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Histoire éthylique, et loi de l’arcsinus

Avant de revenir sur la marche aléatoire et le problème de la ruine d’un assureur comme problème de temps d’arrêt (je n’ai pas insisté en cours car les temps d’arrêt nécessitent un peu de recul sur les processus), je voulais prendre 5 minutes pour faire un exemple qui devrait intéresser les étudiants. On va se placer un peu avant les billets sur l’étude de l’ébriété rennaise, ici et .

  • De la probabilité de sortir un jour de la rue de la soif

Supposons que notre homme soit encore rue de la soif, un jeudi soit à 23 heures, dans un état d’ébriété assez avancé. Souhaitant quitter cette rue, il fait un pas (disons 1 mètre pour faire simple), puis hésite sur sa direction: il a 1 chance sur 2 de continuer dans la même direction, et 1 chance sur 2 de faire demi-tour.  Il se trouve à une distance L'image “https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-05.png” ne peut être affichée car elle contient des erreurs. de la place Sainte Anne et à une distance L'image “https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-06.png” ne peut être affichée car elle contient des erreurs.de la place des Lices. On se demande s’il arrivera un jour à quitter la rue de la soif, et surtout au bout de combien de temps (ou après avoir parcouru quel distance)… Au delà du temps moyen passé à errer dans la rue, on pourra se demander la probabilité pour qu’il soit sorti de la rue pour 8 heures, histoire d’avoir une chance d’arriver à l’heure en cours.

Il s’agit du problème de la marche aléatoire (qui, ma foi, est assez approprié au problème de l’ébriété) de type pile ou face. On note tau l’instant (exprimé en nombre de pas) de la sortie de la rue de la soif. Formellement, on note https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-01.png la position à la date https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-02.png. On suppose qu’à la date https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-02.png=0, il est à la position 0 (disons sa chaise à la terrasse du 1929). tau est l’instant où https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-01.png quitte l’intervalle https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-03.png. S’il sort par la partie inférieure (en https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-05.png) il sera place Sainte Anne, alors que s’il sort en https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-06.png, il sort par la place de Lices (la longueur de la rue étant https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-04.png).
Notons que https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-07.png où https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-08.png prend les valeurs https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-09.png avec probabilités https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-10.pnghttps://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-50.png s’il se dirige vers Sainte Anne, https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-11.png s’il part place des Lices.
On cherche

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-12.png

C’est ce qu’on appelle un temps d’arrêt. Il s’agit d’une variable aléatoire, positive, qui prend valeurs dans https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-555.png.
Le problème est simple à formuler, mais pour le résoudre, c’est une autre histoire…
On peut d’abord montrer que

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-13.png

ce qui est un peu rassurant (c’est le lemme de Fatou). On peut alors montrer que https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-14.png appartient forcément à https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-15.png, et donc

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-16.png

aussi,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-17.png

ce qui est assez intuitif compte tenu de la symétrie naturel du problème. On a alors d’autant plus de sortir d’un coté que l’on part d’un endroit proche de ce côté.
On peut aussi monter que https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-18.pngest une martingale, nulle à la date initiale. Aussi,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-19.png

(je passe les difficultés techniques, mais on peut montrer que ce résultat est rigoureusement juste en travaillant sur la martingale arrêtée). Bon, on a pas mal d’information…. mais on peut aussi regarder la loi. On peut faire quelques simulations, dans un premier temps, afin de visualiser la densité (sous forme d’histogramme), avec ci-dessous la position de notre individu en ordonné, et en abscisse le temps depuis qu’il a quitté sa table.

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/image-st-michel-v2.gif

L’histogramme ci-dessous
est le comptage des moments où l’individu a quitté la rue.

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/compte-image-st-michel-v2.gif

Je me suis arrêté assez tôt sinon le fichier image serait trop lourd.
Pour étudier la distribution, mieux vaut éviter de travailler sur la fonction de répartition ou la densité du temps d’arrêt. En fait, le plus simple est de récupérer la fonction génératrice de tau. Pour cela, on va utiliser la fonction génératrice des incréments,
https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-20.png

en utilisant la notation du cosinus hyperbolique. On peut alors montrer

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-21.png

Pour tout https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-22.png,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-23.png

En fait, on retrouve ici quelque chose qui est très proche de la probabilité qu’a le mouvement brownien de quitter un corridor (qui ont été beaucoup étudiée de part les applications en finance, non pas sur l’étude des gens bourrés, via les options parisiennes, ici ou , mais qui avait été étudié dans les revues de physique dans les années 60). Bon, comme on quitte le monde discret pour le monde continu, on ne travaille plus sur la fonction génératrice des moments https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-24.png, mais sur la transformée de Laplace https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-25.png dont on peut montrer que la transformée de Laplace du temps de sortie d’un corridor de la forme https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-521.pngest

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-30.png

qui se rapproche de la formule précédente. Pour faire le lien, notons que

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-31.png

et que pour https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-32.png,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-33.png

Bref, en bricolant, on peut relier assez clairement les deux notions (ce qui n’a rien d’une démonstration, j’en conviens). Mais on peut aussi se poser d’autres questions fondamentales……

  • De la probabilité de récupérer ses clés

J’avais évoqué ici les problèmes de clés de notre indigène. Mais j’avais oublié de dire qu’il avait oublié ses clés sur sa table en quittant le bar. On peut se demander quelle est la chance pour qu’il ne repasse jamais à sa table…. Autrement dit, on souhaite calculer

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-522.png

ou éventuellement, si on sait que le bar ferme à l’heure https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-523.png,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-524.png

Dans le cas du mouvement Brownien, on peut montrer que

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-525.png

On utilise la propriété de Markov, qui garantie que https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-526.png est indépendant de https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-527.png. On peut alors montrer que si https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-528.png est le temps d’arrêt défini comme le premier instant où le processus atteint https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-529.png, alors

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-530.png

Dans le cas du mouvement Brownien, cette propriété est une des lois de l’arcsinus, dont on trouvera des démonstrations ici ou . L’arcsinus apparaît ici dans un calcul d’intégral, en notant que

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/alcool-531.png

Compte tenu des similitudes que nous avions observées dans la section précédente entre le cas continu et le cas discret, notre étudiant devrait pouvoir calculer assez simplement la probabilité qu’il a de récupérer ses clés…. enfin, dès qu’il aura dessaoulé un peu afin de faire les calculs….

Discussion on stress scenarios

Friday morning, I had the honor to discuss a presentation by Alexander McNeil, on Stress Testing and Reverse Stress Testing, at the Financial Risks International Forum on Risk Dependencies (here).

This was an opportunity to rediscover techniques I have studied briefly a few years ago, on outliers detection, namely the bagplot (I will probably upload a post on that topic soon, in French unfortunately). The slides of my discussion are available here.

http://freakonometrics.hypotheses.org/5338

Exchange rates and correlation matrices

https://blogperso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/public/perso2/.euro_dollar_yen_s.jpg I wanted to upload here a small problem I started to work on…. unfortunatley, I could not find (yet) a proper answer. Any comments and suggestions are welcomed. The problem is simple: consider 3 random variables that can be interpreted as exchange rates. Thus X is the exchange rate USD versus EUR, Y is the exchange rate EUR versus YEN, while Z is the exchange rate USD versus YEN. We then have the following constraint XY=Z. Given that constraint, what are the implied constraints on the correlation matrix of random vector (X,Y,Z) ?

  • Bounds on correlation

There are classically standard constraints on correlation. For instance, from Cauchy-Schwarz’s inequality

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-01.png

but those bounds are not necessarily sharp, given distributions of https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-02.png and https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-03.png. From Fréchet-Hoeffding bounds, we know that

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-04.png

where https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-05.png. Further, correlation matrices are necessarily positive-semidefinite matrices.
To go further to find possible bounds, recall that

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-06.png

and therefore

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-07.png

i.e.

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-08.png

Similarity, https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-09.png will be a function of https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-10.png.
Thus, given marginal distributions of https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-02.png and https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-03.png, covariances (and also correlations https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-11.png and https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-12.png) are functions of L'image “https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-13.png” ne peut être affichée car elle contient des erreurs.,https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-14.png and https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-15.png.
Somehow, we have obtained 2 degrees of freedom: if there are no additional constraints on those two coefficients, there should be no other constraints than having positive-semidefinite matrices.
I guess that https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-14.png and https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-15.png should not be connected. Those quantities are related to the co-skewness* and they should be different when dependence is asymmetric.
Given a 3 parameter copula for pair https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-16.png, respectively describing global dependence (that can be related to L'image “https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-13.png” ne peut être affichée car elle contient des erreurs. and tail asymmetry (that should be related either to https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-14.png and https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-15.pngdepending on the corner) it should be possible to derive any kind of triplets.

  • Running simulations

I have tried to generate a lot of samples. The idea is to draw pairs from mixtures of Marshall-Olkins’ copula (wich are asymmetric), where parameters where generated randomly. I draw 250 values according to that copula. Then, the third variable is obtained taking the product of normalized pairs (or Studentized). And then calculate the associated correlation matrix.

  1.  draw https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-17.png from https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-18.png (but actually any positive distribution should work) and https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-19.png
  2. do 250 times the following (index https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-20.png)
  • draw https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-21.png with a Bernoulli https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-22.png distribution
  • draw&nbs
    p;https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-23.png from copula https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-24.png if https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-25.png and https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-27.png if https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-26.png
  • set https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-28.png and https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-29.png, and https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-30.png
  1. estimate the correlation of sample https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-31.png

In dimension 3, I have the following graph,

In order to get a better understanding, I look at slices, for instance when https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-32.png. On the graph on the right, to dark area are values that can not be obtained since correlation have to be positive-semidefinite. Dots are points that have been obtained in a particular scenario. I have also included the convex hull if the points obtained with all the scenarios (here 50,000 scenarios), since I assume that the set of positive correlation is necessarily convex. Graphs below have been obtained when https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-33.png and https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-34.png

So far I have not been able to obtain all possible correlations, I guess…  If anyone has suggestions…
* Recall that the co-skewness matrix, in dimension 2, for a pair https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-35.png is simply

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-36.png

where https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/change-corr-37.png.

from two to three…

A short post to give more details about the final remark in the course of Financial Econometrics, and more precisely the formula that can be found in the book of Philip Jorion,

Note that this formula can be found (perhaps written with slight changes) in several papers, e.g. the following sentence (on the http://www.bis.org/website),

or the following formula, on documents from the Bank of England website,

I recently pulished (in French, here) a paper on the Value-at-Risk, including the following graph,

Usually, three times the average over 60 trading days is the larger component, but during the financial crisis, it turned out that the daily component was almost three times higher than the average value over the past the months (this fact was mention by Paul Embrechts in some conference in Paris on risk measures).
The interpreation of the multiplicative k coefficient (which is from 2 to 3 in some publications, or which exceeds 3 in others) has been proposed in a paper of Gerhard Stahl, entitled three cheers. The idea is to use the Bienaymé-Tchebychev inequality. For random variables with finite variance, then

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-01.png

Recall that this inequality is simply a corrolary of Markov’s inequality

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-02.png

or for any increasing function https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-99.png

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-03.png

(taking function https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-04.png, applied to https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-05.png). This upper bound can be far away from the true probability, see e.g. the gaussian case below, i.e. if  https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-06.png,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-07.png

 

> z = seq(0,3,by=.01)
> P = 2*dnorm(k)
> U = 1/z^2
> plot(z,P,type="l",lwd=2,col="red",xlab="",ylab="")

The ratio between the two is given below,

> plot(z,U/P,type="l",lwd=2,col="purple",xlab="",ylab="",ylim=c(0,10))

Note that it is possible to interprete the axis values as probabilities values, taking quantiles of the gaussian distribution

> plot(pnorm(z),U/P,type="l",lwd=2,col="purple",xlab="",
+ ylab="",ylim=c(0,10),xlim=c(.9,1))
> abline(h=3,lty=2)

The interpretation is that the upper bound is 3 times higher than the true probability in the Gaussian case when z is the quantile of the https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-06.png distribution associated with probability level 99%.
Note that

  • if z is the 95% quantile of the mathcal{N}(0,1) distribution, the ratio is 2 (1.92)
  • if z is the 99% quantile of the mathcal{N}(0,1) distribution, the ratio is 3 (3.04)
  • if z is the 99.55% quantile of the mathcal{N}(0,1) distribution, the ratio is almost 4 (3.88)
  • if z is the 99.75% quantile of the mathcal{N}(0,1) distribution, the ratio is 5 (5.04)

A more formal explaination is to assume that X is symmetric, and then

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-09.png

Thus, if https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-10.png, i.e. https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-11.png, we have an upper bound for the  https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-12.pngValue-at-Risk,

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-20.png

where the upper bound is the upper bound for the https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-12.png Value-at-Risk for any distribution with finite variance and centred.
If  https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-31.png, then https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-32.png, i.e. https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-33.png.  But since, https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-33.png for a https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-36.png distribution, then

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-21.png

and further

https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/BTC-22.png

Nikkei’s past experience vs. SP500 (in euros)

Following Michael’s idea (here), I wanted to go further, based on his intuition (and dataset that he kindly sent me, there). If we consider the two series of Nikkei index and SP500 index in euros, we have to following graph,

the code is simply the following (the merging function is simply here to avoid problem with different trading days: since we look at the index and not the return, it is the simplest way to deal with it).

> library(RODBC)
> base = odbcConnectExcel(
+ "https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/spx_nky_eurusd.xls", 
+ readOnly = TRUE)
> series1 = sqlQuery(base,query="select * from [Tabelle1$A2:B8837]") # SPX
> series2 = sqlQuery(base,query="select * from [Tabelle1$D2:E8631]") # NKY
> series3 = sqlQuery(base,query="select * from [Tabelle1$G2:H8945]") # EURUSD
> odbcCloseAll()
> series4=merge(series1,series3)
> series4$SPEUR=series4$SPX/series4$EURUSD
> series5=merge(series4,series2)
> x=(as.Date(series5[,1])-as.Date("01/01/0000","%d/%m/%Y"))/365.25
> yl=range(series5[,4])
> xl=c(1975,2010)
> plot(x,series5[,4],axes=FALSE,xlab="",ylab="",type="l",
+ lwd=3,col="red",xlim=xl,ylim=yl)
> axis(1)
> axis(2, col="red")
> par(new=TRUE)
> yl=range(series5[,5])
> plot(x,series5[,5],axes=FALSE,xlab="",ylab="",type="l",
+ lwd=3,col="blue",xlim=xl,ylim=yl)
> axis(4, col="blue")
> mtext("SP500 in Euros", 2, line=2, col="red", cex=1.2)
> mtext("NKY", 4, line=2, col="blue", cex=1.2)

Those two series series seem to have a similar pattern, so an idea can be translate the SP500 on the left,

Interesting isn’t it ? Suppose that we want to forecast (or forsee ?) the SP500 in euro for the next 10 years…

People who enjoy charts would have here a nice tool…

Those two series are extremely correlated, with a correlation of 0.9572,

> X1=series5[2501:n,4]
> X2=series5[1:(n-2500),5]
> cor(X1,X2)
[1] 0.9572484

But are the two series cointegrated (see here, here or therefor material on cointegration) ? Well, using standard procedure, we first have to prove that the two series are integrated. First, let us look at the autocorrelograms,

At first sight, we confirm the economic intuition that those indices should be integrated. Standard tests confirm that intuition,

> acf(X2,lag=1000,col="light green")
> acf(X1,lag=1000,col="light green")
> library(tseries)
> adf.test(X1)
        Augmented Dickey-Fuller Test
data:  X1 
Dickey-Fuller = -1.0768, Lag order = 17, p-value = 0.9264
alternative hypothesis: stationary 
> adf.test(X2)
        Augmented Dickey-Fuller Test
data:  X2 
Dickey-Fuller = -1.2905, Lag order = 17, p-value = 0.8788
alternative hypothesis: stationary

But if we want to go further, we have to find the cointegration relationship between the two series. From an heuristic point of view, a linear regression should be a good proxy,

> reg=lm(X1~X2)
> plot(residuals(reg))

> acf(residuals(reg),lag=1000,col="light green")

> adf.test(residuals(reg))
        Augmented Dickey-Fuller Test
data:  residuals(reg) 
Dickey-Fuller = -5.176, Lag order = 17, p-value = 0.01
alternative hypothesis: stationary 
Message d'avis :
In adf.test(residuals(reg)) : p-value smaller than printed p-value
> pp.test(residuals(reg))
        Phillips-Perron Unit Root Test
data:  residuals(reg) 
Dickey-Fuller Z(alpha) = -46.9775, Truncation lag parameter = 11,
p-value = 0.01
alternative hypothesis: stationary 
Message d'avis :
In pp.test(residuals(reg)) : p-value smaller than printed p-value

When we look at the autocorrelation function, it looks like we do have a stationary series.
This idea is – more or less – the idea of Engle-Granger two step procedure. But actually, we can not directly use Dickey-Fuller’s test to see if residuals are integrated. This was proved in Phillips and Ouliaris (1990), who also proposed a test (see e.g. here),

> library(tseries); po.test(cbind(X1,X2))
        Phillips-Ouliaris Cointegration Test
data:  cbind(X1, X2) 
Phillips-Ouliaris demeaned = -53.1766, Truncation lag parameter = 57,
p-value = 0.01
Message d'avis :
In po.test(cbind(X1, X2)) : p-value smaller than printed p-value
Another similar function can be found in R
> library(urca)
> summary(ca.po(cbind(X1,X2)))
######################################## 
# Phillips and Ouliaris Unit Root Test # 
######################################## 
Test of type Pu 
detrending of series none 
Call:
lm(formula = z[, 1] ~ z[, -1] - 1)
Value of test-statistic is: 45.2032 
Critical values of Pu are:
                  10pct    5pct    1pct
critical values 20.3933 25.9711 38.3413

Thus, we has to admit that those series are cointegrated.

Based on that idea, it is possible to model the stationary component, and forecast it for the next ten years, based on the assumption that we know the behavior of one time series. Hence, if we add the confidence interval due to the stationary component uncertainty, we have the following graph,

 Of course, again, only uncertainty related to the stationary process is considered here….

Primes, joker et mathématiques financières

Lors du dîner de gala des JEEA jeudi soir, Mohamed m’a posé une question intéressante, et je lui ai promis un billet (ou plutôt deux car son problème est compliqué, et je ne connais la solution qu’à une version simple). Le problème est le suivant: un gros assureur à trois lettres souhaite encourager les agents commerciaux par une prime. On leur donne un joker, et durant une période d’un mois, ils concluent des affaires nouvelles. Ils ont la possibilité de toucher une fois (et un seule) une prime (en utilisant leur joker) qui sera proportionnelle au montant de l’affaire signée. Quelle est la stratégie optimale pour utiliser leur joker ?. Une question plus courte pour résumer cette optimalité: le deuxième jour, un gros contrat (aux yeux du vendeur) est signé: faut-il utiliser son joker ou vaut-il mieux attendre un peu ? Bon, le vrai problème est qu’ils ont 5 jokers, et qu’ils peuvent les utiliser en une seule fois, ou en plusieurs…. Avant de réfléchir à cette histoire de 5 jokers, regardons un peu avec un….

  • Formalisation du problème…

Faisons quelques hypothèses forcément simplificatrices… On suppose que chaque jour, un contrat est signé, et que les montant des contrats sont indépendants et identiquement distribués (on ne fait pas de plus gros deal en début de mois). Soit le montant de la prime associée à la kième affaire (si on utilisait le joker). Il faut alors arbitrer, chaque jour k, entre

  • toucher 
  • ne pas toucher la prime, et espérer que l’on touchera davantage plus tard.

Notons la valeur du joker à la date k. Alors

Aussi

soit

On sait aussi que (le dernier jour, si on a le joker, on l’utilise). Autrement dit, on devrait  y arriver par induction backward… Et la résolution dépend de la loi des montants des affaires.

  • si F est uniforme sur [0,100]

Dans ce cas, l’équation se simplifie. Si ,

et

soit

On peut visualiser cette fonction sur le graphique suivant, en fonction du temps

Autrement dit, on se fixe une stratégie a priori, et on s’y tient ! Sur la simulation suivant, on utilise son joker dès le 4ème jour,

Bon, je suis nul en calculs, mais en faisant du monte carlo, on en déduit la loi de la date optimale d’exercice,

ainsi que le gain espéré (ce qui permettra à Mohamed de se couvrir).

Notons que l’espérance de la date d’exercice est environ le 12ème jour, et le montant moyen est de 95 (contre 50 en exerçant le dernier jour).

  • si on change de loi, une loi exponentielle ?

Je pense qu’on peut faire des calculs fermés…. mais je suis un peu paresseux…. on obtient la courbe suivante

La distribution de la date optimale donne

et pour le montant empoché

Dans ce cas, on exerce en moyenne au bout de 17 jours, pour un gain moyen de 174.

  • L’exercice d’options américaines

Damned, mais tout ça correspond au problème de valorisation des options américaines (ou plutôt Bermudéennes car le temps est discret). Les options dites bermudéennes peuvent être exercée à un ensemble prédéterminé de dates

L’idée de la valorisation est simple: à chaque date, le détenteur de l’option a en effet de choix,

  • exercer son option et en retirer un payoff 
  • conserver son option, de telle sorte que son option vaut  en 

Si on note  le facteur d’actualisation entre les dates  et , on en déduit que la valeur en  de l’option peut s’écrire

est la filtration naturelle, et  est une probabilité risque neutre, sous laquelle la valeur actualisée de l’actif est une martingale, i.e.

Je renvoie à mes notes de cours de méthodes numériques en finance (ici) mais en utilisant les arbres binomiaux, on peut valoriser un put américain, par exemple,

Multiplication des pains et risk management


Pour continuer un peu mes élucubrations bibliques, après Jonas et la baleine (ici), je vais rebondir sur la multiplication des pains*. Hier soir je traînais sur le (très bon) blog http://eljjdx.canalblog.com/ (alias Choux romanesco, Vache qui rit et intégrales curvilignes) et j’ai dévoré l’article sur c’est mon choix, qui revenait sur le “paradoxe” de Stefan Banach et Alfred Tarski.
Ce paradoxe dit simplement qu’
il est possible de couper une boule de mathbb R^3 en un nombre fini de morceaux et de réassembler ces morceaux pour former deux boules identiques à la première. C’est un résultat purement mathématique, qui n’a aucun sens physique (ou tout du moins en physique classique, où “rien ne se perd, rien ne se crée, tout se transforme” selon la maxime attribuée – injustement – à Lavoisier car on peut la retrouver chez le philosophe présocratique Anaxagore de Clazomènes).

Ce résultat repose sur le concept d’équidécomposabilité: deux ensembles sont donc équidécomposables si on peut couper le premier en morceaux et reconstruire le deuxième simplement en déplaçant les morceaux (c’est-à-dire en leur appliquant une isométrie). Bref, on joue au puzzle. Et pour revenir à notre problème, un ensemble est dédoublable s’il est équidécomposable à une moitié de lui-même. L’autre point important dans le paradoxe est l’idée de volume (et donc de mesure). Si on veut mesurer un intervalle, on prend sa longueur et si on a un ensemble en plusieurs morceaux, on prend la somme de la longueur de chacun des morceaux.

Et le paradoxe affirme qu’on peut construire des ensembles suffisamment tordus et bizarres pour qu’on ne puisse pas les mesurer, c’est-à-dire qu’on ne peut pas leur associer un volume sans violer les deux propriétés évoquées plus haut. Pour reprendre une image évoqué par wikipedia, “le paradoxe affirme que l’on peut multiplier les petits pois ou transformer une grenouille en quelque chose de plus gros que le bœuf dès l’instant qu’on passe par une étape où elle est coupée en morceaux non mesurables, où le volume perd son sens. Par la suite, on peut réassembler ces morceaux en un objet « plus gros » sans avoir à dire que la grenouille et le bœuf ont le même volume puisque le volume du résultat n’est pas la somme des volumes des morceaux.

Pour ceux qui veulent des compléments mathématiques, il y a un article ici ou , par exemple.

Mais si je parle de Jésus de Nazareth et de paradoxes mathématiques, c’est principalement pour revenir à l’interprétation (très intéressante qu’en donne Paul Embrechts, ici). Paul en avait parlé à plusieurs reprises dans différents exposés (par exemple ici, à partir du slide 29). Je reprendrais plutôt la version en français des slides qu’il avait présenté à session plénière à Ottawa l’été dernier (ici),

dont l’interprétation financière est la suivante,

Peut-être est-ce encore plus clair en anglais,

Autrement dit les financiers ont réussi le miracle de mettre en pratique le théorème de Banach et Tarski, à savoir la multiplication des risques à l’infini….

 

* si je reprends l’évangile selon Marc,Et il leur dit: Combien avez-vous de pains? Allez voir. Ils s’en assurèrent, et répondirent: Cinq, et deux poissons. Il prit les cinq pains et les deux poissons et, levant les yeux vers le ciel, il rendit grâces. Puis, il rompit les pains, et les donna aux disciples, afin qu’ils les distribuassent à la foule. Il partagea aussi les deux poissons entre tous. Tous mangèrent et furent rassasiés, et l’on emporta douze paniers pleins de morceaux de pain et de ce qui restait des poissons. Ceux qui avaient mangé les pains étaient cinq mille hommes.

[30/03/2009] Juste pour poursuivre dans mes élucubrations bibliques, je voulais juste mettre un lien (ici), voire deux (), pour une lecture assez orientée théorie des jeux du sacrifice de Salomon  (ou du “jugement de Salomon”, rappelé ici). Des billets plus anciens parle de cette lecture (ici, ou ) ou mieux encore, le chapitre de John Moore, téléchargeable ici.


Paradoxe de Grossman et Stiglitz


Pour le cinquième cours à l’X, sur les asymétries d’information, les slides sont en ligne, ainsi que les énoncés des exercices. Je ferais PC l’après midi, salle 75, bâtiment Paul Levy. Sinon la page maintenue par Alfred Galichon se trouve ici. Petit complément sur le paradoxe de Grossman et Stiglitz, étudié en exercice (i.e. si un marché est efficient du point de vue de l’information, autrement dit toute l’information pertinente est contenue dans les prix de marché, alors aucun agent n’est incité à acquérir de l’information sur laquelle sont fondés les prix),

Grossman and Stiglitz (1980) argued that because information is costly, prices cannot perfectly reflect the information which is available, since if it did, those who spent resources to obtain it would receive no compensation, leading to the conclusion that an informationally efficient market is impossible.” Sewell (2006)

” Second, perfect efficiency is an unrealistic benchmark that is unlikely to hold in practice. Even in theory, as Grossman and Stiglitz (1980) have shown, abnormal returns will exist if there are costs of gathering and processing information. These returns are necessary to compensate investors for their information-gathering and information-processing expenses, and are no longer abnormal when these expenses are properly accounted for. In a large and liquid market, information costs are likely to justify only small abnormal returns, but it is difficult to say how small, even if such costs could be measured precisely.” Campbell, Lo and MacKinlay (1997), page 24

” Grossman (1976) and Grossman and Stiglitz (1980) go even further. They argue that perfectly informationally efficient markets are an impossibility, for if markets are perfectly efficient, the return to gathering information is nil, in which case there would be little reason to trade and markets would eventually collapse. Alternatively, the degree of market inefficiency determines the efforrt investors are willing to expend to gather and trade on information, hence a non-degenerate market equilibrium will arise only when there are sufficient profit opportunities, i.e., inefficiencies, to compensate investors for the costs of trading and information-gathering. The profits earned by these industrious investors may be viewed as economic rents that accrue to those willing to engage in such activities.” Lo and MacKinlay (1999), pages 5-6

Comsumption based CAPM


Pour le quatrième cours à l’X, sur l’équilibre et le CCAPM (consumption based), les slides sont en ligne, ainsi que les énoncés des exercices. Je ferais PC l’après midi, salle 75, bâtiment Paul Levy. Sinon, il n’y aura ni cours ni PC la semaine prochaine (le 3 février). Pour aller un peu plus loin sur le CCAPM, je renvoie vers les slides de Gabrielle Demange. Sinon pour compléter la question 3, je citerais le papier suivant

Kahane, Y. et Nye, D.J., «A Portfolio Approach to the Property-Liability Insurance Industry»,. Journal of Risk and Insurance 42 (1975), p. 579-598

On y retrouve que les risques d’assurance (et donc les catastrophes) sont très peu corrélées avec le “marché”, et donc permettent de diversifier un portefeuille d’actions.

Markowitz et CAPM

Pour le troisième cours à l’X, sur Markowitz, l’approche moyenne-variance et le CAPM, les slides sont en ligne, ainsi que les énoncés des exercices. Je ferais PC l’après midi, salle 75, bâtiment Paul Levy.

Comme toutes les semaines maintenant, un petit complément sur un imprécision lors de la PC… j’avais pensé (espéré) que l’on pourrait avoir un résultat général sur le comportement du portefeuille tangent, lorsque la corrélation évolue. J’ai donc repris* l’exemple de l’exercice, avec 3 actifs (dont 1 sans risques), en comparant trois cas possibles. Le cas limite est celui du milieu, lorsque les trois actifs sont alignés dans le plan moyenne variance. A gauche est représenté le cas “convexe” et à droite le cas “concave“. Les points violets correspondent à l’évolution de la position du portefeuille tangent en fonction de la corrélation entre les deux actifs risqués, entre -1 et 1 (ou plutôt 0.999999). Encore une fois, le cas où la corrélation vaut 1 ne peut être traité que si les points sont alignés, i.e. l’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage est vérifiée.

Dans le cas convexe“, le portefeuille tangent se rapproche d’un actif sans risque virtuel, tel que cet actif et les deux actifs sans risque seraient alignés. Dans le cas concave“, on converge vers le point de plus haut rendement (alors qu’on passait par le point de plus bas rendement dans le cas “convexe“), mais on le repasse pour partir à l’infini, avant de revenir par dessous, pour finalement atteindre – là aussi – l’actif sans risque virtuel, tel que cet actif et les deux actifs sans risque seraient alignés

Bref, je ne sais pas s’il existe un résultat général sur le comportement du portefeuille tangent, mais si un géomètre veut se lancer sur ce problème, je suis intéressé par les conclusions !

* repris numériquement seulement, sur un exemple numérique simple… avant d’avancer un résultat, je voulais voir si un résultat simple (et général) pouvait être obtenu sur des exemples numériques.

Single crossing et TVaR

Pour le second cours à l’X, les slides sont en ligne, ainsi que les énoncés desexercices. Je ferais PC l’après midi, salle 75, bâtiment Paul Levy.

Chose promise, chose due… sur le second exercice, sur la dominance stochastique à l’ordre 2, il existe une propriété dite de single-crossing, comme je l’avais évoqué en PC (malheureusement ce n’est qu’une condition suffisante). Autrement dit, si les fonctions de répartition soient…

On parle parfois de lemme de Ohlin, ou du critère de Karlin et Novikoff (1963). Parmi les références, je peux vous mettre le résultat donné dans le livre de Michel Denuit, Jan Dhaene, Marc Goovaerts, et Rob Kaas, dans Actuarial Theory for Dependent Risks,

Sinon pour l’interprétation en terme de dominance stochastique à l’ordre 2, il faut remonter au livre de Marc Goovaerts, et Rob Kaas, Effective Actuarial Methods.

D’ailleurs, cette notion de comparaison est très liée aux notions de “stop-loss order”, “TVaR order”, “variability order” ou de “increasing convex”. Le Chapitre 3 du livre de Moshe Shaked et George Shantikumar porte d’ailleurs exclusivement sur cette notion.

En ce qui concerne le dernier point, sur l’interprétation dans le cas Gaussien, on peut utiliser ce résultat (même s’il ne donne qu’une condition suffisante).

Cours de gestion d’actifs (partie 2)

Le second cours portera sur l’approche de Black & Litterman. En plus des slides du cours, il sera possible de consulter un document synthétique de chez GS.Les applications se feront à l’aide du package BLCOP de R (i.e. Black Litterman and copula-opinion pooling). Un très grand nombre de papiers peuvent être trouvés sur le net sur ce sujet, en particulier les papiers de Attilio Meucci, ou encore le mémoire de Charlotta Mankert. Sinon le package BLCOP s’inspire également d’un document (peu technique) de Thomas Idzorek.

Sinon sur Markowitz, on pourra trouver des notes de cours de Paulo Vanini et Luigi Vignola.

Cours de gestion d’actifs (partie 1)

Cours de méthodes avancées en gestion de portefeuille. Le but du cours sera de présenter essentiellement l’optimisation de portefeuille sur d’autres mesures de risques que la variance (ou l’écart-type). Nous présenterons ainsi Black & Litterman, mais surtout l’allocation d’actifs sous contraintes de VaR ou de TVaR. Le 1er cours a lieu le 6 janvier, et les slides sont en ligne. Les références du cours sont les deux ouvrages suivants

  • Qian, Hua & Sorensen (2007). Quantitative Equity Portfolio Management: Modern Techniques and Applications. Chapman & Hall
  • Scherer & Martin (2007). Introduction to Modern Portfolio Optimization with NuOPT, S-PLUS and S+Bayes. Springer
Parmi les références sur internet, on mentionnera cet article dans l’Agefi de Juin 2008.

Nous avons été surpris de constater que la mesure de risque la plus utilisée par nos répondants est désormais la Value at Risk (VaR), qui a supplanté la volatilité. C’est naturellement un enseignement tout à fait positif car la technique est beaucoup plus récente. Nous avons cependant noté un contraste entre l’utilisation de cette mesure et son calcul, basé sur un schéma de distribution normale, ce qui ne donne aucune valeur ajoutée à cette technique. Cette tactique est finalement un peu dangereuse dans la mesure où l’on a l’impression d’utiliser une mesure de risque extrême qui ne l’est pas. […] Au Royaume-Uni, les gérants utilisent des modèles de l’économie financière – des modèles factoriels -, aussi bien dans la construction de portefeuilles que dans les mesures de performances, bien plus fréquemment que les Suisses ou encore que les Français. Ils sont aussi de gros adeptes des techniques de construction bayésienne. A l’inverse, les gérants français sont beaucoup plus avancés en termes de techniques d’ingénierie, qu’ils utilisent par exemple pour mieux mesurer.”

Un autre article aborde l’utilisation de la VaR en gestion de portefeuille.Les slides du premier cours reprendront les grandes notions sur les mesures de risque, tout en insistant sur la modélisation de la dépendance, avec le cas (classique) Gaussien tout d’abord, puis le cas non-gaussien, avec en particulier l’utilisation des copules.

Pricing catastrophe options in incomplete markets

The paper on the pricing of catastrophe options just appeared in the Proceedings of the Actuarial and Financial Mathematics Conference.

In complete markets, pricing financial products is easy (at least from a theoretical point of view). In incomplete markets (e.g. when the underlying process has jumps with random size, such as an insurance loss process), the price is no longer unique. So on the one hand, it becomes difficult to provide a tractable price of insurance-linked derivatives. On the other hand, when facing catastrophic losses, using the pure premium as a price might not be relevant (e.g. for solvency issues). Both financial market and (re)insurance industry have proposed techniques to price identical hedging products that can be related (e.g. Esscher transform and more generally distorted risk measures in insurance, Gerber-Shiu transform in finance). In this paper, we focus on indifference utility techniques, assuming that stock prices have jumps,related to major catastrophic losses, and thus, partial hedging should then be possible.

La conférence cette année se tiendra les 5 et 6 février (site) a Bruxelles.