Category Archives: Economics

Théorème de l’enveloppe

Un tout petit complément sur l’utilité inverse, et l’exercice 2 de la PC de jeudi après midi.
Tout  d’abord un petit rappel sur le théorème de l’enveloppe. Supposons que l’on cherche à maximiser une fonction (dite objectif) f(bold x,bold r) qui dépend de paramètres bold r, i.e. on cherche

f^*(bold r) = max_{bold x} f(bold x,bold r),

La fonction f^*(bold r) est alors la fonction optimale pour les paramètres bold r donnés. Soit  bold x^*(bold r) la valeur optimale en bold x, fonction du paramètre bold r , de telle sorte que

f^*(bold r) = f(bold x^*(bold r), bold r)

Le théorème de l’enveloppe nous permet de voir comment f^*(bold r) varie lorsque le paramètre change, et plus particulièrement, on a

frac{partial f^*(bold r)}{partial r_i} = frac{partial f(bold x,bold r)}{ partial r_i} Bigg|_{bold x =

Autrement dit, la dérivée de f^*(bold x,bold r) suivant  ri est donnée par la dérivée partielle de f(bold x,bold r)suivant ri, lorsqu’on l’évalue en bold x =.

Notons qu’il existe aussi une version un peu plus générale qui autorise un programme d’optimisation avec contrainte.
Supposons que l’on s’intéresse à

max_{bold x} f(bold x,bold r) ;; s.t. ;; bold g(bold x,bold r) = bold 0

dont le Lagrangien s’écrit

mathcal{L}(bold x,bold r) = f(bold x,bold r) - boldsymbol{lambda} cdot bold g(bold x,bold r)

où de manière classique boldsymbol{lambda} = (lambda_{1},dots,lambda_{n}) est l’ensemble de multiplicateurs de Lagrange où

bold g(bold x,bold r) = (g_{1}(bold x,bold r),dots,g_{n}(bold x,bold r))

Le théorème de l’enveloppe permet d’écrire

frac{partial f^*(bold r)}{partial r_i} = frac{partial mathcal{L}(bold x,bold r)}{partial r_i} Bigg|_{ bold x =

L’autre point important de la PC était le principe de dualité dans les programme d’optimisation, que j’avais abordé ici.
Bref, tout ça permet d’introduire la notion d’utilité inverse et de demande Hicksienne. Pour reprendre calmement cette partie (en s’inspirant d’une page de wikiversité sur le sujet), le programme classique visait à chercher

 max_{mathbf{x}in Bleft(mathbf{p},y<br />
ight)}uleft(mathbf{x}<br />
ight)

où la contrainte budgétaire s’écrit classiquement

B=left{mathbf{x}in X|mathbf{p}mathbf{x}=sum_{i=1}^Np_ix_i le y<br />
ight}

La solution est alors notée mathbf{x}^mleft(mathbf{p},y<br />
ight) (on parle de demande Marshalienne). Je passe rapidement sur le programme d’optimisation de l’agent, mais nous avions vu que le taux marginal de substitution était égal au rapport des prix. En effet, le Lagrangien s’écrit

 mathcal{L}equiv u(mathbf{x})-lambda(mathbf{p}mathbf{x}-y)

ce qui donne de conditions du premier ordre de la forme

 frac{partial u(mathbf{x}^m)}{partial x_i}=u'_i=lambda p_i forall i.
L’idée maintenant est d’injecter les fonction de demande dans la fonction d’utilité, ce qui permet d’obtenir la fonction d’utilité inverse

 v(mathbf{p},y)=u(mathbf{x}^m(mathbf{p},y))

Une manière alternative d’étudier ce problème est de regarder le programme dual (on a supposé la fonction d’utilité convexe), i.e on cherche à trouver le panier de bien le moins cher possible nous procurant une utilité au moins égale à une utilité minimale, i.e. on cherche à résoudre

 min_{mathbf{x}|u(mathbf{x})gebar u}mathbf{p}mathbf{x}

La solution de ce programme d’optimisation mathbf{x}^h(mathbf{p},bar u) est appelée demande hicksienne. On peut alors considérer la fonction de dépense minimale,

e(mathbf{p},bar u)=mathbf{p}mathbf{x}^h(mathbf{p},bar u)

Le lemme de Shepard permet d’écrire

: x^h_i(mathbf{p},bar u)=frac{partial e(mathbf{p},bar u)}{partial p_i}

Ce résultat se montre finalement assez simplement: en effet, par construction

e(mathbf{p},bar u)=sum_{i=1}^Np_ix_i^h(mathbf{p},bar u)

dont un calcul de dérivée rapide permet d’écrite

 frac{partial e(mathbf{p},bar u)}{partial p_k}={color{Red}sum_{i=1}^Np_ifrac{partial x_i^h(mathbf{p},bar u)}{partial p_k}}+x_k^h(mathbf{p},bar u)

Rappelons que la condition de premier ordre s’écrit

u'_i=frac{p_i}{lambda}

Comme en u(mathbf{x})=bar u, nous sommes à un optimum, on en déduit

 sum_{i=1}^Nu'_ifrac{partial x_i^h(mathbf{p},bar u)}{partial p_k}=0

et donc

frac{1}{lambda}{color{Red}sum_{i=1}^Np_ifrac{partial x_i^h(mathbf{p},bar u)}{partial p_k}}=0

et comme lambda e 0 c’est que  la somme rouge est nulle. D’où le lemme dit de Shepard.
Les théorèmes de dualité permettent d’obtenir un certain nombre de résultats, parmi lesquels

  • e[mathbf{p},v(mathbf{p},y)]equiv y
  • v[mathbf{p},e(mathbf{p},bar u)]equivbar u
  • x^m_i(mathbf{p},y)equiv x^h_i[mathbf{p},v(mathbf{p},y)]
  • x^h_i(mathbf{p},bar u)equiv x^m_i[mathbf{p},e(mathbf{p},bar u)]

Enfin, en appliquant le théorème de Slutsky, on écrit

ce qui s’écrit encore

frac{partial x_k^m}{partial p_j}=frac{partial x_k^h}{partial p_j}-frac{partial x_k^m}{partial y}{color{Red}frac{partial e}{partial p_j}}

Bref, on retrouve ici ce qu’on avait fait en PC.
Mais si ça n’est toujours pas plus clair, il y a des notes de cours de Michael Manove, à Boston University, sur “indirect utility” et “duality“, dont les slides sont ici. Il y a également des compléments mathématiques, dont le théorème de l’enveloppe (Prop. 21.2) ou le théorème de Kuhn-Tucker (Prop.21.13), ici.
On pourra aussi trouver en ligne l’article de Lawrence Blume sur la dualité pour le dictionnaire Palgrave d’économie, ici. Larry a aussi écrit l’article sur la programmation convexe, diponible .
Sinon je mets ici les exercices des deux prochaines PC.

Jeux noncoopératifs et assurance des catastrophes

Présentation d’un papier (pas encore complètement fini) lors de la réunion AST&Risk à Grenoble1, sur l’assurance des catastrophes naturelles. Les slides seront mis en ligne dès lors que le papier sera finalisé (encore quelques jours)…

En théorie de la décision, les agents prennent des décisions en fonction de leurs croyances, et de leur utilité. Un jeu est un cadre (formel) où les décisions des agents sont interdépendantes: la décision que je prends dépend de ce que font les autres. On parle alors de stratégie.
La notion d’équilibre dans les jeux à somme nulle découle du théorème minimax de John von Neumann (en 1926). Mais c’est John Nash qui a proposé la notion la plus générale en 1950 (je l’avais mentionné ici). Ce résultat est fondamentalement un théorème de point fixe.  Pour comprendre la notion d’équilibre de Nash, prenons l’exemple suivant (que j’ai trouvé ici): considérons un jeu avec deux joueurs (A et B) qui doivent choisir entre deux stratégies S1 et S2. Les gains des 2 joueurs (connus) sont représentés dans le tableau suivant sous la forme (Gain de A ; Gain de B).

On se demande simplement comment les agents doivent prendre une décision. Pour résoudre ce problème, on étudie toutes les stratégies possibles

  1. est-ce que (S1 ; S1) est une situation stable ? Non, car le joueur A aura plutôt intérêt à choisir S2 (afin d’augmenter son gain de 3 à 4), tandis que le joueur B voudra dévier en S2 (pour avoir un gain de 4 plutôt que de 3). Bref, les deux joueurs chercheront à dévier: ce n’est pas un équilibre.
  2. en (S1 ; S2), A aura intérêt à choisir la stratégie S2 afin de faire passer son gain de 0 à 1. B n’a pas intérêt à dévier dans cette situation. Si l’un des agents a intérêt à dévier, on se doute qu’on ne restera pas sur cette stratégie: ce n’est pas un équilibre.
  3. en (S2 ; S1), A n’a pas intérêt à dévier, mais B va préférer la stratégie S2 qui lui donne un gain de 2 plutôt que de 1.
  4. en (S2 ; S2), aucun des joueurs n’a intérêt à dévier, il s’agit d’un Équilibre de Nash. Aucun des joueurs ne peut faire mieux en modifiant unilatéralement sa stratégie.

On parle de jeux non-coopératif car les décisions sont prises unilatéralement. On peut alors schématiquement représenter ces déviations sur le schéma suivant

Notons également que l’on a un équilibre de Nash, mais aucunement une situation optimale: les joueurs gagnent respectivement 1 et 2, alors qu’ils pourraient gagner 3 (tous les deux) avec la stratégie (S1 ; S1)

1 Le groupe organise d’ailleurs un workshop Modélisation spatiale et temporelle de la dépendance & Applications au risque, qui se tiendra à Luminy du 26 au 30 avril 2010, ici.

Economie, et optimisation sous contraintes

Premier cours de microéconomie à l’X. Pour les PC (salle PC10), la liste des exercices est disponible ici, avec au programme la consommation des ménages. Je mets ici les exos de la prochaine PC (et une autre feuille d’exercices – que nous ne traiterons pas).

Petit complément sur la résolution du programme d’optimisation avec contrainte, via le Lagrangien. Comme je l’ai évoqué (très) rapidement, c’est lié à des résultats connus sous le nom de théorème (ou condition) de Kuhn et Tucker. De manière assez générale, le but est de trouver X^* in mathbb{R}^n qui maximise f(X) , sous contrainte g(X) ge 0, c’est-à-dire résoudre le programme
X^*in arg max_{X in mathbb{R}^n} f(X) sous contrainte g(X) ge 0g(X)=(g_i(X))_{1 le i le m} (correspondant à un ensemble de m contraintes).

Comme précisé en cours, l’idée de la résolution du problème (sous des hypothèses – fortes – de concavité des fonctions) est d’introduire des multiplicateurs de Lagrange (autant que de contraintes) lambda = (lambda_i)_{1 le i le m} in mathbb{R}_+^m , et on définit le Lagrangien comme la fonction 
L(X, lambda) = f(X) + sum_{i=1}^m lambda_i g_i(X)

On considère alors le problème d’optimisation (sans contrainte) du Lagrangien. Les conditions du premier ordre donne n premières conditions, à savoir

frac{partial f}{partial X}(X) + sum_{i=1}^m lambda_i frac{partial g_i}{partial X}(X)=0

et les m dernières correspondent à une saturation des contraintes (en fait  g_i(X)>0 Rightarrow lambda_i = 0, donc si la contrainte n’est pas saturée, le multiplicateur de Lagrange est nul). Ces n+m conditions sont appelées “conditions de Kuhn-Tucker“. L’intérêt de cette formalisation est que l’on a le résultat suivant:

X^*in arg max_{X in mathbb{R}^n} f(X) sous les contraintes g(X) ge 0 si et seulement si (X^*, lambda^*) , est solution des conditions de Kuhn-Tucker.

Pour plus plus d’information, je peux renvoyer aux slides de Christophe Gonzales àParis 6, ici, ou aux notes de Julien Grenet, de l’ENS, . Sinon j’avais fait un billet il y a quelque temps sur un sujet connexe (et qu’on verra apparaître dans les cours suivants normalement), i.e. le principe de dualité en optimisation (ici).

Quantile de sommes, ou somme de quantiles ?

Je reprends ici un commentaire que j’ai longtemps entendu dans mon expérience d’actuaire dans une vie antérieure (et qu’on peut lire – entre les lignes le plus souvent – dans certaines réactions de risk managers). Les quantiles sont la base des mesures de risques, en particulier via la VaR en finance, mais quand j’étais actuaire, on calculait des 90/10 pour désigner des quantiles à 90% des pertes. Donc tout ça n’est pas spécialement nouveau. Je rappelle que la fonction quantile est simplement  où

Les quantiles sont calculés par type de risque (en gestion des risques), et forcément à la fin, on souhaite un quantile de la somme des risques, et il a longtemps été coutume de prendre la somme des quantiles. Je vais donc discuter un peu le résultat suivant,

  • L’égalité n’est pas vraie dans le cas indépendant

Suite à une espère de déformation professionnelle (à cause de la variance), beaucoup de monde pense que

mais ce résultat est faux…. Un exemple est d’ailleurs donné ci-dessous dans le cas de variables exponentielles.

  • L’égalité est vraie dans le cas comonotone…

En fait, le résultat précédant est vrai dans le cas comonotone. La comonotonie correspond au cas de dépendance parfaite positive, de corrélation maximale (si la corrélation existe), i.e.  avec  une fonction strictement croissante. Alors

  • … mais ce n’est pas un “worst case

Seconde bizarrerie, la comonotonie n’est pas le pire des cas. La comonotonie est souvent envisagée comme un worst case scenario mais il n’en est rien (cette idée se retrouve dans les QIS 3 par exemple, ici).
Formellement, si  (la classe de Fréchet), alors

et

En passant en dimension 2 (cas où la borne inférieure est effectivement une vraie fonction de répartition), si et  désignent respectivement des version anticomonotone et comonotone de , alors on peut se demander, en considérant une mesure de risque quelconque  si

En fait, Andre Tchen a montré en 1980 un résultat qui montre que la comonotonie est effectivement un worst case, mais seulement dans certains cas très limités.
Si est une fonction supermodulaire, i.e.

pour tout  et . Alors dans ce cas, pour tout ,

(la preuve se trouve ici). Je renvoie aux papiers de Michel Denuit, de Jan Dhaene ou de Marc Goovarts (ici ou ) pour des applications en tarification sur deux têtes, par exemple, ou sur les primes stop-loss en réassurance

  • Borner (numériquement) le quantile d’une somme

Commençons par un exemple, avec deux lois exponentielles, car c’est le plus simple, et surtout on peut calculer explicitement les bornes (dans le cas général, on se contentera de méthode numérique comme l’avait fait Khalil ici).
Si  et , où, pour être plus précis,

l’encadrement

est valide pour tout  quelle que soit la structure de dépendance entre et , où

Aussi, en prenant les inverses (car ces fonctions sont strictement croissante), on obtient une inégalité en terme de quantile, ou de Value-at-Risk,

pour tout .
Rappelons que dans le cas de variables indépendantes  alors que dans le cas comonotone . La figure ci-dessous montre les valeurs possible pour  la fonction de répartition de la somme, avec le cas indépendant en bleu, et le cas comotonone en rouge.

On peut aussi visualiser les valeurs possibles pour les quantiles de la somme. Dans un cas général, Ce problème a été traité par Makarov en 1981, et par Frank, Nelsen et Schweizer en 1997 (ici), tout en restant en dimension 2. En fait, ils ont travaillé sur les bornes de la fonction de répartition d’une somme mais c’est pareil, comme on l’a vu juste auparavant. Ils ont montré le résultat suivant: si  alors pour tout

désigne la copule anticomonotone (qui est une copule en dimension 2),

en posant , et

On peut retrouver des résultats plus fin en creusant dans la direction de l’arithmetic probability, par exemple avec la thèse de Williamson (ici, cette thèse est remarquable, et trop peu citée, malheureusement). Je ne parle que de la dimension 2, l’extension en dimension supérieure est délicate (je renvoie aux travaux de Paul Embrechts sur le sujet, ici ou , par exemple).

“Ce n’est pas la girouette qui tourne, c’est le vent”

(disait Edgar Faure). Allez, je n’avais jamais osé, mais l’occasion est tellement belle que je vais faire un (court) billet de macro-économie.En fait, je suis assez ” surpris” par cet emprunt national qui a été annoncé (ici ou ). Il y a quelques mois, on nous expliquait (démonstrations à l’appui) que l’endettement c’était sale et que l’état était au bord de la faillite, etc. Voilà maintenant que les mêmes personnes nous sollicitent pour aider l’état à s’endetter davantage ! Ce qui me surprendra toujours, c’est cette facilité de passer d’une conclusion à son contraire sans même s’en rendre compte (je suis un peu médisant car en occurrence, ce sont des hommes politiques, et pas des économistes), ou alors ça s’appelle de la mauvaise foi. Pourtant en Bretagne, on a parfois l’habitude de voir les girouettes tourner plusieurs fois dans la même journée !


Il y a quelques années, le Ministère de l’Économie, dans un soucis d’éducation avait édité un court livre d’une trentaine de pages sur les mécanismes de base de l’économie (ci-contre). Comme j’ignore les droits en matière de droit d’auteur, je me suis permis de mettre un lien vers la version pdf (c’est pour la bonne cause). Bref, vivement que l’on relance l’éducation économique (et scientifique), et que l’on arrête les plans de communication pour dire un truc et son contraire quelques semaines plus tard !
PS: évidemment, il existe de bien meilleurs ouvrages de vulgarisation économique, mais c’était juste pour rappeler qu’à une époque, l’éducation semblait être une valeur importante.

Who wants to be a millionnaire ?

Le vrai moyen de gagner beaucoup est de ne vouloir jamais trop gagner et de savoir perdre à  propos.” (Fénélon – Les aventures de Télémaque)

Bon, pour ma part, j’avais tenté une autre solution vendredi dernier: tenter de gagner les 126 millions d’euros de l’Euromillion. Et comme je suis toujours en train de poster des billets sur mon blog, on peut en déduire que je ne suis pas l’heureux vainqueur (car oui, il parait qu’il y en a un… un très bon ami ami à moi… enfin… s’il le souhaite!).

Quelle ne fut pas me surprise de voir des collègues (on peut dire copains) matheux indignés par mon comportement, et me reprocher mon irrationalité*

Sur l’irrationalité des joueurs, je renvoie à de nombreux papiers de la littérature économique, en particulier le papier de Maurice Allais (ici), précisément intitulé Le comportement de l’homme rationnel devant le risque. Je dois avouer que, selon moi, la critique de Maurice Allais est très proche de ce que notent Daniel Kahneman et Amos Tversky (ici) sur la distinction fondamentale (et non symétrique) entre gains et pertes.

Bref, toute cette discussion est un prétexte pour parler d’un très joli papier que m’a fait découvrir Charles Figuières lors de mon exposé à Montpellier voilà deux semaines, de Graciela Chichilnisky sur Topology of Fear. Un preprint peut se télécharger ici, sa page internet (ici) regorge d’informations passionnantes, mais je ne sais toujours pas où ce brillant papier sera publié…. à suivre donc.

* pour aller un peu plus loin, je pourrais avouer ici que ma stratégie a été de jouer “1-2-3-4-5” puis “6-7”  (j’ai découvert que ce type de loto était un peu différent de celui que j’utilise dans mes exemples de probas, avec des étoiles). Tout d’abord, cette stratégie est aussi probable que n’importe quelle autre. Mais pour information, lors du 3ème tirage du Loto en France (en 1976), les numéros “1-2-3” sont sortis. Historiquement (voir ici), sur plus de 4850 tirages, on a eu deux numéros consécutifs (au moins) dans 2/3 des tirages (63%), et trois consécutifs dans 8% des tirages. On a vu 39 fois (0,8% des tirages), quatre numéros consécutifs. Mais jamais 5 numéros consécutifs, en presque 35 ans. Je laisse les plus motivés faire les calculs théoriques. Ma stratégie devrait être payante (si je jouais plus d’une fois tous les 5 ans) car peu de monde joue des numéros consécutifs. Si on compte le nombre de gagnants du 1er rang, il y a – en moyenne – 2,90 gagnants les tirages comprenant deux numéros consécutifs et sinon 4,03 gagnants. Si on va plus loin, il y a 2,48 gagnants les tirages comprenant trois numéros consécutifs et 3,39 sinon. Par contre, si on regarde avec 4 nombres consécutifs, un tombe sur un point aberrant: d’ordinaire, on a 3 gagnants du 1er rang, mais en septembre 1984, avec comme tirage “26-27-28-29-35-36-37” (4 et 3 consécutifs), il y a eu 64 gagnants du 1er rang, ce qui est presque le record…
D’ailleurs si on regarde les records (promis après j’arrête), le record fut en juin 1993, avec 103 vainqueurs, où 31 fut le plus grand chiffre, et le 13 sortit. Ensuite, en 1979, on a eu 96 vainqueurs avec des numéros pairs consécutifs, à savoir le tirage “2-8-10-12-14-16-18” (soit 6 chiffres pairs successifs). Ensuite arrive le tirage que je mentionnais… En fait, tous les tirages qui ont eu des très gros nombres de vainqueurs du 1er rang présentaient une régularité impressionnante. On retrouvera ainsi le tirage “4-5-7-14-15-17-20” par exemple, avec 63 vainqueurs… Bref, ma stratégie n’est peut être pas géniale finalement….

Expliquer l’assurance vie et la retraite

En fouillant un peu dans mes cartons, j’ai enfin remis la main sur un article qui avait trôné dans mon bureau à l’ENSAE pendant plusieurs mois. De mémoire, je croyais qu’il s’agissait d’un article du Monde, mais après quelques recherches, je me suis rendu compte qu’il s’agissait d’un article paru fin 2003 dans le Canard Enchaîné, hebdomadaire pour lequel j’ai une immense admiration pour les informations (et surtout les jeux de mots), mais pour une fois, je serai assez critique.

En particulier, le petit encadré en bas à gauche m’avait interpellé,

Cet article parle du calcul des retraites – sujet ô combien important – et s’étonne, ou s’insurge, que le calcul d’une retraite soit “insensé” (c’est à dire selon mon dictionnaire “qui a perdu le sens“). Or précisément cette formule a du sens (tout du moins si l’on remplace x – qui est l’inconnue révélatrice de l’incompréhension face aux formules mathématiques dans l’imaginaire collectif – par un signe de multiplication). Les rapports des L sont les probabilités d’être en vie – et donc de pouvoir toucher effectivement une retraire, et on retrouve les facteurs d’actualisation devant. Bref, on retrouve une formule qui s’interprète “simplement” comme valeur actuelle probable des flux futurs. Le document initial peut se trouver ici (merci à Benoit Bellone pour la référence), il s’agit de la section 8.3 (“Garantir le niveau des retraites: Les conséquences financières pour les futurs retraités”) du Rapport économique, social et financier, Tome I  Perspectives économiques 2003-2004 et évolution des finances publiques. Une partie explique en détail la “neutralité financière d’un régime de retraite“, et ce sont ces formules qui semblent avoir inspiré l’article du Canard,

Je pense que cet article (pourtant paru dans un journal dont le lectorat est majoritairement de la classe supérieure élevée) est assez symptomatique du manque de culture scientifique des journalistes. Sans vouloir faire offense à l’esprit anticlérical du Canard, cet article m’a rappelé une réflexion du philosophe Calvin (ami de Hobbes, le tigre)

Multiplication des pains et risk management


Pour continuer un peu mes élucubrations bibliques, après Jonas et la baleine (ici), je vais rebondir sur la multiplication des pains*. Hier soir je traînais sur le (très bon) blog http://eljjdx.canalblog.com/ (alias Choux romanesco, Vache qui rit et intégrales curvilignes) et j’ai dévoré l’article sur c’est mon choix, qui revenait sur le “paradoxe” de Stefan Banach et Alfred Tarski.
Ce paradoxe dit simplement qu’
il est possible de couper une boule de mathbb R^3 en un nombre fini de morceaux et de réassembler ces morceaux pour former deux boules identiques à la première. C’est un résultat purement mathématique, qui n’a aucun sens physique (ou tout du moins en physique classique, où “rien ne se perd, rien ne se crée, tout se transforme” selon la maxime attribuée – injustement – à Lavoisier car on peut la retrouver chez le philosophe présocratique Anaxagore de Clazomènes).

Ce résultat repose sur le concept d’équidécomposabilité: deux ensembles sont donc équidécomposables si on peut couper le premier en morceaux et reconstruire le deuxième simplement en déplaçant les morceaux (c’est-à-dire en leur appliquant une isométrie). Bref, on joue au puzzle. Et pour revenir à notre problème, un ensemble est dédoublable s’il est équidécomposable à une moitié de lui-même. L’autre point important dans le paradoxe est l’idée de volume (et donc de mesure). Si on veut mesurer un intervalle, on prend sa longueur et si on a un ensemble en plusieurs morceaux, on prend la somme de la longueur de chacun des morceaux.

Et le paradoxe affirme qu’on peut construire des ensembles suffisamment tordus et bizarres pour qu’on ne puisse pas les mesurer, c’est-à-dire qu’on ne peut pas leur associer un volume sans violer les deux propriétés évoquées plus haut. Pour reprendre une image évoqué par wikipedia, “le paradoxe affirme que l’on peut multiplier les petits pois ou transformer une grenouille en quelque chose de plus gros que le bœuf dès l’instant qu’on passe par une étape où elle est coupée en morceaux non mesurables, où le volume perd son sens. Par la suite, on peut réassembler ces morceaux en un objet « plus gros » sans avoir à dire que la grenouille et le bœuf ont le même volume puisque le volume du résultat n’est pas la somme des volumes des morceaux.

Pour ceux qui veulent des compléments mathématiques, il y a un article ici ou , par exemple.

Mais si je parle de Jésus de Nazareth et de paradoxes mathématiques, c’est principalement pour revenir à l’interprétation (très intéressante qu’en donne Paul Embrechts, ici). Paul en avait parlé à plusieurs reprises dans différents exposés (par exemple ici, à partir du slide 29). Je reprendrais plutôt la version en français des slides qu’il avait présenté à session plénière à Ottawa l’été dernier (ici),

dont l’interprétation financière est la suivante,

Peut-être est-ce encore plus clair en anglais,

Autrement dit les financiers ont réussi le miracle de mettre en pratique le théorème de Banach et Tarski, à savoir la multiplication des risques à l’infini….

 

* si je reprends l’évangile selon Marc,Et il leur dit: Combien avez-vous de pains? Allez voir. Ils s’en assurèrent, et répondirent: Cinq, et deux poissons. Il prit les cinq pains et les deux poissons et, levant les yeux vers le ciel, il rendit grâces. Puis, il rompit les pains, et les donna aux disciples, afin qu’ils les distribuassent à la foule. Il partagea aussi les deux poissons entre tous. Tous mangèrent et furent rassasiés, et l’on emporta douze paniers pleins de morceaux de pain et de ce qui restait des poissons. Ceux qui avaient mangé les pains étaient cinq mille hommes.

[30/03/2009] Juste pour poursuivre dans mes élucubrations bibliques, je voulais juste mettre un lien (ici), voire deux (), pour une lecture assez orientée théorie des jeux du sacrifice de Salomon  (ou du “jugement de Salomon”, rappelé ici). Des billets plus anciens parle de cette lecture (ici, ou ) ou mieux encore, le chapitre de John Moore, téléchargeable ici.


Risk management et relations familiales

Un doctorant m’avait fait remarquer l’autre jour que mon blog devenait trop sérieux. Je me suis dis que j’allais  parler de mon fils, histoire d’avoir un sujet un peu plus léger. Mais, déformation professionnelle oblige, je voulais en profiter pour narrer un épisode récurrent. Assez souvent, je dis à mon fils “ne fais pas ça, tu vas tomber“, “ne fais pas ça, te vas te faire mal” (ou toute autre variante), et immanquablement, si par malheur il glisse ou effectivement se fait mal, ça finit toujours par un “c’est de ta faute !” Bref, les discussions avec mon fils tournent assez souvent autour de notions que doivent avoir effleuré tous les risk-managers du monde: est-ce que prédire nous rend responsable ? bon, j’interprète un peu, car assez souvent, mon fils cherche simplement un responsable à blâmer (et autant que possible, quelqu’un d’autre que sa petite personne)… mais bon, les CEO se comportent de la même manière, non ? dois-je comprendre que mon fils est un futur CEO ou bien que les CEO sont simplement des personnes qui finalement se comportent comme des enfants de 6 ans….? je laisse le débat ouvert.
Ces discussions avec mon fils ont été analysées par des personnes bien plus intelligentes que moi, par exemple Jean-Pierre Dupuy, dans la section prévoir l’avenir pour le changer de Pour un catastrophisme éclairé: quand l’impossible est certain, qui reprend l’histoire de Jonas, fils d’Amittaï, le prophète biblique dans une réflexion plus générale sur la réalisation ou non des prévisions (ou dans le contexte biblique des prophéties).
A en croire wikipedia, pour les catholiques, la fable de Jonas a l’intérêt d’enseigner que les révélations prophétiques n’ont pas un caractère inéluctable qui priverait de liberté les hommes et Dieu. Elles ne sont pas faites dans le but de punir mais de sauver. C’est également le but de mes prophéties, je crois (car pour reprendre ce que me disais la psychologue scolaire, je suis un peu comme un dieu pour mon fils). Ou pour reprendre la formulation de Jean-Pierre Dupuy, Jonas est “la figure même du veilleurs à contre-destin“. Je renvoie ici ou pour des piqûres de rappel sur la fable biblique.
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Et pour ceux qui manquent de références bibliques (comme mon fils), Jonas c’est un peu Gepeto dans Pinocchio (ou bien le Jonas dans Illusion of time sur super nintendo).
Pour revenir au dilemme de Jonas, pour vérifier si une prophétie était, ou non, d’origine divine, il faut attendre qu’elle se réalise. Seul l’avenir est juge. “Nous voici ramenés à l’aporie du catastrophisme: le prophète de malheur ne sera pris au sérieux et distingués des charlatans que lorsque la catastrophe se sera produite. Mais il sera trop tard.”. Ou pour reprendre ce que disait Hans Jonas dans Le principe responsabilité, “la prophétie de malheur est faite pour éviter qu’elle ne se réalise; et se gausser ultérieurement d’éventuels sonneurs d’alarme en leur rappelant que le pire ne s’est pas réalisé serait le comble de l’injustice: il se peut que leur impair soit leur mérite”.

Pour conclure, comme Jonas (ou plus généralement les assureurs), je n’ai qu’un souhait: que mes prophéties ne se réalise pas (ou tout du moins qu’un meilleur scénario se réalise). C’est peut être à partir de cette idée simple que se fonde le principe de prévention. Il faudrait que j’en discute plus longuement avec mon fils…

Paradoxe, vote et démocratie

Le paradoxe le plus classique sur les élections est le paradoxe de Condorcet, correspondant à une intransitivité des préférences. Pour rappels, dans le cours d’économie de l’incertain, j’avais postulé que les relations de préférences étaient une relation d’ordre (et donc étaient transitives) sans que cela ne soulève la moindre objection. Prenons un cas pratique: un sondage LH2 pour RMC-BFM TV-20 minutes, diffusé le 12 mars 2007 sur les élections présidentiels, donnait les intentions de vote suivant,

  • au premier tour, Sarkozy (28) > Royal (26) > Bayrou (22)
  • au second tour, Sarkozy (52) > Royal (48) mais  Bayrou (55) > Sarkozy (45)

Autrement dit, on peut A>B, et B>C, mais sans pour autant avoir A>C.

Pour Condorcet, il n’existait pas de système simple assurant cette cohérence, à savoir une fonction de choix social indiscutable, permettant d’agréger des préférences individuelles en préférences sociales. Arrow démontre, sous réserve d’acceptation de quelques hypothèses, qu’il n’existerait pas de système du tout assurant la cohérence, hormis celui où la fonction de choix social coïnciderait avec les choix d’un seul individu, parfois surnommé dictateur, indépendemment du reste de la population.

Le théorème d’Arrow peut être énoncé sous la forme suivante.

Pour au moins 3 options de choix et deux individus, il n’existe pas de fonction de choix social satisfaisant les propriétés suivantes :

  1. Universalité : la fonction de choix social doit être définie pour tout profil de préférences logiquement possible. Cela signifie qu’on ne peut éliminer le choix de certains individus du groupe des individus qui déterminent le choix collectif.
  2. Non-dictature : il n’existe aucun individu pour lequel la liste de ses choix personnels coïncide avec la fonction de choix social, indépendamment des préférences des autres ;
  3. Unanimité : lorsque tous les individus ont les mêmes préférences, la fonction de choix social doit associer ces mêmes préférences à la société.
  4. Indifférence des Options Non-Pertinentes : le classement relatif de deux options ne doit dépendre que de leur position relative pour les individus et non du classement d’options tierces ; si l’on ne considère qu’un sous-ensemble d’options, la fonction ne doit pas aboutir à un autre classement de ce sous-ensemble.

Sur les paradoxes du vote, je renvoie à une très bonne émission qui avait été diffusée dans Archimède sur Arte en janvier 2001. L’intégralité du texte se trouve ici,

Paradoxe de Grossman et Stiglitz


Pour le cinquième cours à l’X, sur les asymétries d’information, les slides sont en ligne, ainsi que les énoncés des exercices. Je ferais PC l’après midi, salle 75, bâtiment Paul Levy. Sinon la page maintenue par Alfred Galichon se trouve ici. Petit complément sur le paradoxe de Grossman et Stiglitz, étudié en exercice (i.e. si un marché est efficient du point de vue de l’information, autrement dit toute l’information pertinente est contenue dans les prix de marché, alors aucun agent n’est incité à acquérir de l’information sur laquelle sont fondés les prix),

Grossman and Stiglitz (1980) argued that because information is costly, prices cannot perfectly reflect the information which is available, since if it did, those who spent resources to obtain it would receive no compensation, leading to the conclusion that an informationally efficient market is impossible.” Sewell (2006)

” Second, perfect efficiency is an unrealistic benchmark that is unlikely to hold in practice. Even in theory, as Grossman and Stiglitz (1980) have shown, abnormal returns will exist if there are costs of gathering and processing information. These returns are necessary to compensate investors for their information-gathering and information-processing expenses, and are no longer abnormal when these expenses are properly accounted for. In a large and liquid market, information costs are likely to justify only small abnormal returns, but it is difficult to say how small, even if such costs could be measured precisely.” Campbell, Lo and MacKinlay (1997), page 24

” Grossman (1976) and Grossman and Stiglitz (1980) go even further. They argue that perfectly informationally efficient markets are an impossibility, for if markets are perfectly efficient, the return to gathering information is nil, in which case there would be little reason to trade and markets would eventually collapse. Alternatively, the degree of market inefficiency determines the efforrt investors are willing to expend to gather and trade on information, hence a non-degenerate market equilibrium will arise only when there are sufficient profit opportunities, i.e., inefficiencies, to compensate investors for the costs of trading and information-gathering. The profits earned by these industrious investors may be viewed as economic rents that accrue to those willing to engage in such activities.” Lo and MacKinlay (1999), pages 5-6

Comsumption based CAPM


Pour le quatrième cours à l’X, sur l’équilibre et le CCAPM (consumption based), les slides sont en ligne, ainsi que les énoncés des exercices. Je ferais PC l’après midi, salle 75, bâtiment Paul Levy. Sinon, il n’y aura ni cours ni PC la semaine prochaine (le 3 février). Pour aller un peu plus loin sur le CCAPM, je renvoie vers les slides de Gabrielle Demange. Sinon pour compléter la question 3, je citerais le papier suivant

Kahane, Y. et Nye, D.J., «A Portfolio Approach to the Property-Liability Insurance Industry»,. Journal of Risk and Insurance 42 (1975), p. 579-598

On y retrouve que les risques d’assurance (et donc les catastrophes) sont très peu corrélées avec le “marché”, et donc permettent de diversifier un portefeuille d’actions.

Markowitz et CAPM

Pour le troisième cours à l’X, sur Markowitz, l’approche moyenne-variance et le CAPM, les slides sont en ligne, ainsi que les énoncés des exercices. Je ferais PC l’après midi, salle 75, bâtiment Paul Levy.

Comme toutes les semaines maintenant, un petit complément sur un imprécision lors de la PC… j’avais pensé (espéré) que l’on pourrait avoir un résultat général sur le comportement du portefeuille tangent, lorsque la corrélation évolue. J’ai donc repris* l’exemple de l’exercice, avec 3 actifs (dont 1 sans risques), en comparant trois cas possibles. Le cas limite est celui du milieu, lorsque les trois actifs sont alignés dans le plan moyenne variance. A gauche est représenté le cas “convexe” et à droite le cas “concave“. Les points violets correspondent à l’évolution de la position du portefeuille tangent en fonction de la corrélation entre les deux actifs risqués, entre -1 et 1 (ou plutôt 0.999999). Encore une fois, le cas où la corrélation vaut 1 ne peut être traité que si les points sont alignés, i.e. l’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage est vérifiée.

Dans le cas convexe“, le portefeuille tangent se rapproche d’un actif sans risque virtuel, tel que cet actif et les deux actifs sans risque seraient alignés. Dans le cas concave“, on converge vers le point de plus haut rendement (alors qu’on passait par le point de plus bas rendement dans le cas “convexe“), mais on le repasse pour partir à l’infini, avant de revenir par dessous, pour finalement atteindre – là aussi – l’actif sans risque virtuel, tel que cet actif et les deux actifs sans risque seraient alignés

Bref, je ne sais pas s’il existe un résultat général sur le comportement du portefeuille tangent, mais si un géomètre veut se lancer sur ce problème, je suis intéressé par les conclusions !

* repris numériquement seulement, sur un exemple numérique simple… avant d’avancer un résultat, je voulais voir si un résultat simple (et général) pouvait être obtenu sur des exemples numériques.

Single crossing et TVaR

Pour le second cours à l’X, les slides sont en ligne, ainsi que les énoncés desexercices. Je ferais PC l’après midi, salle 75, bâtiment Paul Levy.

Chose promise, chose due… sur le second exercice, sur la dominance stochastique à l’ordre 2, il existe une propriété dite de single-crossing, comme je l’avais évoqué en PC (malheureusement ce n’est qu’une condition suffisante). Autrement dit, si les fonctions de répartition soient…

On parle parfois de lemme de Ohlin, ou du critère de Karlin et Novikoff (1963). Parmi les références, je peux vous mettre le résultat donné dans le livre de Michel Denuit, Jan Dhaene, Marc Goovaerts, et Rob Kaas, dans Actuarial Theory for Dependent Risks,

Sinon pour l’interprétation en terme de dominance stochastique à l’ordre 2, il faut remonter au livre de Marc Goovaerts, et Rob Kaas, Effective Actuarial Methods.

D’ailleurs, cette notion de comparaison est très liée aux notions de “stop-loss order”, “TVaR order”, “variability order” ou de “increasing convex”. Le Chapitre 3 du livre de Moshe Shaked et George Shantikumar porte d’ailleurs exclusivement sur cette notion.

En ce qui concerne le dernier point, sur l’interprétation dans le cas Gaussien, on peut utiliser ce résultat (même s’il ne donne qu’une condition suffisante).