Nikkei’s past experience vs. SP500 (in euros)

Following Michael’s idea (here), I wanted to go further, based on his intuition (and dataset that he kindly sent me, there). If we consider the two series of Nikkei index and SP500 index in euros, we have to following graph,

the code is simply the following (the merging function is simply here to avoid problem with different trading days: since we look at the index and not the return, it is the simplest way to deal with it).

```> library(RODBC)
> base = odbcConnectExcel(
+ "https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/spx_nky_eurusd.xls",
> series1 = sqlQuery(base,query="select * from [Tabelle1\$A2:B8837]") # SPX
> series2 = sqlQuery(base,query="select * from [Tabelle1\$D2:E8631]") # NKY
> series3 = sqlQuery(base,query="select * from [Tabelle1\$G2:H8945]") # EURUSD
> odbcCloseAll()
> series4=merge(series1,series3)
> series4\$SPEUR=series4\$SPX/series4\$EURUSD
> series5=merge(series4,series2)
> x=(as.Date(series5[,1])-as.Date("01/01/0000","%d/%m/%Y"))/365.25
> yl=range(series5[,4])
> xl=c(1975,2010)
> plot(x,series5[,4],axes=FALSE,xlab="",ylab="",type="l",
+ lwd=3,col="red",xlim=xl,ylim=yl)
> axis(1)
> axis(2, col="red")
> par(new=TRUE)
> yl=range(series5[,5])
> plot(x,series5[,5],axes=FALSE,xlab="",ylab="",type="l",
+ lwd=3,col="blue",xlim=xl,ylim=yl)
> axis(4, col="blue")
> mtext("SP500 in Euros", 2, line=2, col="red", cex=1.2)
> mtext("NKY", 4, line=2, col="blue", cex=1.2)```

Those two series series seem to have a similar pattern, so an idea can be translate the SP500 on the left,

Interesting isn’t it ? Suppose that we want to forecast (or forsee ?) the SP500 in euro for the next 10 years…

People who enjoy charts would have here a nice tool…

Those two series are extremely correlated, with a correlation of 0.9572,

```> X1=series5[2501:n,4]
> X2=series5[1:(n-2500),5]
> cor(X1,X2)
[1] 0.9572484```

But are the two series cointegrated (see here, here or therefor material on cointegration) ? Well, using standard procedure, we first have to prove that the two series are integrated. First, let us look at the autocorrelograms,

At first sight, we confirm the economic intuition that those indices should be integrated. Standard tests confirm that intuition,

```> acf(X2,lag=1000,col="light green")
> acf(X1,lag=1000,col="light green")
> library(tseries)
Augmented Dickey-Fuller Test
data:  X1
Dickey-Fuller = -1.0768, Lag order = 17, p-value = 0.9264
alternative hypothesis: stationary
Augmented Dickey-Fuller Test
data:  X2
Dickey-Fuller = -1.2905, Lag order = 17, p-value = 0.8788
alternative hypothesis: stationary```

But if we want to go further, we have to find the cointegration relationship between the two series. From an heuristic point of view, a linear regression should be a good proxy,

```> reg=lm(X1~X2)
> plot(residuals(reg))```

`> acf(residuals(reg),lag=1000,col="light green")`

```> adf.test(residuals(reg))
Augmented Dickey-Fuller Test
data:  residuals(reg)
Dickey-Fuller = -5.176, Lag order = 17, p-value = 0.01
alternative hypothesis: stationary
Message d'avis :
In adf.test(residuals(reg)) : p-value smaller than printed p-value
> pp.test(residuals(reg))
Phillips-Perron Unit Root Test
data:  residuals(reg)
Dickey-Fuller Z(alpha) = -46.9775, Truncation lag parameter = 11,
p-value = 0.01
alternative hypothesis: stationary
Message d'avis :
In pp.test(residuals(reg)) : p-value smaller than printed p-value```

When we look at the autocorrelation function, it looks like we do have a stationary series.
This idea is – more or less – the idea of Engle-Granger two step procedure. But actually, we can not directly use Dickey-Fuller’s test to see if residuals are integrated. This was proved in Phillips and Ouliaris (1990), who also proposed a test (see e.g. here),

```> library(tseries); po.test(cbind(X1,X2))
Phillips-Ouliaris Cointegration Test
data:  cbind(X1, X2)
Phillips-Ouliaris demeaned = -53.1766, Truncation lag parameter = 57,
p-value = 0.01
Message d'avis :
In po.test(cbind(X1, X2)) : p-value smaller than printed p-value
Another similar function can be found in R
> library(urca)
> summary(ca.po(cbind(X1,X2)))
########################################
# Phillips and Ouliaris Unit Root Test #
########################################
Test of type Pu
detrending of series none
Call:
lm(formula = z[, 1] ~ z[, -1] - 1)
Value of test-statistic is: 45.2032
Critical values of Pu are:
10pct    5pct    1pct
critical values 20.3933 25.9711 38.3413```

Thus, we has to admit that those series are cointegrated.

Based on that idea, it is possible to model the stationary component, and forecast it for the next ten years, based on the assumption that we know the behavior of one time series. Hence, if we add the confidence interval due to the stationary component uncertainty, we have the following graph,

Of course, again, only uncertainty related to the stationary process is considered here….

Julien Prévieux, ou repenser l’économie

La période est aux pronostics de tous les économistes (pour l’année, voire la décennie 2010), et parfois une relecture de citations passées du style “mais je vous l’avais bien dit“. J’ai une passion pour les personnes qui arrivent à se relire eux-mêmes (en se trouvant d’ailleurs très éclairants).
Histoire de dire du bien de quelqu’un qui fait un travail admirable, j’ai rencontré avant les vacances – en vue de préparer la prochaine biennale d’art contemporain de Rennes – Julien Prévieux (ici pour son site). Julien s’est fait connaître il y a quelques années avec ses lettres de non motivation (dont on trouvera des extraits ), et il m’a fait découvrir des choses incroyables lors de nos discussions. Comme le fait que certains fabricants d’écrans tactiles déposaient des brevets sur les mouvements des doigts,

Mais surtout, Julien s’est amusé à utiliser le “code de la bible” (ici, qu’il doit être possible de voir comme la version textuelle de l’analyse chartiste pour les financiers) pour relire les grands économistes classiques. On y retrouve ainsi la crise de 1929 annoncé par Karl Marx,

ou encore le scandale Enron

Mais je pense que je referais des billets sur le travail que Julien qui apporte un regarde incroyablement neuf, pertinent et drôle sur l’économie !

Optimal control, part 1

Since I had recently a request (from Benoît) about optimal control, I will start here a series of posts on that topic. But first, let us start with a simple problem, with discrete timeno randomness, and with a finite horizon. This might be a too simple framework to model complex problem, but that should be interesting to derive heuristic intuitions (I will skip here the mathematical problems, that can be found in very good books… references will come soon).

• An introduction to backward induction

Before starting seriously, let us consider the following example: we want to reach the red city on the right from the red city on the left, as fast as possible. There are some roads, and the number is the number of hours it takes. Let us prove that the optimal way is the red one,

The first idea can be to calculate all possible trajectories, but with a large number of roads, the number of possible ways can soon be extremely large. An alternative can be to look backwards (like any students facing a question where the answer is given: start from the end, and try to find a possible way to reach it).

Numbers are greens are the number of hours that we still need one we’ve reached that point. Let us move again one step backward, and consider the orange points,

In the middle, we had to chose either to go up (it will still take 9 hours) or go down (and then 14 hours are necessary). Thus, the optimal strategy, once we’ve reach that point, it to take the 9 hour road. This will be idea the idea proposed by Bellman. Let us go backward again, to the purple cities. Again, we have to chose the shorter way,

From the top, the fastest road will take 13 hours, and from the bottom, it will take 16 hours. Thus, since it takes 10 hours to reach the top city, this road is necessarily faster than taking the one below (since it takes 8 hours to reach the nearest city).
Any this is it. We now have an intuitive idea of what should be done to find optimal strategies.

• The optimization problem, discrete with finite horizon

Let us consider the following optimization problem: we want to find the optimal strategy that maximizes the following function

with simple constraints, such as  (a state space) and  (i.e. some dynamic constraints). Assume further that the starting point is given, i.e.
. In economic application, note that frequently i.e. we consider a discounted version of the value.

• The idea of dynamic programming

The intuitive idea of dynamic programming is that if the optimal path from A to C goes throught B, then the path is optimal from B to C. Thus, it will be natural to consider backward induction techniques.
Thus, define

Then Bellman’s principle can be used to link those problems: if  is a solution of the problem then, for all
,  is a solution of problem .
Note that, so far, we assume that such an optimal sequence does exist. Thus, we get that for all x

and more generally,

He
nce, from a practical point of view, we solve those equation using a backward approch. I.e. first,

and then

and so on

… etc. It can be proved that the sequence  is solution of  if and only if for all ,
is solution of

So far, it does not look so difficult….

• A simple example

Let   denote the consumption at period t, and assume consumption yields utility

as long as the consumer lives. Assume the consumer is impatient, or has a stronger preference for present, so that he discounts future utility by a factor . Let  be capital he got at time t. Assume that his initial capital is a given amount , and suppose that this period’s capital and consumption determine next period’s capital as

where is a positive constant and . Assume further that capital cannot be negative. Then the consumer’s problem is simply

given . Bellman’s equation is then

whih leads us to a simplier problem than the initial one, since only two variables are involved here  and . And to solve that problem, we use backwards induction techniques.
Since  is known, we can derive easily ,  and so on until . More precisely, given , we can get  which is the maximum of function

with . One can see that the following function is a possible solution

where each  is a constant. Further, the optimal amount to consume at time  is

i.e., if we explicit those expressions

…etc.

• A reformulation of the optimisation problem

Another way of expressing the optimization problem is the following:  was the variable of interest,  was the control variable, and . Thus, the programm

can be expressed as

Several extension can be considered,

• consider an infinite sum
• consider a random component
• consider a continuous version

But those items will be for posts that I still have to write down….

Quand il est optimal de ne rien faire…

Tous les bloggers d’économie se sentent régulièrement obligés de parler de ce film culte… et je n’y couperais par aujourd’hui.
Ce week end, en sortant de l’exposition sur les mammouths à Rennes avec mon fils, on est passé à la fête de la science, voir si on pouvait faire quelques casses têtes à un stand tenu par des collègues de Beaulieu. Et là, un petit problème de théorie des jeux m’a été soumis, et je ne pouvais pas passer à côté de l’occasion (surtout quand on connaît la morale) d’en parler ici.
Tout le monde connaît la scène du “duel à trois” où le bon, la brute et le truand se font face… Pour les besoin du jeu, on va faire quelques hypothèses (c’est le principe de base d’un jeu: il faut une règle),

• tout d’abord, on suppose que l’ordre dans lequel ils tirent a été fixé (et qu’ils vont s’y tenir, sans tricher (même Tuco): le bon, puis le truand, et enfin la brute,
• ils peuvent tirer (et doivent tirer) tant qu’ils ont des balles, et tant qu’ils sont en vie, le jeu s’arrêtant quand plus personne n’a de balle, ou qu’il n’y a qu’un survivant1
• on connaît les probabilités que chacun rate sa cible:  le bon (alias Blondin) est un peu nul (oui, il faut un peu d’imagination) car il a 1 chance sur 3 d’atteindre sa cible; le truand (Tuco) est un peu moins mauvais car il a 1 chance sur 2; enfin la brute (Sentenza) est super fort car il ne rate jamais sa cible.
• ah oui, et les personnages ne sont pas rancuniers… ce n’est pas parce que quelqu’un nous tire dessus qu’on voudra se venger quand ça sera notre tour (et si on a la chance d’être en vie)

..La question est simple “que doit faire Clint, alias Blondin ?“. Raisonnons simplement en étudiant les scénarios,

• s’il tire sur Tuco, il a 1 chance sur 3 de le tuer. S’il est chanceux, il le tue. Alors on retrouve avec un duel entre la brute et le bon. Et comme c’est à la brute de tirer et qu’il ne rate jamais son coup… ce n’est pas franchement malin,
• s’il tire sur la brute, supposons qu’il le tue. Alors c’est au truand de tirer, et il a 1 chance sur 2 de gagner le dual, alors que le bon a 1 chance sur 3… Bref, les probas ne sont pas franchement en sa faveur…

mais on a regarder ce qui se passait si, par malheur, Blondin tuait quelqu’un… peut être devrait on se demander ce qu’il se passait s’il rate son coup

• dans ce cas, peu importe qui a été visé car personne n’est rancunier. Dans ce cas, c’est à Tuco de tirer.S’il tire sur Clint, et qu’il le tue, ça sera à la brute de tirer, et alors il n’a aucune chance de s’en sortir vivant. Il est donc impératif que Tuco tire sur Sentenza.
• si Tuco rate son coup, alors la brute a tout intérêt à tuer d’abord le truand. En effet, il risque plus de mourir s’il laisse le truand en vie que la brute. Donc, le truand meurt car Sentenza est super fort….
• Moralité, après un tour, c’est au bon de tirer, il ne peut que tirer sur la brute et espérer réussir son coup. Sinon, c’en est fait de lui…

Bref, en ratant son premier tir, il augmente ses chances de gagner…. je laisse les personnes intéressées faire les maths, mais ce petite exemple montre clairement que, dans la vie, il est parfois optimal de ne rien faire !
1 a priori on peut supposer aussi un jeu à la roulette russe, avec une balle chacun, qui doit arriver à la même conclusion…

Jeu de mains, jeu de malins ?

Ce week-end – merci à Serge qui m’a raconté cette histoire – beaucoup de mes illusions de jeunesse se sont envolées…. Mais gardons un peu de suspens pour que mes lecteurs lisent le billet en entier….

• Pierre, ciseaux ou feuille

Le jeu “pierre, ciseaux, feuille” semble être né en Chine (soit sous le joli nom 五雜俎, alias wuzazu, datant de la fin de période Ming, soit 手勢令 i.e.shoushiling) ou au Japon (soit sous la forme 一二三 , i.e. Hi-fu-mu, c’est à dire un, deux, trois,soit じゃんけんぽん ou plus simplement じゃんけん, alias janken  , lui même basé sur deux anciens jeux, 数拳 – su ken – et 三すくみ拳 -saan sukumi ken). Pour rappel, la pierre (ぐう) bat les ciseaux (ちょき) qui bat à la feuille (ぱあ) qui à son tour bat la pierre. Bref, ce jeux vient d’orient !
Pour preuve, en avril 2005, Takashi Hashiyama, alors président de Maspro Denkoh Corporation, une entreprise d’électronique située à Nagoya, au Japon, n’arrivait pas à savoir chez qui (entre Christie’s et Sotheby’s) il allait vendre sa collection d’art (estimée à plus de 20 millions de dollars). N’arrivant pas à choisir, le choix s’est fait par “pierre, ciseaux, feuille” (ici).

• Le théorème min-max

Pour comprendre ce jeu, il faut revenir un peu sur des résultats classiques de théorie des jeux. La matrice de gain pour le joueur X est ici

 GAINS X joue « pierre » X joue « feuille » X joue « ciseaux » Y joue « pierre » 0 1 -1 Y joue « feuille » -1 0 1 Y joue « ciseaux » 1 -1 0

et de manière symétrique, on peut définir la matrice de gain pour le joueur Y. Notons que l’on suppose ici un “jeu à somme nulle” (i.e. ce que perd X,  Y le gagne, et réciproquement). Cette seconde matrice de gains est alors l’opposé de celle-ci.
La stratégie de base du jeu a été énoncée par Italo Calvino sous la forme suivante, “tu sais que ce que tu peux espérer de mieux est d’éviter le pire”.
Intuitivement, supposons que X souhaite jouer “pierre” on peut penser que Y reconstitue les anticipations de X, et donc joue “feuille”, mais à son tour X doit modifier ses anticipations et donc jouer “ciseaux”, plutôt que “feuille”, etc. Bref, rien ne se stabilise et aucune stratégie pure ne s’impose.
Mais s’il n’y a pas de stratégie pure, tentons des stratégies mixtes, i.e. choisissons intelligemment une mesure de probabilités sur l’ensemble des stratégies pures. En pratique, on jouera alors aléatoirement, en pondérant chaque tirage suivant la mesure de probas choisie. Une stratégie mixte (pour X) est alors caractérisée par un vecteur du simplexe,

La  stratégie mixte

consiste à décider au  hasard quel coup on jouera avec équiprobabilité.
Formellement, notons que le tirage équiprobable – par les deux joueurs – est un équilibre de Nash. En effet, si A désigne la matrice de gain pour X (on est sur des jeux à somme nulle), John von Neumann a montré ce que l’on appelle aujourd’hui le théorème du minimax (en fait, Emile Borel avait également obtenu ce résultat) en 1926, sous la forme suivante: il y a un équilibre de Nash associé à A si et seulement si

L’intuition est assez évidente (mais la preuve de ce théorème du point fixe est un peu technique):  est un équilibre de Nash si aucun des jours n’a intérêt de dévier dans sa stratégie, i.e.

et

On recherche alors un point selle dans la matrice des gains.
Dans le cas de notre jeu de “pierre, ciseaux, feuille“, notons que si

alors  , et on note que   ainsi que . Aussi, pour toute  stratégie mixte,

et de même

Bref, cette stratégie est une équilibre de Nash.

• Pierre, ciseaux, feuille, ou comment trouver une stratégie

Bref, comme on vient de le noter, la meilleure stratégie à adopter quand on jour à “pierre, caillou, feuille” c’est de ne pas avoir de stratégie… ce qui revient à dire que l’issue du jeu est purement aléatoire. Pour Kenneth Binmore (ici) la méthode du minimax consiste à dire que face à un “bon” joueur, il n’y a rien de mieux à faire de que choisir la stratégie mixte du théorème de von Neumann.
Bon, si on réfléchit deux minutes, on sait qu’on ne joue pas une fois à ce jeux, mais que l’on répète le jeux quelques fois (avant de se lasser). C’est ce qu’a décrit Julia Robinson en 1950. L’idée était d’avoir une approche que l’on peut qualifier de bayésienne, consistant à utiliser pour la stratégie de l’adversaire les probabilités observées.

• Un champion du monde de “pierre, ciseaux, feuille” ?

Maintenant que j’ai fini avec les rappels de théorie, revenons à la discussion de samedi soir…. J’ai appris qu’il existait un champion du monde de “pierre, ciseaux, feuille” ! Serge prétendait – samedi soir – qu’un joueur avait été vainqueur deux années de suite (ce qui m’a vraiment fait douté sur le côté aléatoire du jeu… malheureusement pour mon histoire, ce n’est qu’une légende, car les champions du monde entre 2002 et 2008 ont été Peter Lovering, Rob Krueger, Lee Rammage, Andrew Bergel, Bob Cooper, Andrea Farina et Monica Martinez).
Comment peut-il y avoir un champion du monde à un jeu qui repose exclusivement sur du hasard ? C’est comme si on inventait un champion du monde de lancer de pièces (ou de dés), qui serait récompensé pour sa régularité1 !
En creusant un peu, j’ai aussi découvert qu’il existait un livre qui apprend à gagner au jeu (je ne l’ai encore lu, mais promis, si la BU le commande, je le dévorerais et ferais un compte rendu détaillé ici même).

Primes, joker et mathématiques financières

Lors du dîner de gala des JEEA jeudi soir, Mohamed m’a posé une question intéressante, et je lui ai promis un billet (ou plutôt deux car son problème est compliqué, et je ne connais la solution qu’à une version simple). Le problème est le suivant: un gros assureur à trois lettres souhaite encourager les agents commerciaux par une prime. On leur donne un joker, et durant une période d’un mois, ils concluent des affaires nouvelles. Ils ont la possibilité de toucher une fois (et un seule) une prime (en utilisant leur joker) qui sera proportionnelle au montant de l’affaire signée. Quelle est la stratégie optimale pour utiliser leur joker ?. Une question plus courte pour résumer cette optimalité: le deuxième jour, un gros contrat (aux yeux du vendeur) est signé: faut-il utiliser son joker ou vaut-il mieux attendre un peu ? Bon, le vrai problème est qu’ils ont 5 jokers, et qu’ils peuvent les utiliser en une seule fois, ou en plusieurs…. Avant de réfléchir à cette histoire de 5 jokers, regardons un peu avec un….

• Formalisation du problème…

Faisons quelques hypothèses forcément simplificatrices… On suppose que chaque jour, un contrat est signé, et que les montant des contrats sont indépendants et identiquement distribués (on ne fait pas de plus gros deal en début de mois). Soit le montant de la prime associée à la kième affaire (si on utilisait le joker). Il faut alors arbitrer, chaque jour k, entre

• toucher
• ne pas toucher la prime, et espérer que l’on touchera davantage plus tard.

Notons la valeur du joker à la date k. Alors

Aussi

soit

On sait aussi que (le dernier jour, si on a le joker, on l’utilise). Autrement dit, on devrait  y arriver par induction backward… Et la résolution dépend de la loi des montants des affaires.

• si F est uniforme sur [0,100]

Dans ce cas, l’équation se simplifie. Si ,

et

soit

On peut visualiser cette fonction sur le graphique suivant, en fonction du temps

Autrement dit, on se fixe une stratégie a priori, et on s’y tient ! Sur la simulation suivant, on utilise son joker dès le 4ème jour,

Bon, je suis nul en calculs, mais en faisant du monte carlo, on en déduit la loi de la date optimale d’exercice,

ainsi que le gain espéré (ce qui permettra à Mohamed de se couvrir).

Notons que l’espérance de la date d’exercice est environ le 12ème jour, et le montant moyen est de 95 (contre 50 en exerçant le dernier jour).

• si on change de loi, une loi exponentielle ?

Je pense qu’on peut faire des calculs fermés…. mais je suis un peu paresseux…. on obtient la courbe suivante

La distribution de la date optimale donne

et pour le montant empoché

Dans ce cas, on exerce en moyenne au bout de 17 jours, pour un gain moyen de 174.

• L’exercice d’options américaines

Damned, mais tout ça correspond au problème de valorisation des options américaines (ou plutôt Bermudéennes car le temps est discret). Les options dites bermudéennes peuvent être exercée à un ensemble prédéterminé de dates

L’idée de la valorisation est simple: à chaque date, le détenteur de l’option a en effet de choix,

• exercer son option et en retirer un payoff
• conserver son option, de telle sorte que son option vaut  en

Si on note  le facteur d’actualisation entre les dates  et , on en déduit que la valeur en  de l’option peut s’écrire

est la filtration naturelle, et  est une probabilité risque neutre, sous laquelle la valeur actualisée de l’actif est une martingale, i.e.

Je renvoie à mes notes de cours de méthodes numériques en finance (ici) mais en utilisant les arbres binomiaux, on peut valoriser un put américain, par exemple,

Quand faut-il acheter son billet d’avion ?

Lors de l’organisation des JEEA (ici), la principale incertitude était non pas le nombre de participants (qui n’a cessé d’augmenter jusqu’à ce qu’on se décide à clôturer, et finalement les prévisions faites il y a un mois, lorsque l’on a contacté les traiteurs pour les plateaux repas du midi se sont avérées très précises), mais les remboursements de frais de transports1.

Pour laisser toute souplesse aux intervenants, je leur avais laissé acheter eux-même leurs billets pour venir sur Rennes, sans aucune précision sur le mode de transport. Pour le train, les prix sont assez stables, mais j’avais très peur pour les personnes qui venaient en avion, qu’elles s’y soient prises trop tôt, ou trop tard et que le prix soit très élevé. Bref, comme à chaque fois que je dois acheter un billet d’avion, je me pose la même question: “existe-t-il une date optimale pour acheter ton billet d’avion en ligne ?”.

• Une petite étude sur 6000 vols (domestiques) américains

Benny Mantin a fait une étude semblable, en regardant sur la période de 3 mois précédant le départ (ou 90 jours pour être précis) un millier de vols (au sens origine-destination), chaque vol étant considéré à 6 dates différentes (6 mercredis consécutifs).
Par exemple pour un vol. ABQ-BOS (Albuquerque-Boston), on a les six évolutions de prix suivantes,

(on peut visualiser une prédiction par régression locale, en rouge). Si l’on prend comme prix de départ comme référence (base 100), on observe les évolutions suivantes sur les 200 premiers vols,

Vu de loin, on semble observer une réelle tendance avec un optimum à 30 jours du départ. Si on change la fenêtre de la régression locale, on obtient des résultats assez similaires,

pour un lissage beaucoup plus fin,

• Quelle est alors la date optimale ?

On peut d’ailleurs regarder la distribution de la date optimale de départ (sur la régression lowess). On note que la date optimale semble être 1 mois avant le départ,

Si on prend une fenêtre de lissage beaucoup plus fine, on observe la distribution suivante pour la date où le minimum est atteint,

Si on regarde quand est obtenu le minimum sur la base brute (ou plutôt le moment où est atteint le minimum pour la première fois, car le prix est parfois constant deux jours consécutifs), et non pas sur les données lissées, on obtient la distribution suivante,

Si on fait la même chose sur le moment où le minimum est atteint pour la dernière fois, on a

Ces deux graphiques sont beaucoup plus difficile à lire, car les données brutes sont beaucoup plus ératiques que la prédiction par régression locale.

• Quid de la volatilité des prix ?

Bon, c’est bien tout de voir qu’il est optimal d’attendre un mois avant le départ pour avoir un prix en moyenne plus bas. Mais c’est aussi la période où les prix sont les plus volatiles…. Par exemple sur le premier vol que nous avons étudié, si on normalise le prix en base 100 (comme dans la  partie précédante) on obtient une volatilité de la forme suivante, qui augmente au fur et à mesure que l’on se rapproche de la date de départ.

Pour une personne qui ne cherche pas le meilleur prix en moyenne, mais qui cherche à éviter que le prix soit trop élevé, on peut regarder par exemple une régression quantile. La courbe en rouge ici présente le quantile à 90% du prix du billet d’avion.

Comme précédement, on peut chercher la date optimale pour que le prix – en tant que quantile et pas en tant que prix moyen – soit le plus bas possible,

Notons que l’on a chercher une régression quantile sous une forme polynomiale (ici un polynôme de degré 5). Si on utilise un polynôme de degré plus faible (par exemple 4), la distribution du maximum – sur la courbe lissée – change un peu, mais finalement pas tant que ça….

Ce qui  confirmerait la robustesse de nos conclusions…

• est-il pertinant de commander ses billets depuis le bureau ?

Un dernier point avant de cloturer ce billet. Sur les graphiques suivant, on s’intéresse aux variations du prix du billet d’avion d’un jour sur l’autre (aux log-rendements). On s’intéresse là encore au premier vol, ABQ-BOS, avec les zones bleues correspondant aux week-end,

La courbe en rouge est une régression locale afin de visualiser une éventuelle tendance, avec un voisinage fin afin de prendre en compte les cycles hebdomadaires. Ce qui est intéressant, c’est que les plus grandes variations ont lieu en dehors des week-end, avec en particulier des baisses de prix en début de semaines, et de hausse de prix juste avant les week-end,

Afin de mieux visualiser ces centaines de courbes brutalement superposées, on  peut plutôt superposer les tendances lissées,

Cette impression d’avoir des baisses les lundi et des hausses le vendredi est confirmé sur ce graphique. On peut aussi regarder brutalement la moyenne des log-rendement en fonction du jour,

On peut aussi étudier la volatilité brute, en chacun des jours,

On note que les prix sont relativement calmes le week end, et que généralement, ils ont tendance à baisser le lundi…. moralité, mieux vaut attendre de revenir au bureau pour commander son billet… Bon bien sûr, il faut habiter aux Etats-Unis….
1 un parti pris était de faire une conférence gratuite, en fournissant des repas le midi pour tous les participants. En contrepartie, la conférence avait obtenu des subventions de la chaire AXA grands risques, et de différentes entités locales (ville de Rennes, Rennes métropoles, conseils général et régional). Mais nous ne souhaitions pas trop solliciter le CREM (le labo de la faculté de sciences économiques). Bref, nous avions une limite dans notre budget, et avec une centaine de participants, nous ignorions réellement quelle souplesse nous avions….

Représentation de l’équilibre de Stackelberg

On considère deux entreprises avec des fonctions de coût

et

La demande total des consommateurs se traduit par une fonction de
demande inverse

où  .

Bref, le profit de l’entreprise 1 est alors

soit

et on a une expression similaire pour l’entreprise 2. La courbe d’isoprofit pour l’entreprise 1 est

Si on recherche l’équilibre de Cournot, chaque entreprise va essayer de maximiser son profit, i.e. pour l’entreprise 1, on cherche

La condition du premier ordre donne

soit

On parle alors de fonction de réaction. Pareil, on obtient

en maximisant le profit de l’entreprise 2. L’équilibre de Cournot est le point d’intersection des deux fonctions de réaction, mais on peut aussi y voir une recherche de point fixe, i.e. on veut que

et

Bref, en l’occurence, le point d’équilibre est obtenu en résolvant

(avec une équation similaire en ).
Pour l’équilibre de Stackelberg, on suppose par exemple que la firme 1 domine l’autre: elle va chercher à maximiser son profit en supposant que l’autre prenne une décision suivant sa fonction de réaction.Elle va donc chercher

L’interprétation graphique est la suivante. Traçons les courbes d’isoprofit de l’entreprise 1 (en vert), soit

L’équilibbre est forcément sur la fonction de réponse de l’entreprise 2, c’est à dire la courbe rouge. L’aire jaune signifie qu’il est possible d’améliorer le profit de l’entreprise 1 (plus la courbe verte est base, plus grand est le profit). La courbe orange est alors l’ensemble des points accessibles par 1, qui correspondent à une réponse de 2. Aussi, l’équilibre se Stackelberg (le point mauvesur le graphique ci-dessous) appartient à cette courbe. Il suffit de trouver le point correspondant au profil maximal de l’entreprise 1 (ce que l’on voit lorsque les courbe verte se déplacent vers le bas).

Aussi, l’équilibre de Stackelberg est obtenu en cherchant le point de tangence entre une courbe d’isoprofit de la firme 1 (c’est le programme de la première firme qui veut maximiser son profit) et la courbe de réponse (l’entreprise 2 se contenant de répondre à la production de l’entreprise dominante).

Optimum de Pareto

Les exercices de la PC8 sont en ligne ici et (merci à Yukio pour la dernière feuille), et ceux de la PC9 ici.

• Définition de l’optimalité au sens de Pareto

Tout d’abord, pour la petite histoire, Wilfredo Pareto (1848-1923) a pris la suite de Walras à la chaire d’économie politique à l’Université de Lausanne quand celui-ci est parti à la retraite. C’est dans son « Manuel d’économie politique » que se trouve son apport décisif sur l’optimum économique. D’abord, en passant de l’hypothèse walrasienne de cardinalité à celle d’ordinalité des préférences et de l’utilité, ce qui l’amène à privilégier la notion de courbes d’indifférence qu’il emprunte aux travaux d’Edgeworth. Ensuite, et surtout, il va introduire un critère de définition de l’optimum économique.
Le critère d’optimalité paretienne est proche de la conception utilitariste de la justice sociale héritée de John Bentham (et donc dans l’individualisme): une allocation Pareto-optimale est nécessairement « individuellement rationnelle » en ce sens que chaque agent la préfère à sa dotation initiale. Or, une allocation individuellement rationnelle n’est pas toujours « équitable » en ce sens qu’un agent au moins peut avoir envie d’une allocation obtenue par un autre agent. Pour dépasser les limites du critère paretien, d’autres conceptions de l’équité que l’utilitarisme ont été introduite, que ce soit la conception libertarienne (avec von Mises, Hayek et Nozick) ou la conception libérale-égalitaire (avec en particulier Rawls et Sen). Pour reprendre la terminologie de Gérard Debreu (1966) un optimum est  « un état réalisable auquel n’est préféré aucun état réalisable ». Connaissant (décrétant) l’optimum , le marché doit déterminer l’équilibre général correspondant. Elle doit donc trouver les prix relatifs “fictifs” ou “prix ombres” comme certains les ont appelés.
D’un point de vue quantitatif, l’utilité d’un individu X doit être est maximale sous contrainte que celle de Y doit rester supérieure à un niveau donné. Supposons que les deux consommateurs consomment deux biens, notés (1) et (2),

sous contraintes

où  et  désignent les quantités des deux biens qui sont disponibles, respectivement. Classiquement, on résout ce programme d’optimisation à l’aide du lagrangien

les conditions du premier ordre donnent

On en déduit alors simple que

ce qui correspond à une égalité des TMS à l’équilibre.
Formellement, on retombe sur des équations semblables en considérant le programme d’optimisation suivant

Le point optimal est obtenu à l’aide du diagramme d’Edgeworth (je peux renvoyer ici pour des slides d’Abdul Noury expliquant simplement la construction, et la lecture, de ce diagramme). Sur le dessin ci-dessous, on la région verte est l’ensemble des allocations pour lesquelles on augmente à la fois l’utilité de X et de Y,

Le théorème de bien être nous garantie que tout optimum de Pareto dans l’espace des répartitions des biens est atteignable en situation de concurrence pure est parfaite moyennant une redistribution forfaitaire des dotations initiales. En fait, tout se passe comme si les deux consommateurs étaient face l’un à l’autre pour négocier des échanges de bien (1) contre bien (2) et réciproquement, dans le but d’améliorer leur bien-être.
Le TMS représente le prix « psychologique » d’échange entre (1) et  (2) pour le consommateur considéré, c’est-à-dire la quantité maximum de (2) qu’un agent accepte de céder pour avoir une quantité infinitésimale supplémentaire de (1). Le TMS correspond à un prix psychologique limite. On arrive finalement à la conclusion qu’un état optimal doit être un état réalisable (avec saturation des contraintes, i.e. pour chaque bien, la somme des quantités allouées aux deux consommateurs doit être égale à sa quantité totale disponible) et cet état doit être efficient, en vérifiant l’égalisation des TMS pour les deux consommateurs.

• Optimalité au sens de Pareto à la cantine

Lorsque j’étais élève à l’ensae, je ne sais plus quel prof nous avait illustré l’optimalité au sens de Pareto à partir du passage à la cantine de l’insee… Quand on va chercher de l’eau à la fontaine à eau, il y a deux arrivées d’eau, mais qui se fournissent à la même source. Autrement dit, si deux personnes se servent en même temps, le débit est deux fois plus faible que si une seule personne se sert. De mémoire, si on est seul à prendre de l’eau, il faut environ 30 secondes pour remplir un pichet. Supposons que j’arrive à la fontaine à eau, et que quelqu’un soit en train de servir depuis 10 secondes. Deux possibilités s’offrent à moi,

• commencer à me servir dès que j’arrive: la première personne a fini de se servir au bout de 40 secondes, et 50 secondes pour moi
• attendre que la personne qui se sert ait fini: la première personne a fini de se servir au bout de 20 secondes, et moi 50 secondes

Bon, le raisonnement n’a de sens que si personne ne vient entre temps se servir sur l’autre fontaine (ou alors qu’au moins elle tienne le même raisonnement que moi, c’est à dire qu’elle attende que j’ai fini avant de se servir).

Si je compara les deux situations, on voit que le second cas permet à l’autre personne d’améliorer strictement la situation. Autrement dit l’optimum de Pareto est d’attendre que l’autre personne se soit servi avant de se servir.

Propriétés des estimateurs dans une régression

Comme les rappels (je devrais plutôt dire “remise à niveau“) ont été particulièrement rapides, je vais prendre un peu de temps pour revenir sur quelques éléments du cours d’économétrie (d’autant plus que j’ai reçu quelques questions par mail).

• sur le calcul des estimateurs

Je vais reprendre les questions que j’ai reçu, ça sera plus simple, “je comprend pas très bien quelle méthode utilise l’opération lm(Y~X…..) sur R pour trouver les coef” ou encore “je regresse un modèle simple, je sors le summary, et j’obtiens un betaREG 3 étoiles. Toujours sur R, je compare ce betaREG avec le betaCalc = (X’X)-1 * X’Y, il est différent ! Comment expliquer cela ? Est-ce possible ?“.
Commençons par la première question: la fonction lm() utilise la méthode dite des moindres carrés, ce qui revient à calculer

en adoptant une écriture matricielle, i.e. la solution est alors

Cet estimateur est celui qui minimise la somme des carrés des erreurs. Et on peut vérifier numériquement que cet estimateur est bien celui calculé par R,

```>data(cars)
>X=cbind(rep(1,nrow(cars)),cars\$speed); Y=cars\$dist
> X[1:5,]
[,1] [,2]
[1,]    1    4
[2,]    1    4
[3,]    1    7
[4,]    1    7
[5,]    1    8
> solve(t(X)%*%X)
[,1]         [,2]
[1,]  0.19310949 -0.011240876
[2,] -0.01124088  0.000729927
> t(X)%*%Y
[,1]
[1,]  2149
[2,] 38482
> (solve(t(X)%*%X))%*%(t(X)%*%Y)
[,1]
[1,] -17.579095
[2,]   3.932409```

ce qui correspond très précisément à ce que calcule la fonction de R

```> lm(dist~speed,cars)
Coefficients:
(Intercept)        speed
-17.579        3.932```

Et on peut aussi vérifier qu’il minimise bien la somme des carrés des erreurs,

```> b0=seq(-30,10,by=3);
> b1=seq(1,7,by=.5)
> SC=matrix(NA,length(b0),length(b1))
> for(i in 1:length(b0)){
> for(j in 1:length(b1)){
+ SC[i,j]=sum((cars\$dist-(b0[i]+b1[j]*cars\$speed))^2)
}}
> contour(b0,b1,SC)```

et je peux certifier que la valeur obtenue est bien le minimum de cette fonction (en fait c’est un résultat théorique d’optimisation).
Ca se généralise bien entendu en dimension plus grande. Alors attention, cette formule permet de calculer un estimateur du vecteur des paramètres, mais la formule est bien sûre fausse si on raisonne composante par composante.

```> X=cars\$speed; Y=cars\$dist
> (solve(t(X)%*%X))%*%(t(X)%*%Y)
[,1]
[1,] 2.909132```

Mais ça c’est un résultat (trivial) d’algèbre linéaire. En effet, le fait d’avoir

ne signifie pas que l’on ait ce genre de formule composante par composante, i.e.

Dit de manière un peu formelle, le produit matriciel n’est pas un produit terme à terme. La traduction économétrique de cette idée est qu’une régression multiple n’est pas une succession de régressions simples. En effet, dans l’équation précédante, le dernier terme correspond à la régression sans la constante, comme on peut le voir ci-dessous

```> lm(dist~0+speed,cars)
Coefficients:
speed
2.909```

et le premier est tout simplement la moyenne empirique,

```> lm(dist~1,cars)
Coefficients:
(Intercept)
42.98
> mean(cars\$dist)
[1] 42.98
> X=rep(1,nrow(cars)); Y=cars\$dist
> (solve(t(X)%*%X))%*%(t(X)%*%Y)
[,1]
[1,] 42.98```
• sur les propriétés des estimateurs

Une question était “doit-on vérifier les propriétés de l’estimateur (sans biais, efficace etc…) du summary de la Reg ? pour chaque régression ?
Bon, la réponse est non car c’est impossible ! Pour répéter tranquillement ce que j’avais dit plusieurs fois oralement: quand on fait un modèle (théorique), on part d’hypothèses (par exemple ici les résidus sont centrées, de variance constante). Sous ces hypothèses on a des propriétés: ce sont des théorèmes, autrement dit de la théorie. Le plus connu étant le théorème de Gauss-Markov sur le modèle linéaire, qui garantie que l’estimateur par moindre carré est BLUE (best linear unbiased estimator).
Autrement dit (si je retraduit ce que dit ce théorème), si les hypothèses sont valides, alors la théorie nous garantie que les estimateurs vérifient des propriétés, dont celle d’être sans biais, par exemple.
On ne
peut pas
vérifier qu’un estimateur est sans biais, on peut juste vérifier ex post que les hypothèses sont valides (ou non), ce qui garantit (ou pas) l’absence de biais.
Mais comme on va le voir par la suite, le biais ce n’est pas forcément gênant, ce qui est important, c’est surtout la convergence. Comme le notait Clive Granger  “if you can’t even get a consistant estimator, you shouldn’t be in this business“.

• et sur des points plus théoriques

sinon la personne qui avait des soucis numériques à calculer les coefficients me demandait si cela avait un “rapport avec les plim X’E/n et plim (X’X)-1/ n“.
Pour revenir sur ce point, une hypothèse forte dans le modèle linéaire (de base) est que le bruit soit soit un vrai bruit, c’est à dire non corrélé avec la variable explicative, i.e.

En effet, sinon

autrement dit l’estimateur par moindre carré est biasé. La solution la plus naturelle pour éviter ce “problème” est d’utiliser un instrument (ou une variable instrumentale).
Mais surtout, sur cet exemple, on voit qu’on ne pourra avoir la convergence de notre estimateur par moindres carrés que si la corrélation entre le bruit et la variable explicative tend vers 0 asymptotiquement.
Il existe en effet une différence fondamentale entre le biais et la consistance (ou la convergence vers la vraie valeur).

• un estimateur sans biais est généralement convergent (et de manière consistante)
• un estimateur biaisé peut ne pas converger

Prenons un petit exemple pour illustrer ces points. On supposera n1 < n2 < n3par la suite. Comme je l’ai expliqué auparavant, la distribution de l’estimateur est une propriété théorique qui ne peut se voir sur un jeu de données (à moins de faire des simulations mais ça sort du cadre de mon billet d’aujourd’hui). La figure ci-dessous correspond au cas sans biais, et convergent

La figure ci-dessous correspond au cas biaisé, mais convergent, et consistant, au sens où asymptotiquement, l’estimateur sera sans biais.

Enfin, un dernier cas correspondant au cas biaisé, convergent, mais non consistant. Asymptotiquement l’estimateur sera toujours biaisé,

Mais revenons un peu sur la formaliation sous-jacente au modèle linéaire. Les propriétés sur les résidus sont conditionnelles aux variables explicatives, en particulier.

(c’est l’hypothèse d’homoscédasticité et d’indépendance des résidus). Bon, il faut aussi l’absence de relation linéaire entre les variables explicatives, ce qui se traduit parfois comme une absence de collinéarité.
On peut s’intéresser aux propriétés asymptotiques de l’estimateur. Pour cela, il faut peut être rappeler ce que signifie la convergence pour une variable aléatoire (en statistique mathématique, les estimateurs sont vus comme des variables aléatoires). On dira que  converge en probabilité vers , parfois noté

si

Par exemple la loi des grands nombres garantie que, pour un échantillon i.i.d.

si l’espérance des variables est finie, alors

Alors sous les hypothèses mentionnées auparavant, on peut montrer que, dans le modèle linéaire,

On parlera alors d’estimateur convergent. On peut aussi montrer que

Mais formellement,

si

Voilà en gros quelques éléments pour répondre aux questions, mais tout ça sera repris en détails dans le cours d’économétrie 1 qui commencera très bientôt… et surtout d’économétrie 2 qui abordera les aspects dynamiques.

Andreas Gursky, visualiser les marchés financiers

Histoire de poursuivre mon précédant billet (ici), je voulais rajouter des photos très classiques d’Andréas Gursky (ici). J’hésitais à les mettre car je trouve qu’elles perdent toute leur force sur un ordinateur, ceux qui avaient vu l’expo à Beauboug en 2002 savent de quoi je parle…

Le bois et la mine

Petit complément sur le premier exercice, sur « l’apologue du bois et de la mine »
APOLOGUE, subst. masc.

DIDACT. Court récit imaginaire ou parfois réel dont se dégage une vérité morale. Synon. histoire, conte, parabole, fable :

1. Cependant je ne doute point que vous n’ayez lu, dans beaucoup de préfaces de fables, que l’apologue est une instruction déguisée sous l’allégorie d’une action : …
Florian, Fables, De la Fable, 1792, p. 10.
2. Les patriciens envoyèrent au peuple celui des leurs qui lui était le plus agréable, Menenius Agrippa. Il leur adressa l’apologue célèbre des membres et de l’estomac, véritable fragment cyclopéen de l’ancien langage symbolique.
Michelet, Hist. romaine, t. 1, 1831, p. 110.

ÉTYMOL. ET HIST.

I.− xve s. « petit récit d’un fait vrai ou fabuleux, par lequel on veut présenter une vérité instructive » (G. Tardif ds Delb. Rec. ds DG : Le premier apologue ou fable).
II.− 1616-20 « apologiste » (D’Aubigné, Confessions du sieur de Sancy, [dédicace] ds Œuvres, éd. Reaume-de-Caussade, t. 2, p. 236 : un des traducteurs du Tasso, qui a choisi pour son apologue le Prince de Conty); repris par DG où il est qualifié de vieilli.
I empr. au lat. apologus, « id. » Plaute, Stich., 570 ds TLL s.v., 250, 7; cf. Cicéron, Inv. 1, 25, ibid., 249, 83; empr. au gr. ἀπολόγος « récit détaillé, narration » (Platon, Resp. 614a ds Bailly) d’où « fable » (Cependant le mot gr. ne figure pas ds Cicéron, De Orat., 2, 264, éd. Courbaud : Et ad hoc genus ascribamus etiam narrationes apologorum); II dér. de apologie* sur le modèle de analogie/analogue.
Il existe quelques références sur cet apologue, introduit par Gabriel Dessus à la fin des années 40 (sur la tarification des services publiques). Je peux renvoyer vers quelques pages en annexe de la thèse de Frédéric Marty, ici (ou pour la version intégrale des annexes). Pour remettre dans le contexte de l’époque, cet « apologue du bois et de la mine » a permis de préciser les insuffisances d’une tarification au coût moyen par rapport à la tarification au coût marginal. Tout cela est également repris, avec le contexte historique, dans des documents ici, toujours de Frédérci Marty.

Surplus du consommateur et demande compensée

Les exercices traités la semaine dernière et cette semaine sont respectivement en ligne ici et . Je mets également ici les exercices de la semaine prochaine (que je distribuerais tout à l’heure).
Petit complément suite à la PC de la semaine dernière, sur des slides présentés en cours par Pierre Picard. Dans un premier temps, on s’intéressait à une utilité très particulière, quasi-linéaire, de la forme  Dans ce cas très particulier, on peut se ramener à un programme d’optimisation sans contrainte,

La condition du premier ordre est alors

autrement dit, l’utilité marginale de la consommation de bien 1 est égale à son prix, de telle sorte que la fonction de demande s’écrit tout simplement . Compte tenu de la contrainte budgétaire, on en déduit la demande de produit 2. Et en substituant dans la fonction d’utilité, on en déduit la fonction de demande indirecte,

C’est ce qu’on observe dans les slides

En fait (on rejoint ici un commentaire qui avait été faite dans la première PC), ceci marche à condition que le prix du premier bien n’excède pas notre revenu global !

Si on imagine un individu sans revenu a qui l’on donne un tout petit revenu R. Dans ce cas, son accroissement d’utilité sera

Si cet accroissement dépasse 1, le consommateur n’achète que du bien 1. En fait, il achète du bien 1 tant que l’utilité marginale d’une unité supplémentaire de revenu soit égale à 1. Et tout supplément sera alors consacré à l’achat de bien 2. C’est exactement le commentaire qui avait été fait en classe….
Bref, si les individus ont suffisement d’argent, la demande de bien ne dépend que des prix..
Si l’on s’intéresse au surplus du consommateur, notons tout d’abord que la fonction de demande inverse permet d’écrire

Aussi, on peut obtenir l’utilité associée à un niveau particulier de consommation de bien 1 tout simplement par intégration

Aussi, l’utilité totale (associée à une consommation  de bien 1 sera

On obtient la surface située sous la courbe de demande du bien 1, en retranchant la dépense de bien 1.

Si la fonction d’utilité est quasi-linéaire, l’intégrale de la demande correspond à la fonction d’utilité en équivalent monétaire.

La variation compensée est la différence de revenu minimum qu’il est nécessaire de donner à un agent, suite à une variation, afin de s’assurer un niveau d’utilité constant. On peut alors monter que les variations compensatoires et équivalente coïncident: la fonction de compensation est linéaire par rapport au revenu, aussi, la valeur d’une unité monétaire supplémentaire est indépendante du prix.

En fait, le surplus du compensateur ne correspond à la variation compensatoire que dans le cas où la fonction d’utilitaire est quasi-linéaire. De manière plus générale (et c’est ce qui est abordé dans les slides suivants), on n’a qu’une approximation. Il faut utiliser l’équation de Slutsky pour récupérer le terme supplémentaire

Cette propriété de la fonction d’utilité quasi-linéaire est abordée dans plusieurs documents, comme ici ou . Sinon Hal Varian a aussi publié sur le sujet.

Théorème de l’enveloppe

Un tout petit complément sur l’utilité inverse, et l’exercice 2 de la PC de jeudi après midi.
Tout  d’abord un petit rappel sur le théorème de l’enveloppe. Supposons que l’on cherche à maximiser une fonction (dite objectif) $f(bold x,bold r)$ qui dépend de paramètres $bold r$, i.e. on cherche

$f^*(bold r) = max_{bold x} f(bold x,bold r),$

La fonction $f^*(bold r)$ est alors la fonction optimale pour les paramètres $bold r$ donnés. Soit  $bold x^*(bold r)$ la valeur optimale en $bold x$, fonction du paramètre $bold r$ , de telle sorte que

$f^*(bold r) = f(bold x^*(bold r), bold r)$

Le théorème de l’enveloppe nous permet de voir comment $f^*(bold r)$ varie lorsque le paramètre change, et plus particulièrement, on a

$frac{partial f^*(bold r)}{partial r_i} = frac{partial f(bold x,bold r)}{ partial r_i} Bigg|_{bold x =$

Autrement dit, la dérivée de $f^*(bold x,bold r)$ suivant  ri est donnée par la dérivée partielle de $f(bold x,bold r)$suivant ri, lorsqu’on l’évalue en $bold x =$.

Notons qu’il existe aussi une version un peu plus générale qui autorise un programme d’optimisation avec contrainte.
Supposons que l’on s’intéresse à

$max_{bold x} f(bold x,bold r) ;; s.t. ;; bold g(bold x,bold r) = bold 0$

dont le Lagrangien s’écrit

$mathcal{L}(bold x,bold r) = f(bold x,bold r) - boldsymbol{lambda} cdot bold g(bold x,bold r)$

où de manière classique $boldsymbol{lambda} = (lambda_{1},dots,lambda_{n})$ est l’ensemble de multiplicateurs de Lagrange où

$bold g(bold x,bold r) = (g_{1}(bold x,bold r),dots,g_{n}(bold x,bold r))$

Le théorème de l’enveloppe permet d’écrire

$frac{partial f^*(bold r)}{partial r_i} = frac{partial mathcal{L}(bold x,bold r)}{partial r_i} Bigg|_{ bold x =$

L’autre point important de la PC était le principe de dualité dans les programme d’optimisation, que j’avais abordé ici.
Bref, tout ça permet d’introduire la notion d’utilité inverse et de demande Hicksienne. Pour reprendre calmement cette partie (en s’inspirant d’une page de wikiversité sur le sujet), le programme classique visait à chercher

$max_{mathbf{x}in Bleft(mathbf{p},y
ight)}uleft(mathbf{x}
ight)$

où la contrainte budgétaire s’écrit classiquement

$B=left{mathbf{x}in X|mathbf{p}mathbf{x}=sum_{i=1}^Np_ix_i le y
ight}$

La solution est alors notée $mathbf{x}^mleft(mathbf{p},y
ight)$
(on parle de demande Marshalienne). Je passe rapidement sur le programme d’optimisation de l’agent, mais nous avions vu que le taux marginal de substitution était égal au rapport des prix. En effet, le Lagrangien s’écrit

$mathcal{L}equiv u(mathbf{x})-lambda(mathbf{p}mathbf{x}-y)$

ce qui donne de conditions du premier ordre de la forme

$frac{partial u(mathbf{x}^m)}{partial x_i}=u'_i=lambda p_i forall i$.
L’idée maintenant est d’injecter les fonction de demande dans la fonction d’utilité, ce qui permet d’obtenir la fonction d’utilité inverse

$v(mathbf{p},y)=u(mathbf{x}^m(mathbf{p},y))$

Une manière alternative d’étudier ce problème est de regarder le programme dual (on a supposé la fonction d’utilité convexe), i.e on cherche à trouver le panier de bien le moins cher possible nous procurant une utilité au moins égale à une utilité minimale, i.e. on cherche à résoudre

$min_{mathbf{x}|u(mathbf{x})gebar u}mathbf{p}mathbf{x}$

La solution de ce programme d’optimisation $mathbf{x}^h(mathbf{p},bar u)$ est appelée demande hicksienne. On peut alors considérer la fonction de dépense minimale,

$e(mathbf{p},bar u)=mathbf{p}mathbf{x}^h(mathbf{p},bar u)$

Le lemme de Shepard permet d’écrire

: $x^h_i(mathbf{p},bar u)=frac{partial e(mathbf{p},bar u)}{partial p_i}$

Ce résultat se montre finalement assez simplement: en effet, par construction

$e(mathbf{p},bar u)=sum_{i=1}^Np_ix_i^h(mathbf{p},bar u)$

dont un calcul de dérivée rapide permet d’écrite

$frac{partial e(mathbf{p},bar u)}{partial p_k}={color{Red}sum_{i=1}^Np_ifrac{partial x_i^h(mathbf{p},bar u)}{partial p_k}}+x_k^h(mathbf{p},bar u)$

Rappelons que la condition de premier ordre s’écrit

$u'_i=frac{p_i}{lambda}$

Comme en $u(mathbf{x})=bar u$, nous sommes à un optimum, on en déduit

$sum_{i=1}^Nu'_ifrac{partial x_i^h(mathbf{p},bar u)}{partial p_k}=0$

et donc

$frac{1}{lambda}{color{Red}sum_{i=1}^Np_ifrac{partial x_i^h(mathbf{p},bar u)}{partial p_k}}=0$

et comme $lambda e 0$ c’est que  la somme rouge est nulle. D’où le lemme dit de Shepard.
Les théorèmes de dualité permettent d’obtenir un certain nombre de résultats, parmi lesquels

• $e[mathbf{p},v(mathbf{p},y)]equiv y$
• $v[mathbf{p},e(mathbf{p},bar u)]equivbar u$
• $x^m_i(mathbf{p},y)equiv x^h_i[mathbf{p},v(mathbf{p},y)]$
• $x^h_i(mathbf{p},bar u)equiv x^m_i[mathbf{p},e(mathbf{p},bar u)]$

Enfin, en appliquant le théorème de Slutsky, on écrit

ce qui s’écrit encore

$frac{partial x_k^m}{partial p_j}=frac{partial x_k^h}{partial p_j}-frac{partial x_k^m}{partial y}{color{Red}frac{partial e}{partial p_j}}$

Bref, on retrouve ici ce qu’on avait fait en PC.
Mais si ça n’est toujours pas plus clair, il y a des notes de cours de Michael Manove, à Boston University, sur “indirect utility” et “duality“, dont les slides sont ici. Il y a également des compléments mathématiques, dont le théorème de l’enveloppe (Prop. 21.2) ou le théorème de Kuhn-Tucker (Prop.21.13), ici.
On pourra aussi trouver en ligne l’article de Lawrence Blume sur la dualité pour le dictionnaire Palgrave d’économie, ici. Larry a aussi écrit l’article sur la programmation convexe, diponible .
Sinon je mets ici les exercices des deux prochaines PC.