Category Archives: Economics

Des calculs en base 12 à la magie des log-rendements

Un des gros avantages dans la culture anglo-saxonne, c’est que culturellement, les anglais ont été de grands amateurs du système duodécimal (en base 12). Par exemple, il y a 12 pouces dans un pied, ou le fait que jusqu’aux années 70, il y avait 12 pences dans un schilling… Et ce que j’apprécie, c’est que ce système pousse à manipuler les fractions (2, 3, 4, 6 étant des diviseurs de 12) alors que le système décimal pousse à utiliser les nombres à virgule. Et compte tenu de la proximité avec les États-Unis, même si ici le système métrique a été adopté, il reste des fonds de ces calculs en base 12.
Par exemple, à l’école à Montréal, les tables d’addition et de multiplication vont jusqu’à 12. Aussi, l’autre soir, je faisais réviser les tables (de multiplication) de 11 et 12 à mon fils, et on a passé du temps sur http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-18.gif et http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-19.gif. Car sa première réponse à combien font huit fois douze ? a été ben…. cent ?. J’ai bien entendu protesté (c’est un euphémisme) pour la forme, tout en sachant qu’il est naturel de croire que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-01.gif, ou que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-02.gif. N’est ce pas ce qu’on pense quand on apprend qu’un prix a augmenté de 20% avant de baisser de 20% le lendemain ? Car c’est la même erreur que l’on commet. Et mine de rien, raisonner avec des rendements, c’est pénible…. (tous ceux qui ont discuté taux d’intérêt avec un banquier le savent).
Pour rappel, on définie le rendement comme la variation relative, i.e.

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-03.gif

L’intérêt de cette formule est évident

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-04.gif

Et si on regarde ce qui se passe sur deux jours

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-05.gif

Aussi, si un jour on a un rendement de http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-06.gif, et le lendemain un rendement de http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-07.gif

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-08.gif

Autrement dit, si on subit une baisse de 10% puis une hausse de 10% (ou le contraire d’ailleurs), on ne revient pas à la position initiale, car http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-09.gif(ou ce que je voyais avec mon fils quand on notait que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-10.gif). En fait, on perd de l’argent… Damned, c’est pénible ça, non ? D’autant plus que si on répète cette alternance (entre une baisse de 10% puis une hausse de 10%) sur un an, au final, on a perdu 85% de valeur… Autrement dit, avec des rendements d’espérance nulle, et symétriques, la volatilité à elle seule fait perdre de l’argent…
Si on s’intéresse maintenant aux log-rendement,

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-11.gif

cette fois, on note que

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-12.gif

(on retrouve très explicitement la croissance exponentielle des prix). En faisant des développements limités, i.e. si les rendements sont faibles, alors on observe que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-13.gif. En effet

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-15.gif

Aussi, si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-14.gif vaut 0.05, on parlera (abusivement) de hausse de 5%. Si on regarde une évolution sur deux jours,

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-16.gif

Autrement dit, si on subit une baisse de 10% (en log-rendement) puis une hausse de 10% (ou le contraire), on revient à la position initiale (et donc on a une variation nulle) car http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso5/12-20.gif.
C’est probablement pour ça que les financiers utilisent des log-rendements: ils n’ont pas (en toute rigueur) la même interprétation que la variation relative, mais au moins on peut faire les calculs de manière très intuitive.

It is “simply” the average value

For some obscure reasons, simple things are usually supposed to be simple. Recently, on the internet, I saw a lot of posts on the “average time in which you hold a stock“, and two rather different values are mentioned

  • Take any stock in the United States. The average time in which you hold a stock is – it’s gone up from 20 seconds to 22 seconds in the last year” (Michael Hudson on http://www.telegraph.co.uk/) or “The founder of Tradebot, in Kansas City, Mo., told students in 2008 that his firm typically held stocks for 11 seconds” (on http://www.nytimes.com/) among many others
  • Based on the NYSE index data, the mean duration of holding period by US investors was around 7 years in 1940. This stayed the same for the next 35 years.  The average holding period had fallen to under 2 years by the time of the 1987 crash. By the turn of the century it had fallen to below one year. It was around 7 months by 2007” (on http://topforeignstocks.com/ see also the graph below) or “Two-thirds [of the managers of more than 800 institutional funds interviewed in a study] had higher turnover than they predicted […] Even though most are judged by performance over three-year horizons, their average holding period was about 17 months, and 19% of the managers held the typical stock for one year or less” (mentioned on http://online.wsj.com/) again among many others

How comes that on the one hand, some people talk about less than 20 sec. for the “average time in which you hold a stock“, and on the other, around a year. How can we have such a difference ? We are talking about an average time here, not a rare event probability…

To understand what might be wrong, consider the following case, with a market, and two stocks: one is kept over a year (52 weaks) while the other other is traded – and exchanged – every week (52 times per year). What is the “average time in which you hold a stock” ? Is it

  • 26.5 weeks ? the average time for the first stock is 52 weeks, while it is 1 for the second one, i.e. 53 over 2
  • 1.96 weeks ? over a year the first stock has been traded once, while it was exchanged 52 times for the second one, i.e. 104 over 53 (total time over the total number of transactions)

Obviously, there is a selection bias in that study (see here for an illustration of that concept, in French). In order to get a better understanding, consider the following simple model, with a large number of simulated stocks. At each transaction, they can be hold by 3 types of investors,

  • with probability 70%, hold – on average – for 20 sec.
  • with probability 20%, hold – on average – for 15 days
  • with probability 10%, hold – on average – for 10 years

As claimed by Warren Buffett, “my favorite time frame for holding a stock is forever“, so it might not be absurd to consider investors who keep a stock for a long period of time. Assume further that the time frame for holding a stock is exponentially distributed (the rate depending on the kind of investor). Assume that those stocks are observed during a period of time of 20 years (which might sound reasonable). Several techniques can be used to estimate the “average time in which you hold a stock

  • The first one is to calculate the mean, per stock, of the holding time, and to consider the average over all the stocks. Maybe it would be a good idea to exclude the last observation (since data were censored),
  • The second one is to divide the (total) period of time by the (total) number of investors that hold the stock during that time frame (or number of transactions)
  • A third idea might be to use the first method, but instead of removing the last one, to use an estimator of the mean based on Kaplan-Meier estimate
  • A fourth idea is to look at what happened at a specific date (say after 10 years), i.e. which investor had the stock, and how long he kept it.

The code to generate that process is the following

> set.seed(1)
> invest=sample(size=ns,c("A","B","C"),
+ prob=c(.7,.2,.1),replace=TRUE)
> lambda=(invest=="A")*20/(365*24*60*60)+
+        (invest=="B")*15/365+
+        (invest=="C")*10
> E=rexp(ns,rate=1/lambda)
> T=cumsum(E)
> T=T[T<20]
> plot(c(T,50),0:length(T),type="s",xlim=c(0,20),col="blue")

with the following trajectory for the number of investor that did hold that specific stock between time 0 and time 20.

Then, the different techniques are the following,

# method 1
> E1=diff(T)
> m1=mean(E)
> M1[s]=m1

for the first one (means of time length, per stock),

# method 2
> if(length(T)>1){
+ n2=length(T)-1
+ d2=T[length(T)-l]-T[1]
+ N2[s]=n2; D2[s]=d2
+ }

for the second one (time length and number of transactions),

+ # method 3
+ T3=c(T,20)
+ C3=c(rep(0,length(T)-1),1)
+ km=survfit(Surv(diff(T3), 1-C3)~1)
+ m3=summary(km,rmean='individual')$table[5]
+ M3[s]=m3

for the third one (based on a prediction of the expected mean, from Kaplan-Meier estimate) and

# method 4
> T0=c(0,T,20)
> m4=min(T0[T0>10])-max(T0[T0<10])
> M4[s]=m4

for the fourth one (based on what happened at time 10). Using monte carlo simulations, we get very different quantities, that can all be interpreted as the “average time in which you hold a stock”

> sum(D2,na.rm=TRUE)/sum(N2,na.rm=TRUE)
[1] 0.3692335
> mean(M1,na.rm=TRUE)
[1] 0.5469591
> mean(M3,na.rm=TRUE)
[1] 1.702908
> mean(M4,na.rm=TRUE)
[1] 12.40229

If we change to probabilities (and assume that high frequency investors are much more important than long-term ones), e.g.

> invest=sample(size=ns,c("A","B","C"),
+ prob=c(.9,.09,.01),replace=TRUE)

then the first two estimates are rather different. But not the last two.

> sum(D2,na.rm=TRUE)/sum(N2,na.rm=TRUE)
[1] 0.04072227
> mean(M1,na.rm=TRUE)
[1] 0.06393767
> mean(M3,na.rm=TRUE)
[1] 0.2504322
> mean(M4,na.rm=TRUE)
[1] 12.05508

So I have to confess that the “average time in which you hold a stock” can be almost anything from 10 sec. to 10 years, it clearly depends on the way the average is calculated. The second point is that if the proportion of high frequency trading is extremely high, I should not affect the last one (which is, from my point of view, the most interesting one, an might also be improved by here also integrate a censored variate). So I guess people should be careful when discussing such quantities… And if anyone is willing to share data on that topic, I’d be glad to look at them…

Gold price and fear

Via @theEconomist, I understood that there might be connections between the price of Gold (which is said to be extremely high nowadays) and the VIX SP500 index (the option volatility index, i.e. the so-called “fear index“, as discussed – in French- a few months ago). This has been discussed also on several blogs, e.g. http://etfdailynews.com/ or http://blogs.marketwatch.com/. Via Yahoo quotes, it is possible to get also easily the

SP500 VIX index.

> library(tseries)
> X=get.hist.quote("^VIX")
> T=time(VIX)
> Y=as.POSIXlt(T)$year+1900
> X2011=X[Y==2011,]
> VIX=X2011[,4]
> VIX100=as.numeric(VIX)/VIX[1]*100
> T2011=T[Y==2011]
> plot(T2011,VIX100,lwd=2,col="red",type="l",
+ xlab="",ylab="",ylim=c(60,290))

And a huge xls file can give us the price of gold (on a daily basis). But we can extract only one series (with the price in USD, which is the series of interest here)

> goldprice=read.table(
+ "http://freakonometrics.blog.free.fr/
  public/data/goldpriceUSD.csv",
+ header=TRUE,sep=";",dec=",")
> T=as.Date(goldprice$Name,"%d/%m/%y")
> GP=goldprice$USdollar
> Y=as.POSIXlt(T)$year+1896
> GP2011=GP[Y==2011]
> GP100=GP2011/GP2011[1]*100
> T2011=T[Y==2011]
> lines(T2011-4*365.25,GP100,lwd=2,col="blue")

We can see that scales are quite different on those two series (starting at 100 at the beginning of January 2011),

An alternative might be not to consider the price of gold, but something more psychological, like Internet researches. It is possible to download the csv file for queries on gold price on Google, via google insight.

 
> google=read.table(
+ "http://freakonometrics.blog.free.fr/public/data/google.csv",
+ skip=4,header=TRUE,sep=",",nrows=51)
> W=as.Date(substr(as.character(google$Semaine),1,10))
> G=google$gold.price
> G100=G/G[1]*100
> lines(W,G100,lwd=2,col="blue")

which gives the following graph (again, starting at 100 at the beginning of January 2011),

Here, we can clearly observe that the two series are related, maybe cointegrated. Nice isn’t it ?

Natural Catastrophe Insurance: How Should the Government Intervene?

An updated version of the joint paper with Benoit Le Maux is online on http://papers.ssrn.com/.

The present paper develops a new theoretical framework for analyzing the decision to provide or buy insurance against the risk of natural catastrophes. In contrast with conventional models of insurance, the insurer has a non-zero probability of insolvency that depends on the distribution of the risks, the premium rate, and the amount of capital in the company. Among several results, we show that risk-averse policyholders will accept to pay higher rates for a government-provided insurance with unlimited guarantee. However, depending on the correlation between and within the regional risks, a government program can be more attractive to high-correlation than to low correlation areas, which may lead to inefficiencies if the insurance ratings are not appropriately chosen.

« l’homme qui avait prédit la crise »

Je vais ressortir un peu ma casquette de schtroumpf grognon aujourd’hui, au risque de me faire encore taxer d’anti-journaliste primaire. Mais j’ai été agacé en lisant dans un article (journalistique, pas académique) qu’un personnage était présenté comme « l’homme qui avait prédit la crise ». En sept mots, le journaliste a réussi a utiliser trois clichés qui m’agacent.

Commençons par la fin, à savoir « la crise ». Sans vouloir jouer le schtroumpf grognon, je n’aime pas ce mot, abondamment utilisé par les journalistes… C’est quoi « la crise » ? Surtout que quand on pose la question, la réponse est toujours « allons, tu sais bien… la crise, quoi ». A la rigueur, «la crise financière »… mais laquelle ? « allons, arrête de faire du mauvais esprit… la crise de la dette, tu sais… ».  Mais de quoi on parle là ? Des états européens sur-endettés qui risquent de se faire downgrader par les agences de notation ? Des dettes des particuliers qui explosent ? Des endettements des étudiants qui doivent faire face à la hausse des frais d’inscription ? Bref, je n’aime pas ce mot fourre tout qui ne peut être défini de manière univoque. Mais ce n’est pas ce qui m’agace le plus…

Il y a ensuite le mot « prédit ». Car c’est le mot qui est le plus utilisé par les journalistes, en France. Étrangement, le mot « prévu » n’est pas utilisé. Car «prédire » n’est pas « prévoir ». Certes, les deux se rapportent à l’avenir, de part le préfixe pré- qui exprime l’antériorité dans le temps. Le verbe « prédire » est souvent employé pour des pronostics, qui relèvent de l’intuition, d’un sentiment prémonitoire, voire d’une expérience surnaturelle: les voyantes « prédisent » l’avenir. Par contre, il existe des instituts de « prévision », ainsi que des cours de méthodes de « prévision » (ou encore des ouvrages, sur le sujet). On fait des « prévisions » météo, ou budgétaires. Bref, « prédire » relève de la foi, alors que « prévoir » relève davantage de la science. Il y a deux ans, j’avais déjà parlé des prédicateurs dans un billet suite au tremblement de terre qui avait eu lieu en mars 2009 en Italie (et je me permets de reprendre – plus ou moins – l’image extraite du plus formidable des albums de Tintin – d’où est aussi tiré l’image qui figure sur mon blog, et à laquelle je me suis pleinement identifiée). Et ce qui m’agace c’est que les journalistes préfèrent écouter les prédicateurs aux prévisionnistes… Et je ne parle pas des nombreux articles sur Paul le poulpe

Enfin, il y a l’utilisation du terme « l’homme », ou plus précisément l’emploi du «l’», qui laisse entendre qu’il y a unicité: une seule personne aurait annoncé la crise. Vu de loin, c’est d’ailleurs amusant de noter que chaque journaliste a « son homme » qui aurait annoncé la crise. C’est Paul Jorion pour Rue89 (et France Culture), Nouriel Roubini pour le New York Times (et d’autres médias en France) mais certains pensent à Robert ShillerGeorges MagnusMelchior PalyiVictor MaslovRaghuram Rajan, etc. Manifestement, il n’y a pas unicité, et pourtant tous les journalistes aiment utiliser ce pronom « l’ ». En fait, souvent les journalistes omettent de dire que cet homme est « l’homme » au sein des personnes faisant parti du réseau de personnes qu’ils lisent, et qui font partie de leur cercle médiatique. Ce qui est agaçant, c’est que les journalistes ne prennent pas la peine de lire les articles écrits par les économistes dans les revues d’économie. Malheureusement, dans un article académique, on ne prédit pas des crises, mais il y a de nombreuses analyses critiques qui permettent d’éclairer, et pas seulement ex-post. Mais lire des articles théoriques demande du temps, et des compétences…

Short selling, volatility and bubbles

Yesterday, I wrote a post (in French) about short-selling in financial market since some journalists claimed that it was well-known that short -selling does increase volatility on financial market. Not only in French speaking journals actually, since we can read on http://www.forbes.com that  « in a market with restrictions on short-selling, volatility is reduced ». But things are not that simple. For instancehttp://www.optionsatoz.com/ explains it from a theoretical point of view. But we can also look at the data. For instance, we can compare the stock price of Air China, exchanged in Shanghai in blue (where short-selling is forbidden) and in Hong Kong in rouge (where short-selling is allowed), since @Igor gave me the tickers of those stocks

library(tseries)
X<-get.hist.quote("0753.HK")
Y<-get.hist.quote("601111.SS")
plot(Y[,4],col="blue",ylim=c(0,30))
lines(X[,4],col="red")

But as @alea_ pointed out, one asset is expressed here in Yuans renminbi, and the other one in HK dollars. So I downloaded the exchange rate fromhttp://www.oanda.com/

Z=read.table("http://freakonometrics.blog.free.fr/public/
data/change-cny-hkd.csv",header=TRUE,sep=";",dec=",")
D=as.Date(as.character(Z$date),"%d/%m/%y")
z=as.numeric(Z$CNY.HKD)
plot(D,z,type="l")
X2=X[,4]
for(t in 1:length(X2)){
X2[t]=X2[t]*z[D==time(X2[t])]} 
X2=X[,4]
plot(Y[,4],col="blue",ylim=c(0,30))
lines(X2,col="red")

Now both stocks are expressed in the same currency. To compare returns volatility, a first idea can be to use GARCH models,

RX=diff(log(X2))
RY=diff(log(Y[,4]))
Xgarch = garch(as.numeric(RX))
SIGMAX=predict(Xgarch)
Ygarch = garch(as.numeric(RY))
SIGMAY=predict(Ygarch)
plot(time(Y)[-1],SIGMAY[,1],col="blue",type="l")
lines(time(X2)[-1],SIGMAX[,1],col="red")

But volatility is here too eratic. So an alternative can be to use exponentially-weighted moving averages, where simple recursive relationships are considered

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/vol-04.png

or equivalently

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/vol-05.png

The code is not great, but it is easy to understand,

moy.ew=function(x,r){ 
m=rep(NA,length(x))

for(i in 1:length(x)){ 

m[i]=weighted.mean(x[1:i], 
         rev(r^(0:(i-1))))}

    return(m)} 

sd.ew=function(x,r,m){

sd=rep(NA,length(x))

for(i in 1:length(x)){
    
sd[i]=weighted.mean((x[1:i]-m[i])^2,
          rev(r^(0:(i-1))))}

    return(sd)} 
q=.97
MX=moy.ew(RX,q)
SX=sd.ew(RX,q,MX)
MY=moy.ew(RY,q)
SY=sd.ew(RY,q,MY)
plot(time(Y)[-1],SY,col="blue",type="l")
lines(time(X2)[-1],SX,col="red")

And now we have something less erratic, so we can focus now on the interpretation.
It is also possible to look on the difference between those two series of volatility, areas in blue means that in Shanghai (again, where short-selling is forbidden) returns are more volatile than in Hong Kong, and areas in red are periods where returns are more volatile in Hong Kong,

a=time(X2)[which(time(X2)%in%time(Y))]
b=SY[which(time(Y)%in%time(X2))]-
  SX[which(time(X2)%in%time(Y))]
n=length(a)
a=a[-n];b=b[-n]
plot(a,b,col="black",type="l")
polygon(c(a,rev(a)),c(pmax(b,0),rep(0,length(a))),
        col="blue",border=NA)
polygon(c(a,rev(a)),c(pmin(b,0),rep(0,length(a))),
        col="red",border=NA)

So clearly, there is nothing clear that can be said… Sometimes, volatility is higher in Hong Kong, and sometimes, it is higher in Shanghai. But if we look at the price, instead of looking at volatility,

a=time(X2)[which(time(X2)%in%time(Y))]
b=as.numeric(Y[which(time(Y)%in%time(X2)),4])- 
  as.numeric(X2[which(time(X2)%in%time(Y))])
n=length(a)
a=a[-n];b=b[-n]
plot(a,b,col="black",type="l")
polygon(c(a,rev(a)),c(pmax(b,0),rep(0,length(a))),
        col="blue",border=NA)
polygon(c(a,rev(a)),c(pmin(b,0),rep(0,length(a))),
        col="red",border=NA)

Here, it looks like bans on short-selling creates bubbles. Might not not be a goodthing.

La vente à découvert, un moindre mal ?

Doit-on penser, comme l’avait dit Amartya Sen, que l’économie est une science morale ? La science économique (comme science ‘humaine’) a-t-elle un contenu moral per se, contrairement aux sciences ‘dures’ ? Si la morale est un choix de ce qui est bien et de ce qui est mal, on admettra que la loi de la gravitation universelle n’est bien ni mal. Pareil pour la division des cellules, ou le théorème de Pythagore. Pourtant en économie, il est fréquent d’évoquer une raison morale comme justification de tout et n’importe quoi… peut-être encore plus dès que l’on parle de finance…
Par exemple dans La Presse datant de fin septembre, on apprend que « les lois de l’offre et de la demande sont malheureusement faussées par le short selling […] Pourquoi permet-on de telles pratiques? Comme vous le savez la très grande proportion des short sellers ce sont des spéculateurs […] Malheureusement les autorités des marchés font la sourde oreille devant le gros bon sens d’une telle demande. Leur argument ? Oui! le «short selling» crée de la volatilité artificielle, mais l’interdire brimerait le libre jeu de l’offre et de la demande ».
Bref, la vente à découvert c’est mal, il faudrait l’interdire ! En Europe, La Tribune ou Le Monde en ont aussi parler, avec des arguments similaires.

Bruno Rémillard, que j’ai croisé en fin de semaine à un séminaire, me disait avoir envoyé à La Presse une lettre afin d’apporter des précisions (réponse écrite avec Nicolas Papageorgiou ), lettre restée pour l’instant sans réponse (et non publiée). Il reprenait en partie des résultats d’Alexandre Roch qui montrait que l’interdiction de vente à découvert pouvait générer des bulles spéculatives. Par exemple sur le graphique ci-dessus, emprunté à Alexandre, on a comparé les valeurs du titre d’Air China, échangé à la fois à Shanghai en bleu (où la vente à découvert est interdite) mais également à Hong Kong en rouge (où la vente à découvert est permise).

Je pense qu’il faudrait regarder plus attentivement pour montrer que le titre est plus volatile sur le marché où la vente à découvert n’est pas autorisée. Mais surtout, interdire la vente à découvert signifie encourager la création de bulles. Je ne suis pas sur que le jeu en vaille la chandelle….

Les traders sont des animaux curieux…

Et je dis ça d’autant plus sereinement que j’ai travaillé un temps en salle de marche, que j’ai pas mal d’anciens élèves qui y sont, ainsi que la majorité de mes copains de promo…

On a beaucoup lu sur les cracks en maths qui partaient faire de la finance. Je ne pense pas qu’il y ait besoin d’être un crack en maths pour aller jouer en salle de marche (comme je l’ai dit à plusieurs reprises ici ou , pas mal de problème de finance sont des problèmes de buveurs d’alcool qui ont du mal à rentrer chez eux), mais c’est vrai que lors des entretiens d’embauche, il n’est pas rare de mettre des petits exos de maths. Le but est surtout de se faire une idée sur la manière dont les candidats résolvent un problème, et de vérifier que les candidats peuvent faire preuve d’un peu de logique (cela dit, j’ai fait la même chose lorsque j’ai recruté un collègue lorsque je travaillais à Hong Kong dans une compagnie d’assurance).
J’y pensais l’autre jour en lisant chasseur de tête (Hodejegerne en vo) de Jo Nesbø (sans l’inspecteur Harry Hole), où un des personnages demandait

En fait, la réponse proposée est fausse, ou partiellement fausse… Et si je le sais c’est parce qu’il y a quelques mois, je discutais avec un ancien élève qui me racontait qu’il posait la même question lors des entretiens d’embauche (ou de stages). Plus précisément, ça commence calmement…

« donnez nous deux nombres premiers qui soient deux nombres impairs consécutifs »

Effectivement, pour l’instant, ce n’est pas trop dur…  on peut penser à 3 et 5, ou 5 et 7, 11 et 13, ou encore 17 et 19. Les plus tordus penseront à 31721 et 31723, voire 49919 et 49921. Bref, cette propriété est assez commune chez les nombres premiers, donc c’est facile…

« donnez nous trois nombres premiers qui soient trois nombres impairs consécutifs »

Si on a pensé à 3 et 5 avant, on pensera naturellement à 3, 5 et 7… Et ça marche… Mais ensuite vient la question plus vicieuse…

« pourriez-vous en trouver trois autres »

plus dur déjà… Un indice ? Comme c’est un entretien d’embauche dans une banque (et pas un exercice d’agrégation de mathématiques), soit il y a une réponse simple… soit la réponse est que ça n’est pas possible….

Et effectivement, ça n’est pas possible. Car si on prend trois nombres impairs consécutifs, il y en a toujours un qui est un multiple de 3. Formellement, on a retenu n, n+2 et n+4

Si les deux premiers (n et n+2) sont premiers, alors n=3k-1 et n+2=3k+1. Et donc n+4=3k+3=3(k+1) qui est un multiple de trois…

Si les deux derniers (n+2 et n+4) sont premiers, alors n+2=3k-1 et n+4=3k+1. Et donc n=3k-3=3(k-1) qui est un multiple de trois…

Enfin, si le premier et le dernier sont premiers, alors n=3k-2 et n+4=3k+2. Et donc n+2=3k qui est un multiple de trois… Donc la seule solution est que le multiple de 3 qui doit apparaître soit précisément 3. Donc la solution unique est 3, 5 et 7.

Je sais pas vous… mais moi ça me laisse un petit goût de pas-fini… On aurait envie d’aller plus loin, genre

« donnez nous n nombres premiers qui soient nombres consécutifs, en comptant de p en p »

en notant que, pour l’instant, on a regardé (uniquement) le cas où n vaut 3, et p vaut 2. Et il y a peut-être un résultat plus général derrière, non ?

Comme me l’a fait note Jürgen, la question un peu mieux formulée (en termes mathématiques) serait

« donnez nous une progression arithmétique de longueur n et de raison p formée de nombres premiers »

Intuitivement, on se doute qu’il faut regarder si n et p sont premiers entre eux (car c’est dans ce cas que la réponse risque de ne pas exister) et c’est ce que m’a confirme Agnès. En fait

  • dans le cas où n et p sont premiers entre eux

si n n’est pas premier, alors il n’y a aucune solution. Par exemple (n,p)=(4,2).
En revanche, si n est premier, alors il n’y a qu’un nombre fini de solution (qui peut être nul, ou 1 comme dans la question initiale). L’idée est que le premier terme est à chercher dans l’ensemble des entiers

{n-(n-1)p, n-(n-2)p, …, np, n}

En particulier, n doit être un des termes de la progression.

Par exemple, si (n,p)=(3,2) il y a une seule solution (3,5,7) alors que pour (n,p)=(5,2) il n’y a pas de solution.Et si (n,p)=(5,6) il y a une seule solution avec (5, 11, 17, 23, 29).

  • dans le cas où n et p ne sont pas premiers entre eux

Dans ce cas, la question doit être difficile (toujours selon Agnès), et on conjecture qu’il y a un nombre infini de solutions. Je ne sais pas si ça aide, car je ne sais pas si cet infini est grand ou pas… au sens où il faudrait peut être attendre un temps long infiniment long pour avant de tomber sur une telle suite…
En fait, Jürgen me suggérait de regarder un article de Green et Tao (ici) qui ont montré qu’il existe une infinité de progressions arithmétiques (formées de premiers) de longueur arbitraire. Plus précisément, on conjecture que le nombre de progressions de longueur n et de raison p (formées de nombres premiers) dans l’ensemble des nombres entiers de 1 à m serait de l’ordre de m/log(m)^n. Pour rappel, le théorème des nombres premiers dit qu’il y a m/log(m) nombres premiers entre 1 et m (Hadamard, La Vallée Poussin, 1896, ici).

Intéressant problème, non ? En tous les cas, au moins pour repérer des nerds… pour embaucher des gens qui pourront éviter d’acheter ou de vendre n’importe quoi, je ne sais pas trop le rapport…

Cela dit, pour ceux que ces problèmes amusent, un conteur dans le Lot nous a posé une question que je ne serais pas surpris de voir réapparaître dans les entretiens d’embauche, « Dans un lointain pays, un roi souhaite commander plusieurs bagues en or parfaitement identiques a 10 joailliers (et il peut en demander autant qu’il le souhaite à chacun) de 10 grammes chacune . Si 9 sont parfaitement honnêtes, 1 d’entre eux ne peut s’empêcher d’enlever 1 gramme d’or à chacune des bagues qu’il fabrique… Mais le roi ne sait pas lequel. Comment peut-il le démasquer en faisant une unique pesée..? ».

Avis aux amateurs…

En fait, comme il peut demander autant qu’il le souhaite, il demande 1 bague au premier joaillier, 2 au second, 3 au troisième, …., 10 au dernier. Il pèse alors toutes les bagues ensemble. Si tous étaient honnêtes, il y aurait 550 grammes. Le nombre de grammes qu’il manque dit quel joaillier a triché. S’il manque 3 grammes, c’est que 3 bagues sont trop légères, et c’est donc le troisième joaillier qui a triché.

We keep breaking records ? so what ?… Get statistical perspective….

This summer, we have been told that some financial series broke some records (here, in French)

For instance, the French CAC40 had negative return for 11 consecutive days (which has never been seen, so far).

> library(tseries)
> x<-get.hist.quote("^FCHI")
> Y=x$Close
> Z=diff(log(Y))
> RUN=rle(as.character(Z>=0))$lengths
> n=length(RUN)
> LOSS=RUN[seq(2,n,by=2)]
> GAIN=RUN[seq(1,n,by=2)]
> TG=sort(table(GIN))
> TG[as.character(1:13)]
GAIN
   1    2    3    4    5    6    7    8    9 <NA> <NA> <NA>   13
 645  336  170   72   63   21    7    3    4   NA   NA   NA    1
 
> TL=sort(table(LOSS))
> TL[as.character(1:15)]
LOSS
   1    2    3    4    5    6    7    8    9 <NA>   11 <NA> <NA> 
 664  337  186   68   42   14    5    3    1   NA    1   NA   NA 
 
> TR=sort(table(RUN))
> TR[as.character(1:15)]
RUN
   1    2    3    4    5    6    7    8    9 <NA>   11 <NA>   13 
1309  673  356  140  105   35   12    6    5   NA    1   NA    1

Indeed 11 consecutive days of negative returns is a record. But one should keep in mind the fact that the real records for runs is 13 consecutive days with positivereturns…
But what does that mean ? Can we still assume time independence of log-returns (since today, a lot of financial models are still based on that assumption) ?
Actually. if financial series were time-independence, such a probability, indeed, should be rather small. At least on 11 or 10 runs. Something like

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/cacindp03.gif

(assuming that each day, the probability to observe a negative return is 50%). But maybe not over 25 years (6250 trading days): the probability to observe a sub-sequence of 10 consecutive negative value (with daily probability of one half) over 6250 observations will be much larger. My guess is that is would be

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/cacindp02.gif

where at the numerator we have the number of favourable cases over the total number of cases. At the numerator, the first number the number of cases where the first 10 (at least) are negative, then for the second one, we count the number of cases where the first is positive, then the next 10 (at least) are negative (and then the second is positive and then the next 10 are negative, the third is positive etc). For those interested by more details (and a more general formula on runs), an answer can be found here.
But note that the probability is quite large… So it is not that unlikely to observe such a sequence over 25 years.
A classical idea when looking at time series is to look at the autocorrelation function of the returns,

which might suggest that there is no correlation with past returns. But it should be possible to do more advanced tests.
On the CAC40 series, we can run an independence run test on the latest 100 consecutive days, and look at the p-value,

> library(lawstat)
> u=as.vector(Z[(n-100):n])
> runs.test(u,plot=TRUE)
 
	Runs Test - Two sided
 
data:  u 
Standardized Runs Statistic = -0.4991, p-value = 0.6177

The B’s here are returns lower than the median (almost null, so they might be considered as negative returns). With such a high p-value, we accept the null hypothesis, i.e. time independence.
If we consider a moving-time window

we can see that we accept the assumption of independence most the the time.
Actually, here, the time window is 100 days (+/- 50 days). But it is possible to consider 200 days,

or even 400 days,

So, except if we focus on 2006, it looks like we should reject the idea of time dependence in financial markets.
It is also possible to look more carefully at the distribution of runs, and to compare it with the case of independent samples (here we consider monte carlo generation of sequences having the same size),

> m=length(Z)
> ns=100000
> HIST=matrix(NA,ns,15)
> for(j in 1:ns){
+ XX=sample(c("A","B"),size=m,replace=TRUE)
+ RUNX=rle(as.character(XX))$lengths
+ S=sort(table(RUNX))
+ HIST[j,]=S[as.character(1:15)]
+ }
> meana=function(x){sum(x[is.na(x)==FALSE])/length(x)}
> cbind(TR[as.character(1:15)],apply(HIST,2,meana),
+       round(m/(2^(1+1:15))))
 
     [,1]       [,2] [,3]
1    1309 1305.12304 1305
2     673  652.46513  652
3     356  326.21119  326
4     140  163.05101  163
5     105   81.52366   82
6      35   40.74539   41
7      12   20.38198   20
8       6   10.16383   10
9       5    5.09871    5
10     NA    2.56239    3
11      1    1.26939    1
12     NA    0.63731    1
13      1    0.31815    0
14     NA    0.15812    0
15     NA    0.08013    0

The first column above is the empirical frequency of runs of length 1,2,3, etc. The second one is the average frequencies obtained on random simulation of independent sample. The third one is the theoretical frequency based on a (geometric distribution with mean 1).

Here again, it looks like our time series behave like an independent sample. Here is also a nice paper by Mark Schilling on the longest run of heads.
So it is not that odd to observe such a series of losses on financial markets….

Pauvres américains

Pendant nos vacances dans l’Aubrac avec des amis, Christian avait acheté Libé, et machinalement, j’ai entrepris de le survoler le lendemain matin (en sirotant mon café). Je suis tombé sur le paragraphe suivant qui a retenu mon attention pendant plusieurs jours…

L’auteur n’est pas n’importe qui, puisqu’il s’agit de Kenneth Rogoff (ici), grand spécialiste de l’économie américaine. Relisons la phrase afin de mieux comprendre ce qu’il dit: pour “25% des propriétaires immobiliers aux États-Unis” […] “la valeur de leur maison serait inférieure à leur crédit immobilier” 1. Je me permettrais de réécrire la phrase sous la forme suivante “pour un quart des propriétaires immobiliers américains n’ayant pas fini de rembourser leur crédit, la vente de leur maison ne leur permettrait pas de rembourser leur crédit” (c’est en tous les cas comme ça que je la comprends).
Cette petite phrase pourrait être intéressante, En tous les cas, elle semble importante dans l’argumentation visant à expliquer que les américains sont beaucoup trop endettés2. Mais 25%, en quoi est-ce vraiment exceptionnel ou incroyable voire inquiétant ? C’est quoi le pourcentage acceptable ou normal que l’on s’attendrait à avoir ?
N’ayant pas de statistiques sur le sujet, faisons des calculs.

  • un peu de calcul d’actualisation de crédits

Car intuitivement, si un acheteur emprunte avec un faible apport, et sur une longue durée, son crédit va lui coûter cher, éventuellement plus cher que la maison. Au moins au début. Car avec le temps, la valeur du crédit diminue, alors que le prix de la maison, habituellement, augmente.
Considérons une maison de valeur 1 (a l’achat, histoire de simplifier, et de raisonner en pourcentage pour l’apport initial, par exemple). On dispose d’un capital initial http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/credit-03.gif (correspondant à l’apport), on contracte un crédit pour une durée http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/credit-02.gif, et on suppose que le taux pour le crédit est http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/credit-04.gif, et que le taux d’inflation est http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/credit-06.gif (la valeur de la maison peut augmenter dans le temps, mais aussi éventuellement baisser si la valeur de http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/credit-06.gif est négative). A la date http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/credit-01.gif, à son actif, le propriétaire possède la maison, d’une valeur http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/credit-09.gif (ce qu’il touche s’il revend la maison, si l’on oublie les frais associés); et au passif, il doit rembourser à la banque un montant http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/credit-08.gif, où http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/credit-07.gif est le montant des remboursement effectues tous les ans, i.e. solution de

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/credit-11.gif

Si on veut faire les choses proprement, il faudrait intégrer les frais de notaire (disons 7% de la valeur de la maison), ici notés http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/credit-10.gif,

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/credit-12.gif

La valeur de la maison est inférieure à la valeur du crédit si

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/credit-13.gif

(les frais de notaires étant payés à l’achat comme on l’évoquait auparavant, mais aussi en cas de revente3). On peut faire le calcul facilement, sous R,

valeur = function(t,T,a,r=.05,i=0,delta=.07){
k=(1-a+delta)/sum(1/(1+r)^(0:(T-1)))
s=(1+i)^t
v=(T-t)*k
return(c(s*(1-delta),v))}

Par exemple, si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/credit-01.gif est nul, on compare la valeur du crédit à la valeur de la maison au moment de l’achat. Pour quelqu’un ayant un apport de 25%, prenant un crédit avec 20 échéances (sur 20 ans) que l’on commence à rembourser le jour de la signature, la valeur de son crédit (sur une somme empruntée de 0.75) est de 1.2533, environ, si le taux de crédit est de l’ordre de 5%. C’est plus que la valeur (brute) de la maison (ici 1), voire beaucoup plus que ce que rapporterait la revente la maison, qui rapporterait 0.93, ce qui ne lui permet pas de rembourser le crédit….

> valeur(0,20,.25,.05,0)
[1] 0.9300 1.2533

Sur la même durée, vu après la 5ieme échéance (i.e. au bout de 25% des échéances) avec toujours un apport initial de 25%, la valeur du crédit restant à payer à la banque est de l’ordre de 0.94, c’est à dire à peu de choses près, la valeur de revente de la maison s’il n’y a pas d’inflation (ou de perte de valeur du bien immobilier).

> valeur(5,20,.25,.05,0)
[1] 0.9300000 0.9399846

Autrement dit, dans un monde avec une inflation nulle, avec des cohortes d’acheteurs constantes dans le temps, qui prendraient des crédits de 20 ans avec un apport de 25% de la valeur de la maison, 25% des emprunteurs ont, en moyenne, un crédit à rembourser supérieur à la valeur de revente de leur maison, comme le dit l’article. Cette proportion augment

  • quand les taux d’emprunt augmentent
  • quand la durée des emprunts augmente
  • quand l’apport initial diminue

Mais on peut essayer de visualiser tout ça,

  • visualisation des valeurs du crédit, et de la maison
dessin=fonction(T=20,a=.333,r=.05,i=.02,delta=.07){
S=V=rep(NA,T)
for(j in 1:T){
S[j]=valeur(j-1,T,a,r,i)[1]
V[j]=valeur(j-1,T,a,r,i)[2]}
YL=range(S,V)
plot(1:T-.5,V,type="b",col="red",ylim=YL)
lines(1:T-.5,S,col="blue",type="b")
}

Comme on le voit sur le dessin ci-dessous, la proportion des acheteurs dont la valeur du crédit excède la valeur de la maison est d’environ 20% (même avec un apport non négligeable, ici un tiers, et une inflation non nulle, ici 2%). On le voit sur le graphique ci-dessous, avec en bleu la valeur de la maison, et en rouge, la valeur du crédit,

On peut d’ailleurs faire varier les différents paramètres, comme le taux d’emprunt, avec une baisse (passant de 5% à 3%),

ou avec une hausse (passant de 5% à 7%),

On peut aussi faire varier l’apport initial (passant à 50%),

On peut enfin supprimer l’inflation, et supposer que le prix de la maison n’augmente pas vraiment…

Moralité? 25% semble effectivement important, trop important (pour une économie en bonne santé). Mais il ne faut pas se leurrer, car un pourcentage raisonnable (ou viable) semblerait être davantage aux alentours de 15% que de 0%.

  • du crédit immobilier au crédit automobile

Et cela dit, 25% serait un pourcentage relativement faible si on regardait non pas les crédit immobiliers, mais les crédit automobiles. Car par rapport à la situation précédente, on est dans un cas où les taux sont élevés, et où la valeur du bien ne cesse de se dégrader. Par contre la durée est souvent plus courte. Une déflation de 10% n’est peut-être pas la meilleure modélisation qui soit de la perte de valeur du véhicule, mais en première approximation, ça devrait convenir,,,
Graphiquement, on a

Bref, dans le cas du crédit auto (où l’acheteur achèterait intégralement à crédit), dans une situation normale entre 70% et 80% des acheteurs de voiture à crédit sont dans une situation où la revente de leur voiture ne permettrait pas de rembourser leur crédit… Ne faudrait-il pas s’en inquiéter également ? Acheter à crédit un bien dont la valeur ne cesse de baisser, n’est-ce pas dangereux ?

1 au début de l’été, en discutant avec des couples d’amis, dont deux venaient d’avoir des postes de profs à l’autre bout de la France (et qui devaient revendre leur maison), j’ai été surpris de voir que quand ils parlaient de “ne pas perdre d’argent lors de la revente“, ils valorisaient la maison à partir du prix initial, auquel ils ajoutaient les frais de notaires, mais oubliaient le coût du crédit.
2 je me contenterais ici de discuter ce chiffre de 25%, et non pas de savoir si c’est grave que la revente de la maison ne permette pas de rembourser le crédit.
3 je préfère prendre en compte ces frais, car sinon, comme je l’avais déjà évoqué ici, l’achat d’une maison semble toujours une opération gagnante.

Que signifie “utiliser de l’information” ?

Considérons un simple jeu de pile ou face. On suppose que l’on tombe sur pile avec une probabilité http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-20.gif (histoire de formaliser un peu). Le but du jeu est dedeviner sur quelle face la pièce va tomber: si on devine bien, on gagne, sinon on perd. Et le but de mon billet est de comprendre quelle est la stratégie qu’il convient de mettre en œuvrer si on connaît, ou si on estime http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-20.gif.

  • Connaissance parfaite des probabilités

Supposons que l’on connaisse parfaitement http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-20.gif. A priori deux stratégies sont possibles:

  • jouer au hasard, en utilisant les différentes probabilités: on prédit pile avec probabilité http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-20.gif et face avec probabilité http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-21.gif.
  • ne pas jouer au hasard, et prédire la valeur la plus probable, autrement dit si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-22.gif, on prédit pile, sinon on prédit face (à chaque lancer si on fait plusieurs lancers consécutifs).

Notons http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-24.gif la variable correspondant à la valeur prise au lancer, disons 1 si on tomber sur pile et 0 sur face. Et notons http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-23.gif la valeur prédite. On gagne si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-25.gif, et la probabilité de gagner est alors

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-26.gif

i.e. pour la première stratégie

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-27.gif

En revanche pour la seconde, la probabilité de gagner est

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-28.gif

Graphiquement, on peut représenter en ligne la prédiction que l’on fait, et en colonne la face obtenue. En bleu, on gagne, et en rouge on perd,

Supposons que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-29.gif. Considérons le polynôme http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-30.gif, dont les racines sont http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-31.gif et http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-32.gif, i.e sur http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-33.gif,
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-34.gif

ou encore

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-35.gif

i.e.

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-36.gif

(avec une inégalité stricte si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-20.gif est strictement inférieur à 1). Bref, il est toujoursplus intéressant de parier toujours la même chose (et de ne pas essayer de jouer au plus malin).

  • Connaissance imparfaite des probabilités

Supposons maintenant que la probabilité http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-20.gif soit inconnue, mais estimable. Autrement dit, on a assisté à http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-03.gif lancers, on a un échantillon http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-01.gif et on estime la probabilité de tomber sur pile par

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-05.gif

Comme auparavant pour la première stratégie, on utilise un générateur de nombre aléatoire http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-04.gif (qui tire une loi uniforme sur le segment unité), pour la prochaine valeur, on prédit

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-06.gif

Pour la seconde stratégie

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-07.gif

Autrement dit, si on estime que la probabilité de tomber sur pile dépasse 50%, on prédit pile, et sinon on prédit face.
On gagne si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-08.gif, et la probabilité de gagner est alors

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-09.gif

Dans le premier cas, la probabilité de gagner est

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-11.gif
dont l’espérance est http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-12.gif (comme auparavant). En revanche, dans le second cas, le calcul de la probabilité de gagner est

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/pf-13.gif

Graphiquement, on obtient, cette fois,

Si on se place au bout de 20 lancers, on obtient la courbe rouge ci-dessous pour le cas d’information imparfaite, et verte dans le cas de l’information parfaite, pour le ratio de la probabilité de gagner avec le second cas divisé par le premier cas (nous avions vu auparavant que le ratio été inférieur à 1)

à partir du code suivant

> p=seq(.5,1,by=.01)
> q=(p^2+(1-p)^2)/(p*(1-pbinom(10,20,p))+
+ (1-p)*pbinom(10,20,p))
> plot(p,q)
  • Répétons le jeu plusieurs fois et apprentissage des probabilités

Supposons que l’on répète le jeu un certain nombre de fois, avec un apprentissage au fur et à mesure que les tirages avancent, i.e. l’algorithme s’écrit

> n=10
> p=.64
> X=sample(c("a","b"),size=100,prob=c(p,1-p),replace=TRUE)
> S1=S2=rep(NA,100)
> for(s in (n+1):100){
+ P=c(mean(X[1:(s-1)]=="a"),mean(X[1:(s-1)]=="b"))
+ S1[s]=(sample(c("a","b"),size=1,prob=P)==X[s])
+ S2[s]=(names(sort(table(X[1:s])))[2]==X[s])
+ }
> sum(S1[(n+1):100])/sum(S2[(n+1):100])

Graphiquement, si on suppose que l’on apprend sur 10 tirages (et que l’on calcule le nombre moyen de victoires sur les 90 lancers suivants), on obtient un graphique assez proche de ce que l’on avait auparavant,

I.e. comme le ratio est inférieur à 1, la seconde stratégie l’emporte toujours.
Moralité, j’ai un peu l’impression qu’il est souvent inutile d’élaborer une stratégie trop complexe, car les stratégies les plus simples permettent de gagner le plus souvent…

Pourquoi frapper aussi fort la balle au service ?

Au tennis, il n’est pas rare de voir les joueurs servir très fort sur leur première balle, puis de se calmer sur la seconde. Est-ce pour se reposer un peu après le premier effort ou bien y-a-t-il une réelle logique derrière ?

Modélisons un peu tout ça (en reprenant une modélisation présentée par David Gale en 1971). Un joueur a un ensemble http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv01.gif de services possibles. A son premier service, il choisit le service http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv02.gif. La première difficulté est que le service soit correct (ou passe le filet pour faire simple), et on note http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv03.gif la probabilité qu’un tel service passe le filet. Si le service est passé, il a une certaine probabilité de gagner le point, que l’on notera http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv05.gif. Bien que ne connaissant pas vraiment le tennis, il n’est pas absurde de supposer qu’il y ait une forme d’arbitrage,

  • un service puissant a peu de chance de passer (http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv06.gif petit), mais s’il passe le filet le serveur sera à son avantage, et la probabilité de gagner le point sera élevée (http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv05.gif grand)
  • un service faible a de grandes chances de passer (http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv06.gif grand), mais la balle sera alors facile pour l’adversaire, et la probabilité de gagner le point sera faible (http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv05.gif petit)

A un service http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv07.gif donné, la probabilité de gagner le point (sur ce premier service) est alors http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv08.gif.

Supposons que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv01.gif soit “ordonné” au sens où http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv06.gif peut être supposée strictement croissante.
Compte tenu de la remarque que nous avions faite initialement, il n’est pas absurde de supposer que la fonction

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv09.gif

soit à valeur dans http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv10.gif, avec une fonction croissante pour http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv.gif, puis décroissante pour http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv12.gif.

Le joueur cherche à maximiser sa probabilité de gagner le point.

Mais au tennis, si le premier service ne passe pas, le serveur a le droit a une deuxième chance. Le serveur choisi alors en réalité un couple http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv15.gif correspondant à son premier et second service, respectivement. La probabilité de gagner le point, à stratégie http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv16.gif donnée, est alors

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv17.gif

On peut noter que la stratégie optimale pour la seconde balle est indépendante de ce qui a été fait pour la première. En effet, si on cherche à résoudre, à http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv18.gif donné

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la condition du premier ordre est

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisser21.gif

i.e

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Autrement dit, le second service doit être celui qui maximise sa probabilité de gagner le point, i.e. http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv23.gif.
Mais si on sait qu’il est optimal de jouer http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv23.gif, dans ce cas, pour le premier service, le joueur cherche à résoudre

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennissserv24.gif

dont la condition du premier ordre est

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv25.gif

i.e.

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv26.gif

Le point s_1 qui vérifie cette condition peut se visualiser sur la figure ci-dessous, car http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv27.gif s’interprète comme http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv28.gif, i.e. la tangente de la fonction rouge, et on veut que cette tangente soit de pente http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso3/tennisserv29.gif, qui est la pente de la courbe bleue (comme l’avait noté David Gale),

Autrement dit, il est optimal de servir plus fort la première fois que la seconde… Comme quoi finalement tout peut se démontrer avec un joli modèle…

Some stylized facts about large risk covers

A couple of weeks ago, David Cummins (here) was giving a talk in Laval University. And we’ve seen a series of extremely interesting graphs and figures about catastrophe reinsurance market, as well as Cat Bonds prices. The first one was the rate one line index for catastrophe reinsurance (the rate on line is the excess of loss premium expressed as a percentage of the reinsurance cover), from Guy Carpenter (2010, page 10 here).

Following hurricane Andrew in 1992, prices went up quite high. But following hurricane Katrina (which is, so far, the most costly insured disaster following the second World War, with a cost exceeding 70 billions US$ – 2008 $ – while Andrew was only 24 billions – again 2008 $), the bump is much smaller. I though cycles where much larger in the reinsurance industry.

Then there was a discussion about cat bond pricing, with a graph from Lane Financial (2010, page 13, here) with the ratio premium over expected loss

This is extremely interesting, even if it is only about cat bond, and not about reinsurance covers. Usually, when we introduce premium principles in actuarial courses, we start with the pure premium, i.e.

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/chargement-PP-02.gifThen we explain that with such a price, ruin probability is certain (with an infinite time horizon), so we need to add a safety margin, and a standard idea (but that can be criticized since the expected value has – usually – nothing to do with the variability) is to add a loading proportional to the pure premium. Then the premium is

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/chargement-PP-01.gifFor small risks, like motor insurance, the loading is not huge. Actually, if risks have finite variance, it can be obtained simply using the central limit theorem (but I’ll get back on that point in a couple of weeks). Here, we see that loading http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/thetaloading.gif can be large (up to 400% in 2009).

An finally an updated graph with a comparison between BB corporate bondscoupon, and BB catastrophe bonds coupon,

(I guess the source is again Morton Lane). I found surprising the recent gap (following Katrina) between the two spreads. I guess financial market started to be scared and understood that catastrophes are not that rare…. I wonder what 2008 and 2009 prices looked like.

Variable annuities is not a systemic risk ?

The Geneva Association just published on its website an interesting report on variable annuities and systemic risk (online here). Based on a definition of potentially systemically risky activities, on interconnectedness or substitutability, the report claims that since “none of the criteria is triggered”, variables annuities is “not a potentially systemically risk activity”. Even if “short-term effects are conceivable”. I guess it is a diplomatic way to say it…

Note that a series of slides can also be downloaded (there) on insurance and systemic risk. But that deserves a more detailed post.

 

… pour tout l’or du monde

Allez, un rapide billet sur l’or (moins statistique que celui écrit il y a 6 mois sur le prix de l’or, ici). Car ce soir, avec les enfants, on survolait le livre passionnant de Theodore Gray, sur les Atomes.
Et ma fille a voulu que je lui lise la page sur l’aurum de son nom latin, alias Au dans la classification des éléments. Bon, il faut avouer que les dessins d’atomes l’amusent peu, mais elle regardait plutôt les choses qui brillaient…
Et j’ai été surpris par la phrase suivante “tout l’or jamais extrait dans l’histoire des hommes tiendrait aujourd’hui dans un cube d’environ 18.30 mètres de coté”. J’avoue que ça a un peu cassé le mythe de plusieurs films américains, où on voit des montagnes de lingots, car finalement un cube de 18 mètres de côté, c’est relativement peu…
En fait, ça fait 6128.5m3. Et si on veut trouver le poids, en notant que la densité de l’or est de l’ordre de 19.25 (i.e. g/cm3), on doit arriver à un poids de l’ordre de 117973 tonnes. Ce qui fait son poids, j’en conviens… Maintenant si on regarde le cours de l’or, le lingot d’un kilogramme se négociait (aujourd’hui) à 32336 euros. Et bien selon ma calculatrice, on arrive à 3.815.1012 euros…

> 183^3*19.25*32336
[1] 3.814787e+12

ce qui correspond à 3814 milliards d’euros.

Alors pour les amateurs d’ordre de grandeur (ici), “le forex” (i.e. le trading sur les marchés de change) “c’est 4000 milliards de dollars échangés quotidiennement* en 2010”. Mais ces sommes échangées sur les marchés, c’est assez dur à appréhender. Un autre ordre de grandeur a été donné par le WWF, qui a annoncé (ici) qu’il était possible de faire “4000 milliards d’euros d’économies d’énergie par an”. Bref, tout d’un coup, je me suis rendu compte que ceux qui envisageraient un effondrement des marchés financiers et un retour à l’or comme valeur de référence étaient loin du compte…. Car décidément, l’or est un élément bien rare….
* ou tous les deux jours suivant ce que l’on compte, cf discussion dans les commentaires