Category Archives: Economics

Increasing number of catastrophes and human factor

Peter asked me (here) to discuss the occurrence of natural catastrophes. I have looked at the EM-DAT dataset (here), and more specifically three kinds of risks: earthquakes, floods and storms (in any country over the past century). For earthquakes, we have the following figures,

the blue points are raw data (I mean, public ones, those that can be downloaded on the website), and I added two smoothed patterns, in red (based on splines regressions). This is no reason to assume that there could be an increase of the number of earthquakes. The trend is due to the fact that we look at earthquakes considered as catastrophic, i.e. that caused deaths and severe damages. And as pointed out in Peter’s comment, it means that “the increase in ‘disasters’ might have a lot to do with the development of the population”.
If we look now at storms, we have

i.e. also an increasing trend. But here, we can consider that the trend can be explained by two factors: an inflation due to the value at risk (e.g. increase of concentration of population in some areas as for earthquakes) but maybe also a change that can be related to climate change.  If we remove the pattern du to the increase of value at risk on the raw data (i.e. we divide raw data by the trend observed on earthquakes, the red line), we have

Here it looks like the number of catastrophic storms is increasing (removing the human factor). And it might be possible to relate that trend to climate change. If we look finally at major flood events, we also observe an increase of the pattern,

and we can divide by the trend observed on earthquakes, to obtain

Looking at that graph, it is possible to propose another interpretation about the increase: people might have a shorter memory about rivers than the one they have on earthquakes; and that they think they might influence climate risk, and flood risk, (but not physical ones). I mean that people know where earthquake risk is, and did not really concentrate in those areas during the past century. On the other hand, it is possible to assume that people imagine they can change river design, e.g. building dykes, and though they can control the risk. But obviously they couldn’t.

Course on risk measures (in French)

The course on risk measure, in Luminy, starts at 16.00 on Monday (here). The slides can be found here,

Note that additional references can be downloaded on the internet, e.g. the short course on risk measures by Freddy Delbaen (here) or the article from the Encyclopedia of quantitative finance, by Hans Föllmer and Alexander Schied (there). See also here for the paper by Jean Marc Tallon, Johanna Etner and Meglena Jeleva, on decision theory under uncertainty.

70% des salariés français touchent moins de 1 500 € par mois ?

Hier, @Louisa_A me demandait de commenter l’information comme quoi “70% des salariés français touchaient moins de 1 500 € par mois“. Tout d’abord, rappelons que selon l’INSEE, en 2008, le salaire médian net en France est de l’ordre de 1655 € par mois pour un temps plein (cf ici par exemple). Comme c’est la médiane (je renvoie ici pour une bonne blague du nouvel obs sur la médiane, comme quoi il ne faut pas toujours croire ce qu’on lit), c’est que 50% des français touchent ce salaire, ou plutôt toucheraient ce salaire s’il travaillaient à temps plein…. Le hic est que généralement l’insee normalise les données, et ne parle que de taux plein…

Mais heureusement l’insee met aussi a disposition des bases, en particulier la base dads2007, ici, avec un fichier de 25Mo (zippé) , contenant près de 2 millions d’observations, dont le temps travaillé en 2007 et le salaire (ou plutôt une tranche de salaire). Le code est plutôt simple (même si j’ai travaillé sur la première moitié de la base, suite à des soucis d’importation sur mon petit portable),

> library(foreign)
> base=read.dbf("D:\\r-data\\salaries07.dbf")
> TRANCHE=c(0,100,300,600,1000,1300,2000,3000,
+ 4000,5000,7000,9000,11000,12500,14000,16000,
+ 18000,20000,24000,30000,1000000000)
> salinf=TRANCHE[1:20]
> salsup=TRANCHE[2:21]

Bref,
on peut récupérer des salaires médians, par temps plein (afin de voir si nos données sont représentatives), en notant qu’un temps plein c’est 1820 heures dans l’année (cf ici)

> Xinf=salinf[base$TRNNETO+1]/base$NBHEUR_TOT*1820/12
> Xsup=salsup[base$TRNNETO+1]/base$NBHEUR_TOT*1820/12
> quantile(Xinf,.5,na.rm=TRUE)
 50% 
1484.745 
> quantile(Xsup,.5,na.rm=TRUE)
 50% 
1685.185

Comme nous ne sommes pas trop loin des 1655 indiqués, j’aurais tendance à faire confiance à nos chiffres (en se plaçant proches de la borne supérieure d’ailleurs). Mais si on travaille sur le revenu, et pas le revenu pour un temps plein, les chiffres sont un peu différents,

> Xinf=salinf[base$TRNNETO+1]/12
> Xsup=salsup[base$TRNNETO+1]/12
> quantile(Xinf,.5,na.rm=TRUE)
 50% 
1333.333 
> quantile(Xsup,.5,na.rm=TRUE)
 50% 
1500

Pour revenir à nos moutons, si on s’intéresse à la proportion des français qui touchent moins de 1500 € par mois, j’obtiens

> mean(Xinf<=1500)
[1] 0.6118895
> mean(Xsup<=1500)
[1] 0.5236287

C’est à dire qu’à la louche, je pense que 55% des français touchent moins de 1500 € par mois. A condition que les chiffres soient en net. Si la citation parlait du brut, ça correspond en gros à du 1200 € par mois, et on a alors les proportions suivantes,

> mean(Xinf<=1500*.8)
[1] 0.4215607
> mean(Xsup<=1500*.8)
[1] 0.3143752

D’ailleurs un petite remarque sur ces histoires de revenu et de temps de travail. Si le temps travaillé par mois et le salaire horaire étaient des variables indépendantes, j’aurais pu faire des calculs rapides à partir de la distribution du temps de travail. Malheureusement, ces deux données ne sont pas indépendantes. Pour s’en convaincre, calculons le produit des espérances (salaire moyen horaire par temps moyen travaillé par mois) et l’espérance du produit (revenu moyen)

> Xinf=salinf[base$TRNNETO+1]/base$NBHEUR_TOT*1820/12
> Xsup=salsup[base$TRNNETO+1]/base$NBHEUR_TOT*1820/12
> mean(Xinf[Xinf<1000000000000],na.rm=TRUE)*
+ mean(base$NBHEUR_TOT/1820)
[1] 1609.669
> mean(salinf[base$TRNNETO+1])
[1] 16832.14

qui ne sont manifestement pas égaux. On a même un dépendance positive entre le salaire horaire et le temps de travail mensuel.  On retrouve ici le fait que les personnes qui effectuent les travaux avec les salaires horaires les plus bas sont aussi celles qui travaillent le moins. D’un point de vue technique, pour étudier les inégalités temps de travail/revenu horaire, c’est un peu compliqué à cause du produit. C’est pour ça qu’avec Stéphane Mussard on avait introduit la décomposition  des mesures d’inégalités pour des inégalités multiplicatives, ici. Mais on sort du cadre du papier, et ma réponse serait que non, je doute que la personne soit de bonne foi (la seule source que j’ai trouvé sur internet donnant ces chiffres était ici).

When should I optimally shoot at my son ? (part 2)

Following my previous post of yesterday, online here, assume now that I do not know if my son came when I turned my back at time, and missed me… Then the payoff function is the one propose by Vincent, i.e.

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel100.png

In that particular case,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel20.png

becomes

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel101.png

i.e.

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel102.png

If we draw those functions, on [0,1], the optimal value is solution of https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel103.png

i.e. https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel104.png (we focus only on solutions in [0,1]). Because here the game is symmetric, my son should also shoot at time https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel105.png
Thus, the payoff is then

 https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel106.png

Since we consider here a  zero-sum game, this cannot be a solution of the game. So the game does not have pure strategy solution.

Assume that now I have a mixed strategy, i.e. a distribution of the optimal time to shot. My strategy has distribution https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel110.png, with density https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel111.png (we assume here that the density exists, or we seek only solution that are differentiable). Assume further that there exists https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel112.png>0 such that the support of my optimal shooting time (the time to shoot is now a random variable) is (https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel112.png,1] (or [https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel112.png,1] since we assume that https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel110.png is differentiable). There is a discussion at the end of Vincent’s post where he needs that assumption, at the end. Actually, I think we can make it now, since we can rationally assume that
I will not shot at time 0 (even on a neighborhood of 0 since I have zero chance to hit my son).
The expected payoff function, assuming that my son shoots at time y is

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel1113.png

Since the zero-sum game is symmetric, again, the expected payoff should be zero. It comes that necessarily,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel120.png

if https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel121.png. Hence, if we differentiate (with respect to y), we have

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel122.png

and if we differentiate one more time, it comes

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel123.png

i.e. a general solution should be of the form https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel130.png.
Here, we have the same solution as the one considered in Vincent’s blog. His solution is obtained as follows (with slightly different expressions) conditional to https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel03.png, my expected payoff is

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel140.png

i.e.

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel131.png

With a simple integration by parts,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel132.png

where https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel134.png, i.e.

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel133.png

Thus,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel135.png

So, if we want to be indifferent to https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel03.png‘s strategy, https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel141.png, where

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel142.png

with https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel143.png,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel144.png

Consider solutions https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel150.png, then https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel151.png=1, i.e. either https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel152.png=1 and then https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel153.png is constant, or https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel152.png=-1. This means that https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel154.png is in proportional to https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel155.png.
If we substitute in the equation we had, initially, it comes that

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel160.png

i.e.

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel161.png

If we consider https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel03.png=a and https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel03.png=1, it comes that https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel112.png=1/3 while https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel162.png=1/4 (but we don’t really care about that normalizing constant).
It means that we should not start shooting before 1/3 of the tank is fulled. Actually, it makes sense, since

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel163.png

if https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel03.png<1/3 (while https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel164.png=0 if  https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel03.png>1/3).

When should I optimally shoot at my son ? (part 1)

when playing with water guns ! It is not a reverse oedipal fantasy, it is simply a (stochastic) game. Actually, that game was mentioned here, in the context of a duel with laser guns, and the answer is there. Vincent (alias @Vicnent) presented the problem this way: consider a single combat between two single warriors (a duel) with laser guns. The probability to kill the other one is proportional to time https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel01.png (duel started at time 0). Initially, the have no chance to kill the other one, and after one hour, they are certain to kill the other one. At time https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel01.png, they kill the other one with probability https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel01.png (and miss him with probability https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel04.png). What is the optimal time to shot ?

An alternative can be the following (yes, I prefer personal experience to science fiction): consider two warriors playing with water gun. We start with empty guns, and assume that both warriors fill their guns at two different tap water. The more water we have in guns, the more likely the other one will be wet. What is my optimal strategy to stop filling the gun, and start shooting at the other player ?
In order to formalize the game, assume that I will win 1 point if my son gets wet (and not me), I’ll get -1 if I am wet, and not him, and 0 if we are both wet (in Vincent’s game, we have the same payoff matrix, but I find odd to say that I have -1 if I die).
Let https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel02.png and https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel03.png denote time where players shoot. Vincent derived the following expected payoff function: for me (I shoot at time https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel02.png) the payoff is

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel05.png

If we know that the other player shoot us, but missed us, it should be different: if I shot first, but missed my son, then he should wait until the end, and so, the payoff should be (thanks Jérôme)

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel06.png

Actually, we can consider a more general game, where probabilities are not proportional to https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel01.png, but functions https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel10.png for me (https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel13.png stands for dad), and https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel11.png for the other player (here my son https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel12.png). The expected payoff becomes,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel07.png

Thus my best strategy is obtained by solving

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel20.png

that is

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel24.png

Let

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel23.png

If https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel11.png and https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel10.png are assumed to be continuous (we assume that water goes continuously into the tank of the gun), then there is https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel26.png such that

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel25.png

If https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel30.png, then https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel32.png and

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel34.png

and so https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel35.png. So

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel37.png

Similarly, if https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel31.png, then https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel33.png and

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel39.png

and so https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel40.png. So

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel42.png

So finally, the optimal strategy is to shoot at the same time, https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel01.png.
In the game considered initially by Vincent, https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel43.png. Hence, https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/duel01.png=1/2.
But it is also possible that I did not hear my son coming, shooting at me (and missing me). So in that case, the payoff is different, and closer to what Vincent proposed… but that will be in another post…

“Le prix de l’or bat de nouveaux records”… et alors ?

Histoire de changer un peu, un rapide billet d’économie… bien que l’économie monétaire ne soit pas mon domaine de prédilection, loin de là. Mes compétences en la matière (comme sur beaucoup de notions en économie) se limitent à la lecture (mais aussi une intense relecture) d’Obélix et Compagnie

je dois avouer que je suis surpris par les commentaires de certains journalistes économiques, qui nous expliquent que “l’or a atteint des niveaux historiques” (ici, même si ça date un peu) ou que “le prix de l’or bat de nouveaux records” (ce matin cette fois, ). On peut aussi lire ici ou . On peut s’en convaincre en jetant un œil aux graphiques ici, , ou encore. Sans vouloir être méchant, si je transpose ca a une discussion que je pourrais avoir avec mes enfants, ça donnerait: “On a mis 150 euros sur un livret A le jour de votre naissance… c’est incroyable, mais tous les 15 jours, on bat des records: vous êtes de plus en plus riche !”

En fait, effectivement, le prix de l’or atteint des records… mais qu’est-ce que je peux faire de ce “prix historique” quand on sait qu’à coté, tout augmente (comme dirait ma grand mère)… On pourrait normaliser par rapport a autre chose, par exemple un indice boursier (car on parle d’investissement), ou comme le font plutôt les économistes, avec quelque chose en rapport avec la masse monétaire. Non ?
Faisons les calculs: les séries du prix de l’or se trouvent ici par exemple (avec des séries journalières pour les années les plus récentes), et pour les données permettant d’actualiser, on pourra aller ici. Pour faire simple, je me suis contenté des données mensuelles en ligne ici, et pour la masse monétaire, M3 serait pas mal (je renvoie ici pour les détails), mais la Réserve Fédérale américaine ne le publie plus depuis 2006. J’aurais bien aimé aller ici, mais c’est payant. Finalement je suis allé , en extrapolant M3 sur les années récentes (de 2006 à 2010) en utilisant le taux de croissance observé sur M2. Les données ne sont pas corrigées des variations saisonnières.

>  OR = read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/
arthur.charpentier/prix-or-mensuel.csv",
+ sep=";",header=TRUE)
>  tOR=as.vector(t(OR[,2:13]))
>  VOR=tOR[1:511]

car j’avais mis des 0 pour les mois non observés de 2010 (on les supprime tout simplement). Sinon on retrouve la courbe qui indique qu’effectivement, on a atteint des records…

>    TOR=ts(VOR, frequency = 12, start = c(1968, 1))
>    plot(TOR,col="red")

So what ? Regardons un peu notre masse monétaire qui permettra de ramener le prix de l’or dans le passé au prix réel de l’argent,

>    M = read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/
arthur.charpentier/M1M2M3.txt")
>    M2=as.numeric(as.character(rev(M$V4)))
>    M3=as.numeric(as.character(rev(M$V5)))
>    M2b=M2[560:length(M2)]/M2[559]
>    M3[560:length(M3)]=M3[559]*M2b
>    TM3=ts(M3,frequency=12,start=c(1959,1))
>    plot(TM3,col="blue")

Bon, j’ai fait une approximation rapide, mais c’est vraiment histoire de voir ce qui se passe si on normalise le prix de l’or. Ceux qui veulent aller plus loin peuvent améliorer le code. Et en corrigeant pour travailler à quantité d’argent équivalent, on obtient des choses un peu différentes (j’aime les euphémismes)

>    TM3b=ts(M3[(12*9+1):length(M3)],
+    frequency = 12, start = c(1968, 1))
>    TORb=TOR/TM3b
>    plot(TORb,col="purple")
>    abline(h=TORb[length(TORb)],lty=2)

On a certes une hausse relativement importante depuis un peu moins de 10 ans du prix de l’or, mais le niveau n’est en rien comparable avec la crise qui s’est observé en 1980 (évoqué ici, , ou encore). Fort heureusement, on ne nous tient pas le même discours sur le PIB, nous expliquant qu’il ne cesse de battre, mois après mois, de nouveaux records ! On notera que ce graphique se rapproche d’autres, en ligne, ici ou
Pour ceux qui ne sont pas convaincu que l’or puisse être relié à une grandeur monétaire, on peut voir l’or comme une alternative à un placement en bourse, et comparer à un indice boursier (par exemple le SP500 pour rester aux États Unis),

>    SP=read.table("http://ichart.finance.yahoo.com/
table.csv?s=%5EGSPC&a=00&b=1&c=1968&d=08
&e=18&f=2010&g=m&ignore=.csv",
+       sep=",",header=TRUE)
>    tSP=rev(SP$Close)
>    TSP=ts(tSP, frequency = 12, start = c(1968, 1))
>    plot(TSP,col="red")

>    TORc=TOR/TSP
>    plot(TORc,col="purple")
>    abline(h=TORc[length(TORc)],lty=2)

Bref, quelle que soit la quantité retenue pour normaliser, on se rend compte que les niveaux atteints ces derniers mois sont très loin de ceux observés en 1980, voire dans les années 80. Pas de quoi en faire la une de la presse….

Le paradoxe de Saint Pétersbourg, partie 1

Pour répondre à une question sur mon précédant billet (ici), je vais revenir sur un paradoxe assez classique, le paradoxe de Saint Petersbourg. Mais avant de parler du paradoxe, et de ses implications en théorie de la décision dans l’incertain, je voulais présenter le jeu, et en profiter pour jouer à faire des dessins puisque j’ai cru remarquer que j’avais des amateurs d’explications géométriques.
Le jeu est simple, c’est un jeu de pile ou face répété, le jeu s’arrêtant à la sortie du premier “face” (et on le verra par la suite, l’idée est de doubler ses gains chaque fois que “pile” sort).
Aussi, le temps d’arrêt du jeu est https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/stpb-01.png dont la loi est simplement

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/stpb-02.png  https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/stpb-03.png
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/stpb-04.png  https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/stpb-05.png

… etc. On retrouve ainsi une loi géométrique de paramètre 1/2. L’espérance du nombre de lancers que l’on ferra avant que le jeu ne s’arrête est fini (alors qu’on le verra le gain espéré est infini), et vaut l’inverse de cette probabilité, i.e. 2. Pour ceux qui ont oublié la formule (que l’on obtient de manière assez calculatoire, en faisant une dérivation dans une série), on peut refaire le calcul,
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/stpb-06.png

Personnellement, je ne sais pas calculer cette somme (infinie), mais comme dans mon précédant billet (ici), il existe une somme que l’on peut calculer simplement en faisant un petit dessin,

J’ai 1 carré (mauve) de surface 1, 2 (bleus ) de surface 1/2, puis 3 (verts) de surface 1/4, puis 4 (jaunes) de surface 1/8, puis 5 (rouges) de surface 1/16, 6 (oranges) de surface 1/32, etc. Autrement dit

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/stpb-07.png

Or l’espérance que l’on cherche à calculer, c’est cette somme, à un facteur 2 près….  Aussi, en moyenne, on peut espérer faire 2 lancers (la moitié de la surface) ! Ce qui correspond précisément à l’espérance d’une loi géométrique de paramètre 1/2. Décidément, on peut faire plein de choses avec des petits dessins..

Foot, probabilité, et assurance, partie 2

Continuons le billet commencé ici, où j’essayais noté que les enseignes qui se sont engagé à faire des cadeaux en cas de victoire de l’équipe de France s’étaient couvertes via des contrats d’assurance. En fait, elles peuvent également se couvrir sur les marchés (en l’occurrence les sites de paris en ligne). Il existe plusieurs façons de faire des paris. La première est de faire (ou d’acheter) un pari sur un événement (la France ira en finale de la coupe du monde, par exemple). Ce pari est assorti d’une cote que défini le bookmaker. A une cote de 20 contre 1, si je paris 1 euro, je gagne 20 euros en cas de qualification pour la finale.
Dans ce cas particulier, le bookmaker est un agent important dans le marché, car il fixe le prix. Le site oddschecker.com (ici) permet de voir les cotes offertes par différents bookmakers.

Mais il existe aussi des marchés de paris, sans bookmakers. Il s’agit réellement d’un marché, où les parieurs prennent des positions les uns contre les autres, le bookmaker ne servant que d’intermédiaire et d’animateur sur ce marché. C’est le cas sur betfair.com () qui est un site d’échange de paris.

Pour commencer simplement, imaginons que nous sommes quelques jours avant une finale opposant la Corée du Sud aux Etats-Unis. Comme il ne peut y avoir qu’un vainqueur il existe des contratssymétrique, où l’on peut gagner 20 euros si la Corée gagner (et rien si elle perd) et un autre où l’on peut gagner 20 euros si la Corée perd. Bref, soit je suis acheter sur la Corée, soit je suis vendeur. Le prix de ces contrats indiquent la probabilité qu’a la Corée de gagner. On parle aussi de back or lay, deux évènements étant possibles.

  • Lecture d’une cote

Regardons maintenant le match d’ouverture, opposant l’Afrique du Sud au Mexique. Les cotes sont les suivantes, “Mexique 6/4, Afrique du Sud 15/8 et Draw (match nul) 11/5” sur un des sites. Le premier nombre indique ce que l’on gagne (net) en misant le second, si mon pari est gagnant. Autrement dit, si je paris 5 euros sur un match nul, et que match nul il y a, alors mon bénéfice sera de 11 (que je touche en plus de ma mise). La cote est alors de 1+11/5, soit 16/5 (j’avais fait ici un billet sur le lien entre cote et probabilité). Elle indique non plus le bénéfice, mais le gain: en misant 5 euros, j’empoche 16 euros. On parlera de paris 1X2.

Pour aller plus loin, on peut aussi parier sur le nombre de buts marqués. On parlera de paris over/under.

Chez le même bookmaker, si je paris 1 euro que la France gagne la coupe du monde, je fais un bénéfice de 18 euros.

  • Cote ou probabilité ?

Lorsque j’avais essayé d’expliquer l’origine de la loi logistique (ici), j’avais expliqué qu’il existait un lien simple entre probabilité et cote, la cote étant la probabilité que l’évènement se réalise, divisé par la probabilité qu’il ne se réaliste pas. Malheureusement, les choses sont un peu plus complexes dans les paris…
Zoomons un peu sur le match d’ouverture,


La cote est la valeur offerte la par le bookmarker, à laquelle on ajoute 1. La “probabilité” est alors l’inverse de cette cote.

résultat Bookie Offers Cote “probabilités”
Mexico 11/8 2.375 42.10%
South Africa 13/8 2.623 38.09%
Draw 11/5 3.200 31.25%
total 111.45%

A-t-on raté quelquechose ? car visiblement la “probabilité” n’est pas une vraie probabilité… En fait, supposer que l’on puisse construire une mesure de probabilité à partir des cotes doit pouvoir être relié au “théorème fondamental d’asset pricing” (et de probabilités risques neutres mentionnés tout à l’heure)

  • Relecture des cotes à l’aide du théorème fondamental

Autrement dit, on suppose qu’il existe une mesure http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-01.png telle que
http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-02.pnghttp://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-03.png est l’ensemble des gains possibles, et http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-04.png un équivalent certain.
On suppose qu’il existe un ensemble d’évènements http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-05.png (mutuellement exclusif comme on dit, formant une partition de http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-06.png), un seul pouvant survenir (en l’occurrence l’équipe qui reçoit gagne, ou l’équipe qui reçoit perd, ou il y a match nul). On considère un bookmaker qui accepte de payer http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-08.png si l’évènement i survient à un joueur qui aura parié 1 euro. On pourra légitimement pense que http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-09.png. Notre souhait est de relier ces http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-08.png et http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-10.png, si un lien quelconque pouvait exister. Ce problème avait été soulevé par Ramsey ou de Finetti.

En notant http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-11.png le montant total placé sur l’évènement http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-12.png. On pourra dire que l’on est à l’équilibre si http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-13.png est constant. Autrement dit, le ratio des cotes doit être l’inverse des ratios de montants placés,

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-15.pngOn peut ainsi s’intéresser à

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-16.png

qui est la fraction de l’argent qui sera effectivement rétribuée aux parieurs, ou http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-17.png sera la part gardée par le bookmaker. On peut penser qu’un bookmaker fixe http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-18.png, et alors

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-20.png

En fait, k peut être vu comme un taux d’actualisation (l’équivalent d’un http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-22.pngen mathématique financière). On peut d’ailleurs noter que si on note http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-25.png le produit

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-26.png

alors la stratégie consistant à parier

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-27.png

sur l’évènement http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-12.png, pour tout les évènements, aura un coût unitaire (j’ai ici constitué mon portefeuille si on revient à la théorie de l’arbitrage). Aussi

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-29.png

En l’occurrence, sur le match d’ouverture de la coupe du monde, on obtient http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-18.png de l’ordre de 90% (l’inverse de la somme de la dernière colonne). Autrement dit, le bookmaker prend de l’ordre de 10%.
A partir de là, on peut en déduire de ces prix d’Arrow Debreu une “probabilité implicite” qui est la probabilité risque neutre, ou la croyance des investisseurs dans la survenance des évènements. Pour cela, on pourrait poser

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-30.png

sauf que dans ce cas, compte tenu de la dernière relation, http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-34.png. On définie alors la probabilité implicite des parieurs sous la forme

http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-35.png

On a réussit à construire une mesure de probabilité http://freakonometrics.hypotheses.org/files/2017/03/foot-pari-01.png, qui correspond à l’intuition des parieurs… mais qui n’a rien à voir avec la probabilité réelle. Si l’on compare les bookmakers, on note que les probabilités induites sont très proches,

et si on compare la part prise par le bookmaker sur ce match, on est là aussi sur des ordres de grandeurs comparables,

Justin Wolfers et Eric Zitzewitz, dans Prediction Markets paru dans le Journal of Economic Perspectives de 2004 (ici) expliquent d’ailleurs tout cela très clairement. Je peux aussi renvoyer à un document de travail datant de novembre dernier de Egon Franck, Erwin Verbeek, et Stephan Nüesch (en ligne ici).
J’ai parlé tout à l’heure de probabilité risque neutre, mais cela sous-entend que l’on puisse supposer les marchés efficients, et qu’il n’y ait absence d’opportunité d’arbitrage. C’est précisément ce qu’avait regardé Steven Levitt et Richard Gillici, dans un vieux papier, évoqué également . Pour résumer les conclusions, il n’y a pas d’opportunités d’arbitrage sur ces marchés, et il existe des “market makers”, c’est à dire des parieurs misant énormément, ce qui accroît considérablement la liquidité de ces marchés. Mais cette conclusion sur l’absence d’opportunité d’arbitrage a été largement remise en cause en pratique. Pour aller plus loin, on peut aussi regarder un article de Moris Eaton et David Freedman, Dutch Book against some ‘Objective’ Prior, paru dansBernoulli en 2004, en ligne . C’est marrant car cette relecture Bayésienne des jeux de pari peut être étudier en pratique, pour la coupe du monde de foot surworldcup.bayesialab.com (, merci Avner pour le lien). Je vais continuer de suivre ça lorsque les matchs commençerons, afin de voir les mises à jour des paris au fur et à mesure de l’évolution des matchs… à suivre donc.

Arrêtez donc vos singeries !

Tout le monde connaît l’expérience où l’on compare les gains financiers obtenus par un traders expérimenté et un singe. Même si beaucoup de sites évoquent “la célèbre expérience“, je n ’en ai pas trouvé beaucoup – en France – qui donnent une référénce claire. Cette expérience  était née d’une théorie de Burton Malkiel dans son livre a random walk down wall street, qui affirmait “a blindfolded monkey throwing darts at a newspaper’s financial pages could select a portfolio that would do just as well as one carefully selected by experts“. En 1988, le Wall Street Journal a pris Burton Malkiel au mot, et a tenté l’expérience.Mais ils n’utilisèrent pas des singes, et ce furent des journalistes qui tiraient au hasard les actions sur lesquelles ils investiraient (alors que parallèlement, les mêmes sommes étaient confiées à des vrais inverstisseurs). Après 6 mois d’expérience, ils firent le bilan. “On October 7, 1998 the Journal presented the results of the 100th dartboard contest. So who won the most contests and by how much? The pros won 61 of the 100 contests versus the darts. That’s better than the 50% that would be expected in an efficient market. On the other hand, the pros losing 39% of the time to a bunch of darts certainly could be viewed as somewhat of an embarrassment for the pros. Additionally, the performance of the pros versus the Dow Jones Industrial Average was less impressive. The pros barely edged the DJIA by a margin of 51 to 49 contests. In other words, simply investing passively in the Dow, an investor would have beaten the picks of the pros in roughly half the contests (that is, without even considering transactions costs or taxes for taxable investors). The pro’s picks look more impressive when the actual returns of their stocks are compared with the dartboard and DJIA returns. The pros average gain was 10.8% versus 4.5% for the darts and 6.8% for the DJIA.” Il semble que l’Expansion en France ait aussi voulu tenter l’expérience.

La conclusion de cette expérience est qu’en moyenne, il est dur de battre le hasard ! Une autre conclusion peut aussi être qu’en mettant 500 singes dans une salle de marchés, au bout d’un certain temps on peut en trouver un qui sera aussi riche que Georges Soros, comme le disait Jean-Philippe Bouchaud. On peut parler de grandes déviations éventuellement…
Cette histoire peut prêter à sourire, effectivement, mais un think tank plutôt conservateur outre atlantique (le National Center for Public Policy Research) envisage de faire la même chose pour prédire les ouragans: au lieu d’écouter les climatologues, ils envisagent de faire appel à un singe (comme mentionné ici ou ).  Même si les prévisions des chercheurs ne sont pas toujours très fiables (en particulier sur les catastrophes comme les séismes ou les ouragants), elles reposent sur des éléments rationnels, avec souvent des intervalles de confiance…. Oui, je suis le premier à râler quand Météo France prévoit un beau week end et qu’au final il pleut, mais je suis agacé parces démagogues qui critiquent le travail des scientifiques (surtout qu’en l’occurence, je pense que le NCPPR confond  météo et climat, mais c’est un autre débat). Il y a un an, la communauté scientifique essayait de faire comprendre qu’elle n’était pas un parasite, voilà que maintenant il faut que l’on se batte pour faire comprendre qu’on fait des choses qu’un chimpanzé ne saurait pas faire ! On est décidément tombé bien bas…

Fibonacci: des lapins à l’actualisation

Depuis qu’on peut facilement commander des livres d’occasion outre-atlantique, j’avoue en abuser un peu… La dernière commande que j’ai faite est le “origins of value“. Cet ouvrage, qui est une compilation d’articles d’histoire de la finance, contient un chapitre passionnant sur Leonardo Pisano alias Fibonacci. Pour remettre dans le contexte, Fibonacci vivait il y a fort fort longtemps, autour de 1200 (300 ans avant la renaissance et Léonard de Vinci). Je peux renvoyer ici par exemple pour une analyse de quelques uns de ses ouvrages.
Pour moi, Fibonnaci, c’était l’histoire de la reproduction des lapins, c’est à dire, l’étude
des suites récurentes pour ceux qui se souviennent de leurs cours de lycée, avec des suites de la forme

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fibo-001.png

Le problème que l’on cherche à résoudre – posé par Fibonacci – est “partant d’un couple, combien de couples de lapins obtiendrons-nous après un nombre donné de mois sachant que chaque couple produit chaque mois un nouveau couple, lequel ne devient productif qu’après deux mois ?”. Pour ceux qui se souviennent de la résolution, l’équation charactéristique de cette relation de récurence est un polynôme de degré 2,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fibo-002.png

dont les solutions sont

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fibo-003.png

et

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/fibo-004.png

Le premier nombre est souvent connu comme étant le nombre d’or (ici). Bref, Fibonacci a été recyclé abondamment par l’utilisation ésotérique de cette racine de polynôme de degré 2. Aussi, lorsque j’ai vu évoqué le nom de Fibonacci dans cet ouvrage de finance, j’ai eu peu peur, d’autant plus que certaines personnes faisant de l’analyse chartiste utilisent ce nombre d’or (comme l’évoque rapidement certains site, comme http://www.forexfibonacci.com/ ou http://www.fibonaccitrader.com/). Aussi, parler de Fibonacci en finance, c’est un peu comme parler de Nostradamus dans les modèles de prévisions.

Que nenni mon ami ! Fibonacci est l’auteur d’un  Liber Abaci, correspondant à un livre des calculs. En fait, Leonardo s’est énormément inspiré des mathématiques arabes, alors que la norme était plutôt l’arithmétique romaine. Pour ceux qui ont essayé un jour dans leur vie de lire des nombres latins (même dans Astérix), la logique est assez déroutante ! Par exemple 888 s’écrit DCCCLXXXVIII… Essayez avec cette écriture de poser une addition ! Les nombres arabes – eux – utilisaient le système décimale, ce qui a fait gagné énormément de temps de calcul (on peut aussi remonter à l’arithmétique indienne, mais on sort largement du cadre de mon billet). Fibonacci évoque d’ailleurs constamment l’utilisation de la règle de trois (sans l’appeler ainsi, j’étais revenu ici sur l’origine de cette règle).
Dans son livre d’arithmétique des nombres arabes, Fibonacci montre une application intéressante: le calculs d’actualisation et des marges commerciales. William Goetzmann reprend tout cela dans un article publié en 2003, ” Fibonacci and the Financial Revolution” en ligne ici. Il faut aller pour cela dans le chapitre 12 du Liber Abaci, où Fibonacci parle de partage du profit (ce que nous appellerions l’allocation de capital, et que l’on retrouve dans les travaux sur les jeux coopératifs, en particulier les travaux de Shapley), mais aussi d’actualisationde flux futurs, et surtout, de réflexions sur la différence entre un taux annuel et un taux trimestriel. La version en anglaise est la suivante

ou encore

Dans la version originale, cela donne

Quand on pense qu’auparavant l’arithmétique se faisait en chiffre romain, et n’autorisait pas de raisonnements aussi subtils, on peut légitimement penser que Fibonacci est révolutionné le calcul actuariel (certes, en se contentant de traduire des textes arabes). Si on cherche à remonter encore dans le temps, on peut également citer un mathématicien indien, Brahmagupta, ब्रह्मगुप्त, vers 650, qui semble également avoir beaucoup inspiré Fibonacci.

Histoire éthylique, et arrêt optimal

suite aux pressions générales, je vais reprendre mes discussions d’alcoolique…. ou plutôt reprendre des classiques de finance, en expliquant que ce sont simplement des problèmes que se posent les amateurs de boissons fortes (de là à conseiller plutôt de recruter dans les bars qu’à la sortie des grandes écoles…).
Bref, avant d’avoir entamé sa marche aléatoire dans la rue de la soif (ici, correspondant aux problèmes d’options à barrière traduit en termes financier), puis d’avoir un soucis avec ses clés (), puis la maréchaussée (ici), notre héros (car on peut maintenant l’appeler un héros après 4 billets qui lui sont consacrés) avait du choisir son bar… Le problème est loin d’être simple. Il y a 20 bars dans la rue (disons https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-50.png pour faire quelque chose de plus formel). Il arrive de la place sainte Anne, et là, il souhaite choisir le bar le moins cher. Le soucis est qu’il n’a pas le droit de faire demi-tour1 et il ne connaît pas les prix pratiqués dans les différents bars. Il part avec un a priori qui est que le prix d’une pinte est compris entre 3 et 6 euros, que le prix est uniformément réparti entre ces deux prix, et que les prix sont indépendants d’un bar à l’autre. Pour les financiers, il a une option (de commander une bière), et peut l’exercer quand il le souhaite. Une option américaine en quelque sorte. Supposons qu’on soit arrivé au bar https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-01.png. On peut soit payer https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-02.png (qui est supposé aléatoire, uniformément distribué et indépendant des autres bars), soit espérer que l’on puisse payer moins cher plus loin,
Soit https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-03.png la valeur de cette option, alors

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-04.png

i.e.

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-05.png

soit

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-06.png

où https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-07.png désigne la loi du prix de la bière (soit ici une loi uniforme) avec une condition terminale de la forme

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-09.png

car il a soif, et ne quittera pas la rue sans avoir bu un verre !
Classiquement, par backward induction, on peut résoudre ce programme, à partir de la loi de https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-10.png. Posons https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-12.png. Alors

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-13.png

et

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-14.png

soit simplement

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-16.png

soit enfin

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/opt-am-18.png

Je laisse les plus courageux simplifier les calculs. La “frontière d’exercice” est alors obtenue par récurrence. Numériquement, le code est alors simplement

> n=20
> u=rep(NA,n)
> b=6;a=3
> u[n]=(b+a)/2
> for(k in (n-1):1){
+ u[k]=1/(b-a)*(u[k+1]*(b-u[k+1])+(u[k+1]^2-a^2)/2)
+ }

Dès qu’on atteint la barrière, on s’assoit au bar. On note que plus on avance dans la rue, moins on est exigent: au tout début, on ne s’assoit pas à moins de 3 euros 30… mais plus on avance, plus on relève le seuil d’exigence. Le calcul sous forme intégrale donne ici

> u=rep(NA,n)
> b=6;a=3
> u[n]=(b+a)/2
> for(k in (n-1):1){
+ g=function(x){pmin(x,rep(u[k+1],length(x)))/(b-a)}
+ u[k]=integrate(g,lower=a,upper=b)$value
+ }

J’avais déjà abordé ce problème dans un précédant billet, sur les options américaines, mais on peut maintenant aller un peu plus loin… que se passe-t-il si on suppose que les prix sont discret (par exemple par tranches de 50 centimes ou 1 euro) ? L’avantage avec ces méthodes numériques est que l’on peut très facilement enlever des hypothèses, par exemple ici on aurait

> h=2
> K=(b-a)*h+1
> PRIX=seq(a,b,by=1/h)
> u2=rep(NA,n)
> b=6;a=3
> u2[n]=(b+a)/2
> for(k in (n-1):1){
+ g=function(x){pmin(x,rep(u[k+1],length(x)))}
+ u2[k]=sum(g(PRIX)*1/K)}

pour des seuils à 1 euros (les seuls prix possibles étant 3,4,5 ou 6 euros).

Ou la frontière suivante si les prix varient par tranche de 50 centimes.

Compte tenu de la discrétisation, notons que la vraie frontière devient alors ici

Bref, comme toujours, les problèmes d’alcooliques rejoignent les problèmes d’exercice optimal d’options américaines, problème classique en finance de marché…
1 pour rendre cette histoire crédible, à chaque bar rencontré il demande le prix d’une pinte. S’il estime que c’est trop cher, il s’exclame “mais c’est bien trop cher ici !” et s’en va. Sinon il commande et s’installe. Cette exclamation rend improbable – à ses yeux – l’idée de revenir finalement s’installer au bar….

L’énigme du modèle

(pour reprendre le titre de l’exposition). J’interviendrais mercredi soir, toujours dans le cadre de la Biennale, dans un débat avec Julien Prévieux (ici) et Olivier Raingeard responsable Stratégies Economiques et Etudes, chez Neuflize OBC investissements. Le but sera d’apporter un éclairage au travail de Julien. A priori mon intervention sera axée autour de deux thèmes. Tout d’abord la difficulté de faire des prévisions, et d’anticiper l’avenir. Ou pour reprendre une expression de Niels Bohr, “prediction is very difficult, especially about the future” (repris par Jacques Chirac au début des années 90). J’illustrerais ce point par une relecture des prévisions faites par les plus grands économistes lors de la crise de 1929. Ensuite, le second thème m’avait été inspiré l’autre jour par la lecture d’un article dans le Canard Enchaîné,

J’ai eu envie de reparler de ce point suite à la discussion que nous avions eu la semaine dernière dans les débats sur les risques émergents, où nous cherchions la limite entre science et science fiction

Par certains côtés, le high frequency trading ressemble à une histoire de science fiction, du genre “les algorithmes prennent le pouvoir“, ou comment se passer d’économistes sur les marchés financiers. Pour simplifier (avec un peu de mauvaise foi, j’en conviens), en faisant tourner des algorithmes sur des ordinateurs super-puissants, on délègue à la machine la décision d’acheter et de vendre des produits financiers, voire en l’occurrence des paquets de produits, sur des intervalles de temps très courts… L’intérêt est que pendant ce temps, les traders (les vrais) ont le temps pour venir lire un peu mon blog ! Il s’agit d’acheter des titres et de les revendre presque instantanément, afin de créer une courte période pendant laquelle les marchés ne sont plus efficients: on peut alors créer un arbitrage.

Certains font une différence entre le high frequency trading et le flash trading, ou encore high speed trading, mais personnellement j’ai du mal à saisir la nuance… Mais si les arbitragistes ont toujours existé (ce qui légitimait alors l’absence d’opportunité d’arbitrage), cette fois, ce sont les machines qui effectuent artificiellement des arbitrages au lieu de les traquer…
Paul Krugman avait été très critique à ce sujet: “the stock market is supposed to allocate capital to its most productive uses, such as by helping companies with good ideas raise money. It’s hard to see, however, how traders who place their orders one-thirtieth of a second faster than anyone else do anything productive” et un peu plus loin “HFT probably degrades the stock market’s function, because it’s a kind of tax on investors who lack access to super computers and at-exchange connectivity – which means that the money Goldman spends on those computers actually has a negative effect on national wealth” (ici).

Les images utilisées sont en ligne (empruntés à une présentation de Mathieu Rosenbaum) et le flyer est en ligne ci-dessous,

Modeling analogies in life and nonlife insurance

On Wednesday afternoon I will be giving a talk at the SCOR Reserving Seminar. The talk will be on modeling analogies in life and nonlife insurance. We will start by discussing data analogies, based on the Lexis diagram in life insurance and in nonlife (when modeling claims dynamics),

This will induce similarities in datasets used in life models, and in nonlife reserving

Further, in the two cases, logPoisson models are usually used, either to model the number of deaths, or the amount of payment. The main difference is that in nonlife insurance, forecasting future payments is rather simple,

But in life models, unfortunately, we need to forecast the behavior of year based parameters.

Note that this is also the case in nonlife insurance when an inflation factor is introduced.
To go further, the slides are available here.

Histoire éthylique, et loi de l’arcsinus

Avant de revenir sur la marche aléatoire et le problème de la ruine d’un assureur comme problème de temps d’arrêt (je n’ai pas insisté en cours car les temps d’arrêt nécessitent un peu de recul sur les processus), je voulais prendre 5 minutes pour faire un exemple qui devrait intéresser les étudiants. On va se placer un peu avant les billets sur l’étude de l’ébriété rennaise, ici et .

  • De la probabilité de sortir un jour de la rue de la soif

Supposons que notre homme soit encore rue de la soif, un jeudi soit à 23 heures, dans un état d’ébriété assez avancé. Souhaitant quitter cette rue, il fait un pas (disons 1 mètre pour faire simple), puis hésite sur sa direction: il a 1 chance sur 2 de continuer dans la même direction, et 1 chance sur 2 de faire demi-tour.  Il se trouve à une distance L'image “https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-05.png” ne peut être affichée car elle contient des erreurs. de la place Sainte Anne et à une distance L'image “https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-06.png” ne peut être affichée car elle contient des erreurs.de la place des Lices. On se demande s’il arrivera un jour à quitter la rue de la soif, et surtout au bout de combien de temps (ou après avoir parcouru quel distance)… Au delà du temps moyen passé à errer dans la rue, on pourra se demander la probabilité pour qu’il soit sorti de la rue pour 8 heures, histoire d’avoir une chance d’arriver à l’heure en cours.

Il s’agit du problème de la marche aléatoire (qui, ma foi, est assez approprié au problème de l’ébriété) de type pile ou face. On note tau l’instant (exprimé en nombre de pas) de la sortie de la rue de la soif. Formellement, on note https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-01.png la position à la date https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-02.png. On suppose qu’à la date https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-02.png=0, il est à la position 0 (disons sa chaise à la terrasse du 1929). tau est l’instant où https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-01.png quitte l’intervalle https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-03.png. S’il sort par la partie inférieure (en https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-05.png) il sera place Sainte Anne, alors que s’il sort en https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-06.png, il sort par la place de Lices (la longueur de la rue étant https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-04.png).
Notons que https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-07.png où https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-08.png prend les valeurs https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-09.png avec probabilités https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-10.pnghttps://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-50.png s’il se dirige vers Sainte Anne, https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-11.png s’il part place des Lices.
On cherche

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-12.png

C’est ce qu’on appelle un temps d’arrêt. Il s’agit d’une variable aléatoire, positive, qui prend valeurs dans https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-555.png.
Le problème est simple à formuler, mais pour le résoudre, c’est une autre histoire…
On peut d’abord montrer que

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ce qui est un peu rassurant (c’est le lemme de Fatou). On peut alors montrer que https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-14.png appartient forcément à https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-15.png, et donc

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-16.png

aussi,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-17.png

ce qui est assez intuitif compte tenu de la symétrie naturel du problème. On a alors d’autant plus de sortir d’un coté que l’on part d’un endroit proche de ce côté.
On peut aussi monter que https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-18.pngest une martingale, nulle à la date initiale. Aussi,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-19.png

(je passe les difficultés techniques, mais on peut montrer que ce résultat est rigoureusement juste en travaillant sur la martingale arrêtée). Bon, on a pas mal d’information…. mais on peut aussi regarder la loi. On peut faire quelques simulations, dans un premier temps, afin de visualiser la densité (sous forme d’histogramme), avec ci-dessous la position de notre individu en ordonné, et en abscisse le temps depuis qu’il a quitté sa table.

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L’histogramme ci-dessous
est le comptage des moments où l’individu a quitté la rue.

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Je me suis arrêté assez tôt sinon le fichier image serait trop lourd.
Pour étudier la distribution, mieux vaut éviter de travailler sur la fonction de répartition ou la densité du temps d’arrêt. En fait, le plus simple est de récupérer la fonction génératrice de tau. Pour cela, on va utiliser la fonction génératrice des incréments,
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en utilisant la notation du cosinus hyperbolique. On peut alors montrer

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Pour tout https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-22.png,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-23.png

En fait, on retrouve ici quelque chose qui est très proche de la probabilité qu’a le mouvement brownien de quitter un corridor (qui ont été beaucoup étudiée de part les applications en finance, non pas sur l’étude des gens bourrés, via les options parisiennes, ici ou , mais qui avait été étudié dans les revues de physique dans les années 60). Bon, comme on quitte le monde discret pour le monde continu, on ne travaille plus sur la fonction génératrice des moments https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-24.png, mais sur la transformée de Laplace https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-25.png dont on peut montrer que la transformée de Laplace du temps de sortie d’un corridor de la forme https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-521.pngest

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-30.png

qui se rapproche de la formule précédente. Pour faire le lien, notons que

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-31.png

et que pour https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-32.png,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-33.png

Bref, en bricolant, on peut relier assez clairement les deux notions (ce qui n’a rien d’une démonstration, j’en conviens). Mais on peut aussi se poser d’autres questions fondamentales……

  • De la probabilité de récupérer ses clés

J’avais évoqué ici les problèmes de clés de notre indigène. Mais j’avais oublié de dire qu’il avait oublié ses clés sur sa table en quittant le bar. On peut se demander quelle est la chance pour qu’il ne repasse jamais à sa table…. Autrement dit, on souhaite calculer

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ou éventuellement, si on sait que le bar ferme à l’heure https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-523.png,

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Dans le cas du mouvement Brownien, on peut montrer que

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On utilise la propriété de Markov, qui garantie que https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-526.png est indépendant de https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-527.png. On peut alors montrer que si https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-528.png est le temps d’arrêt défini comme le premier instant où le processus atteint https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-529.png, alors

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Dans le cas du mouvement Brownien, cette propriété est une des lois de l’arcsinus, dont on trouvera des démonstrations ici ou . L’arcsinus apparaît ici dans un calcul d’intégral, en notant que

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Compte tenu des similitudes que nous avions observées dans la section précédente entre le cas continu et le cas discret, notre étudiant devrait pouvoir calculer assez simplement la probabilité qu’il a de récupérer ses clés…. enfin, dès qu’il aura dessaoulé un peu afin de faire les calculs….

Discussion on stress scenarios

Friday morning, I had the honor to discuss a presentation by Alexander McNeil, on Stress Testing and Reverse Stress Testing, at the Financial Risks International Forum on Risk Dependencies (here).

This was an opportunity to rediscover techniques I have studied briefly a few years ago, on outliers detection, namely the bagplot (I will probably upload a post on that topic soon, in French unfortunately). The slides of my discussion are available here.

http://freakonometrics.hypotheses.org/5338