# It is “simply” the average value

For some obscure reasons, simple things are usually supposed to be simple. Recently, on the internet, I saw a lot of posts on the “average time in which you hold a stock“, and two rather different values are mentioned

• Take any stock in the United States. The average time in which you hold a stock is – it’s gone up from 20 seconds to 22 seconds in the last year” (Michael Hudson on http://www.telegraph.co.uk/) or “The founder of Tradebot, in Kansas City, Mo., told students in 2008 that his firm typically held stocks for 11 seconds” (on http://www.nytimes.com/) among many others
• Based on the NYSE index data, the mean duration of holding period by US investors was around 7 years in 1940. This stayed the same for the next 35 years.  The average holding period had fallen to under 2 years by the time of the 1987 crash. By the turn of the century it had fallen to below one year. It was around 7 months by 2007” (on http://topforeignstocks.com/ see also the graph below) or “Two-thirds [of the managers of more than 800 institutional funds interviewed in a study] had higher turnover than they predicted […] Even though most are judged by performance over three-year horizons, their average holding period was about 17 months, and 19% of the managers held the typical stock for one year or less” (mentioned on http://online.wsj.com/) again among many others

How comes that on the one hand, some people talk about less than 20 sec. for the “average time in which you hold a stock“, and on the other, around a year. How can we have such a difference ? We are talking about an average time here, not a rare event probability…

To understand what might be wrong, consider the following case, with a market, and two stocks: one is kept over a year (52 weaks) while the other other is traded – and exchanged – every week (52 times per year). What is the “average time in which you hold a stock” ? Is it

• 26.5 weeks ? the average time for the first stock is 52 weeks, while it is 1 for the second one, i.e. 53 over 2
• 1.96 weeks ? over a year the first stock has been traded once, while it was exchanged 52 times for the second one, i.e. 104 over 53 (total time over the total number of transactions)

Obviously, there is a selection bias in that study (see here for an illustration of that concept, in French). In order to get a better understanding, consider the following simple model, with a large number of simulated stocks. At each transaction, they can be hold by 3 types of investors,

• with probability 70%, hold – on average – for 20 sec.
• with probability 20%, hold – on average – for 15 days
• with probability 10%, hold – on average – for 10 years

As claimed by Warren Buffett, “my favorite time frame for holding a stock is forever“, so it might not be absurd to consider investors who keep a stock for a long period of time. Assume further that the time frame for holding a stock is exponentially distributed (the rate depending on the kind of investor). Assume that those stocks are observed during a period of time of 20 years (which might sound reasonable). Several techniques can be used to estimate the “average time in which you hold a stock

• The first one is to calculate the mean, per stock, of the holding time, and to consider the average over all the stocks. Maybe it would be a good idea to exclude the last observation (since data were censored),
• The second one is to divide the (total) period of time by the (total) number of investors that hold the stock during that time frame (or number of transactions)
• A third idea might be to use the first method, but instead of removing the last one, to use an estimator of the mean based on Kaplan-Meier estimate
• A fourth idea is to look at what happened at a specific date (say after 10 years), i.e. which investor had the stock, and how long he kept it.

The code to generate that process is the following

```> set.seed(1)
> invest=sample(size=ns,c("A","B","C"),
+ prob=c(.7,.2,.1),replace=TRUE)
> lambda=(invest=="A")*20/(365*24*60*60)+
+        (invest=="B")*15/365+
+        (invest=="C")*10
> E=rexp(ns,rate=1/lambda)
> T=cumsum(E)
> T=T[T<20]
> plot(c(T,50),0:length(T),type="s",xlim=c(0,20),col="blue")```

with the following trajectory for the number of investor that did hold that specific stock between time 0 and time 20.

Then, the different techniques are the following,

```# method 1
> E1=diff(T)
> m1=mean(E)
> M1[s]=m1```

for the first one (means of time length, per stock),

```# method 2
> if(length(T)>1){
+ n2=length(T)-1
+ d2=T[length(T)-l]-T[1]
+ N2[s]=n2; D2[s]=d2
+ }```

for the second one (time length and number of transactions),

```+ # method 3
+ T3=c(T,20)
+ C3=c(rep(0,length(T)-1),1)
+ km=survfit(Surv(diff(T3), 1-C3)~1)
+ m3=summary(km,rmean='individual')\$table[5]
+ M3[s]=m3```

for the third one (based on a prediction of the expected mean, from Kaplan-Meier estimate) and

```# method 4
> T0=c(0,T,20)
> m4=min(T0[T0>10])-max(T0[T0<10])
> M4[s]=m4```

for the fourth one (based on what happened at time 10). Using monte carlo simulations, we get very different quantities, that can all be interpreted as the “average time in which you hold a stock”

```> sum(D2,na.rm=TRUE)/sum(N2,na.rm=TRUE)
[1] 0.3692335
> mean(M1,na.rm=TRUE)
[1] 0.5469591
> mean(M3,na.rm=TRUE)
[1] 1.702908
> mean(M4,na.rm=TRUE)
[1] 12.40229```

If we change to probabilities (and assume that high frequency investors are much more important than long-term ones), e.g.

```> invest=sample(size=ns,c("A","B","C"),
+ prob=c(.9,.09,.01),replace=TRUE)```

then the first two estimates are rather different. But not the last two.

```> sum(D2,na.rm=TRUE)/sum(N2,na.rm=TRUE)
[1] 0.04072227
> mean(M1,na.rm=TRUE)
[1] 0.06393767
> mean(M3,na.rm=TRUE)
[1] 0.2504322
> mean(M4,na.rm=TRUE)
[1] 12.05508```

So I have to confess that the “average time in which you hold a stock” can be almost anything from 10 sec. to 10 years, it clearly depends on the way the average is calculated. The second point is that if the proportion of high frequency trading is extremely high, I should not affect the last one (which is, from my point of view, the most interesting one, an might also be improved by here also integrate a censored variate). So I guess people should be careful when discussing such quantities… And if anyone is willing to share data on that topic, I’d be glad to look at them…

# Gold price and fear

Via @theEconomist, I understood that there might be connections between the price of Gold (which is said to be extremely high nowadays) and the VIX SP500 index (the option volatility index, i.e. the so-called “fear index“, as discussed – in French- a few months ago). This has been discussed also on several blogs, e.g. http://etfdailynews.com/ or http://blogs.marketwatch.com/. Via Yahoo quotes, it is possible to get also easily the

SP500 VIX index.

```> library(tseries)
> X=get.hist.quote("^VIX")
> T=time(VIX)
> Y=as.POSIXlt(T)\$year+1900
> X2011=X[Y==2011,]
> VIX=X2011[,4]
> VIX100=as.numeric(VIX)/VIX[1]*100
> T2011=T[Y==2011]
> plot(T2011,VIX100,lwd=2,col="red",type="l",
+ xlab="",ylab="",ylim=c(60,290))```

And a huge xls file can give us the price of gold (on a daily basis). But we can extract only one series (with the price in USD, which is the series of interest here)

```> goldprice=read.table(
+ "http://freakonometrics.blog.free.fr/
public/data/goldpriceUSD.csv",
> T=as.Date(goldprice\$Name,"%d/%m/%y")
> GP=goldprice\$USdollar
> Y=as.POSIXlt(T)\$year+1896
> GP2011=GP[Y==2011]
> GP100=GP2011/GP2011[1]*100
> T2011=T[Y==2011]
> lines(T2011-4*365.25,GP100,lwd=2,col="blue")```

We can see that scales are quite different on those two series (starting at 100 at the beginning of January 2011),

An alternative might be not to consider the price of gold, but something more psychological, like Internet researches. It is possible to download the csv file for queries on gold price on Google, via google insight.

```
> G100=G/G[1]*100
> lines(W,G100,lwd=2,col="blue")```

which gives the following graph (again, starting at 100 at the beginning of January 2011),

Here, we can clearly observe that the two series are related, maybe cointegrated. Nice isn’t it ?

# « l’homme qui avait prédit la crise »

Je vais ressortir un peu ma casquette de schtroumpf grognon aujourd’hui, au risque de me faire encore taxer d’anti-journaliste primaire. Mais j’ai été agacé en lisant dans un article (journalistique, pas académique) qu’un personnage était présenté comme « l’homme qui avait prédit la crise ». En sept mots, le journaliste a réussi a utiliser trois clichés qui m’agacent.

Commençons par la fin, à savoir « la crise ». Sans vouloir jouer le schtroumpf grognon, je n’aime pas ce mot, abondamment utilisé par les journalistes… C’est quoi « la crise » ? Surtout que quand on pose la question, la réponse est toujours « allons, tu sais bien… la crise, quoi ». A la rigueur, «la crise financière »… mais laquelle ? « allons, arrête de faire du mauvais esprit… la crise de la dette, tu sais… ».  Mais de quoi on parle là ? Des états européens sur-endettés qui risquent de se faire downgrader par les agences de notation ? Des dettes des particuliers qui explosent ? Des endettements des étudiants qui doivent faire face à la hausse des frais d’inscription ? Bref, je n’aime pas ce mot fourre tout qui ne peut être défini de manière univoque. Mais ce n’est pas ce qui m’agace le plus…

Il y a ensuite le mot « prédit ». Car c’est le mot qui est le plus utilisé par les journalistes, en France. Étrangement, le mot « prévu » n’est pas utilisé. Car «prédire » n’est pas « prévoir ». Certes, les deux se rapportent à l’avenir, de part le préfixe pré- qui exprime l’antériorité dans le temps. Le verbe « prédire » est souvent employé pour des pronostics, qui relèvent de l’intuition, d’un sentiment prémonitoire, voire d’une expérience surnaturelle: les voyantes « prédisent » l’avenir. Par contre, il existe des instituts de « prévision », ainsi que des cours de méthodes de « prévision » (ou encore des ouvrages, sur le sujet). On fait des « prévisions » météo, ou budgétaires. Bref, « prédire » relève de la foi, alors que « prévoir » relève davantage de la science. Il y a deux ans, j’avais déjà parlé des prédicateurs dans un billet suite au tremblement de terre qui avait eu lieu en mars 2009 en Italie (et je me permets de reprendre – plus ou moins – l’image extraite du plus formidable des albums de Tintin – d’où est aussi tiré l’image qui figure sur mon blog, et à laquelle je me suis pleinement identifiée). Et ce qui m’agace c’est que les journalistes préfèrent écouter les prédicateurs aux prévisionnistes… Et je ne parle pas des nombreux articles sur Paul le poulpe

Enfin, il y a l’utilisation du terme « l’homme », ou plus précisément l’emploi du «l’», qui laisse entendre qu’il y a unicité: une seule personne aurait annoncé la crise. Vu de loin, c’est d’ailleurs amusant de noter que chaque journaliste a « son homme » qui aurait annoncé la crise. C’est Paul Jorion pour Rue89 (et France Culture), Nouriel Roubini pour le New York Times (et d’autres médias en France) mais certains pensent à Robert ShillerGeorges MagnusMelchior PalyiVictor MaslovRaghuram Rajan, etc. Manifestement, il n’y a pas unicité, et pourtant tous les journalistes aiment utiliser ce pronom « l’ ». En fait, souvent les journalistes omettent de dire que cet homme est « l’homme » au sein des personnes faisant parti du réseau de personnes qu’ils lisent, et qui font partie de leur cercle médiatique. Ce qui est agaçant, c’est que les journalistes ne prennent pas la peine de lire les articles écrits par les économistes dans les revues d’économie. Malheureusement, dans un article académique, on ne prédit pas des crises, mais il y a de nombreuses analyses critiques qui permettent d’éclairer, et pas seulement ex-post. Mais lire des articles théoriques demande du temps, et des compétences…

# Short selling, volatility and bubbles

Yesterday, I wrote a post (in French) about short-selling in financial market since some journalists claimed that it was well-known that short -selling does increase volatility on financial market. Not only in French speaking journals actually, since we can read on http://www.forbes.com that  « in a market with restrictions on short-selling, volatility is reduced ». But things are not that simple. For instancehttp://www.optionsatoz.com/ explains it from a theoretical point of view. But we can also look at the data. For instance, we can compare the stock price of Air China, exchanged in Shanghai in blue (where short-selling is forbidden) and in Hong Kong in rouge (where short-selling is allowed), since @Igor gave me the tickers of those stocks

```library(tseries)
X<-get.hist.quote("0753.HK")
Y<-get.hist.quote("601111.SS")
plot(Y[,4],col="blue",ylim=c(0,30))
lines(X[,4],col="red")```

But as @alea_ pointed out, one asset is expressed here in Yuans renminbi, and the other one in HK dollars. So I downloaded the exchange rate fromhttp://www.oanda.com/

```Z=read.table("http://freakonometrics.blog.free.fr/public/
D=as.Date(as.character(Z\$date),"%d/%m/%y")
z=as.numeric(Z\$CNY.HKD)
plot(D,z,type="l")
X2=X[,4]
for(t in 1:length(X2)){ X2[t]=X2[t]*z[D==time(X2[t])]}
X2=X[,4]
plot(Y[,4],col="blue",ylim=c(0,30))
lines(X2,col="red")```

Now both stocks are expressed in the same currency. To compare returns volatility, a first idea can be to use GARCH models,

```RX=diff(log(X2))
RY=diff(log(Y[,4]))
Xgarch = garch(as.numeric(RX))
SIGMAX=predict(Xgarch)
Ygarch = garch(as.numeric(RY))
SIGMAY=predict(Ygarch)
plot(time(Y)[-1],SIGMAY[,1],col="blue",type="l")
lines(time(X2)[-1],SIGMAX[,1],col="red")```

But volatility is here too eratic. So an alternative can be to use exponentially-weighted moving averages, where simple recursive relationships are considered

or equivalently

The code is not great, but it is easy to understand,

```moy.ew=function(x,r){
m=rep(NA,length(x))
for(i in 1:length(x)){
m[i]=weighted.mean(x[1:i],
rev(r^(0:(i-1))))}
return(m)}
sd.ew=function(x,r,m){
sd=rep(NA,length(x))
for(i in 1:length(x)){
sd[i]=weighted.mean((x[1:i]-m[i])^2,
rev(r^(0:(i-1))))}
return(sd)}
q=.97
MX=moy.ew(RX,q)
SX=sd.ew(RX,q,MX)
MY=moy.ew(RY,q)
SY=sd.ew(RY,q,MY)
plot(time(Y)[-1],SY,col="blue",type="l")
lines(time(X2)[-1],SX,col="red")```

And now we have something less erratic, so we can focus now on the interpretation.
It is also possible to look on the difference between those two series of volatility, areas in blue means that in Shanghai (again, where short-selling is forbidden) returns are more volatile than in Hong Kong, and areas in red are periods where returns are more volatile in Hong Kong,

```a=time(X2)[which(time(X2)%in%time(Y))]
b=SY[which(time(Y)%in%time(X2))]-
SX[which(time(X2)%in%time(Y))]
n=length(a)
a=a[-n];b=b[-n]
plot(a,b,col="black",type="l")
polygon(c(a,rev(a)),c(pmax(b,0),rep(0,length(a))),
col="blue",border=NA)
polygon(c(a,rev(a)),c(pmin(b,0),rep(0,length(a))),
col="red",border=NA)```

So clearly, there is nothing clear that can be said… Sometimes, volatility is higher in Hong Kong, and sometimes, it is higher in Shanghai. But if we look at the price, instead of looking at volatility,

```a=time(X2)[which(time(X2)%in%time(Y))]
b=as.numeric(Y[which(time(Y)%in%time(X2)),4])-
as.numeric(X2[which(time(X2)%in%time(Y))])
n=length(a)
a=a[-n];b=b[-n]
plot(a,b,col="black",type="l")
polygon(c(a,rev(a)),c(pmax(b,0),rep(0,length(a))),
col="blue",border=NA)
polygon(c(a,rev(a)),c(pmin(b,0),rep(0,length(a))),
col="red",border=NA)```

Here, it looks like bans on short-selling creates bubbles. Might not not be a goodthing.

# La vente à découvert, un moindre mal ?

Doit-on penser, comme l’avait dit Amartya Sen, que l’économie est une science morale ? La science économique (comme science ‘humaine’) a-t-elle un contenu moral per se, contrairement aux sciences ‘dures’ ? Si la morale est un choix de ce qui est bien et de ce qui est mal, on admettra que la loi de la gravitation universelle n’est bien ni mal. Pareil pour la division des cellules, ou le théorème de Pythagore. Pourtant en économie, il est fréquent d’évoquer une raison morale comme justification de tout et n’importe quoi… peut-être encore plus dès que l’on parle de finance…
Par exemple dans La Presse datant de fin septembre, on apprend que « les lois de l’offre et de la demande sont malheureusement faussées par le short selling […] Pourquoi permet-on de telles pratiques? Comme vous le savez la très grande proportion des short sellers ce sont des spéculateurs […] Malheureusement les autorités des marchés font la sourde oreille devant le gros bon sens d’une telle demande. Leur argument ? Oui! le «short selling» crée de la volatilité artificielle, mais l’interdire brimerait le libre jeu de l’offre et de la demande ».
Bref, la vente à découvert c’est mal, il faudrait l’interdire ! En Europe, La Tribune ou Le Monde en ont aussi parler, avec des arguments similaires.

Bruno Rémillard, que j’ai croisé en fin de semaine à un séminaire, me disait avoir envoyé à La Presse une lettre afin d’apporter des précisions (réponse écrite avec Nicolas Papageorgiou ), lettre restée pour l’instant sans réponse (et non publiée). Il reprenait en partie des résultats d’Alexandre Roch qui montrait que l’interdiction de vente à découvert pouvait générer des bulles spéculatives. Par exemple sur le graphique ci-dessus, emprunté à Alexandre, on a comparé les valeurs du titre d’Air China, échangé à la fois à Shanghai en bleu (où la vente à découvert est interdite) mais également à Hong Kong en rouge (où la vente à découvert est permise).

Je pense qu’il faudrait regarder plus attentivement pour montrer que le titre est plus volatile sur le marché où la vente à découvert n’est pas autorisée. Mais surtout, interdire la vente à découvert signifie encourager la création de bulles. Je ne suis pas sur que le jeu en vaille la chandelle….

# Les traders sont des animaux curieux…

Et je dis ça d’autant plus sereinement que j’ai travaillé un temps en salle de marche, que j’ai pas mal d’anciens élèves qui y sont, ainsi que la majorité de mes copains de promo…

On a beaucoup lu sur les cracks en maths qui partaient faire de la finance. Je ne pense pas qu’il y ait besoin d’être un crack en maths pour aller jouer en salle de marche (comme je l’ai dit à plusieurs reprises ici ou , pas mal de problème de finance sont des problèmes de buveurs d’alcool qui ont du mal à rentrer chez eux), mais c’est vrai que lors des entretiens d’embauche, il n’est pas rare de mettre des petits exos de maths. Le but est surtout de se faire une idée sur la manière dont les candidats résolvent un problème, et de vérifier que les candidats peuvent faire preuve d’un peu de logique (cela dit, j’ai fait la même chose lorsque j’ai recruté un collègue lorsque je travaillais à Hong Kong dans une compagnie d’assurance).
J’y pensais l’autre jour en lisant chasseur de tête (Hodejegerne en vo) de Jo Nesbø (sans l’inspecteur Harry Hole), où un des personnages demandait

En fait, la réponse proposée est fausse, ou partiellement fausse… Et si je le sais c’est parce qu’il y a quelques mois, je discutais avec un ancien élève qui me racontait qu’il posait la même question lors des entretiens d’embauche (ou de stages). Plus précisément, ça commence calmement…

« donnez nous deux nombres premiers qui soient deux nombres impairs consécutifs »

Effectivement, pour l’instant, ce n’est pas trop dur…  on peut penser à 3 et 5, ou 5 et 7, 11 et 13, ou encore 17 et 19. Les plus tordus penseront à 31721 et 31723, voire 49919 et 49921. Bref, cette propriété est assez commune chez les nombres premiers, donc c’est facile…

« donnez nous trois nombres premiers qui soient trois nombres impairs consécutifs »

Si on a pensé à 3 et 5 avant, on pensera naturellement à 3, 5 et 7… Et ça marche… Mais ensuite vient la question plus vicieuse…

« pourriez-vous en trouver trois autres »

plus dur déjà… Un indice ? Comme c’est un entretien d’embauche dans une banque (et pas un exercice d’agrégation de mathématiques), soit il y a une réponse simple… soit la réponse est que ça n’est pas possible….

Et effectivement, ça n’est pas possible. Car si on prend trois nombres impairs consécutifs, il y en a toujours un qui est un multiple de 3. Formellement, on a retenu n, n+2 et n+4

Si les deux premiers (n et n+2) sont premiers, alors n=3k-1 et n+2=3k+1. Et donc n+4=3k+3=3(k+1) qui est un multiple de trois…

Si les deux derniers (n+2 et n+4) sont premiers, alors n+2=3k-1 et n+4=3k+1. Et donc n=3k-3=3(k-1) qui est un multiple de trois…

Enfin, si le premier et le dernier sont premiers, alors n=3k-2 et n+4=3k+2. Et donc n+2=3k qui est un multiple de trois… Donc la seule solution est que le multiple de 3 qui doit apparaître soit précisément 3. Donc la solution unique est 3, 5 et 7.

Je sais pas vous… mais moi ça me laisse un petit goût de pas-fini… On aurait envie d’aller plus loin, genre

« donnez nous n nombres premiers qui soient nombres consécutifs, en comptant de p en p »

en notant que, pour l’instant, on a regardé (uniquement) le cas où n vaut 3, et p vaut 2. Et il y a peut-être un résultat plus général derrière, non ?

Comme me l’a fait note Jürgen, la question un peu mieux formulée (en termes mathématiques) serait

« donnez nous une progression arithmétique de longueur n et de raison p formée de nombres premiers »

Intuitivement, on se doute qu’il faut regarder si n et p sont premiers entre eux (car c’est dans ce cas que la réponse risque de ne pas exister) et c’est ce que m’a confirme Agnès. En fait

• dans le cas où n et p sont premiers entre eux

si n n’est pas premier, alors il n’y a aucune solution. Par exemple (n,p)=(4,2).
En revanche, si n est premier, alors il n’y a qu’un nombre fini de solution (qui peut être nul, ou 1 comme dans la question initiale). L’idée est que le premier terme est à chercher dans l’ensemble des entiers

{n-(n-1)p, n-(n-2)p, …, np, n}

En particulier, n doit être un des termes de la progression.

Par exemple, si (n,p)=(3,2) il y a une seule solution (3,5,7) alors que pour (n,p)=(5,2) il n’y a pas de solution.Et si (n,p)=(5,6) il y a une seule solution avec (5, 11, 17, 23, 29).

• dans le cas où n et p ne sont pas premiers entre eux

Dans ce cas, la question doit être difficile (toujours selon Agnès), et on conjecture qu’il y a un nombre infini de solutions. Je ne sais pas si ça aide, car je ne sais pas si cet infini est grand ou pas… au sens où il faudrait peut être attendre un temps long infiniment long pour avant de tomber sur une telle suite…
En fait, Jürgen me suggérait de regarder un article de Green et Tao (ici) qui ont montré qu’il existe une infinité de progressions arithmétiques (formées de premiers) de longueur arbitraire. Plus précisément, on conjecture que le nombre de progressions de longueur n et de raison p (formées de nombres premiers) dans l’ensemble des nombres entiers de 1 à m serait de l’ordre de m/log(m)^n. Pour rappel, le théorème des nombres premiers dit qu’il y a m/log(m) nombres premiers entre 1 et m (Hadamard, La Vallée Poussin, 1896, ici).

Intéressant problème, non ? En tous les cas, au moins pour repérer des nerds… pour embaucher des gens qui pourront éviter d’acheter ou de vendre n’importe quoi, je ne sais pas trop le rapport…

Cela dit, pour ceux que ces problèmes amusent, un conteur dans le Lot nous a posé une question que je ne serais pas surpris de voir réapparaître dans les entretiens d’embauche, « Dans un lointain pays, un roi souhaite commander plusieurs bagues en or parfaitement identiques a 10 joailliers (et il peut en demander autant qu’il le souhaite à chacun) de 10 grammes chacune . Si 9 sont parfaitement honnêtes, 1 d’entre eux ne peut s’empêcher d’enlever 1 gramme d’or à chacune des bagues qu’il fabrique… Mais le roi ne sait pas lequel. Comment peut-il le démasquer en faisant une unique pesée..? ».

Avis aux amateurs…

En fait, comme il peut demander autant qu’il le souhaite, il demande 1 bague au premier joaillier, 2 au second, 3 au troisième, …., 10 au dernier. Il pèse alors toutes les bagues ensemble. Si tous étaient honnêtes, il y aurait 550 grammes. Le nombre de grammes qu’il manque dit quel joaillier a triché. S’il manque 3 grammes, c’est que 3 bagues sont trop légères, et c’est donc le troisième joaillier qui a triché.

# We keep breaking records ? so what ?… Get statistical perspective….

This summer, we have been told that some financial series broke some records (here, in French)

For instance, the French CAC40 had negative return for 11 consecutive days (which has never been seen, so far).

```> library(tseries)
> x<-get.hist.quote("^FCHI")
> Y=x\$Close
> Z=diff(log(Y))
> RUN=rle(as.character(Z>=0))\$lengths
> n=length(RUN)
> LOSS=RUN[seq(2,n,by=2)]
> GAIN=RUN[seq(1,n,by=2)]
> TG=sort(table(GIN))
> TG[as.character(1:13)]
GAIN
1    2    3    4    5    6    7    8    9 <NA> <NA> <NA>   13
645  336  170   72   63   21    7    3    4   NA   NA   NA    1

> TL=sort(table(LOSS))
> TL[as.character(1:15)]
LOSS
1    2    3    4    5    6    7    8    9 <NA>   11 <NA> <NA>
664  337  186   68   42   14    5    3    1   NA    1   NA   NA

> TR=sort(table(RUN))
> TR[as.character(1:15)]
RUN
1    2    3    4    5    6    7    8    9 <NA>   11 <NA>   13
1309  673  356  140  105   35   12    6    5   NA    1   NA    1```

Indeed 11 consecutive days of negative returns is a record. But one should keep in mind the fact that the real records for runs is 13 consecutive days with positivereturns…
But what does that mean ? Can we still assume time independence of log-returns (since today, a lot of financial models are still based on that assumption) ?
Actually. if financial series were time-independence, such a probability, indeed, should be rather small. At least on 11 or 10 runs. Something like

(assuming that each day, the probability to observe a negative return is 50%). But maybe not over 25 years (6250 trading days): the probability to observe a sub-sequence of 10 consecutive negative value (with daily probability of one half) over 6250 observations will be much larger. My guess is that is would be

where at the numerator we have the number of favourable cases over the total number of cases. At the numerator, the first number the number of cases where the first 10 (at least) are negative, then for the second one, we count the number of cases where the first is positive, then the next 10 (at least) are negative (and then the second is positive and then the next 10 are negative, the third is positive etc). For those interested by more details (and a more general formula on runs), an answer can be found here.
But note that the probability is quite large… So it is not that unlikely to observe such a sequence over 25 years.
A classical idea when looking at time series is to look at the autocorrelation function of the returns,

which might suggest that there is no correlation with past returns. But it should be possible to do more advanced tests.
On the CAC40 series, we can run an independence run test on the latest 100 consecutive days, and look at the p-value,

```> library(lawstat)
> u=as.vector(Z[(n-100):n])
> runs.test(u,plot=TRUE)

Runs Test - Two sided

data:  u
Standardized Runs Statistic = -0.4991, p-value = 0.6177```

The B’s here are returns lower than the median (almost null, so they might be considered as negative returns). With such a high p-value, we accept the null hypothesis, i.e. time independence.
If we consider a moving-time window

we can see that we accept the assumption of independence most the the time.
Actually, here, the time window is 100 days (+/- 50 days). But it is possible to consider 200 days,

or even 400 days,

So, except if we focus on 2006, it looks like we should reject the idea of time dependence in financial markets.
It is also possible to look more carefully at the distribution of runs, and to compare it with the case of independent samples (here we consider monte carlo generation of sequences having the same size),

```> m=length(Z)
> ns=100000
> HIST=matrix(NA,ns,15)
> for(j in 1:ns){
+ XX=sample(c("A","B"),size=m,replace=TRUE)
+ RUNX=rle(as.character(XX))\$lengths
+ S=sort(table(RUNX))
+ HIST[j,]=S[as.character(1:15)]
+ }
> meana=function(x){sum(x[is.na(x)==FALSE])/length(x)}
> cbind(TR[as.character(1:15)],apply(HIST,2,meana),
+       round(m/(2^(1+1:15))))

[,1]       [,2] [,3]
1    1309 1305.12304 1305
2     673  652.46513  652
3     356  326.21119  326
4     140  163.05101  163
5     105   81.52366   82
6      35   40.74539   41
7      12   20.38198   20
8       6   10.16383   10
9       5    5.09871    5
10     NA    2.56239    3
11      1    1.26939    1
12     NA    0.63731    1
13      1    0.31815    0
14     NA    0.15812    0
15     NA    0.08013    0```

The first column above is the empirical frequency of runs of length 1,2,3, etc. The second one is the average frequencies obtained on random simulation of independent sample. The third one is the theoretical frequency based on a (geometric distribution with mean 1).

Here again, it looks like our time series behave like an independent sample. Here is also a nice paper by Mark Schilling on the longest run of heads.
So it is not that odd to observe such a series of losses on financial markets….

# Variable annuities is not a systemic risk ?

The Geneva Association just published on its website an interesting report on variable annuities and systemic risk (online here). Based on a definition of potentially systemically risky activities, on interconnectedness or substitutability, the report claims that since “none of the criteria is triggered”, variables annuities is “not a potentially systemically risk activity”. Even if “short-term effects are conceivable”. I guess it is a diplomatic way to say it…

Note that a series of slides can also be downloaded (there) on insurance and systemic risk. But that deserves a more detailed post.

# … pour tout l’or du monde

Allez, un rapide billet sur l’or (moins statistique que celui écrit il y a 6 mois sur le prix de l’or, ici). Car ce soir, avec les enfants, on survolait le livre passionnant de Theodore Gray, sur les Atomes.
Et ma fille a voulu que je lui lise la page sur l’aurum de son nom latin, alias Au dans la classification des éléments. Bon, il faut avouer que les dessins d’atomes l’amusent peu, mais elle regardait plutôt les choses qui brillaient…
Et j’ai été surpris par la phrase suivante “tout l’or jamais extrait dans l’histoire des hommes tiendrait aujourd’hui dans un cube d’environ 18.30 mètres de coté”. J’avoue que ça a un peu cassé le mythe de plusieurs films américains, où on voit des montagnes de lingots, car finalement un cube de 18 mètres de côté, c’est relativement peu…
En fait, ça fait 6128.5m3. Et si on veut trouver le poids, en notant que la densité de l’or est de l’ordre de 19.25 (i.e. g/cm3), on doit arriver à un poids de l’ordre de 117973 tonnes. Ce qui fait son poids, j’en conviens… Maintenant si on regarde le cours de l’or, le lingot d’un kilogramme se négociait (aujourd’hui) à 32336 euros. Et bien selon ma calculatrice, on arrive à 3.815.1012 euros…

```> 183^3*19.25*32336
[1] 3.814787e+12```

ce qui correspond à 3814 milliards d’euros.

Alors pour les amateurs d’ordre de grandeur (ici), “le forex” (i.e. le trading sur les marchés de change) “c’est 4000 milliards de dollars échangés quotidiennement* en 2010”. Mais ces sommes échangées sur les marchés, c’est assez dur à appréhender. Un autre ordre de grandeur a été donné par le WWF, qui a annoncé (ici) qu’il était possible de faire “4000 milliards d’euros d’économies d’énergie par an”. Bref, tout d’un coup, je me suis rendu compte que ceux qui envisageraient un effondrement des marchés financiers et un retour à l’or comme valeur de référence étaient loin du compte…. Car décidément, l’or est un élément bien rare….
* ou tous les deux jours suivant ce que l’on compte, cf discussion dans les commentaires

# “Le prix de l’or bat de nouveaux records”… et alors ?

Histoire de changer un peu, un rapide billet d’économie… bien que l’économie monétaire ne soit pas mon domaine de prédilection, loin de là. Mes compétences en la matière (comme sur beaucoup de notions en économie) se limitent à la lecture (mais aussi une intense relecture) d’Obélix et Compagnie

je dois avouer que je suis surpris par les commentaires de certains journalistes économiques, qui nous expliquent que “l’or a atteint des niveaux historiques” (ici, même si ça date un peu) ou que “le prix de l’or bat de nouveaux records” (ce matin cette fois, ). On peut aussi lire ici ou . On peut s’en convaincre en jetant un œil aux graphiques ici, , ou encore. Sans vouloir être méchant, si je transpose ca a une discussion que je pourrais avoir avec mes enfants, ça donnerait: “On a mis 150 euros sur un livret A le jour de votre naissance… c’est incroyable, mais tous les 15 jours, on bat des records: vous êtes de plus en plus riche !”

En fait, effectivement, le prix de l’or atteint des records… mais qu’est-ce que je peux faire de ce “prix historique” quand on sait qu’à coté, tout augmente (comme dirait ma grand mère)… On pourrait normaliser par rapport a autre chose, par exemple un indice boursier (car on parle d’investissement), ou comme le font plutôt les économistes, avec quelque chose en rapport avec la masse monétaire. Non ?
Faisons les calculs: les séries du prix de l’or se trouvent ici par exemple (avec des séries journalières pour les années les plus récentes), et pour les données permettant d’actualiser, on pourra aller ici. Pour faire simple, je me suis contenté des données mensuelles en ligne ici, et pour la masse monétaire, M3 serait pas mal (je renvoie ici pour les détails), mais la Réserve Fédérale américaine ne le publie plus depuis 2006. J’aurais bien aimé aller ici, mais c’est payant. Finalement je suis allé , en extrapolant M3 sur les années récentes (de 2006 à 2010) en utilisant le taux de croissance observé sur M2. Les données ne sont pas corrigées des variations saisonnières.

```>  OR = read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/
arthur.charpentier/prix-or-mensuel.csv",
>  tOR=as.vector(t(OR[,2:13]))
>  VOR=tOR[1:511]```

car j’avais mis des 0 pour les mois non observés de 2010 (on les supprime tout simplement). Sinon on retrouve la courbe qui indique qu’effectivement, on a atteint des records…

```>    TOR=ts(VOR, frequency = 12, start = c(1968, 1))
>    plot(TOR,col="red")```

So what ? Regardons un peu notre masse monétaire qui permettra de ramener le prix de l’or dans le passé au prix réel de l’argent,

```>    M = read.table("https://perso.univ-rennes1.fr/
arthur.charpentier/M1M2M3.txt")
>    M2=as.numeric(as.character(rev(M\$V4)))
>    M3=as.numeric(as.character(rev(M\$V5)))
>    M2b=M2[560:length(M2)]/M2[559]
>    M3[560:length(M3)]=M3[559]*M2b
>    TM3=ts(M3,frequency=12,start=c(1959,1))
>    plot(TM3,col="blue")```

Bon, j’ai fait une approximation rapide, mais c’est vraiment histoire de voir ce qui se passe si on normalise le prix de l’or. Ceux qui veulent aller plus loin peuvent améliorer le code. Et en corrigeant pour travailler à quantité d’argent équivalent, on obtient des choses un peu différentes (j’aime les euphémismes)

```>    TM3b=ts(M3[(12*9+1):length(M3)],
+    frequency = 12, start = c(1968, 1))
>    TORb=TOR/TM3b
>    plot(TORb,col="purple")
>    abline(h=TORb[length(TORb)],lty=2)```

On a certes une hausse relativement importante depuis un peu moins de 10 ans du prix de l’or, mais le niveau n’est en rien comparable avec la crise qui s’est observé en 1980 (évoqué ici, , ou encore). Fort heureusement, on ne nous tient pas le même discours sur le PIB, nous expliquant qu’il ne cesse de battre, mois après mois, de nouveaux records ! On notera que ce graphique se rapproche d’autres, en ligne, ici ou
Pour ceux qui ne sont pas convaincu que l’or puisse être relié à une grandeur monétaire, on peut voir l’or comme une alternative à un placement en bourse, et comparer à un indice boursier (par exemple le SP500 pour rester aux États Unis),

```>    SP=read.table("http://ichart.finance.yahoo.com/
table.csv?s=%5EGSPC&a=00&b=1&c=1968&d=08
&e=18&f=2010&g=m&ignore=.csv",
>    tSP=rev(SP\$Close)
>    TSP=ts(tSP, frequency = 12, start = c(1968, 1))
>    plot(TSP,col="red")```

```>    TORc=TOR/TSP
>    plot(TORc,col="purple")
>    abline(h=TORc[length(TORc)],lty=2)```

Bref, quelle que soit la quantité retenue pour normaliser, on se rend compte que les niveaux atteints ces derniers mois sont très loin de ceux observés en 1980, voire dans les années 80. Pas de quoi en faire la une de la presse….

# Foot, probabilité, et assurance, partie 2

Continuons le billet commencé ici, où j’essayais noté que les enseignes qui se sont engagé à faire des cadeaux en cas de victoire de l’équipe de France s’étaient couvertes via des contrats d’assurance. En fait, elles peuvent également se couvrir sur les marchés (en l’occurrence les sites de paris en ligne). Il existe plusieurs façons de faire des paris. La première est de faire (ou d’acheter) un pari sur un événement (la France ira en finale de la coupe du monde, par exemple). Ce pari est assorti d’une cote que défini le bookmaker. A une cote de 20 contre 1, si je paris 1 euro, je gagne 20 euros en cas de qualification pour la finale.
Dans ce cas particulier, le bookmaker est un agent important dans le marché, car il fixe le prix. Le site oddschecker.com (ici) permet de voir les cotes offertes par différents bookmakers.

Mais il existe aussi des marchés de paris, sans bookmakers. Il s’agit réellement d’un marché, où les parieurs prennent des positions les uns contre les autres, le bookmaker ne servant que d’intermédiaire et d’animateur sur ce marché. C’est le cas sur betfair.com () qui est un site d’échange de paris.

Pour commencer simplement, imaginons que nous sommes quelques jours avant une finale opposant la Corée du Sud aux Etats-Unis. Comme il ne peut y avoir qu’un vainqueur il existe des contratssymétrique, où l’on peut gagner 20 euros si la Corée gagner (et rien si elle perd) et un autre où l’on peut gagner 20 euros si la Corée perd. Bref, soit je suis acheter sur la Corée, soit je suis vendeur. Le prix de ces contrats indiquent la probabilité qu’a la Corée de gagner. On parle aussi de back or lay, deux évènements étant possibles.

• Lecture d’une cote

Regardons maintenant le match d’ouverture, opposant l’Afrique du Sud au Mexique. Les cotes sont les suivantes, “Mexique 6/4, Afrique du Sud 15/8 et Draw (match nul) 11/5” sur un des sites. Le premier nombre indique ce que l’on gagne (net) en misant le second, si mon pari est gagnant. Autrement dit, si je paris 5 euros sur un match nul, et que match nul il y a, alors mon bénéfice sera de 11 (que je touche en plus de ma mise). La cote est alors de 1+11/5, soit 16/5 (j’avais fait ici un billet sur le lien entre cote et probabilité). Elle indique non plus le bénéfice, mais le gain: en misant 5 euros, j’empoche 16 euros. On parlera de paris 1X2.

Pour aller plus loin, on peut aussi parier sur le nombre de buts marqués. On parlera de paris over/under.

Chez le même bookmaker, si je paris 1 euro que la France gagne la coupe du monde, je fais un bénéfice de 18 euros.

• Cote ou probabilité ?

Lorsque j’avais essayé d’expliquer l’origine de la loi logistique (ici), j’avais expliqué qu’il existait un lien simple entre probabilité et cote, la cote étant la probabilité que l’évènement se réalise, divisé par la probabilité qu’il ne se réaliste pas. Malheureusement, les choses sont un peu plus complexes dans les paris…
Zoomons un peu sur le match d’ouverture,

La cote est la valeur offerte la par le bookmarker, à laquelle on ajoute 1. La “probabilité” est alors l’inverse de cette cote.

 résultat Bookie Offers Cote “probabilités” Mexico 11/8 2.375 42.10% South Africa 13/8 2.623 38.09% Draw 11/5 3.200 31.25% total 111.45%

A-t-on raté quelquechose ? car visiblement la “probabilité” n’est pas une vraie probabilité… En fait, supposer que l’on puisse construire une mesure de probabilité à partir des cotes doit pouvoir être relié au “théorème fondamental d’asset pricing” (et de probabilités risques neutres mentionnés tout à l’heure)

• Relecture des cotes à l’aide du théorème fondamental

Autrement dit, on suppose qu’il existe une mesure telle que
est l’ensemble des gains possibles, et un équivalent certain.
On suppose qu’il existe un ensemble d’évènements (mutuellement exclusif comme on dit, formant une partition de ), un seul pouvant survenir (en l’occurrence l’équipe qui reçoit gagne, ou l’équipe qui reçoit perd, ou il y a match nul). On considère un bookmaker qui accepte de payer si l’évènement i survient à un joueur qui aura parié 1 euro. On pourra légitimement pense que . Notre souhait est de relier ces et , si un lien quelconque pouvait exister. Ce problème avait été soulevé par Ramsey ou de Finetti.

En notant le montant total placé sur l’évènement . On pourra dire que l’on est à l’équilibre si est constant. Autrement dit, le ratio des cotes doit être l’inverse des ratios de montants placés,

On peut ainsi s’intéresser à

qui est la fraction de l’argent qui sera effectivement rétribuée aux parieurs, ou sera la part gardée par le bookmaker. On peut penser qu’un bookmaker fixe , et alors

En fait, k peut être vu comme un taux d’actualisation (l’équivalent d’un en mathématique financière). On peut d’ailleurs noter que si on note le produit

alors la stratégie consistant à parier

sur l’évènement , pour tout les évènements, aura un coût unitaire (j’ai ici constitué mon portefeuille si on revient à la théorie de l’arbitrage). Aussi

En l’occurrence, sur le match d’ouverture de la coupe du monde, on obtient de l’ordre de 90% (l’inverse de la somme de la dernière colonne). Autrement dit, le bookmaker prend de l’ordre de 10%.
A partir de là, on peut en déduire de ces prix d’Arrow Debreu une “probabilité implicite” qui est la probabilité risque neutre, ou la croyance des investisseurs dans la survenance des évènements. Pour cela, on pourrait poser

sauf que dans ce cas, compte tenu de la dernière relation, . On définie alors la probabilité implicite des parieurs sous la forme

On a réussit à construire une mesure de probabilité , qui correspond à l’intuition des parieurs… mais qui n’a rien à voir avec la probabilité réelle. Si l’on compare les bookmakers, on note que les probabilités induites sont très proches,

et si on compare la part prise par le bookmaker sur ce match, on est là aussi sur des ordres de grandeurs comparables,

Justin Wolfers et Eric Zitzewitz, dans Prediction Markets paru dans le Journal of Economic Perspectives de 2004 (ici) expliquent d’ailleurs tout cela très clairement. Je peux aussi renvoyer à un document de travail datant de novembre dernier de Egon Franck, Erwin Verbeek, et Stephan Nüesch (en ligne ici).
J’ai parlé tout à l’heure de probabilité risque neutre, mais cela sous-entend que l’on puisse supposer les marchés efficients, et qu’il n’y ait absence d’opportunité d’arbitrage. C’est précisément ce qu’avait regardé Steven Levitt et Richard Gillici, dans un vieux papier, évoqué également . Pour résumer les conclusions, il n’y a pas d’opportunités d’arbitrage sur ces marchés, et il existe des “market makers”, c’est à dire des parieurs misant énormément, ce qui accroît considérablement la liquidité de ces marchés. Mais cette conclusion sur l’absence d’opportunité d’arbitrage a été largement remise en cause en pratique. Pour aller plus loin, on peut aussi regarder un article de Moris Eaton et David Freedman, Dutch Book against some ‘Objective’ Prior, paru dansBernoulli en 2004, en ligne . C’est marrant car cette relecture Bayésienne des jeux de pari peut être étudier en pratique, pour la coupe du monde de foot surworldcup.bayesialab.com (, merci Avner pour le lien). Je vais continuer de suivre ça lorsque les matchs commençerons, afin de voir les mises à jour des paris au fur et à mesure de l’évolution des matchs… à suivre donc.

# Arrêtez donc vos singeries !

Tout le monde connaît l’expérience où l’on compare les gains financiers obtenus par un traders expérimenté et un singe. Même si beaucoup de sites évoquent “la célèbre expérience“, je n ’en ai pas trouvé beaucoup – en France – qui donnent une référénce claire. Cette expérience  était née d’une théorie de Burton Malkiel dans son livre a random walk down wall street, qui affirmait “a blindfolded monkey throwing darts at a newspaper’s financial pages could select a portfolio that would do just as well as one carefully selected by experts“. En 1988, le Wall Street Journal a pris Burton Malkiel au mot, et a tenté l’expérience.Mais ils n’utilisèrent pas des singes, et ce furent des journalistes qui tiraient au hasard les actions sur lesquelles ils investiraient (alors que parallèlement, les mêmes sommes étaient confiées à des vrais inverstisseurs). Après 6 mois d’expérience, ils firent le bilan. “On October 7, 1998 the Journal presented the results of the 100th dartboard contest. So who won the most contests and by how much? The pros won 61 of the 100 contests versus the darts. That’s better than the 50% that would be expected in an efficient market. On the other hand, the pros losing 39% of the time to a bunch of darts certainly could be viewed as somewhat of an embarrassment for the pros. Additionally, the performance of the pros versus the Dow Jones Industrial Average was less impressive. The pros barely edged the DJIA by a margin of 51 to 49 contests. In other words, simply investing passively in the Dow, an investor would have beaten the picks of the pros in roughly half the contests (that is, without even considering transactions costs or taxes for taxable investors). The pro’s picks look more impressive when the actual returns of their stocks are compared with the dartboard and DJIA returns. The pros average gain was 10.8% versus 4.5% for the darts and 6.8% for the DJIA.” Il semble que l’Expansion en France ait aussi voulu tenter l’expérience.

La conclusion de cette expérience est qu’en moyenne, il est dur de battre le hasard ! Une autre conclusion peut aussi être qu’en mettant 500 singes dans une salle de marchés, au bout d’un certain temps on peut en trouver un qui sera aussi riche que Georges Soros, comme le disait Jean-Philippe Bouchaud. On peut parler de grandes déviations éventuellement…
Cette histoire peut prêter à sourire, effectivement, mais un think tank plutôt conservateur outre atlantique (le National Center for Public Policy Research) envisage de faire la même chose pour prédire les ouragans: au lieu d’écouter les climatologues, ils envisagent de faire appel à un singe (comme mentionné ici ou ).  Même si les prévisions des chercheurs ne sont pas toujours très fiables (en particulier sur les catastrophes comme les séismes ou les ouragants), elles reposent sur des éléments rationnels, avec souvent des intervalles de confiance…. Oui, je suis le premier à râler quand Météo France prévoit un beau week end et qu’au final il pleut, mais je suis agacé parces démagogues qui critiquent le travail des scientifiques (surtout qu’en l’occurence, je pense que le NCPPR confond  météo et climat, mais c’est un autre débat). Il y a un an, la communauté scientifique essayait de faire comprendre qu’elle n’était pas un parasite, voilà que maintenant il faut que l’on se batte pour faire comprendre qu’on fait des choses qu’un chimpanzé ne saurait pas faire ! On est décidément tombé bien bas…

# Fibonacci: des lapins à l’actualisation

Depuis qu’on peut facilement commander des livres d’occasion outre-atlantique, j’avoue en abuser un peu… La dernière commande que j’ai faite est le “origins of value“. Cet ouvrage, qui est une compilation d’articles d’histoire de la finance, contient un chapitre passionnant sur Leonardo Pisano alias Fibonacci. Pour remettre dans le contexte, Fibonacci vivait il y a fort fort longtemps, autour de 1200 (300 ans avant la renaissance et Léonard de Vinci). Je peux renvoyer ici par exemple pour une analyse de quelques uns de ses ouvrages.
Pour moi, Fibonnaci, c’était l’histoire de la reproduction des lapins, c’est à dire, l’étude
des suites récurentes pour ceux qui se souviennent de leurs cours de lycée, avec des suites de la forme

Le problème que l’on cherche à résoudre – posé par Fibonacci – est “partant d’un couple, combien de couples de lapins obtiendrons-nous après un nombre donné de mois sachant que chaque couple produit chaque mois un nouveau couple, lequel ne devient productif qu’après deux mois ?”. Pour ceux qui se souviennent de la résolution, l’équation charactéristique de cette relation de récurence est un polynôme de degré 2,

dont les solutions sont

et

Le premier nombre est souvent connu comme étant le nombre d’or (ici). Bref, Fibonacci a été recyclé abondamment par l’utilisation ésotérique de cette racine de polynôme de degré 2. Aussi, lorsque j’ai vu évoqué le nom de Fibonacci dans cet ouvrage de finance, j’ai eu peu peur, d’autant plus que certaines personnes faisant de l’analyse chartiste utilisent ce nombre d’or (comme l’évoque rapidement certains site, comme http://www.forexfibonacci.com/ ou http://www.fibonaccitrader.com/). Aussi, parler de Fibonacci en finance, c’est un peu comme parler de Nostradamus dans les modèles de prévisions.

Que nenni mon ami ! Fibonacci est l’auteur d’un  Liber Abaci, correspondant à un livre des calculs. En fait, Leonardo s’est énormément inspiré des mathématiques arabes, alors que la norme était plutôt l’arithmétique romaine. Pour ceux qui ont essayé un jour dans leur vie de lire des nombres latins (même dans Astérix), la logique est assez déroutante ! Par exemple 888 s’écrit DCCCLXXXVIII… Essayez avec cette écriture de poser une addition ! Les nombres arabes – eux – utilisaient le système décimale, ce qui a fait gagné énormément de temps de calcul (on peut aussi remonter à l’arithmétique indienne, mais on sort largement du cadre de mon billet). Fibonacci évoque d’ailleurs constamment l’utilisation de la règle de trois (sans l’appeler ainsi, j’étais revenu ici sur l’origine de cette règle).
Dans son livre d’arithmétique des nombres arabes, Fibonacci montre une application intéressante: le calculs d’actualisation et des marges commerciales. William Goetzmann reprend tout cela dans un article publié en 2003, ” Fibonacci and the Financial Revolution” en ligne ici. Il faut aller pour cela dans le chapitre 12 du Liber Abaci, où Fibonacci parle de partage du profit (ce que nous appellerions l’allocation de capital, et que l’on retrouve dans les travaux sur les jeux coopératifs, en particulier les travaux de Shapley), mais aussi d’actualisationde flux futurs, et surtout, de réflexions sur la différence entre un taux annuel et un taux trimestriel. La version en anglaise est la suivante

ou encore

Dans la version originale, cela donne

Quand on pense qu’auparavant l’arithmétique se faisait en chiffre romain, et n’autorisait pas de raisonnements aussi subtils, on peut légitimement penser que Fibonacci est révolutionné le calcul actuariel (certes, en se contentant de traduire des textes arabes). Si on cherche à remonter encore dans le temps, on peut également citer un mathématicien indien, Brahmagupta, ब्रह्मगुप्त, vers 650, qui semble également avoir beaucoup inspiré Fibonacci.

# Histoire éthylique, et arrêt optimal

suite aux pressions générales, je vais reprendre mes discussions d’alcoolique…. ou plutôt reprendre des classiques de finance, en expliquant que ce sont simplement des problèmes que se posent les amateurs de boissons fortes (de là à conseiller plutôt de recruter dans les bars qu’à la sortie des grandes écoles…).
Bref, avant d’avoir entamé sa marche aléatoire dans la rue de la soif (ici, correspondant aux problèmes d’options à barrière traduit en termes financier), puis d’avoir un soucis avec ses clés (), puis la maréchaussée (ici), notre héros (car on peut maintenant l’appeler un héros après 4 billets qui lui sont consacrés) avait du choisir son bar… Le problème est loin d’être simple. Il y a 20 bars dans la rue (disons  pour faire quelque chose de plus formel). Il arrive de la place sainte Anne, et là, il souhaite choisir le bar le moins cher. Le soucis est qu’il n’a pas le droit de faire demi-tour1 et il ne connaît pas les prix pratiqués dans les différents bars. Il part avec un a priori qui est que le prix d’une pinte est compris entre 3 et 6 euros, que le prix est uniformément réparti entre ces deux prix, et que les prix sont indépendants d’un bar à l’autre. Pour les financiers, il a une option (de commander une bière), et peut l’exercer quand il le souhaite. Une option américaine en quelque sorte. Supposons qu’on soit arrivé au bar . On peut soit payer  (qui est supposé aléatoire, uniformément distribué et indépendant des autres bars), soit espérer que l’on puisse payer moins cher plus loin,
Soit  la valeur de cette option, alors

i.e.

soit

où  désigne la loi du prix de la bière (soit ici une loi uniforme) avec une condition terminale de la forme

car il a soif, et ne quittera pas la rue sans avoir bu un verre !
Classiquement, par backward induction, on peut résoudre ce programme, à partir de la loi de . Posons . Alors

et

soit simplement

soit enfin

Je laisse les plus courageux simplifier les calculs. La “frontière d’exercice” est alors obtenue par récurrence. Numériquement, le code est alors simplement

```> n=20
> u=rep(NA,n)
> b=6;a=3
> u[n]=(b+a)/2
> for(k in (n-1):1){
+ u[k]=1/(b-a)*(u[k+1]*(b-u[k+1])+(u[k+1]^2-a^2)/2)
+ }```

Dès qu’on atteint la barrière, on s’assoit au bar. On note que plus on avance dans la rue, moins on est exigent: au tout début, on ne s’assoit pas à moins de 3 euros 30… mais plus on avance, plus on relève le seuil d’exigence. Le calcul sous forme intégrale donne ici

```> u=rep(NA,n)
> b=6;a=3
> u[n]=(b+a)/2
> for(k in (n-1):1){
+ g=function(x){pmin(x,rep(u[k+1],length(x)))/(b-a)}
+ u[k]=integrate(g,lower=a,upper=b)\$value
+ }```

J’avais déjà abordé ce problème dans un précédant billet, sur les options américaines, mais on peut maintenant aller un peu plus loin… que se passe-t-il si on suppose que les prix sont discret (par exemple par tranches de 50 centimes ou 1 euro) ? L’avantage avec ces méthodes numériques est que l’on peut très facilement enlever des hypothèses, par exemple ici on aurait

```> h=2
> K=(b-a)*h+1
> PRIX=seq(a,b,by=1/h)
> u2=rep(NA,n)
> b=6;a=3
> u2[n]=(b+a)/2
> for(k in (n-1):1){
+ g=function(x){pmin(x,rep(u[k+1],length(x)))}
+ u2[k]=sum(g(PRIX)*1/K)}```

pour des seuils à 1 euros (les seuls prix possibles étant 3,4,5 ou 6 euros).

Ou la frontière suivante si les prix varient par tranche de 50 centimes.

Compte tenu de la discrétisation, notons que la vraie frontière devient alors ici

Bref, comme toujours, les problèmes d’alcooliques rejoignent les problèmes d’exercice optimal d’options américaines, problème classique en finance de marché…
1 pour rendre cette histoire crédible, à chaque bar rencontré il demande le prix d’une pinte. S’il estime que c’est trop cher, il s’exclame “mais c’est bien trop cher ici !” et s’en va. Sinon il commande et s’installe. Cette exclamation rend improbable – à ses yeux – l’idée de revenir finalement s’installer au bar….

# Histoire éthylique, et loi de l’arcsinus

Avant de revenir sur la marche aléatoire et le problème de la ruine d’un assureur comme problème de temps d’arrêt (je n’ai pas insisté en cours car les temps d’arrêt nécessitent un peu de recul sur les processus), je voulais prendre 5 minutes pour faire un exemple qui devrait intéresser les étudiants. On va se placer un peu avant les billets sur l’étude de l’ébriété rennaise, ici et .

• De la probabilité de sortir un jour de la rue de la soif

Supposons que notre homme soit encore rue de la soif, un jeudi soit à 23 heures, dans un état d’ébriété assez avancé. Souhaitant quitter cette rue, il fait un pas (disons 1 mètre pour faire simple), puis hésite sur sa direction: il a 1 chance sur 2 de continuer dans la même direction, et 1 chance sur 2 de faire demi-tour.  Il se trouve à une distance  de la place Sainte Anne et à une distance de la place des Lices. On se demande s’il arrivera un jour à quitter la rue de la soif, et surtout au bout de combien de temps (ou après avoir parcouru quel distance)… Au delà du temps moyen passé à errer dans la rue, on pourra se demander la probabilité pour qu’il soit sorti de la rue pour 8 heures, histoire d’avoir une chance d’arriver à l’heure en cours.

Il s’agit du problème de la marche aléatoire (qui, ma foi, est assez approprié au problème de l’ébriété) de type pile ou face. On note tau l’instant (exprimé en nombre de pas) de la sortie de la rue de la soif. Formellement, on note  la position à la date . On suppose qu’à la date =0, il est à la position 0 (disons sa chaise à la terrasse du 1929). tau est l’instant où  quitte l’intervalle . S’il sort par la partie inférieure (en ) il sera place Sainte Anne, alors que s’il sort en , il sort par la place de Lices (la longueur de la rue étant ).
Notons que  où  prend les valeurs  avec probabilités  s’il se dirige vers Sainte Anne,  s’il part place des Lices.
On cherche

C’est ce qu’on appelle un temps d’arrêt. Il s’agit d’une variable aléatoire, positive, qui prend valeurs dans .
Le problème est simple à formuler, mais pour le résoudre, c’est une autre histoire…
On peut d’abord montrer que

ce qui est un peu rassurant (c’est le lemme de Fatou). On peut alors montrer que  appartient forcément à , et donc

aussi,

ce qui est assez intuitif compte tenu de la symétrie naturel du problème. On a alors d’autant plus de sortir d’un coté que l’on part d’un endroit proche de ce côté.
On peut aussi monter que est une martingale, nulle à la date initiale. Aussi,

(je passe les difficultés techniques, mais on peut montrer que ce résultat est rigoureusement juste en travaillant sur la martingale arrêtée). Bon, on a pas mal d’information…. mais on peut aussi regarder la loi. On peut faire quelques simulations, dans un premier temps, afin de visualiser la densité (sous forme d’histogramme), avec ci-dessous la position de notre individu en ordonné, et en abscisse le temps depuis qu’il a quitté sa table.

L’histogramme ci-dessous
est le comptage des moments où l’individu a quitté la rue.

Je me suis arrêté assez tôt sinon le fichier image serait trop lourd.
Pour étudier la distribution, mieux vaut éviter de travailler sur la fonction de répartition ou la densité du temps d’arrêt. En fait, le plus simple est de récupérer la fonction génératrice de tau. Pour cela, on va utiliser la fonction génératrice des incréments,

en utilisant la notation du cosinus hyperbolique. On peut alors montrer

Pour tout ,

En fait, on retrouve ici quelque chose qui est très proche de la probabilité qu’a le mouvement brownien de quitter un corridor (qui ont été beaucoup étudiée de part les applications en finance, non pas sur l’étude des gens bourrés, via les options parisiennes, ici ou , mais qui avait été étudié dans les revues de physique dans les années 60). Bon, comme on quitte le monde discret pour le monde continu, on ne travaille plus sur la fonction génératrice des moments , mais sur la transformée de Laplace  dont on peut montrer que la transformée de Laplace du temps de sortie d’un corridor de la forme est

qui se rapproche de la formule précédente. Pour faire le lien, notons que

et que pour ,

Bref, en bricolant, on peut relier assez clairement les deux notions (ce qui n’a rien d’une démonstration, j’en conviens). Mais on peut aussi se poser d’autres questions fondamentales……

• De la probabilité de récupérer ses clés

J’avais évoqué ici les problèmes de clés de notre indigène. Mais j’avais oublié de dire qu’il avait oublié ses clés sur sa table en quittant le bar. On peut se demander quelle est la chance pour qu’il ne repasse jamais à sa table…. Autrement dit, on souhaite calculer

ou éventuellement, si on sait que le bar ferme à l’heure ,

Dans le cas du mouvement Brownien, on peut montrer que

On utilise la propriété de Markov, qui garantie que  est indépendant de . On peut alors montrer que si  est le temps d’arrêt défini comme le premier instant où le processus atteint , alors

Dans le cas du mouvement Brownien, cette propriété est une des lois de l’arcsinus, dont on trouvera des démonstrations ici ou . L’arcsinus apparaît ici dans un calcul d’intégral, en notant que

Compte tenu des similitudes que nous avions observées dans la section précédente entre le cas continu et le cas discret, notre étudiant devrait pouvoir calculer assez simplement la probabilité qu’il a de récupérer ses clés…. enfin, dès qu’il aura dessaoulé un peu afin de faire les calculs….