Category Archives: Economics

“Ce n’est pas la girouette qui tourne, c’est le vent”

(disait Edgar Faure). Allez, je n’avais jamais osé, mais l’occasion est tellement belle que je vais faire un (court) billet de macro-économie.En fait, je suis assez ” surpris” par cet emprunt national qui a été annoncé (ici ou ). Il y a quelques mois, on nous expliquait (démonstrations à l’appui) que l’endettement c’était sale et que l’état était au bord de la faillite, etc. Voilà maintenant que les mêmes personnes nous sollicitent pour aider l’état à s’endetter davantage ! Ce qui me surprendra toujours, c’est cette facilité de passer d’une conclusion à son contraire sans même s’en rendre compte (je suis un peu médisant car en occurrence, ce sont des hommes politiques, et pas des économistes), ou alors ça s’appelle de la mauvaise foi. Pourtant en Bretagne, on a parfois l’habitude de voir les girouettes tourner plusieurs fois dans la même journée !


Il y a quelques années, le Ministère de l’Économie, dans un soucis d’éducation avait édité un court livre d’une trentaine de pages sur les mécanismes de base de l’économie (ci-contre). Comme j’ignore les droits en matière de droit d’auteur, je me suis permis de mettre un lien vers la version pdf (c’est pour la bonne cause). Bref, vivement que l’on relance l’éducation économique (et scientifique), et que l’on arrête les plans de communication pour dire un truc et son contraire quelques semaines plus tard !
PS: évidemment, il existe de bien meilleurs ouvrages de vulgarisation économique, mais c’était juste pour rappeler qu’à une époque, l’éducation semblait être une valeur importante.

Who wants to be a millionnaire ?

Le vrai moyen de gagner beaucoup est de ne vouloir jamais trop gagner et de savoir perdre à  propos.” (Fénélon – Les aventures de Télémaque)

Bon, pour ma part, j’avais tenté une autre solution vendredi dernier: tenter de gagner les 126 millions d’euros de l’Euromillion. Et comme je suis toujours en train de poster des billets sur mon blog, on peut en déduire que je ne suis pas l’heureux vainqueur (car oui, il parait qu’il y en a un… un très bon ami ami à moi… enfin… s’il le souhaite!).

Quelle ne fut pas me surprise de voir des collègues (on peut dire copains) matheux indignés par mon comportement, et me reprocher mon irrationalité*

Sur l’irrationalité des joueurs, je renvoie à de nombreux papiers de la littérature économique, en particulier le papier de Maurice Allais (ici), précisément intitulé Le comportement de l’homme rationnel devant le risque. Je dois avouer que, selon moi, la critique de Maurice Allais est très proche de ce que notent Daniel Kahneman et Amos Tversky (ici) sur la distinction fondamentale (et non symétrique) entre gains et pertes.

Bref, toute cette discussion est un prétexte pour parler d’un très joli papier que m’a fait découvrir Charles Figuières lors de mon exposé à Montpellier voilà deux semaines, de Graciela Chichilnisky sur Topology of Fear. Un preprint peut se télécharger ici, sa page internet (ici) regorge d’informations passionnantes, mais je ne sais toujours pas où ce brillant papier sera publié…. à suivre donc.

* pour aller un peu plus loin, je pourrais avouer ici que ma stratégie a été de jouer “1-2-3-4-5” puis “6-7”  (j’ai découvert que ce type de loto était un peu différent de celui que j’utilise dans mes exemples de probas, avec des étoiles). Tout d’abord, cette stratégie est aussi probable que n’importe quelle autre. Mais pour information, lors du 3ème tirage du Loto en France (en 1976), les numéros “1-2-3” sont sortis. Historiquement (voir ici), sur plus de 4850 tirages, on a eu deux numéros consécutifs (au moins) dans 2/3 des tirages (63%), et trois consécutifs dans 8% des tirages. On a vu 39 fois (0,8% des tirages), quatre numéros consécutifs. Mais jamais 5 numéros consécutifs, en presque 35 ans. Je laisse les plus motivés faire les calculs théoriques. Ma stratégie devrait être payante (si je jouais plus d’une fois tous les 5 ans) car peu de monde joue des numéros consécutifs. Si on compte le nombre de gagnants du 1er rang, il y a – en moyenne – 2,90 gagnants les tirages comprenant deux numéros consécutifs et sinon 4,03 gagnants. Si on va plus loin, il y a 2,48 gagnants les tirages comprenant trois numéros consécutifs et 3,39 sinon. Par contre, si on regarde avec 4 nombres consécutifs, un tombe sur un point aberrant: d’ordinaire, on a 3 gagnants du 1er rang, mais en septembre 1984, avec comme tirage “26-27-28-29-35-36-37” (4 et 3 consécutifs), il y a eu 64 gagnants du 1er rang, ce qui est presque le record…
D’ailleurs si on regarde les records (promis après j’arrête), le record fut en juin 1993, avec 103 vainqueurs, où 31 fut le plus grand chiffre, et le 13 sortit. Ensuite, en 1979, on a eu 96 vainqueurs avec des numéros pairs consécutifs, à savoir le tirage “2-8-10-12-14-16-18” (soit 6 chiffres pairs successifs). Ensuite arrive le tirage que je mentionnais… En fait, tous les tirages qui ont eu des très gros nombres de vainqueurs du 1er rang présentaient une régularité impressionnante. On retrouvera ainsi le tirage “4-5-7-14-15-17-20” par exemple, avec 63 vainqueurs… Bref, ma stratégie n’est peut être pas géniale finalement….

Expliquer l’assurance vie et la retraite

En fouillant un peu dans mes cartons, j’ai enfin remis la main sur un article qui avait trôné dans mon bureau à l’ENSAE pendant plusieurs mois. De mémoire, je croyais qu’il s’agissait d’un article du Monde, mais après quelques recherches, je me suis rendu compte qu’il s’agissait d’un article paru fin 2003 dans le Canard Enchaîné, hebdomadaire pour lequel j’ai une immense admiration pour les informations (et surtout les jeux de mots), mais pour une fois, je serai assez critique.

En particulier, le petit encadré en bas à gauche m’avait interpellé,

Cet article parle du calcul des retraites – sujet ô combien important – et s’étonne, ou s’insurge, que le calcul d’une retraite soit “insensé” (c’est à dire selon mon dictionnaire “qui a perdu le sens“). Or précisément cette formule a du sens (tout du moins si l’on remplace x – qui est l’inconnue révélatrice de l’incompréhension face aux formules mathématiques dans l’imaginaire collectif – par un signe de multiplication). Les rapports des L sont les probabilités d’être en vie – et donc de pouvoir toucher effectivement une retraire, et on retrouve les facteurs d’actualisation devant. Bref, on retrouve une formule qui s’interprète “simplement” comme valeur actuelle probable des flux futurs. Le document initial peut se trouver ici (merci à Benoit Bellone pour la référence), il s’agit de la section 8.3 (“Garantir le niveau des retraites: Les conséquences financières pour les futurs retraités”) du Rapport économique, social et financier, Tome I  Perspectives économiques 2003-2004 et évolution des finances publiques. Une partie explique en détail la “neutralité financière d’un régime de retraite“, et ce sont ces formules qui semblent avoir inspiré l’article du Canard,

Je pense que cet article (pourtant paru dans un journal dont le lectorat est majoritairement de la classe supérieure élevée) est assez symptomatique du manque de culture scientifique des journalistes. Sans vouloir faire offense à l’esprit anticlérical du Canard, cet article m’a rappelé une réflexion du philosophe Calvin (ami de Hobbes, le tigre)

Multiplication des pains et risk management


Pour continuer un peu mes élucubrations bibliques, après Jonas et la baleine (ici), je vais rebondir sur la multiplication des pains*. Hier soir je traînais sur le (très bon) blog http://eljjdx.canalblog.com/ (alias Choux romanesco, Vache qui rit et intégrales curvilignes) et j’ai dévoré l’article sur c’est mon choix, qui revenait sur le “paradoxe” de Stefan Banach et Alfred Tarski.
Ce paradoxe dit simplement qu’
il est possible de couper une boule de mathbb R^3 en un nombre fini de morceaux et de réassembler ces morceaux pour former deux boules identiques à la première. C’est un résultat purement mathématique, qui n’a aucun sens physique (ou tout du moins en physique classique, où “rien ne se perd, rien ne se crée, tout se transforme” selon la maxime attribuée – injustement – à Lavoisier car on peut la retrouver chez le philosophe présocratique Anaxagore de Clazomènes).

Ce résultat repose sur le concept d’équidécomposabilité: deux ensembles sont donc équidécomposables si on peut couper le premier en morceaux et reconstruire le deuxième simplement en déplaçant les morceaux (c’est-à-dire en leur appliquant une isométrie). Bref, on joue au puzzle. Et pour revenir à notre problème, un ensemble est dédoublable s’il est équidécomposable à une moitié de lui-même. L’autre point important dans le paradoxe est l’idée de volume (et donc de mesure). Si on veut mesurer un intervalle, on prend sa longueur et si on a un ensemble en plusieurs morceaux, on prend la somme de la longueur de chacun des morceaux.

Et le paradoxe affirme qu’on peut construire des ensembles suffisamment tordus et bizarres pour qu’on ne puisse pas les mesurer, c’est-à-dire qu’on ne peut pas leur associer un volume sans violer les deux propriétés évoquées plus haut. Pour reprendre une image évoqué par wikipedia, “le paradoxe affirme que l’on peut multiplier les petits pois ou transformer une grenouille en quelque chose de plus gros que le bœuf dès l’instant qu’on passe par une étape où elle est coupée en morceaux non mesurables, où le volume perd son sens. Par la suite, on peut réassembler ces morceaux en un objet « plus gros » sans avoir à dire que la grenouille et le bœuf ont le même volume puisque le volume du résultat n’est pas la somme des volumes des morceaux.

Pour ceux qui veulent des compléments mathématiques, il y a un article ici ou , par exemple.

Mais si je parle de Jésus de Nazareth et de paradoxes mathématiques, c’est principalement pour revenir à l’interprétation (très intéressante qu’en donne Paul Embrechts, ici). Paul en avait parlé à plusieurs reprises dans différents exposés (par exemple ici, à partir du slide 29). Je reprendrais plutôt la version en français des slides qu’il avait présenté à session plénière à Ottawa l’été dernier (ici),

dont l’interprétation financière est la suivante,

Peut-être est-ce encore plus clair en anglais,

Autrement dit les financiers ont réussi le miracle de mettre en pratique le théorème de Banach et Tarski, à savoir la multiplication des risques à l’infini….

 

* si je reprends l’évangile selon Marc,Et il leur dit: Combien avez-vous de pains? Allez voir. Ils s’en assurèrent, et répondirent: Cinq, et deux poissons. Il prit les cinq pains et les deux poissons et, levant les yeux vers le ciel, il rendit grâces. Puis, il rompit les pains, et les donna aux disciples, afin qu’ils les distribuassent à la foule. Il partagea aussi les deux poissons entre tous. Tous mangèrent et furent rassasiés, et l’on emporta douze paniers pleins de morceaux de pain et de ce qui restait des poissons. Ceux qui avaient mangé les pains étaient cinq mille hommes.

[30/03/2009] Juste pour poursuivre dans mes élucubrations bibliques, je voulais juste mettre un lien (ici), voire deux (), pour une lecture assez orientée théorie des jeux du sacrifice de Salomon  (ou du “jugement de Salomon”, rappelé ici). Des billets plus anciens parle de cette lecture (ici, ou ) ou mieux encore, le chapitre de John Moore, téléchargeable ici.


Risk management et relations familiales

Un doctorant m’avait fait remarquer l’autre jour que mon blog devenait trop sérieux. Je me suis dis que j’allais  parler de mon fils, histoire d’avoir un sujet un peu plus léger. Mais, déformation professionnelle oblige, je voulais en profiter pour narrer un épisode récurrent. Assez souvent, je dis à mon fils “ne fais pas ça, tu vas tomber“, “ne fais pas ça, te vas te faire mal” (ou toute autre variante), et immanquablement, si par malheur il glisse ou effectivement se fait mal, ça finit toujours par un “c’est de ta faute !” Bref, les discussions avec mon fils tournent assez souvent autour de notions que doivent avoir effleuré tous les risk-managers du monde: est-ce que prédire nous rend responsable ? bon, j’interprète un peu, car assez souvent, mon fils cherche simplement un responsable à blâmer (et autant que possible, quelqu’un d’autre que sa petite personne)… mais bon, les CEO se comportent de la même manière, non ? dois-je comprendre que mon fils est un futur CEO ou bien que les CEO sont simplement des personnes qui finalement se comportent comme des enfants de 6 ans….? je laisse le débat ouvert.
Ces discussions avec mon fils ont été analysées par des personnes bien plus intelligentes que moi, par exemple Jean-Pierre Dupuy, dans la section prévoir l’avenir pour le changer de Pour un catastrophisme éclairé: quand l’impossible est certain, qui reprend l’histoire de Jonas, fils d’Amittaï, le prophète biblique dans une réflexion plus générale sur la réalisation ou non des prévisions (ou dans le contexte biblique des prophéties).
A en croire wikipedia, pour les catholiques, la fable de Jonas a l’intérêt d’enseigner que les révélations prophétiques n’ont pas un caractère inéluctable qui priverait de liberté les hommes et Dieu. Elles ne sont pas faites dans le but de punir mais de sauver. C’est également le but de mes prophéties, je crois (car pour reprendre ce que me disais la psychologue scolaire, je suis un peu comme un dieu pour mon fils). Ou pour reprendre la formulation de Jean-Pierre Dupuy, Jonas est “la figure même du veilleurs à contre-destin“. Je renvoie ici ou pour des piqûres de rappel sur la fable biblique.
XXXX5
Et pour ceux qui manquent de références bibliques (comme mon fils), Jonas c’est un peu Gepeto dans Pinocchio (ou bien le Jonas dans Illusion of time sur super nintendo).
Pour revenir au dilemme de Jonas, pour vérifier si une prophétie était, ou non, d’origine divine, il faut attendre qu’elle se réalise. Seul l’avenir est juge. “Nous voici ramenés à l’aporie du catastrophisme: le prophète de malheur ne sera pris au sérieux et distingués des charlatans que lorsque la catastrophe se sera produite. Mais il sera trop tard.”. Ou pour reprendre ce que disait Hans Jonas dans Le principe responsabilité, “la prophétie de malheur est faite pour éviter qu’elle ne se réalise; et se gausser ultérieurement d’éventuels sonneurs d’alarme en leur rappelant que le pire ne s’est pas réalisé serait le comble de l’injustice: il se peut que leur impair soit leur mérite”.

Pour conclure, comme Jonas (ou plus généralement les assureurs), je n’ai qu’un souhait: que mes prophéties ne se réalise pas (ou tout du moins qu’un meilleur scénario se réalise). C’est peut être à partir de cette idée simple que se fonde le principe de prévention. Il faudrait que j’en discute plus longuement avec mon fils…

Paradoxe, vote et démocratie

Le paradoxe le plus classique sur les élections est le paradoxe de Condorcet, correspondant à une intransitivité des préférences. Pour rappels, dans le cours d’économie de l’incertain, j’avais postulé que les relations de préférences étaient une relation d’ordre (et donc étaient transitives) sans que cela ne soulève la moindre objection. Prenons un cas pratique: un sondage LH2 pour RMC-BFM TV-20 minutes, diffusé le 12 mars 2007 sur les élections présidentiels, donnait les intentions de vote suivant,

  • au premier tour, Sarkozy (28) > Royal (26) > Bayrou (22)
  • au second tour, Sarkozy (52) > Royal (48) mais  Bayrou (55) > Sarkozy (45)

Autrement dit, on peut A>B, et B>C, mais sans pour autant avoir A>C.

Pour Condorcet, il n’existait pas de système simple assurant cette cohérence, à savoir une fonction de choix social indiscutable, permettant d’agréger des préférences individuelles en préférences sociales. Arrow démontre, sous réserve d’acceptation de quelques hypothèses, qu’il n’existerait pas de système du tout assurant la cohérence, hormis celui où la fonction de choix social coïnciderait avec les choix d’un seul individu, parfois surnommé dictateur, indépendemment du reste de la population.

Le théorème d’Arrow peut être énoncé sous la forme suivante.

Pour au moins 3 options de choix et deux individus, il n’existe pas de fonction de choix social satisfaisant les propriétés suivantes :

  1. Universalité : la fonction de choix social doit être définie pour tout profil de préférences logiquement possible. Cela signifie qu’on ne peut éliminer le choix de certains individus du groupe des individus qui déterminent le choix collectif.
  2. Non-dictature : il n’existe aucun individu pour lequel la liste de ses choix personnels coïncide avec la fonction de choix social, indépendamment des préférences des autres ;
  3. Unanimité : lorsque tous les individus ont les mêmes préférences, la fonction de choix social doit associer ces mêmes préférences à la société.
  4. Indifférence des Options Non-Pertinentes : le classement relatif de deux options ne doit dépendre que de leur position relative pour les individus et non du classement d’options tierces ; si l’on ne considère qu’un sous-ensemble d’options, la fonction ne doit pas aboutir à un autre classement de ce sous-ensemble.

Sur les paradoxes du vote, je renvoie à une très bonne émission qui avait été diffusée dans Archimède sur Arte en janvier 2001. L’intégralité du texte se trouve ici,

Paradoxe de Grossman et Stiglitz


Pour le cinquième cours à l’X, sur les asymétries d’information, les slides sont en ligne, ainsi que les énoncés des exercices. Je ferais PC l’après midi, salle 75, bâtiment Paul Levy. Sinon la page maintenue par Alfred Galichon se trouve ici. Petit complément sur le paradoxe de Grossman et Stiglitz, étudié en exercice (i.e. si un marché est efficient du point de vue de l’information, autrement dit toute l’information pertinente est contenue dans les prix de marché, alors aucun agent n’est incité à acquérir de l’information sur laquelle sont fondés les prix),

Grossman and Stiglitz (1980) argued that because information is costly, prices cannot perfectly reflect the information which is available, since if it did, those who spent resources to obtain it would receive no compensation, leading to the conclusion that an informationally efficient market is impossible.” Sewell (2006)

” Second, perfect efficiency is an unrealistic benchmark that is unlikely to hold in practice. Even in theory, as Grossman and Stiglitz (1980) have shown, abnormal returns will exist if there are costs of gathering and processing information. These returns are necessary to compensate investors for their information-gathering and information-processing expenses, and are no longer abnormal when these expenses are properly accounted for. In a large and liquid market, information costs are likely to justify only small abnormal returns, but it is difficult to say how small, even if such costs could be measured precisely.” Campbell, Lo and MacKinlay (1997), page 24

” Grossman (1976) and Grossman and Stiglitz (1980) go even further. They argue that perfectly informationally efficient markets are an impossibility, for if markets are perfectly efficient, the return to gathering information is nil, in which case there would be little reason to trade and markets would eventually collapse. Alternatively, the degree of market inefficiency determines the efforrt investors are willing to expend to gather and trade on information, hence a non-degenerate market equilibrium will arise only when there are sufficient profit opportunities, i.e., inefficiencies, to compensate investors for the costs of trading and information-gathering. The profits earned by these industrious investors may be viewed as economic rents that accrue to those willing to engage in such activities.” Lo and MacKinlay (1999), pages 5-6

Comsumption based CAPM


Pour le quatrième cours à l’X, sur l’équilibre et le CCAPM (consumption based), les slides sont en ligne, ainsi que les énoncés des exercices. Je ferais PC l’après midi, salle 75, bâtiment Paul Levy. Sinon, il n’y aura ni cours ni PC la semaine prochaine (le 3 février). Pour aller un peu plus loin sur le CCAPM, je renvoie vers les slides de Gabrielle Demange. Sinon pour compléter la question 3, je citerais le papier suivant

Kahane, Y. et Nye, D.J., «A Portfolio Approach to the Property-Liability Insurance Industry»,. Journal of Risk and Insurance 42 (1975), p. 579-598

On y retrouve que les risques d’assurance (et donc les catastrophes) sont très peu corrélées avec le “marché”, et donc permettent de diversifier un portefeuille d’actions.

Markowitz et CAPM

Pour le troisième cours à l’X, sur Markowitz, l’approche moyenne-variance et le CAPM, les slides sont en ligne, ainsi que les énoncés des exercices. Je ferais PC l’après midi, salle 75, bâtiment Paul Levy.

Comme toutes les semaines maintenant, un petit complément sur un imprécision lors de la PC… j’avais pensé (espéré) que l’on pourrait avoir un résultat général sur le comportement du portefeuille tangent, lorsque la corrélation évolue. J’ai donc repris* l’exemple de l’exercice, avec 3 actifs (dont 1 sans risques), en comparant trois cas possibles. Le cas limite est celui du milieu, lorsque les trois actifs sont alignés dans le plan moyenne variance. A gauche est représenté le cas “convexe” et à droite le cas “concave“. Les points violets correspondent à l’évolution de la position du portefeuille tangent en fonction de la corrélation entre les deux actifs risqués, entre -1 et 1 (ou plutôt 0.999999). Encore une fois, le cas où la corrélation vaut 1 ne peut être traité que si les points sont alignés, i.e. l’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage est vérifiée.

Dans le cas convexe“, le portefeuille tangent se rapproche d’un actif sans risque virtuel, tel que cet actif et les deux actifs sans risque seraient alignés. Dans le cas concave“, on converge vers le point de plus haut rendement (alors qu’on passait par le point de plus bas rendement dans le cas “convexe“), mais on le repasse pour partir à l’infini, avant de revenir par dessous, pour finalement atteindre – là aussi – l’actif sans risque virtuel, tel que cet actif et les deux actifs sans risque seraient alignés

Bref, je ne sais pas s’il existe un résultat général sur le comportement du portefeuille tangent, mais si un géomètre veut se lancer sur ce problème, je suis intéressé par les conclusions !

* repris numériquement seulement, sur un exemple numérique simple… avant d’avancer un résultat, je voulais voir si un résultat simple (et général) pouvait être obtenu sur des exemples numériques.

Single crossing et TVaR

Pour le second cours à l’X, les slides sont en ligne, ainsi que les énoncés desexercices. Je ferais PC l’après midi, salle 75, bâtiment Paul Levy.

Chose promise, chose due… sur le second exercice, sur la dominance stochastique à l’ordre 2, il existe une propriété dite de single-crossing, comme je l’avais évoqué en PC (malheureusement ce n’est qu’une condition suffisante). Autrement dit, si les fonctions de répartition soient…

On parle parfois de lemme de Ohlin, ou du critère de Karlin et Novikoff (1963). Parmi les références, je peux vous mettre le résultat donné dans le livre de Michel Denuit, Jan Dhaene, Marc Goovaerts, et Rob Kaas, dans Actuarial Theory for Dependent Risks,

Sinon pour l’interprétation en terme de dominance stochastique à l’ordre 2, il faut remonter au livre de Marc Goovaerts, et Rob Kaas, Effective Actuarial Methods.

D’ailleurs, cette notion de comparaison est très liée aux notions de “stop-loss order”, “TVaR order”, “variability order” ou de “increasing convex”. Le Chapitre 3 du livre de Moshe Shaked et George Shantikumar porte d’ailleurs exclusivement sur cette notion.

En ce qui concerne le dernier point, sur l’interprétation dans le cas Gaussien, on peut utiliser ce résultat (même s’il ne donne qu’une condition suffisante).

Cours de gestion d’actifs (partie 2)

Le second cours portera sur l’approche de Black & Litterman. En plus des slides du cours, il sera possible de consulter un document synthétique de chez GS.Les applications se feront à l’aide du package BLCOP de R (i.e. Black Litterman and copula-opinion pooling). Un très grand nombre de papiers peuvent être trouvés sur le net sur ce sujet, en particulier les papiers de Attilio Meucci, ou encore le mémoire de Charlotta Mankert. Sinon le package BLCOP s’inspire également d’un document (peu technique) de Thomas Idzorek.

Sinon sur Markowitz, on pourra trouver des notes de cours de Paulo Vanini et Luigi Vignola.

Cours de préparation à l’Agregation d’économie, information et incertain

Petite séance d’économie de l’information et de l’incertain dans le cadre de la préparation à l’agrégation. Les slides qui ont été utilisés sont en ligne.

Le cours présente les principes de base en économie de l’incertain (en particulier l’espérance d’utilité, telle que formalisée par par von Neumann et Morgenstern) a partir des lotteries, puis présentera rapidement quelques applications en finance et en assurance.

La seconde partie aborde les deux points clés d’aléa-moral et d’antisélection, et plus généralement d’asymétrie d’information.


Quelques compléments peuvent se trouver sur internet en particulier http://cepa.newschool.edu/ (en anglais), sur la page d’Olivier Gossner ou de Denis Bouyssou, à l’Université de la Réunion, des slides de François Pigalle, ou sinon l’article de Jean Benoit Dujol dans le Tigre. Pour une approche plus “formalisée”, on retiendra les slides de Pierre Cahuc à l’X. Sinon pour une vision plus générale du problème, il y a l’article de Xavier de la Vega paru dans le mensuel Sciences Humaines.

Sinon, une petite précision par rapport à la réponse que j’avais apporté oralement à une question (qui était posée lors du clavardage, “lien Arrow-Debreu ?“). J’avais évoqué l’approche de Gérard Debreu sur l’existence de fonctions d’utilité, mais ce n’était peut-être pas ce qui était posé par l’internaute… Pour reprendre, dans le contexte de l’intervention

  • von Neumann et Morgenstern ont montré qu’introduire une relation d’ordre sur les loteries (c’est à dire supposer que les agents savaient comparer des risques, et des biens aléatoires) était équivalent – moyennant quelques hypothèses sur la relation d’ordre – à supposer que les agents comparent l’espérance (sous la probabilité de survenance des évènements) de l’utilité des revenus (aléatoire).
  • lors de la question posée par clavardage, j’ai essayé de faire un parallèle avec les résultats obtenus par Debreu – un peu après von Neumann et Morgenstern d’ailleurs, en 1959 dans Théorie de la Valeur, et  en 1944 dans Theory of Games and Economic Behavior – qui avait montrer que supposer que les agents pouvaient comparer des biens, ou des paniers de biens, i.e. construire une relation d’ordre sur les ensembles de paniers était équivalent à comparer des utilités (cf. cours de Jean-Yves Jaffray, ou l’article de wikipedia sur l’utilité).
  • mais parrallèlement, Arrow et Debreu ont travaillé ensemble sur d’autres sujets connexes, en particulier introduit un concept fondamental en économie de l’incertain, en particulier dans une optique financière, que sont les “biens d’Arrow-Debreu” ou “Arrow-Debreu asset“. . Ces biens sont fondamentaux en finance car ils permettent de justifier la construction de la probabilité risque neutre, permettant de valoriser des produits sur des marchés en supposant qu’il existe une absence d’opportunité d’arbitrage. Dans un univers incertain, avec E états de la nature, on peut construire E biens d’Arrow-Debreu, chaque bien payant 1 dans un état de la nature, et 0 sinon. Le prix de tels bien est appelé “prix d’état“. Ils sont essentiels pour valoriser ces les actifs financiers. Des compléments théoriques dans les slides du cours de l’X, mais aussi dans les slides que je présenterais en fin de semaine à Montpellier (ici).

Je ne sais pas si ces éléments permettent de mieux répondre à la question qui était posée, mais la réponse me paraît plus exacte que celle que j’avais faite, omettant de parler des biens d’Arrow-Debreu. Sinon j’ai transmis la demande qui avait été faite de faire une intervention en statistique (rappeler la base de la statistique descriptive) et en théorie de jeux.

Cours de gestion d’actifs (partie 1)

Cours de méthodes avancées en gestion de portefeuille. Le but du cours sera de présenter essentiellement l’optimisation de portefeuille sur d’autres mesures de risques que la variance (ou l’écart-type). Nous présenterons ainsi Black & Litterman, mais surtout l’allocation d’actifs sous contraintes de VaR ou de TVaR. Le 1er cours a lieu le 6 janvier, et les slides sont en ligne. Les références du cours sont les deux ouvrages suivants

  • Qian, Hua & Sorensen (2007). Quantitative Equity Portfolio Management: Modern Techniques and Applications. Chapman & Hall
  • Scherer & Martin (2007). Introduction to Modern Portfolio Optimization with NuOPT, S-PLUS and S+Bayes. Springer
Parmi les références sur internet, on mentionnera cet article dans l’Agefi de Juin 2008.

Nous avons été surpris de constater que la mesure de risque la plus utilisée par nos répondants est désormais la Value at Risk (VaR), qui a supplanté la volatilité. C’est naturellement un enseignement tout à fait positif car la technique est beaucoup plus récente. Nous avons cependant noté un contraste entre l’utilisation de cette mesure et son calcul, basé sur un schéma de distribution normale, ce qui ne donne aucune valeur ajoutée à cette technique. Cette tactique est finalement un peu dangereuse dans la mesure où l’on a l’impression d’utiliser une mesure de risque extrême qui ne l’est pas. […] Au Royaume-Uni, les gérants utilisent des modèles de l’économie financière – des modèles factoriels -, aussi bien dans la construction de portefeuilles que dans les mesures de performances, bien plus fréquemment que les Suisses ou encore que les Français. Ils sont aussi de gros adeptes des techniques de construction bayésienne. A l’inverse, les gérants français sont beaucoup plus avancés en termes de techniques d’ingénierie, qu’ils utilisent par exemple pour mieux mesurer.”

Un autre article aborde l’utilisation de la VaR en gestion de portefeuille.Les slides du premier cours reprendront les grandes notions sur les mesures de risque, tout en insistant sur la modélisation de la dépendance, avec le cas (classique) Gaussien tout d’abord, puis le cas non-gaussien, avec en particulier l’utilisation des copules.

Dynamic and Multivariate Risk measures

Exposé dans le cadre du groupe de travail Dynamic and multivariate risk measures, organisé par Rose-Anna Dana (Univ. Paris Dauphine) et Alfred Galichon (Ecole Polytechnique). La conférence a lieu du jeudi 16 au vendredi 17, à l’Institut Henri Poincare.

Les orateurs sont Imen Bentahar, Arthur Charpentier, Rama Cont, Nicole El Karoui, Paul Embrechts, Damir Filipovic, Jean-Charles Rochet, Ludger Ruschendorf, Marco Scarsini, et Walter Schachermayer, et le programme est en ligne.

Pricing catastrophe options in incomplete markets

The paper on the pricing of catastrophe options just appeared in the Proceedings of the Actuarial and Financial Mathematics Conference.

In complete markets, pricing financial products is easy (at least from a theoretical point of view). In incomplete markets (e.g. when the underlying process has jumps with random size, such as an insurance loss process), the price is no longer unique. So on the one hand, it becomes difficult to provide a tractable price of insurance-linked derivatives. On the other hand, when facing catastrophic losses, using the pure premium as a price might not be relevant (e.g. for solvency issues). Both financial market and (re)insurance industry have proposed techniques to price identical hedging products that can be related (e.g. Esscher transform and more generally distorted risk measures in insurance, Gerber-Shiu transform in finance). In this paper, we focus on indifference utility techniques, assuming that stock prices have jumps,related to major catastrophic losses, and thus, partial hedging should then be possible.

La conférence cette année se tiendra les 5 et 6 février (site) a Bruxelles.