Category Archives: Economics

Paradoxe, vote et démocratie

Le paradoxe le plus classique sur les élections est le paradoxe de Condorcet, correspondant à une intransitivité des préférences. Pour rappels, dans le cours d’économie de l’incertain, j’avais postulé que les relations de préférences étaient une relation d’ordre (et donc étaient transitives) sans que cela ne soulève la moindre objection. Prenons un cas pratique: un sondage LH2 pour RMC-BFM TV-20 minutes, diffusé le 12 mars 2007 sur les élections présidentiels, donnait les intentions de vote suivant,

  • au premier tour, Sarkozy (28) > Royal (26) > Bayrou (22)
  • au second tour, Sarkozy (52) > Royal (48) mais  Bayrou (55) > Sarkozy (45)

Autrement dit, on peut A>B, et B>C, mais sans pour autant avoir A>C.

Pour Condorcet, il n’existait pas de système simple assurant cette cohérence, à savoir une fonction de choix social indiscutable, permettant d’agréger des préférences individuelles en préférences sociales. Arrow démontre, sous réserve d’acceptation de quelques hypothèses, qu’il n’existerait pas de système du tout assurant la cohérence, hormis celui où la fonction de choix social coïnciderait avec les choix d’un seul individu, parfois surnommé dictateur, indépendemment du reste de la population.

Le théorème d’Arrow peut être énoncé sous la forme suivante.

Pour au moins 3 options de choix et deux individus, il n’existe pas de fonction de choix social satisfaisant les propriétés suivantes :

  1. Universalité : la fonction de choix social doit être définie pour tout profil de préférences logiquement possible. Cela signifie qu’on ne peut éliminer le choix de certains individus du groupe des individus qui déterminent le choix collectif.
  2. Non-dictature : il n’existe aucun individu pour lequel la liste de ses choix personnels coïncide avec la fonction de choix social, indépendamment des préférences des autres ;
  3. Unanimité : lorsque tous les individus ont les mêmes préférences, la fonction de choix social doit associer ces mêmes préférences à la société.
  4. Indifférence des Options Non-Pertinentes : le classement relatif de deux options ne doit dépendre que de leur position relative pour les individus et non du classement d’options tierces ; si l’on ne considère qu’un sous-ensemble d’options, la fonction ne doit pas aboutir à un autre classement de ce sous-ensemble.

Sur les paradoxes du vote, je renvoie à une très bonne émission qui avait été diffusée dans Archimède sur Arte en janvier 2001. L’intégralité du texte se trouve ici,

Paradoxe de Grossman et Stiglitz


Pour le cinquième cours à l’X, sur les asymétries d’information, les slides sont en ligne, ainsi que les énoncés des exercices. Je ferais PC l’après midi, salle 75, bâtiment Paul Levy. Sinon la page maintenue par Alfred Galichon se trouve ici. Petit complément sur le paradoxe de Grossman et Stiglitz, étudié en exercice (i.e. si un marché est efficient du point de vue de l’information, autrement dit toute l’information pertinente est contenue dans les prix de marché, alors aucun agent n’est incité à acquérir de l’information sur laquelle sont fondés les prix),

Grossman and Stiglitz (1980) argued that because information is costly, prices cannot perfectly reflect the information which is available, since if it did, those who spent resources to obtain it would receive no compensation, leading to the conclusion that an informationally efficient market is impossible.” Sewell (2006)

” Second, perfect efficiency is an unrealistic benchmark that is unlikely to hold in practice. Even in theory, as Grossman and Stiglitz (1980) have shown, abnormal returns will exist if there are costs of gathering and processing information. These returns are necessary to compensate investors for their information-gathering and information-processing expenses, and are no longer abnormal when these expenses are properly accounted for. In a large and liquid market, information costs are likely to justify only small abnormal returns, but it is difficult to say how small, even if such costs could be measured precisely.” Campbell, Lo and MacKinlay (1997), page 24

” Grossman (1976) and Grossman and Stiglitz (1980) go even further. They argue that perfectly informationally efficient markets are an impossibility, for if markets are perfectly efficient, the return to gathering information is nil, in which case there would be little reason to trade and markets would eventually collapse. Alternatively, the degree of market inefficiency determines the efforrt investors are willing to expend to gather and trade on information, hence a non-degenerate market equilibrium will arise only when there are sufficient profit opportunities, i.e., inefficiencies, to compensate investors for the costs of trading and information-gathering. The profits earned by these industrious investors may be viewed as economic rents that accrue to those willing to engage in such activities.” Lo and MacKinlay (1999), pages 5-6

Comsumption based CAPM


Pour le quatrième cours à l’X, sur l’équilibre et le CCAPM (consumption based), les slides sont en ligne, ainsi que les énoncés des exercices. Je ferais PC l’après midi, salle 75, bâtiment Paul Levy. Sinon, il n’y aura ni cours ni PC la semaine prochaine (le 3 février). Pour aller un peu plus loin sur le CCAPM, je renvoie vers les slides de Gabrielle Demange. Sinon pour compléter la question 3, je citerais le papier suivant

Kahane, Y. et Nye, D.J., «A Portfolio Approach to the Property-Liability Insurance Industry»,. Journal of Risk and Insurance 42 (1975), p. 579-598

On y retrouve que les risques d’assurance (et donc les catastrophes) sont très peu corrélées avec le “marché”, et donc permettent de diversifier un portefeuille d’actions.

Markowitz et CAPM

Pour le troisième cours à l’X, sur Markowitz, l’approche moyenne-variance et le CAPM, les slides sont en ligne, ainsi que les énoncés des exercices. Je ferais PC l’après midi, salle 75, bâtiment Paul Levy.

Comme toutes les semaines maintenant, un petit complément sur un imprécision lors de la PC… j’avais pensé (espéré) que l’on pourrait avoir un résultat général sur le comportement du portefeuille tangent, lorsque la corrélation évolue. J’ai donc repris* l’exemple de l’exercice, avec 3 actifs (dont 1 sans risques), en comparant trois cas possibles. Le cas limite est celui du milieu, lorsque les trois actifs sont alignés dans le plan moyenne variance. A gauche est représenté le cas “convexe” et à droite le cas “concave“. Les points violets correspondent à l’évolution de la position du portefeuille tangent en fonction de la corrélation entre les deux actifs risqués, entre -1 et 1 (ou plutôt 0.999999). Encore une fois, le cas où la corrélation vaut 1 ne peut être traité que si les points sont alignés, i.e. l’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage est vérifiée.

Dans le cas convexe“, le portefeuille tangent se rapproche d’un actif sans risque virtuel, tel que cet actif et les deux actifs sans risque seraient alignés. Dans le cas concave“, on converge vers le point de plus haut rendement (alors qu’on passait par le point de plus bas rendement dans le cas “convexe“), mais on le repasse pour partir à l’infini, avant de revenir par dessous, pour finalement atteindre – là aussi – l’actif sans risque virtuel, tel que cet actif et les deux actifs sans risque seraient alignés

Bref, je ne sais pas s’il existe un résultat général sur le comportement du portefeuille tangent, mais si un géomètre veut se lancer sur ce problème, je suis intéressé par les conclusions !

* repris numériquement seulement, sur un exemple numérique simple… avant d’avancer un résultat, je voulais voir si un résultat simple (et général) pouvait être obtenu sur des exemples numériques.

Single crossing et TVaR

Pour le second cours à l’X, les slides sont en ligne, ainsi que les énoncés desexercices. Je ferais PC l’après midi, salle 75, bâtiment Paul Levy.

Chose promise, chose due… sur le second exercice, sur la dominance stochastique à l’ordre 2, il existe une propriété dite de single-crossing, comme je l’avais évoqué en PC (malheureusement ce n’est qu’une condition suffisante). Autrement dit, si les fonctions de répartition soient…

On parle parfois de lemme de Ohlin, ou du critère de Karlin et Novikoff (1963). Parmi les références, je peux vous mettre le résultat donné dans le livre de Michel Denuit, Jan Dhaene, Marc Goovaerts, et Rob Kaas, dans Actuarial Theory for Dependent Risks,

Sinon pour l’interprétation en terme de dominance stochastique à l’ordre 2, il faut remonter au livre de Marc Goovaerts, et Rob Kaas, Effective Actuarial Methods.

D’ailleurs, cette notion de comparaison est très liée aux notions de “stop-loss order”, “TVaR order”, “variability order” ou de “increasing convex”. Le Chapitre 3 du livre de Moshe Shaked et George Shantikumar porte d’ailleurs exclusivement sur cette notion.

En ce qui concerne le dernier point, sur l’interprétation dans le cas Gaussien, on peut utiliser ce résultat (même s’il ne donne qu’une condition suffisante).

Cours de gestion d’actifs (partie 2)

Le second cours portera sur l’approche de Black & Litterman. En plus des slides du cours, il sera possible de consulter un document synthétique de chez GS.Les applications se feront à l’aide du package BLCOP de R (i.e. Black Litterman and copula-opinion pooling). Un très grand nombre de papiers peuvent être trouvés sur le net sur ce sujet, en particulier les papiers de Attilio Meucci, ou encore le mémoire de Charlotta Mankert. Sinon le package BLCOP s’inspire également d’un document (peu technique) de Thomas Idzorek.

Sinon sur Markowitz, on pourra trouver des notes de cours de Paulo Vanini et Luigi Vignola.

Cours de préparation à l’Agregation d’économie, information et incertain

Petite séance d’économie de l’information et de l’incertain dans le cadre de la préparation à l’agrégation. Les slides qui ont été utilisés sont en ligne.

Le cours présente les principes de base en économie de l’incertain (en particulier l’espérance d’utilité, telle que formalisée par par von Neumann et Morgenstern) a partir des lotteries, puis présentera rapidement quelques applications en finance et en assurance.

La seconde partie aborde les deux points clés d’aléa-moral et d’antisélection, et plus généralement d’asymétrie d’information.


Quelques compléments peuvent se trouver sur internet en particulier http://cepa.newschool.edu/ (en anglais), sur la page d’Olivier Gossner ou de Denis Bouyssou, à l’Université de la Réunion, des slides de François Pigalle, ou sinon l’article de Jean Benoit Dujol dans le Tigre. Pour une approche plus “formalisée”, on retiendra les slides de Pierre Cahuc à l’X. Sinon pour une vision plus générale du problème, il y a l’article de Xavier de la Vega paru dans le mensuel Sciences Humaines.

Sinon, une petite précision par rapport à la réponse que j’avais apporté oralement à une question (qui était posée lors du clavardage, “lien Arrow-Debreu ?“). J’avais évoqué l’approche de Gérard Debreu sur l’existence de fonctions d’utilité, mais ce n’était peut-être pas ce qui était posé par l’internaute… Pour reprendre, dans le contexte de l’intervention

  • von Neumann et Morgenstern ont montré qu’introduire une relation d’ordre sur les loteries (c’est à dire supposer que les agents savaient comparer des risques, et des biens aléatoires) était équivalent – moyennant quelques hypothèses sur la relation d’ordre – à supposer que les agents comparent l’espérance (sous la probabilité de survenance des évènements) de l’utilité des revenus (aléatoire).
  • lors de la question posée par clavardage, j’ai essayé de faire un parallèle avec les résultats obtenus par Debreu – un peu après von Neumann et Morgenstern d’ailleurs, en 1959 dans Théorie de la Valeur, et  en 1944 dans Theory of Games and Economic Behavior – qui avait montrer que supposer que les agents pouvaient comparer des biens, ou des paniers de biens, i.e. construire une relation d’ordre sur les ensembles de paniers était équivalent à comparer des utilités (cf. cours de Jean-Yves Jaffray, ou l’article de wikipedia sur l’utilité).
  • mais parrallèlement, Arrow et Debreu ont travaillé ensemble sur d’autres sujets connexes, en particulier introduit un concept fondamental en économie de l’incertain, en particulier dans une optique financière, que sont les “biens d’Arrow-Debreu” ou “Arrow-Debreu asset“. . Ces biens sont fondamentaux en finance car ils permettent de justifier la construction de la probabilité risque neutre, permettant de valoriser des produits sur des marchés en supposant qu’il existe une absence d’opportunité d’arbitrage. Dans un univers incertain, avec E états de la nature, on peut construire E biens d’Arrow-Debreu, chaque bien payant 1 dans un état de la nature, et 0 sinon. Le prix de tels bien est appelé “prix d’état“. Ils sont essentiels pour valoriser ces les actifs financiers. Des compléments théoriques dans les slides du cours de l’X, mais aussi dans les slides que je présenterais en fin de semaine à Montpellier (ici).

Je ne sais pas si ces éléments permettent de mieux répondre à la question qui était posée, mais la réponse me paraît plus exacte que celle que j’avais faite, omettant de parler des biens d’Arrow-Debreu. Sinon j’ai transmis la demande qui avait été faite de faire une intervention en statistique (rappeler la base de la statistique descriptive) et en théorie de jeux.

Cours de gestion d’actifs (partie 1)

Cours de méthodes avancées en gestion de portefeuille. Le but du cours sera de présenter essentiellement l’optimisation de portefeuille sur d’autres mesures de risques que la variance (ou l’écart-type). Nous présenterons ainsi Black & Litterman, mais surtout l’allocation d’actifs sous contraintes de VaR ou de TVaR. Le 1er cours a lieu le 6 janvier, et les slides sont en ligne. Les références du cours sont les deux ouvrages suivants

  • Qian, Hua & Sorensen (2007). Quantitative Equity Portfolio Management: Modern Techniques and Applications. Chapman & Hall
  • Scherer & Martin (2007). Introduction to Modern Portfolio Optimization with NuOPT, S-PLUS and S+Bayes. Springer
Parmi les références sur internet, on mentionnera cet article dans l’Agefi de Juin 2008.

Nous avons été surpris de constater que la mesure de risque la plus utilisée par nos répondants est désormais la Value at Risk (VaR), qui a supplanté la volatilité. C’est naturellement un enseignement tout à fait positif car la technique est beaucoup plus récente. Nous avons cependant noté un contraste entre l’utilisation de cette mesure et son calcul, basé sur un schéma de distribution normale, ce qui ne donne aucune valeur ajoutée à cette technique. Cette tactique est finalement un peu dangereuse dans la mesure où l’on a l’impression d’utiliser une mesure de risque extrême qui ne l’est pas. […] Au Royaume-Uni, les gérants utilisent des modèles de l’économie financière – des modèles factoriels -, aussi bien dans la construction de portefeuilles que dans les mesures de performances, bien plus fréquemment que les Suisses ou encore que les Français. Ils sont aussi de gros adeptes des techniques de construction bayésienne. A l’inverse, les gérants français sont beaucoup plus avancés en termes de techniques d’ingénierie, qu’ils utilisent par exemple pour mieux mesurer.”

Un autre article aborde l’utilisation de la VaR en gestion de portefeuille.Les slides du premier cours reprendront les grandes notions sur les mesures de risque, tout en insistant sur la modélisation de la dépendance, avec le cas (classique) Gaussien tout d’abord, puis le cas non-gaussien, avec en particulier l’utilisation des copules.

Dynamic and Multivariate Risk measures

Exposé dans le cadre du groupe de travail Dynamic and multivariate risk measures, organisé par Rose-Anna Dana (Univ. Paris Dauphine) et Alfred Galichon (Ecole Polytechnique). La conférence a lieu du jeudi 16 au vendredi 17, à l’Institut Henri Poincare.

Les orateurs sont Imen Bentahar, Arthur Charpentier, Rama Cont, Nicole El Karoui, Paul Embrechts, Damir Filipovic, Jean-Charles Rochet, Ludger Ruschendorf, Marco Scarsini, et Walter Schachermayer, et le programme est en ligne.

Pricing catastrophe options in incomplete markets

The paper on the pricing of catastrophe options just appeared in the Proceedings of the Actuarial and Financial Mathematics Conference.

In complete markets, pricing financial products is easy (at least from a theoretical point of view). In incomplete markets (e.g. when the underlying process has jumps with random size, such as an insurance loss process), the price is no longer unique. So on the one hand, it becomes difficult to provide a tractable price of insurance-linked derivatives. On the other hand, when facing catastrophic losses, using the pure premium as a price might not be relevant (e.g. for solvency issues). Both financial market and (re)insurance industry have proposed techniques to price identical hedging products that can be related (e.g. Esscher transform and more generally distorted risk measures in insurance, Gerber-Shiu transform in finance). In this paper, we focus on indifference utility techniques, assuming that stock prices have jumps,related to major catastrophic losses, and thus, partial hedging should then be possible.

La conférence cette année se tiendra les 5 et 6 février (site) a Bruxelles.

 

Allocations for Value-at-Risk portfolio optimization

Parution de l’article Estimating allocations for Value-at-Risk portfolio optimization dans Mathematical Methods of Operations Research.

Value-at-Risk, despite being adopted as the standard risk measure in finance, suffers severe objections from a practical point of view, due to a lack of convexity, and since it does not reward diversification (which is an essential feature in portfolio optimization). Furthermore, it is also known as having poor behavior in risk estimation (which has been justified to impose the use of parametric models, but which induces then model errors). The aim of this paper is to chose in favor or against the use of VaR but to add some more information to this discussion, especially from the estimation point of view. Here we propose a simple method not only to estimate the optimal allocation based on a Value-at-Risk minimization constraint, but also to derive— empirical—confidence intervals based on the fact that the underlying distribution is unknown, and can be estimated based on past observations.

Finance et Risque, à l’Université de Nantes

Exposé sur les méthodes de valorisation en finance et en assurance, à l’atelier Finance et Risque de l’Université de Nantes.

Les nouvelles règles comptables pour les compagnies d’assurance imposent désormais une notion de “market-consistent valuation“: les risques assurantiels doivent aujourd’hui être valorisé comme des produits financiers. Mais au delà de l’aspect comptable, des produits permettent effectivement de transférer les risques des compagnies d’assurance (ou de réassurance) vers les marchés financiers. Le risque de longévité ou de mortalité peut être couvert à l’aide de mortality/longevity bonds. Depuis plus de 10 ans, les risques de catastrophes naturelles aux Etats-Unis peuvent être titrisés via l’émission de cat bonds. Et parallèlement, plusieurs bourses proposent aujourd’hui des options sur indices climatiques (voire assurantiels) permettant d’introduire formellement des cat options. Ces ILS (insurance linked securities) ne sont pas sans poser des problèmes de valorisation. Au premier abord, la valorisation actuarielle (basée sur la notion de prime pure et sur la probabilité historique) et la valorisation financière (basée sur l’utilisation d’une probabilité risque neutre) n’ont rien en commun. Mais les ILS ne sont pas utilisé – le plus souvent – sur des risques de masse, mais davantage sur des risques extrêmes. Les outils classiques de valorisation actuarielle ne conviennentalors plus, et des méthodes plus économiques sont alors préconisées(basées sur l’espérance d’utilité, ou mieux encore, sur l’approche duale de Yaari, et sur les mesures de risques par distorsion). De même, les outils financiers classiques ne sont valident qu’en marché complets, et comme ce n’est plus le cas, des méthodes proches de celles utilisées en assurance sont alors retenues (indifférence d’utilité, transformée d’Esscher). Aussi, les méthodes de valorisation en finance et en assurance, qui semblaient jusqu’alors incompatibles, peuvent enfin être présenté dans un cadre commun, précisément pour les risques qui se situent à la frontière entre la finance et l’assurance.

Pricing catastrophe options in incomplete markets

Exposé sur Pricing catastrophe options in incomplete markets, à la conférence Actuarial and Financial Mathematics Conference (interplay between Finance and Insurance), à Bruxelles.

Cet exposé présentait la problématique de la valorisation d’options sur indices catastrophes (en marché incomplets). Une version détaillée apparaîtra dans les Proceedings.

Insurance and reinsurance of natural catastrophes

Conférence Insurance and Adaptation to Climate Change, Paris, Mars 2007. The paper appeared in the Geneva Papers.

The IPCC 2007 report noted that both the frequency and strength of hurricanes, floods and droughts have increased during the past few years. Thus, climate risk, and more specifically natural catastrophes, are now hardly insurable: losses can be huge (and the actuarial pure premium might even be infinite), diversification through the central limit theorem is not possible because of geographical correlation (a lot of additional capital is required), there might exist no insurance market since the price asked by insurance companies can be much higher than the price householders are willing to pay (short-term horizon of policyholders), and, due to climate change, there is more uncertainty (and thus additional risk). The first idea we will discuss in this paper, about insurance markets and climate risks, is that insurance exists only if risk can be transferred, not only to reinsurance companies but also to capital markets (through securitization or catastrophes options). The second one is that climate is changing, and therefore, not only prices and capital required should be important, but also uncertainty can be very large. It is extremely difficult to insure in a changing environment.

The paper was presented in a conference, in Paris, in 2007