on peut dire copains) matheux indignés par mon comportement, et me reprocher mon irrationalité*

Sur l’irrationalité des joueurs, je renvoie à de nombreux papiers de la littérature économique, en particulier le papier de Maurice Allais (ici), précisément intitulé Le comportement de l’homme rationnel devant le risque. Je dois avouer que, selon moi, la critique de Maurice Allais est très proche de ce que notent Daniel Kahneman et Amos Tversky (ici) sur la distinction fondamentale (et non symétrique) entre gains et pertes.

Bref, toute cette discussion est un prétexte pour parler d’un très joli papier que m’a fait découvrir Charles Figuières lors de mon exposé à Montpellier voilà deux semaines, de Graciela Chichilnisky sur Topology of Fear. Un preprint peut se télécharger ici, sa page internet (ici) regorge d’informations passionnantes, mais je ne sais toujours pas où ce brillant papier sera publié…. à suivre donc.

* pour aller un peu plus loin, je pourrais avouer ici que ma stratégie a été de jouer “1-2-3-4-5” puis “6-7”  (j’ai découvert que ce type de loto était un peu différent de celui que j’utilise dans mes exemples de probas, avec des étoiles). Tout d’abord, cette stratégie est aussi probable que n’importe quelle autre. Mais pour information, lors du 3ème tirage du Loto en France (en 1976), les numéros “1-2-3” sont sortis. Historiquement (voir ici), sur plus de 4850 tirages, on a eu deux numéros consécutifs (au moins) dans 2/3 des tirages (63%), et trois consécutifs dans 8% des tirages. On a vu 39 fois (0,8% des tirages), quatre numéros consécutifs. Mais jamais 5 numéros consécutifs, en presque 35 ans. Je laisse les plus motivés faire les calculs théoriques. Ma stratégie devrait être payante (si je jouais plus d’une fois tous les 5 ans) car peu de monde joue des numéros consécutifs. Si on compte le nombre de gagnants du 1er rang, il y a – en moyenne – 2,90 gagnants les tirages comprenant deux numéros consécutifs et sinon 4,03 gagnants. Si on va plus loin, il y a 2,48 gagnants les tirages comprenant trois numéros consécutifs et 3,39 sinon. Par contre, si on regarde avec 4 nombres consécutifs, un tombe sur un point aberrant: d’ordinaire, on a 3 gagnants du 1er rang, mais en septembre 1984, avec comme tirage “26-27-28-29-35-36-37” (4 et 3 consécutifs), il y a eu 64 gagnants du 1er rang, ce qui est presque le record…
D’ailleurs si on regarde les records (promis après j’arrête), le record fut en juin 1993, avec 103 vainqueurs, où 31 fut le plus grand chiffre, et le 13 sortit. Ensuite, en 1979, on a eu 96 vainqueurs avec des numéros pairs consécutifs, à savoir le tirage “2-8-10-12-14-16-18” (soit 6 chiffres pairs successifs). Ensuite arrive le tirage que je mentionnais… En fait, tous les tirages qui ont eu des très gros nombres de vainqueurs du 1er rang présentaient une régularité impressionnante. On retrouvera ainsi le tirage “4-5-7-14-15-17-20” par exemple, avec 63 vainqueurs… Bref, ma stratégie n’est peut être pas géniale finalement….

Risk management et relations familiales

Un doctorant m’avait fait remarquer l’autre jour que mon blog devenait trop sérieux. Je me suis dis que j’allais  parler de mon fils, histoire d’avoir un sujet un peu plus léger. Mais, déformation professionnelle oblige, je voulais en profiter pour narrer un épisode récurrent. Assez souvent, je dis à mon fils “ne fais pas ça, tu vas tomber“, “ne fais pas ça, te vas te faire mal” (ou toute autre variante), et immanquablement, si par malheur il glisse ou effectivement se fait mal, ça finit toujours par un “c’est de ta faute !” Bref, les discussions avec mon fils tournent assez souvent autour de notions que doivent avoir effleuré tous les risk-managers du monde: est-ce que prédire nous rend responsable ? bon, j’interprète un peu, car assez souvent, mon fils cherche simplement un responsable à blâmer (et autant que possible, quelqu’un d’autre que sa petite personne)… mais bon, les CEO se comportent de la même manière, non ? dois-je comprendre que mon fils est un futur CEO ou bien que les CEO sont simplement des personnes qui finalement se comportent comme des enfants de 6 ans….? je laisse le débat ouvert.
Ces discussions avec mon fils ont été analysées par des personnes bien plus intelligentes que moi, par exemple Jean-Pierre Dupuy, dans la section prévoir l’avenir pour le changer de Pour un catastrophisme éclairé: quand l’impossible est certain, qui reprend l’histoire de Jonas, fils d’Amittaï, le prophète biblique dans une réflexion plus générale sur la réalisation ou non des prévisions (ou dans le contexte biblique des prophéties).
A en croire wikipedia, pour les catholiques, la fable de Jonas a l’intérêt d’enseigner que les révélations prophétiques n’ont pas un caractère inéluctable qui priverait de liberté les hommes et Dieu. Elles ne sont pas faites dans le but de punir mais de sauver. C’est également le but de mes prophéties, je crois (car pour reprendre ce que me disais la psychologue scolaire, je suis un peu comme un dieu pour mon fils). Ou pour reprendre la formulation de Jean-Pierre Dupuy, Jonas est “la figure même du veilleurs à contre-destin“. Je renvoie ici ou pour des piqûres de rappel sur la fable biblique.
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Et pour ceux qui manquent de références bibliques (comme mon fils), Jonas c’est un peu Gepeto dans Pinocchio (ou bien le Jonas dans Illusion of time sur super nintendo).
Pour revenir au dilemme de Jonas, pour vérifier si une prophétie était, ou non, d’origine divine, il faut attendre qu’elle se réalise. Seul l’avenir est juge. “Nous voici ramenés à l’aporie du catastrophisme: le prophète de malheur ne sera pris au sérieux et distingués des charlatans que lorsque la catastrophe se sera produite. Mais il sera trop tard.”. Ou pour reprendre ce que disait Hans Jonas dans Le principe responsabilité, “la prophétie de malheur est faite pour éviter qu’elle ne se réalise; et se gausser ultérieurement d’éventuels sonneurs d’alarme en leur rappelant que le pire ne s’est pas réalisé serait le comble de l’injustice: il se peut que leur impair soit leur mérite”.

Pour conclure, comme Jonas (ou plus généralement les assureurs), je n’ai qu’un souhait: que mes prophéties ne se réalise pas (ou tout du moins qu’un meilleur scénario se réalise). C’est peut être à partir de cette idée simple que se fonde le principe de prévention. Il faudrait que j’en discute plus longuement avec mon fils…

Dynamic and Multivariate Risk measures

Exposé dans le cadre du groupe de travail Dynamic and multivariate risk measures, organisé par Rose-Anna Dana (Univ. Paris Dauphine) et Alfred Galichon (Ecole Polytechnique). La conférence a lieu du jeudi 16 au vendredi 17, à l’Institut Henri Poincare.

Les orateurs sont Imen Bentahar, Arthur Charpentier, Rama Cont, Nicole El Karoui, Paul Embrechts, Damir Filipovic, Jean-Charles Rochet, Ludger Ruschendorf, Marco Scarsini, et Walter Schachermayer, et le programme est en ligne.

Insurance and reinsurance of natural catastrophes

Conférence Insurance and Adaptation to Climate Change, Paris, Mars 2007. The paper appeared in the Geneva Papers.

The IPCC 2007 report noted that both the frequency and strength of hurricanes, floods and droughts have increased during the past few years. Thus, climate risk, and more specifically natural catastrophes, are now hardly insurable: losses can be huge (and the actuarial pure premium might even be infinite), diversification through the central limit theorem is not possible because of geographical correlation (a lot of additional capital is required), there might exist no insurance market since the price asked by insurance companies can be much higher than the price householders are willing to pay (short-term horizon of policyholders), and, due to climate change, there is more uncertainty (and thus additional risk). The first idea we will discuss in this paper, about insurance markets and climate risks, is that insurance exists only if risk can be transferred, not only to reinsurance companies but also to capital markets (through securitization or catastrophes options). The second one is that climate is changing, and therefore, not only prices and capital required should be important, but also uncertainty can be very large. It is extremely difficult to insure in a changing environment.

The paper was presented in a conference, in Paris, in 2007