Avant de revenir sur la marche aléatoire et le problème de la ruine d’un assureur comme problème de temps d’arrêt (je n’ai pas insisté en cours car les temps d’arrêt nécessitent un peu de recul sur les processus), je voulais prendre 5 minutes pour faire un exemple qui devrait intéresser les étudiants. On va se placer un peu avant les billets sur l’étude de l’ébriété rennaise, ici et là.
- De la probabilité de sortir un jour de la rue de la soif
Supposons que notre homme soit encore rue de la soif, un jeudi soit à 23 heures, dans un état d’ébriété assez avancé. Souhaitant quitter cette rue, il fait un pas (disons 1 mètre pour faire simple), puis hésite sur sa direction: il a 1 chance sur 2 de continuer dans la même direction, et 1 chance sur 2 de faire demi-tour. Il se trouve à une distance
de la place Sainte Anne et à une distance
de la place des Lices. On se demande s’il arrivera un jour à quitter la rue de la soif, et surtout au bout de combien de temps (ou après avoir parcouru quel distance)… Au delà du temps moyen passé à errer dans la rue, on pourra se demander la probabilité pour qu’il soit sorti de la rue pour 8 heures, histoire d’avoir une chance d’arriver à l’heure en cours.

Il s’agit du problème de la marche aléatoire (qui, ma foi, est assez approprié au problème de l’ébriété) de type pile ou face. On note tau l’instant (exprimé en nombre de pas) de la sortie de la rue de la soif. Formellement, on note
la position à la date
. On suppose qu’à la date
=0, il est à la position 0 (disons sa chaise à la terrasse du 1929). tau est l’instant où
quitte l’intervalle
. S’il sort par la partie inférieure (en
) il sera place Sainte Anne, alors que s’il sort en
, il sort par la place de Lices (la longueur de la rue étant
).
Notons que
où
prend les valeurs
avec probabilités
,
s’il se dirige vers Sainte Anne,
s’il part place des Lices.
On cherche

C’est ce qu’on appelle un temps d’arrêt. Il s’agit d’une variable aléatoire, positive, qui prend valeurs dans
.
Le problème est simple à formuler, mais pour le résoudre, c’est une autre histoire…
On peut d’abord montrer que

ce qui est un peu rassurant (c’est le lemme de Fatou). On peut alors montrer que
appartient forcément à
, et donc

aussi,

ce qui est assez intuitif compte tenu de la symétrie naturel du problème. On a alors d’autant plus de sortir d’un coté que l’on part d’un endroit proche de ce côté.
On peut aussi monter que
est une martingale, nulle à la date initiale. Aussi,

(je passe les difficultés techniques, mais on peut montrer que ce résultat est rigoureusement juste en travaillant sur la martingale arrêtée). Bon, on a pas mal d’information…. mais on peut aussi regarder la loi. On peut faire quelques simulations, dans un premier temps, afin de visualiser la densité (sous forme d’histogramme), avec ci-dessous la position de notre individu en ordonné, et en abscisse le temps depuis qu’il a quitté sa table.

L’histogramme ci-dessous
est le comptage des moments où l’individu a quitté la rue.

en utilisant la notation du cosinus hyperbolique. On peut alors montrer

Pour tout
,

En fait, on retrouve ici quelque chose qui est très proche de la probabilité qu’a le mouvement brownien de quitter un corridor (qui ont été beaucoup étudiée de part les applications en finance, non pas sur l’étude des gens bourrés, via les options parisiennes, ici ou là, mais qui avait été étudié dans les revues de physique dans les années 60). Bon, comme on quitte le monde discret pour le monde continu, on ne travaille plus sur la fonction génératrice des moments
, mais sur la transformée de Laplace
dont on peut montrer que la transformée de Laplace du temps de sortie d’un corridor de la forme
est

qui se rapproche de la formule précédente. Pour faire le lien, notons que

et que pour
,

Bref, en bricolant, on peut relier assez clairement les deux notions (ce qui n’a rien d’une démonstration, j’en conviens). Mais on peut aussi se poser d’autres questions fondamentales……
- De la probabilité de récupérer ses clés
J’avais évoqué ici les problèmes de clés de notre indigène. Mais j’avais oublié de dire qu’il avait oublié ses clés sur sa table en quittant le bar. On peut se demander quelle est la chance pour qu’il ne repasse jamais à sa table…. Autrement dit, on souhaite calculer

ou éventuellement, si on sait que le bar ferme à l’heure
,

Dans le cas du mouvement Brownien, on peut montrer que

On utilise la propriété de Markov, qui garantie que
est indépendant de
. On peut alors montrer que si
est le temps d’arrêt défini comme le premier instant où le processus atteint
, alors

Dans le cas du mouvement Brownien, cette propriété est une des lois de l’arcsinus, dont on trouvera des démonstrations ici ou là. L’arcsinus apparaît ici dans un calcul d’intégral, en notant que

Compte tenu des similitudes que nous avions observées dans la section précédente entre le cas continu et le cas discret, notre étudiant devrait pouvoir calculer assez simplement la probabilité qu’il a de récupérer ses clés…. enfin, dès qu’il aura dessaoulé un peu afin de faire les calculs….

I wanted to upload here a small problem I started to work on…. unfortunatley, I could not find (yet) a proper answer. Any comments and suggestions are welcomed. The problem is simple: 
and
. From Fréchet-Hoeffding bounds, we know that
. Further, correlation matrices are necessarily positive-semidefinite matrices.


will be a function of
.
and
) are functions of
,
and
.
, respectively describing global dependence (that can be related to
from
(but actually any positive distribution should work) and 
)
with a Bernoulli
distribution
from copula
if
and
if 
and
, and 


In order to get a better understanding, I look at slices, for instance when
. On the graph on the right, to dark area are values that can not be obtained since correlation have to be positive-semidefinite. Dots are points that have been obtained in a particular scenario. I have also included the convex hull if the points obtained with all the scenarios (here 50,000 scenarios), since I assume that the set of positive correlation is necessarily convex. Graphs below have been obtained when
and 




.







, applied to
). This upper bound can be far away from the true probability, see e.g. the gaussian case below, i.e. if
,




, i.e.
, we have an upper bound for the
Value-at-Risk,
, then
, i.e.
. But since,
distribution, then








Lors du dîner de gala des
le montant de la prime associée à la kième affaire (si on utilisait le joker). Il faut alors arbitrer, chaque jour k, entre
la valeur du joker à la date k. Alors


(le dernier jour, si on a le joker, on l’utilise). Autrement dit, on devrait y arriver par induction backward… Et la résolution dépend de la loi des montants des affaires.
,











en 
le facteur d’actualisation entre les dates
et 
est la filtration naturelle, et
est une probabilité risque neutre, sous laquelle la valeur actualisée de l’actif est une martingale, i.e.





en un nombre fini de morceaux et de réassembler ces morceaux pour former deux boules identiques à la première. C’est un résultat purement mathématique, qui n’a aucun sens physique (ou tout du moins en physique classique, où “rien ne se perd, rien ne se crée, tout se transforme” selon la maxime attribuée – injustement – à Lavoisier car on peut la retrouver chez le philosophe présocratique Anaxagore de Clazomènes).
Ce résultat repose sur le concept d’équidécomposabilité: deux ensembles sont donc équidécomposables si on peut couper le premier en morceaux et reconstruire le deuxième simplement en déplaçant les morceaux (c’est-à-dire en leur appliquant une isométrie). Bref, on joue au puzzle. Et pour revenir à notre problème, un ensemble est dédoublable s’il est équidécomposable à une moitié de lui-même. L’autre point important dans le paradoxe est l’idée de volume (et donc de mesure). Si on veut mesurer un intervalle, on prend sa longueur et si on a un ensemble en plusieurs morceaux, on prend la somme de la longueur de chacun des morceaux.
dont l’interprétation financière est la suivante,
Peut-être est-ce encore plus clair en anglais,
Autrement dit les financiers ont réussi le miracle de mettre en pratique le théorème de 





Dans le cas 


Cours de méthodes avancées en gestion de portefeuille. Le but du cours sera de présenter essentiellement l’optimisation de portefeuille sur d’autres mesures de risques que la variance (ou l’écart-type). Nous présenterons ainsi Black & Litterman, mais surtout l’allocation d’actifs sous contraintes de VaR ou de TVaR. Le 1er cours a lieu le 6 janvier, et les 