Non, je vais pas faire une analyse des promesses en cette année électorale (bien que le sujet pourrait être amusant, on peut penser aux propos du candidat Newt Gingrich qui veut que la lune devienne un état américain, ici ou là). Non, en fait je voulais faire un billet sur le sujet les assureurs sont-ils vraiment des voleurs ? En effet, lorsqu’en classe on présente le fonctionnement d’un contrat d’assurance – en particulier lorsque l’on parle de tarification et de l’inversion du cycle de production, ou du provisionnement – on explique que l’assuré achète une promesse: celle de se faire indemniser les sinistres survenus pendant la période dite de couverture. Car formellement, c’est bien de cela qu’il s’agit. Sauf qu’il y a toujours quelqu’un pour faire noter que ce n’est peut-être pas aussi simple et que l’assureur, souvent, rechigne à payer.
En fait, il est parfaitement rationnel – d’un point de vue économique (on s’entend) – que l’assureur négocie. En tous les cas si l’assureur a une vision à très court terme… Et c’est ce que justifient Briegleb & Lemaire (1982), sur l’analyse du marchandage ou Lemaire (1982) (dont sera très largement inspiré ce billet).
Considérons un cas très simple: un assuré a subit une perte 
(connue, de l’assuré comme de l’assureur). Mais l’assureur refuse de payer. Et l’assuré envisage d’aller au tribunal. Afin de voir s’il s’agit d’une décision rationnelle, on suppose que l’assuré (
) avait une richesse 
avant que le sinistre ne survienne, qu’aller en justice lui coûte 
, et qu’il estime que sa probabilité de gagner le procès est 
. De son coté, la compagnie (
) d’assurance a une richesse 
, qu’aller en justice lui coute 
, et que la probabilité que la compagnie perde le procès est – selon la compagnie – 
(les 
sont alors les probabilités que l’assuré gagne son procès, mais vu des deux cotés). Au tribunal, on suppose que le juge rend un verdict du genre tout ou rien (on n’autorise pas ici de compensation plus importantes que le cout réel du sinistre, et on ne parle pas non plus de remboursement des frais d’avocat en cas de victoire du procès).
L’espérance d’utilité de l’assuré est
alors que pour la compagnie d’assurance, son espérance d’utilité est
La situation est Pareto optimale si
décroissante), alors
alors que
Aussi, une condition nécessaire pour que la situation soit Pareto-optimale est que
i.e. 
. Aller au tribunal n’est pas Pareto optimal si croit plus en ses raisons de gagner que . Si 
, il peut alors être optimal de ne pas aller au tribunal…. On ne dit pas ici qu’il faut que la compagnie indemnise (intégralement) l’assuré, mais que l’assureur et l’assuré peuvent avoir intérêt a trouver une solution amiable…
Si , il peut être intéressant d’aller au tribunal… mais pas forcément… Du point de vue de l’assureur, on peut supposer que sa richesse lui permet de ne pas être risquophobe, ou au moins d’être risque neutre (face a cette assuré au moins). Elle est donc indifférente entre aller au tribunal (et avoir un rendement incertain) et verser un règlement amiable si le versement correspond à son espérance de perte si elle va au procès. Autrement dit 
. L’assuré acceptera cette somme si l’utilité qu’il en tire est plus grande que l’espérance d’utilité qu’il aura en allant au tribunal,
La différence entre le terme de gauche et le terme de droite est une fonction 
. Si l’agent a une utilité exponentielle
alors
doit être une fonction positive. Un calcul rapide de dérivées montre que cette fonction est convexe, avec un minimum atteint en
Moralité ?
- pour les petits et pour les gros sinistres, il est normal que l’assureur et l’assuré cherchent une solution amiable (transaction)
- en revanche, pour les sinistres de cout intermédiaire, il peut être légitime d’aller au tribunal (procès).
Maintenant, si on a les grandes directions… peut-être peut-on essayer de mieux comprendre quelle serait le montant de la transaction dans le cas ou une solution amiable est envisagée. Nash (1950) a envisagé un jeu non-coopératif afin de décrire le marchandage. La transaction optimale est la quantité 
qui maximise le produit des deux gains d’utilité (cf Nash (1950) ou Roth (1979))
La condition du premier ordre donne l’équation suivante
Si on fait un peu de calcul numérique, on note que la solution 
est décroissante en 
: plus l’assuré est risquophobe, plus faible sera la montant de la transaction…. Ce qui n’est pas surprenant, on retrouve ici un résultat noté dans Peeters (1981), Roth (1982) ou ecnore Osbourne (1985). Maintenant, sur le modèle théorique on pourrait bien entendu argumenter que le tribunal fonctionne selon une règle trop simple du tout ou rien, et qu’un procès peut couter beaucoup cher que le simple remboursement du cout du sinistre. Ou qu’il pourrait créer une jurisprudence. On pourrait aussi regarder économétriquement le lien entre le cout des sinistres et les montants des ententes amiables (c’est ce que fait Ayusoa, Bermúdezb & Santolinoc (2012)) mais c’est une autre histoire…. ou ça pourrait être le sujet pour une autre histoire… à suivre donc.
(histoire de formaliser un peu). Le but du jeu est dedeviner sur quelle face la pièce va tomber: si on devine bien, on gagne, sinon on perd. Et le but de mon billet est de comprendre quelle est la stratégie qu’il convient de mettre en œuvrer si on connaît, ou si on estime 
.
, on prédit pile, sinon on prédit face (à chaque lancer si on fait plusieurs lancers consécutifs).
la variable correspondant à la valeur prise au lancer, disons 1 si on tomber sur pile et 0 sur face. Et notons 
la valeur prédite. On gagne si 
, et la probabilité de gagner est alors
. Considérons le polynôme 
, dont les racines sont 
et 
, i.e sur 
,
lancers, on a un échantillon 
et on estime la probabilité de tomber sur pile par
(qui tire une loi uniforme sur le segment unité), pour la prochaine valeur, on prédit
, et la probabilité de gagner est alors
(comme auparavant). En revanche, dans le second cas, le calcul de la probabilité de gagner est
de services possibles. A son premier service, il choisit le service 
. La première difficulté est que le service soit correct (ou passe le filet pour faire simple), et on note 
la probabilité qu’un tel service passe le filet. Si le service est passé, il a une certaine probabilité de gagner le point, que l’on notera 
. Bien que ne connaissant pas vraiment le tennis, il n’est pas absurde de supposer qu’il y ait une forme d’arbitrage,
petit), mais s’il passe le filet le serveur sera à son avantage, et la probabilité de gagner le point sera élevée (
donné, la probabilité de gagner le point (sur ce premier service) est alors 
.
, avec une fonction croissante pour 
, puis décroissante pour 
.
correspondant à son premier et second service, respectivement. La probabilité de gagner le point, à stratégie 
donnée, est alors
donné
.
s’interprète comme 
, i.e. la tangente de la fonction rouge, et on veut que cette tangente soit de pente 
, qui est la pente de la courbe bleue (comme l’avait noté David Gale),
(we focus only on solutions in [0,1]). Because here the game is symmetric, my son should also shoot at time 
, with density 
(we assume here that the density exists, or we seek only solution that are differentiable). Assume further that there exists 
>0 such that the support of my optimal shooting time (the time to shoot is now a random variable) is (
. Hence, if we differentiate (with respect to y), we have
.
, my expected payoff is
, i.e.
, where
,
, then 
=1, i.e. either 
=1 and then 
is constant, or 
is in proportional to 
.
=1/4 (but we don’t really care about that normalizing constant).
=0 if 
(duel started at time 0). Initially, the have no chance to kill the other one, and after one hour, they are certain to kill the other one. At time 
). What is the optimal time to shot ?
and 
for me (
stands for dad), and 
for the other player (here my son 
). The expected payoff becomes,
such that
, then 
and
. So
, then 
and
. So
. Hence, 
Ce week end, en sortant de l’exposition sur les mammouths à Rennes avec mon fils, on est passé à la fête de la science, voir si on pouvait faire quelques casses têtes à un stand tenu par des collègues de Beaulieu. Et là, un petit problème de théorie des jeux m’a été soumis, et je ne pouvais pas passer à côté de l’occasion (surtout quand on connaît la morale) d’en parler ici.
est un équilibre de Nash si aucun des jours n’a intérêt de dévier dans sa stratégie, i.e.
, et on note que 
ainsi que 
. Aussi, pour toute stratégie mixte,
