This afternoon, I will start a crash course on financial portfolio optimization, with application in R. This week, we start with simple things, with the theoretical setup, without and with a risk free asset. We will discuss then the problem of estimating parameters, in a robust way. Then we introduce the idea of consider a more general criteria to quantify risk than the variance (but it means more general distributions… this point will be discussed further next time). The slides are available here, and R codes from there (in a Markdown)
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Fibonacci, les lapins, le nombre d’or et les calculs actuariels
Léonard de Pise, souvent plus connu sous le nom de Fibonacci, a laissé sa trace dans les livres de mathématiques pour avoir étudié, ou plutôt modélisé, la reproduction des lapins. De la dynamique du nombre de lapins est né le nombre d’or, le fameux ratio magique, que l’on retrouve dans toute la peinture et l’architecte classique. Mais la contribution la plus importante est probablement le Liber Abaci, datant de 1202, dans lequel Fibonacci a introduit explicitement le principe d’actualisation financière en Europe. Fibonacci a grandi dans la colonie pisane de Bougie, en Algérie, où son père était officier des douanes. Et c’est probablement grâce à la culture arabe que les premiers calculs actuariels ont été formalisés.
La dynamique de reproduction des lapins et le nombre d’or
Fibonacci est connu par tous les étudiants du monde pour avoir posé le problème suivant:
partant d’un couple, combien de couples de lapins obtiendrons-nous après un nombre donné de mois sachant que chaque couple produit chaque mois un nouveau couple, lequel ne devient productif qu’après deux mois ?
Formellement, on cherche à décrire le comportement de la suite définie par la relation (avec deux valeurs initiales). Comme cette suite est linéairement récurrente d’ordre deux, on peut écrire son équation caractéristique. On obtient une équation du second degré,
, dont une des racines est connue sous le nom de « nombre d’or »,
qui vaut environ 1,618. On peut alors montrer que l’on obtient la formule dite de Binet,
Comme l’avait déjà remarqué Johannes Kepler, vers 1611, le taux de croissance des nombres de Fibonacci, c’est-à-dire , converge vers le nombre d’or,
. Ce nombre est appelé en anglais « golden ratio », car il s’agit aussi d’une proportion, d’un ratio, défini comme l’unique rapport
entre deux longueurs
et
, telles que la somme
sur la plus grande des deux (
sur la Figure 1) soit identique, autrement dit
Alors forcément, la plus grande longueur est 61,8% plus grande que la petite. Euclide évoquait ce ratio très particulier dans ses Eléments. Comme le montre la Figure 1, ce ratio est utilisé pour construire une spirale. Luca Pacioli, un moine franciscain italien du Moyen Age, l’appelle la “divine proportion“. En effet, comme l’avait énoncé Saint Thomas d’Aquin, « les choses qui sont dotées de proportions correctes réjouissent les sens », ce qui semble conférer un caractère quasi-divin à ce nombre.
Figure 1 : interprétations géométriques du nombre d’or
Comme le montre la Figure 1, à gauche, à partir de rectangles dont le rapport des longueurs des deux côtés est égal au nombre d’or, on peut construire itérativement une succession de carrés emboîtés, sous forme de spirale. On retrouve ce découpage dans la composition d’un grand nombre de tableaux de la Renaissance, mais aussi dans plusieurs ouvrages architecturaux. Et si l’on colle deux rectangles dont le ratio des longueurs des côtés est égal au nombre d’or, un verticalement et un horizontalement, le prolongement de la diagonale du rectangle horizontal passera par le sommet du rectangle verticale. Cette figure se retrouve dans de nombreux croquis de Le Corbusier.
La notion de récursivité
Au-delà du fait que c’est à Fibonacci que l’on doit le fameux nombre d’or, cette suite récursive est surtout très populaire en informatique pour introduire la notion de récursivité. En effet, un algorithme pour calculer les termes de cette suite est
F = function(n) {
if(n>1) Fn = F(n-1) + F(n-2)
if(n<=1) Fn = n
return(Fn) }
Cet algorithme est simple, mais le temps d’exécution est long, très long. Si certains notent qu’il croit exponentiellement vite, on peut montrer assez simplement que le temps d’exécution est donné par une relation de type de celle de Fibonacci.
La comptabilité, en chiffres romains
Mais souvenons-nous que Fibonacci est né à la fin du XIIème siècle. Si la géométrie n’a pas beaucoup changé, l’arithmétique, elle a beaucoup changé. Pour rappel, on comptait alors encore bien souvent à l’aide de la numérotation romaine. Cette dernière est basée sur 7 symboles, I (pour 1), V (pour 5), X (10), L (50), C (100), D (pour 500) et enfin M (1000). A partir de ces symboles, certains nombres se construisent par addition (par exemple 11 va s’écrire XI) et d’autres par soustraction (4 va s’écrire IV): un symbole plus petit placé avant correspond à une soustraction, et un symbole plus petit placé après, à une addition. On s’attend ainsi à ce que tous les symboles soient placés par ordre décroissant (et si c’est le cas, on les ajoute), mais s’il y en a un qui est placé avant, on va le soustraire. Aussi, DCXIV contient les symboles D (500), C (100), X (10), I (1) et V (5). Comme 1 est avant 5, c’est qu’il faut lire -1, et pas +1. Et donc DCXIV vaut 500+100+10-1+5 soit 614. De même XLV correspond à -10+50+5, soit 45. Il existait aussi une forme d’écriture multiplicative. Par exemple 300 pouvait s’écrire CCC ou IIIC. Et 80 IVXX (d’où une explication possible de la forme française de “quatre-vingt”).
L’origine de ces symboles se trouve dans les entailles pratiques par les étrusques, sur des bouts de bois, ou des os. Mais chez les étrusques, seule l’addition de symboles était autorisée. Par la suite, les égyptiens ont adopté un système décimal, et introduit l’addition (uniquement), ce qui a permis aux scribes de faire des observations statistiques, et des prévisions. Lorsqu’ils adoptèrent la langue et les pratiques grecques, vers 300 avant Jésus Christ, les égyptiens ont commencé à tenir de véritables documents comptables, avec des stocks de données agricoles, et des flux monétaires. A la même époque en Grèce, les lettres de change existaient, et le prêt à intérêt était fréquent. A Athènes, la cour des logistes avait le rôle d’expert-comptable. Les romains ont poursuivi et amélioré cette tradition, avec des livres de recettes et de dépenses. L’arithmétique était complexe, comme en témoigne Schärlig (2014), et pourtant, ce système d’encoches a été utilisé probablement jusqu’au XVIIème siècle, en Europe.
Le livre des calculs, Liber Abaci, et la règle de trois
Fibonacci est l’auteur d’un Liber Abaci, correspondant à un livre des calculs (Abaci donnera par la suite le terme abaque). En fait, alors que la norme à l’époque était d’utiliser l’arithmétique romaine, Leonardo s’est énormément inspiré des mathématiques arabes. Les nombres arabes présentaient l’avantage d’utiliser le système décimal, ce qui a fait gagner énormément de temps de calcul (on peut aussi remonter à l’arithmétique indienne, basé sur le même système). Il y avait ainsi neuf symboles correspondant à 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (et le 0 a été introduit au Vème siècle). Afin d’illustrer la simplicité des calculs, Fibonacci évoque intensément l’utilisation de la « règle de trois » (même s’il ne l’appelle pas ainsi, il faudra attendre Le Gendre (1684) pour voir évoqué cette terminologie). Cette règle, relative à la théorie des proportions, se retrouve aussi beaucoup utilisée chez Euclide (au IIIème siècle avant Jésus Christ): « si quatre nombres sont en proportions, le produit des extrêmes [le plus grand et le plus petit] est égal au produit des moyens ». En fait, la règle de trois permet de trouver ce qui s’appelle parfois la « quatrième proportionnelle », qui est le quatrième nombre à mettre dans un tableau de proportionnalité dont 3 cases sur 4 sont déjà remplies. Certains ont appelé la règle de trois la « règle d’or ».
En actuariat, le calcul des provisions pour sinistres à payer par conservation des cadences de paiements, repose historiquement sur cette règle. Le Tableau 1 illustre ainsi l’utilisation de la règle de trois pour estimer les paiements futurs : fin 2014, 57 millions d’euros avaient été payé au titre des sinistres de 2014, et fin 2015, 83 millions ; si fin 2015, 63 millions avaient été payés au titre des sinistres de 2015, on peut estimer qu’un peu plus de 90 millions seront payés fin 2016. Ce montant est obtenu, dans la méthode dite Chain Ladder (décrite dans Charpentier et al. (2010)), par la règle de trois.
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paiements année 1 |
paiements année 2 |
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| 2014 |
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| 2015 |
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Table1 : illustration de la règle de trois en provisionnement
On retrouve de nombreuses utilisations de cette règle dans les calculs comptables (on pourra consulter Taulane (1689)), mais c’est surtout à Fibonacci qu’on doit la formalisation de la règle, dans un contexte financier.
Les bases de l’actualisation
Mais on doit surtout à Fibonacci d’avoir formalisé le calcul actuariel. Rappelons que la valeur actuelle d’un ensemble de flux financiers, versés dans le futur, à différentes dates s’écrit
où est le taux d’actualisation. Cette à cette formule que va aboutir Fibonacci, dans le Liber Abaci, lorsqu’il va tenter de résoudre le problème suivant
« Un homme se rend à Lucca pour affaires, où il double son argent. Il dépense là-bas 12 dinars. Ensuite, il va à Florence où il peut là encore doubler son argent, et il dépense encore 12 dinars. Puis il va ensuite à Pise, double encore son investissement, et dépense à nouveau 12 dinars. Quelle somme avait-il au début? »
Ce calcul de la somme initiale correspond fondamentalement au calcul d’une valeur actuelle. Pour reprendre les notations de Fibonacci pour investir 1 à Pise (la troisième ville), il faut disposer de ½½½, qu’il interprète comme un facteur d’escompte. Pour investir 1 à Florence (la seconde ville), il fallait disposer de ½½ au début. Etc. Pour connaître la somme initiale, on notera que le facteur d’actualisation est ½+½½+½½½, soit 7/8. Le capital initial est alors 7/8×12, soit 10 ½ . Avec des notations plus contemporaines, avec = 100%, on veut calculer,
On retrouve ici la définition classique de la valeur présente d’un ensemble de flux financier. Mais plus sophistiqué, Fibonacci propos ensuite le problème suivant
« Un soldat se voit offrir une annuité par un roi, de 300 par an, payée à une cadence trimestrielle, à hauteur de 75 par trimestre. Soudain, le roi change pour 300, payé en fin d’année. Le soldat est capable de gagner 2 pour 100 placés, par mois (à la fin de chaque trimestre) à partir de son investissement »
On retrouve ici un problème qui pourrait être posé à un examen sur les calculs actuariels.
Conclusion
Depuis Goetzmann (2005) et la redécouverte des travaux de Léonard de Pise, beaucoup considèrent que Fibonacci a introduit le calcul actuariel en Europe, ou plutôt son formalise, avec des notations très contemporaines. Mais il convient de rappeler que l’actualisation existait depuis bien longtemps. Des traces de formalisation se retrouvent dans toutes les cultures, à commencer probablement en Chine, où Les Neuf Chapitres sur l’Art des Mathématiques, datant de 263, évoquent un problème proche de celui présenté par Fibonacci (avec là encore un voyageur qui part dépenser son argent). On retrouvera ensuite ce problème (et sa résolution) dans des textes arméniens, dans des papyrus égyptiens, mais aussi sur le Lilivati de Bhāskarācārya, écrit en Inde vers 1150, juste avant la formalisation par Léonard de Pise. Mais la lecture de Fibonacci est facilité par l’utilisation de chiffres arabes, qui rendent les calculs plus proches de ceux que nous avons l’habitude de voir, tous les jours.
Références
Charpentier, A., Devineau, L. & Nessi, J.M. (2010) Mesurer le risque lors du calcul des provisions pour sinistres à payer. Risques 83, 93-100.
Fibonacci (1202). Fibonacci’s Liber abaci, traduit par Laurence E. Sigler A translation into modern English of Leonardo Pisano’s Book of calculation, Springer-Verlag, (2002).
Goetzmann, W. N. (2005) Fibonacci and the Financial Revolution. In Goetzmann and Rouwenhorst, The Origins of Value: The financial innovations that created modern capital markets, Oxford University Press.
Le Gendre, F. (1684). L’arithmétique en sa perfection.
Le Goff, J.P. (2000). Une mise en perspective historique de la quatrième proportionnelle à la fonction linéaire, in Cahiers de la Maison de la Recherche en Sciences Humaines, n° 24, L’épistémologie de la règle de trois. Caen, Presses Universitaires de Caen, déc. 2000.
Schärlig, A. (2014). Les moyens de calcul du comptable antique. Revue d’Histoire des Comptabilités, 6.
Taulane, J. (1689) Trésor d’arithmétique des marchands et des géomètres.
The Pay-for-Performance Myth
Last week, Eric Chemi and Ariana Giorgi published an interesting article on “The Pay-for-Performance Myth”
With all the public chatter about exorbitant executive compensation and income inequality, it’s useful to look at the relationship between chief executive officer pay and corporate performance. Typically, when the subject of their big pay packages arises, CEOs—usually through their spokespeople—say they are paid for performance. Does data back that up?
An analysis of compensation data publicly released by Equilar shows little correlation between CEO pay and company performance. Equilar ranked the salaries of 200 highly paid CEOs. When compared to metrics such as revenue, profitability, and stock return, the scattering of data looks pretty random, as though performance doesn’t matter. The comparison makes it look as if there is zero relationship between pay and performance.
In the article, they produce a copula-type plot (since ranks – only – are considered). Ariana kindly sent me the dataset (that was used in The Pay at the Top) to play with it
> base=read.table("ceo.csv",sep=";",header=TRUE)
Here I normalize (dividing by the size of the dataset) to have uniform distribution on the unit interval (instead of working with ranks, i.e. integers). If we remove that scaling factor, the scatterplot is that same as the one mentioned in the Pay-for-performance myth.
> n=nrow(base) > U=rank(base[,1])/(n+1) > V=rank(base[,2])/(n+1) > plot(U,V,xlab="Rank CEO Pay", + ylab="Rank Stock Return")
This is the copula type representation.
If we visualize the density of the copula (using the algorithm described in the joint paper with Gery and Davy), we get either
> library("copula") > library("ks") > library("MASS") > library("locfit") > n.res=32 > ctilde1=probtranscopkde(UVs,p=1, + u.out=seq(1/(2*n.res+1),1-1/(2*n.res+1), +length=n.res),plots=TRUE)
Mathematical Finance Days
I will be at HEC Montréal Monday morning and Tuesday, for the Mathematical Finance Days. I will give a talk on Quantiles Estimation from Heavy Tailed Distribution, based on some joint work with Emmanuel Flachaire. I will upload the slides soon…
After lunch, I will be downtown for a crash course on classification trees, at UQaM.
Efficience des marchés: hypothèse de modèle ou fait stylisé ?
Certains pensent que les crises boursières et les bulles sont une preuve flagrante de l’inefficience des marchés. Pourtant, comme le notait Michael Jensen en 1978, “I believe there is no other proposition in economics which has more solid empirical evidence supporting it than the Efficient Market Hypothesis”. Il était donc normal que décerner le prix Nobel d’économie à Eugène Fama suscite autant de passion. Cela dit, la notion d’efficience des marchés est une notion clé de la finance (pour ne pas dire de l’économie de manière plus générale) car elle pose la question de la constitution des prix.
On peut remonter très loin dans le temps pour définir un concept de prix, par exemple en 1202, dans son Liber Abbaci, Leonardo Fibonacci parle de troc de marchandises et évoque le prix de choses semblables. Cette idée sera traduite en langage plus contemporain dans la notion de prix de réplication et de prix unique. On retrouvera cette idée chez l’actuaire Jan de Witt en 1671, lorsqu’il cherche le prix de rentes viagères, et qu’il parle de prix de rachat, et d’une notion de prix équitable. Quelques années auparavant, Christiaan Huygens avait publié ‘Van Rekeningh in Spelen van Geluck‘ (traduction en latin sous le titre ‘De Ratiociniis in Aleæ Ludo‘) évoquant le prix des jeux[1]. L’idée du prix unique, et l’importance de l’espérance mathématique en finance, sera formalisée entre 1955 et 1965, par Kenneth Arrow et Gérard Debreu (qui ont déjà eu le prix Nobel d’économie). Pour faire un résumé rapide, Eugène Fama aura eu son prix Nobel pour avoir exploité des propriétés de martingale.
Nous allons revenir sur cette histoire d’efficience de marché, et de prix martingales, en se demandant s’il s’agit d’un axiome permettant de définir un concept de prix, ou s’il s’agit plutôt d’un fait stylisé. Et pour cela, si nous allons évoquer le dernier prix Nobel d’économie, nous allons aussi revenir sur un texte fondamental publié voila exactement 150 ans.
- Marche aléatoire, martingales et prix d’actifs
D’un point de vue mathématique (en tant que propriété des processus stochastiques), il faut remonter aux travaux de Joseph Bernstein, Paul Lévy, Émile Borel, et surtout Joseph Doob, au milieu au XXième siècle pour voir apparaître une théorie des martinagles. Cela dit, le mot est plus ancien: il entre dans le dictionnaire de l’Académie Française en 1762. ‘Jouer à la martingale‘, c’est jouer toujours tout ce que l’on a perdu. Mais quelques années plus tot, on pouvait déjà trouver le mot sous la plume de l’Abbé Prévost (le jeu qu’il décrit en 1750 comme variante du jeu du pharaon est aussi appelé martingale d’Alembert) Cela dit, l’origine que je préfère est de relier le mot martingale à l’expression provençale “jouga a la martegalo” qui signifierait ‘jouer de manière incompréhensible, absurde’ comme l’évoque Frédéric Mistral dans Lou Tresor dòu Felibrige (ou dictionnaire provençal-français). On retrouve une origine proche dans le Dictionarie of the French and English tongues de Randle Cotgrave, datant de 1611, qui mentionne l’expression “à la martingale” avec le sens absurdly, foolishly, untowardly, grossely, rudely, in the homeliest manner. Il cite même l’usage de l’expression “philosopher à la martingale“.
Cowles & Jones (1937)[2], Cootner (1964) et surtout Samuelson (1965) ont montré que les prix des actifs pouvaient être modélisé par des marches aléatoire. Comme le dit Paul Samuelson “there is no way of making an expected profit by extrapolating past changes in the future price, by chart or any other esoteric devices of magic or mathematics“. Et il souhaite attribuer le crédit de cette utilisation de la marche aléatoire aux les travaux de Louis Bachelier dans les années 1950, qu’il relie aux travaux d’Albert Einstein sur le mouvement brownien. Mais il oublie de rappeler que les travaux de Louis Bachelier se site dans une tradition (actuarielle) française utilisant la marche aléatoire pour modéliser les prix des actifs boursiers, parmi lesquelles on citera Emmanuel-Étienne Duvillard, Recherches sur les rentes et les emprunts, en 1787, Lefèvre de Châteaudun,Traité des valeurs mobilières et des opérations de bourse, en 1870, mais surtout Jules Regnault, Calcul des chances et philosophie de la bourse, en 1863 (on pourra consulter à ce sujet les travaux passionnant de Franck Jovanovic). Le mythe autour de Louis Bachelier repose essentiellement sur deux faits: tout d’abord Louis Bachelier ne cite pas les travaux antérieurs, laissant penser à Paul Samuelson qu’il avait, seul, accouché d’une nouvelle théorie; mais également, Louis Bachelier a longtemps vécu sur le mythe sur savant incompris (suite essentiellement à un rapport de Paul Lévy qui lui reprochait une ‘erreur grave’, portant sur le rayonnement de la probabilité, ‘erreur’ qui reposait plutôt sur une imprécision et un manque de rigueur, qui fut éclairé par la suite par les travaux de Andreï Kolmogorov).
On retrouve beaucoup d’autres résultats connus dans cet ouvrage. Par exemple, Jules Regnault note que “les écarts vont en diminuant pour des temps plies rapprochés, en augmentant pour des temps plus éloignés“, avec ce résultat, dans le paragraphe qui suit “il existe donc une loi mathématique qui règle les variations et l’écart moyen des cours de la Bourse, et cette loi, qui ne paraît pas avoir jamais été soupçonnée jusqu’à présent, nous la formulons ici pour la première fois :
L’ÉCART DES COURS EST EN RAISON DIRECTE DE LA RACINE CARRÉE DES TEMPS.”
(c’est Jules Regnault qui écrit en majuscules cette loi). Cela dit, la grande différence entre Jules Regnault et Louis Bachelier est que le premier tire cette propriété d’observations de cours de bourse, alors que le second construit un modèle de marche aléatoire (en temps continu) qui vérifie cette propriété.
- Des marches aléatoires a l’efficience
Si les économistes ont compris que les prix des actifs devaient suivre une marche aléatoire, restait a comprendre sous quelle probabilité. Comme le notait Jules Regnault, les agents investissent en tenant compte du “degré de probabilité qu’il(s) attribue(nt) aux événements“. En ce sens, il est le premier a comprendre l’importance de l’information dans la constitution des prix : “si tout le monde avait les mêmes idées et appréciait également les mêmes causes, il n’y aurait plus de contrepartie possible“. De manière très moderne, il note ainsi que “le cours n’est pas toujours uniquement déterminé par les circonstances présentes ; il comprend encore toutes les espérances légitimes qui peuvent être renfermées dans cette situation.”
Mais l’analyse de Jules Regnault manque de formalisme, et ce sont Eugène Fama en 1965 et Benoit Mandelbrot en 1966 qui vont poser les bases mathématiques de la notion d’efficience[3]. Pour reprendre la définition donnée par Eugène Fama, “A market in which prices at any time “fully reflect” available information is called “efficient”“. En 1970, il propose trois modèles, caractérisant trois formes d’efficience, dans trois parties distinctes, (1) Expected Returns or “Fair Game” Models, (2) Submartingale Models et (3) Random Walk Model. A cette classification, on préférera (bien que le lien ne soit pas évident)
- une notion faible d’efficience: l’information consiste a connaître les prix passés des différents titres,
- une notion semi-forte (semi-faible) d’efficience: l’information inclus également de l’information publiquement disponible concernant les titres, comme des rapports annuels, ou des analyses techniques sectorielles
- une notion forte d’efficience: ici l’information inclue une possible information privilégiée, possédée par des insiders.
Il existe plusieurs informations possible, et il n’est pas nécessaire que tout le monde ait la même : il suffit que certains investisseurs aient une information privilégiée pour qu’elle soit assimilée par tout le monde (car il n’y aura alors plus d’information non-exploitée). Plusieurs auteurs ont noté que ces hypothèses pouvait mener a des paradoxes, ou des anomalies.
Pour résumer, Eugène Fama dit que les prix contiennent toute l’information accessible. En ce sens, il rejoint ce que disait Frank Ramsey, en 1926, lorsqu’il disait que les probabilités étaient des ‘degrés de croyance’ (idée qui existait chez Savage ou de Finetti) que l’on retrouvait dans les côtes des paris. Et s’il n’existe pas de mesure martingale, alors des arbitrages sont possibles.
On notera toutefois que si ces modèles parlent des croyances des agents, ils ne parlent pas de l’utilité des agents, de leur aversion pour le risque, ou de leur préférence pour le présent.
- Les tests empiriques de l’efficience
Insistons ici sur le fait que si les marchés sont efficients, les cours des actions pourront être interprétés comme des prévisions de dividende, alors que les taux des obligations comme des prévisions des taux d’intérêt futur (de plus courte maturité). C’est ce que note Stephen LeRoy en écrivant “for the most part, in the empirical literature market efficiency is in practice equated with rational expectations plus the martingale model, and we will follow this convention“. Les tests d’efficience sont donc étroitement liés aux tests de marche aléatoire sur ces différents prix.
Les tests de la forme faible d’efficience sont les plus nombreux (et les plus simples) puisqu’ils ont été couramment associés tests de racine unitaire, aux tests d’autocorrélation ou tests des runs (pour une approche nonparamétrique).
Pour les tests de la forme semi-forte, il faut étudier en détails les annonces faites : si le marché est efficient au sens semi-fort, une annonce par une entreprise ne devrait pas avoir d’influence sur son cours. En effet, le marché devrait avoir correctement (pour ne pas dire rationnellement) anticipé l’annonce, et le prix devrait refléter l’information, avant même la publication[4]. Il convient de noter que la plupart des tests ont rejeté cette hypothèse. Mais conclure a une inefficience est dangereux, comme on l’a noté: l’efficience est un modèle d’actualisation des dividendes futurs. Ne faudrait-il pas voir ici une mauvaise spécification du modèle de formation des prix par exemple ? Fama (1991) préfère remettre en cause de son côté l’hypothèse de rationnalité (parfaite) des agents. Robert Shiller (également lauréat cette année) a observé que les prix des actions fluctuaient beaucoup trop, en particulier si on les compare aux bénéfices des entreprises et des dividendes versés. C’est ce que Robert Shiller interprétera comme une sur-réaction instantanée, une “exubérance irrationnelle” pour reprendre le titre d’un de ses livres. On y retrouve davantage un questionnement sur la rationalité que sur l’efficience.
Pour la troisième forme d’efficience (la plus forte) plusieurs études ont montré qu’il existe, effectivement, des insiders. Les tests les plus simples ont alors été la capacité de ces investisseurs à “battre le marché”. Michael Jensen, en 1968, a montré que sur 115 fonds, seuls 2 avaient (significativement) battu le marché. Et Eugène Fama fut le premier a critiquer l’idée d’une forme forte d’efficience[5]. Tous les deux ont tenté de confronter cette théorie aux données. Les tests les plus récents sont des tests de volatilité, qui concluent globalement à une volatilité excessive des cours des actions (relativement aux fondamentaux). Mais cela met-il en avant une notion d’inefficience ? Ce n’est pas l’avis de Shiller. Et on notera que c’est grâce aux travaux de Lars Peter Hansen (entre autres) que des modèles économétriques ont permis de questionner cette hypothèse.
La question de l’efficience des marchés pose la question fondamentale et importante de la constitution des prix. Pour Eugène Fama, le caractère aléatoire et imprévisible des variations de prix sur les marchés financiers est synonyme d’équilibre dynamique (dans un marché en libre concurrence), ce que disait Jules Regnault il y a tout juste 150 ans. Cette hypothèse d’efficience de marché a été un concept clé de la théorie financière des 50 dernières années, et un questionnement important pour les économètres. Mais ce modèle n’est-il pas trop simple ? Ne pourrait-on pas essayer de prendre en compte les mécanismes d’apprentissage et d’adaptation des marchés. Qui doit-on croire quand on cherche de l’information ? Comment distinguer les insiders des noise traders ? Certains traders disparaissent, d’autres arrivent, comme un écosystème en évolution.
- Références
Cowles, A. & Jones, H,E. Some A Posteriori Probabilities in Stock Market Action. Econometrica, 5, 280-294.
Cootner, P. 1964, The Random Character of Stock Market Prices, Cambridge, MIT Press.
Fama, E. 1965. The Behavior of Stock Market Prices. The Journal of Business, 38, p. 34-105
Fama, E. 1970. Efficient Capital Markets: A Review of Theory and Empirical Work. Journal of Finance, 25, p. 383-417.
Jensen, M.C. 1968. The performance of mutual funds in the period 1945-1964. Journal of Finance, 23, p. 389-416.
LeRoy, S.F. (1976). Efficient capital markets: Comment. Journal of Finance, 31, p.139-141.
LeRoy, S.F. (1989). Efficient Capital Markets and Martingales. Journal of Economic Literature, 27, 1583-1621.
Lo, A. & MacKinlay , C. 2001. A Non-Random Walk Down Wall Street. Princeton University Press.
Malkiel, B.G. 2007. A Random Walk Down Wall Street. Norton & Company
Mandelbrot, B. 1966. Forecasts of future prices, unbiased markets and “martingale” models. Journal of Business, 39, p. 242-255
Mansuy, R. 2005. Histoire de martingales. Mathématiques & Sciences Humaines, 169, p. 105-113.
Regnault, J. 1863. Calcul des chances et philosophie de la bourse. Mallet-Bachelier & Castel.
Sinon, voici la conférence d’Eugène Fama, la fameuse Nobel lectures (avec Lars Peter Hansen et Robert Schiller)
1. on retiendra l’histoire racontée par Ian Hacking dans Emergence de la Probabilité, ou l’on apprend que dans la traduction en latin (pour que le texte soit diffusé), Christiaan Huygens avait hésité a utiliser le mot latin ‘spes’, que l’on retrouve dans espoir, et espérance. Christiaan Huygens avait compris que le prix était lié a une espérance (qui deviendra mathématique, plus tard).
2. Alfred Cowles, mais aussi Holbrook Working, se sont beaucoup questionné suite a la crise de 1929, et le fait que personne n’avait pu prédire une telle crise. C’est cette crise qui les a poussé a postuler que les variations boursières étaient en grande partie imprévisibles. En 1933, Alfred Cowles commença a comparer les résultats (ex post) de professionnels, avec les indices boursiers, et a montrer qu’il était difficile (ou improbable) de battre le marché.
3. en ce sens, le prix Nobel d’économie est effectivement devenu un prix Nobel de mathématiques…
4. plus récemment, des analyses fines (sur des données haute-fréquence) ont étudié plus en détail l’impact des annonces, comme Market efficiency in real time, où les auteurs ont étudié durant 20 semaines les émissions “Morning Call” et “Midday Call” (diffusées sur CNBC), et les recommandations d’achat ou de vente faites en direct par un analyste financier.
5. en fait, dans des articles récent d’Eugène Fama, répondant a nombre de critiques, on voit qu’il n’est plus question de marche aléatoire et de martingales dans les tests d’efficience. Ce que certains voient comme un échec dans l’idée de tester l’efficience.
That man changed the world?
You’ve already seen that picture, haven’t you? The truth is, you can hardly miss it those days…. The first time I saw it, a few months ago, I did not recognize the man (probably because I was more used to visualize him with a more black and white style). As far as I remember, the teaser did use a quote you can find everywhere in his biography, starting with a documentary: that man “changed the world“.
I mean, there are big fans of Steve Jobs around, I get it. But did he change my world? I doubt it…. The thing is, I do not have a iPhone (I do not even have a cell phone, and those who tried to reach me know that I barely answer the phone when it rings, in my office and at home), I do not have an iPad, and if I have a Mac at the Office, it is only because of the alternative I had… So if he did not change my life, whose life did he change?
Perhaps the life of those believed in him? If we look at the value of the Apple stock, starting on October, 23rd, 2001 (first iPod released), and compare it with the Nasdaq, both starting at value 100 on October 2001, we get
> library(tseries)
> x.nasdaq <- get.hist.quote("^IXIC")
> x.apple <- get.hist.quote("AAPL")
> nasdaq.100 <- 100*x.nasdaq$Close[time(x.nasdaq$Close)>as.Date("23/10/2001",
+ "%d/%m/%Y")]/as.numeric(x.nasdaq$Close[time(x.nasdaq$Close)==as.Date(
+ "23/10/2001","%d/%m/%Y")])
> plot(nasdaq.100,ylim=c(60,max(apple.100)),col="blue")
> apple.100 <- 100*x.apple$Close[time(x.apple$Close)>as.Date("23/10/2001",
+ "%d/%m/%Y")]/as.numeric(x.apple$Close[time(x.apple$Close)==as.Date(
+ "23/10/2001","%d/%m/%Y")])
> lines(apple.100,col="red")
in blue is the Nasdaq, and in red, the (closing) price of the Apple stock,
People who did buy Apple stocks in October 2001 had a good intuition. In ten years (perhaps a few months more), the stock was worth 40 times the price investors did pay for it. That’s not bad…. so indeed, Steve Jobs did probably change the life of some (long tern) investors who believed in him.
Las Vegas and financial institutions
Exactly one month ago, I entered the Bellagio casino to gamble at the roulette. It was actually a request from my daughter’s godfather (who happens to be a probabilist, actually). On a comment on a previous post, he suggested the following deal,
In the Bellagio you put 10$ for me on the 33 and 10$ for you as well. If 33 shows up, you bring me to a French “3 étoiles” restaurant next time you stop by in France. If 33 doesn’t shows up, I bring you to MacDonald…
I have to admit that I like eating in French “3 étoiles” restaurants, so I did gamble. Well, I could not remember the terms of the agreement very well (neither the number to select, nor the amount to put on the table). So I did ask my daughter which number I was supposed to pick, and she choose 22. Anyway, the number that came up was neither the 33 nor the 22, so we lost. And roulette tables at the Bellagio were down to a $15 minimum (from what I remember, I was supposed to play $5 or $10). And I have seen tables with $100 minimum (probably more, but I am not sure, and I could not take much pictures inside) ! So I did play $15 (I did keep chips as souvenirs), and I have to admit that I was excited during a few seconds. I really enjoyed that thrilling sensation ! And I was playing only $15 !
Later on, in the room of the hotel – while we’ve been watching TV – we saw some poker games where people where putting $200,000 on the table (there was almost a million in the pot) ! I tried to explain my kids that this was a reason why there were so many signs on the walls claiming that kids were not supposed to enter casinos, and so many ads about gambling being an addiction. It is not reasonable to put so much on a table ! $200,000 on the table ? This is probably more than all I could possibly own !
I thought about all that yesterday, when I discovered the following Table, about leverage ratios of bank,see http://fool.com/investing/…
|
Company |
Leverage Ratio (Assets-to-Equity), 2007 |
|---|---|
| Bear Stearns | 34:1 |
| Morgan Stanley | 33:1 |
| Merrill Lynch | 32:1 |
| Lehman Brothers | 31:1 |
| Goldman Sachs | 26:1 |
(with similar values in U.K., according to http://voxeu.org/…)
What does 30 mean ? It means that a company with $1 in capital holds $30 in (various) financial positions (see http://newleftreview.org/II/… for a discussion). If you think about it, with a relative decline of 3.5%, the absolute loss is larger than the capital hold by the company… Now, if we forget about Lehman, and focus on me, gambling in Las Vegas, we can try to illustrate this 30:1 leverage ratio as follows. The way I see it is that, if I were a bank with $200,000 equity (equity being, from my understanding, everything I own), I would be able to borrow 30 times this amount, and put this money on some table in Las Vegas. OK, there might be a big difference, since in Vegas, on average I will loose money, while most models in finance claim that (on average) we should gain money (somehow, since it might depend on your reference level). And no one really own the casino in real life. But still. A 30 leverage ratio means that I would be playing more than $6 million on a table in Las Vegas ! How should I understand that 30 leverage ratio ? Am I really such a small player ? Are banks really too big players ? Or perhaps they do not hold enough capital to play that big….
Advanced methods in trees
I will give a talk tomorrow morning at the Mathematical Finance Days, organized in HEC Montréal Monday and Tuesday, on Advanced methods in trees with (as mentioned in the subtitle of the first slide) a some thoughts on teaching mathematical finance. It is mainly a survey on advanced tools, based on the idea expressed in Price (1996),
The paper that showed that European option pricing could be put on a rational mathematical basis was Black and Scholes published in 1973. It was so revolutionary that the authors had to submit it to a number of journals before it was accepted. Although there are now numerous approaches to the result, they mostly require specialized methods, including Ito calculus and partial differential equations, and perhaps Girsanov theory and Feynman-Kac methods. But it is the binomial method due initially to Sharpe and substantially extended by Cox, Ross, and Rubinstein that made the theory of option pricing accessible to everyone with limited mathematical background. Even though it requires only routine algebraic manipulations, the method is still able to elucidate many of the ideas behind the full theory. Furthermore, all the surprising results mentioned in the opening can be located in this approach. For these reasons it is usually the first method presented in text books and finance courses; we shall follow this trend and step through it. The binomial method is, however, much more than a pedagogical breakthrough, since it allows for the development of numerical approximation methods for a wide range of options for which there are no known analytic solutions.
Some recent results, obtained in work in progress with colleagues in combinatorial analysis will also be mentioned at the end of the talk (slides can be downloaded in a pdf format, with animations)
I will also be chairing the Numerical Methods session.
Martingale et journalisme scientifique
Être journaliste scientifique ne doit pas être facile. J’imagine qu’il faut être à l’écoute des nouvelles scientifiques, et d’informer, aussi justement que possible. C’est ce que fait avec brio Pierre Barthélémy (aka @PasseurSciences sur Twitter) dans sa chronique hebdomadaire sélection scientifique de la semaine. Il essaye ainsi de parler de sciences dans un journal qui a (trop) souvent confondu science et technologie (technologie étant aussi souvent un mot savant utilisé pour masquer de la publicité pour des appareils technologiques avancés). Et comme l’espace qui lui est imparti est restreint (c’est le moins qu’on puisse dire), la plupart des informations passent par son blog http://passeurdesciences.blog.lemonde.fr/, qui est riche ! Sylvestre Huet fait aussi ce travail pour Libération, avec son blog http://sciences.blogs.liberation.fr/ (là encore, on peut lire bien plus de choses en ligne que que dans la version papier, ce qui est d’autant plus intéressant pour les lecteurs de l’autre coté de l’océan atlantique). Sylvestre Huet arrive à parler géologie, puis démographie, avant d’évoquer dans un article truffé de références les réformes des instances qui régentent la recherche en France. Oui, les deux blogs sont malgré tout très français. Pour une vision plus internationale, on pourra citer l’admirable travail de Pascal Lapointe, par exemple (aka @paslap) sur http://sciencepresse.qc.ca/.
Mais si je commence à mettre les pieds dans le plat, je poserais la question de la légitimité d’un journaliste scientifique, à l’heure où la blogosphère scientifique explose. Par exemple, si je veux apprendre des choses en physique, ou en biologie, je sais que le blog de Tom Roud (que l’on peut suivre sur Twitter @tomroud) http://tomroud.cafe-sciences.org est une source infinie d’information (ok, peut-être pas “infinie” car comme nous tous, il a une vie en dehors de son blog, mais disons qu’il y a de quoi lire). En sciences humaines, il existe des centaines de blogs hébergés sur http://hypotheses.org/ tenus par des universitaires, ou http://www.cafe-sciences.org/ pour des blogs de sciences, en français. Les bloggers scientifiques s’expriment – le plus souvent – en restant dans leur champ d’expertise. Et c’est tant mieux. Le journaliste scientifique, lui, se doit de parler de tous les sujets scientifiques. Et c’est là que l’exercice devient délicat, car le journaliste se doit d’être critique. Compte tenu de la concurrence féroce qui existe dans le monde académique, on nous pousse à faire croire qu’on vient d’écrire l’article qui va révolutionner la science, sinon le monde. Que notre approche est novatrice, et qu’en plus, on vient de montrer ce qui pourrait ce qui pourrait être le sain Graal dans notre communauté. C’est le travail du journaliste de se demander si c’est vrai….
J’en arrive au point de mon billet. Le dernier article le hasard, martingale boursière ? (en ligne sur http://lemonde.fr/sciences/…) de Pierre Barthélémy m’a un peu agacé. Pas sur le thème abordé, mais l’impression générale qui m’est restée après avoir lu l’article (samedi matin). Pour l’histoire complète, c’est ma femme qui est tombée la première sur l’article, et qui a été étonnée de lire un article pareil dans Le Monde, en tant que mathématicienne (et probabiliste). Et quand je l’ai lu, c’est en tant qu’économiste que je suis resté sans voix. En résumé (trop succinct, j’en convient), on nous résume l’article de physiciens italiens qui “expliquent qu’au grand dam des traders et autres analystes financiers, en quête perpétuelle de justifications rationnelles aux fluctuations des cours boursiers, les marchés demeurent obstinément imprévisibles“. Pour parcourir l’article mentionné, mais non cité – probablement car il s’agit de la version papier ? – l’article est en ligne sur http://arxiv.org/1303.4351 (trouvé via http://improbable.com/…). On retrouve cette idée dans le texte sous la forme suivante “our main result, which is independent of the market considered, is that standard trading strategies and their algorithms, based on the past history of the time series, although have occasionally the chance to be successful inside small temporal windows, on a large temporal scale, perform on average not better than the purely random strategy, which, on the other hand, is also much less volatile. In this respect, for the individual trader, a purely random strategy represents a costless alternative to expensive professional financial consulting, being at the same time also much less risky, if compared to the other trading strategies.” On apprend dans l’article paru dans Le Monde que “pour Pluchino et compagnie, le CAC 40 est une loterie, ce que les spécialistes ne veulent pas admettre“. Damned, rien que ça ? Pour les amateurs de lyrisme (il doit y en avoir dans les lecteurs du monde, moins parmi les lecteurs plus scientifiques qui aiment les phrases moins alambiquées), je passe les moments où Pierre Barthélémy est clairement plus journaliste que scientifique, comme lorsqu’il nous explique que ces quatre chercheurs “viennent d ‘attaquer à l’acide de l’aléatoire” les modèles financiers. Cela dit, cela a le mérite de mettre les points sur les i: ce sont des physiciens. Pas des économistes.
Je pense qu’il y a des milliers de raisons d’attaquer les traders (si ce sont bien les “spécialistes” visés). Mais qu’on ne les prenne pas pour plus bêtes qu’ils ne le sont (je le dis d’autant plus volontiers que j’en ai formé un paquet, à l’ENSAE ou à Polytechnique, au cours des 10 dernières années).
Avant de revenir sur la petite histoire de martingale financière (tel que le résume le titre de l’article) faisons un court détour par celle brillamment racontée dans Mansuy (en ligne sur http://math.harvard.edu/~ctm/… et traduit en anglais dans http://jehps.net/Mansuy.pdf) sur l’origine de la notion de martingale. D’un point de vue mathématique (disons comme propriété des processus stochastiques), il faut remonter aux travaux de Joseph Bernstein, Paul Lévy, Émile Borel, et surtout Joseph Leo Doob, au milieu au XXième siècle. Cela dit, le mot est plus ancien: il entre dans le dictionnaire de l’Académie Française en 1762. Jouer à la martingale, c’est jouer toujours tout ce que l’on a perdu. Mais quelques années plus tot, on pouvait déjà trouver le mot sous la plume de l’Abbé Prévost (le jeu qu’il décrit en 1750 comme variante du jeu du pharaon est aussi appelé martingale d’Alembert) Cela dit, l’origine que je préfère est de relier le mot martingale à l’expression provençale “jouga a la martegalo” qui signifierait jouer de manière incompréhensible, absurde, comme l’évoque Frédéric Mistral dans Lou Tresor dòu Felibrige ou dictionnaire provençal-français. On retrouve une origine proche dans le dictionarie of the French and English tongues de Randle Cotgrave, datant de 1611, qui mentionne l’expression “à la martingale” avec le sens absurdly, foolishly, untowardly, grossely, rudely, in the homeliest manner. Il cite même l’usage de l’expression philosopher à la martingale (sans citer Bernard Henri Levy, mais il semble que ce soit l’idée). Cela dit, même dans Lapinot on parle de martingale,
Bref, à partir de ce comportement incompréhensible, voire absurde, des économistes vont définir une notion importante en finance, que l’on appellera efficience (qui est un mot dangereux car il évoque aux oreilles de tous les économiste une notion d’optimalité au sens de Pareto, on pourra relire Malkiel (2003) The Efficient Market Hypothesis and Its Critics sur ce point). L’idée d’utiliser une marche aléatoire pour modéliser le cours d’un actif est ancienne. Par exemple (je ne remontrais pas au XVIème siècle, mais http://e-m-h.org/history.html le suggère) on pourra relire les travaux de Bachelier datant du début du XXième siècle, mais comme le dit la légende, Bachelier a été peu lu, à l’époque (en tous les cas par des économistes). Publié quelques années plus tard, on pourra relire Cowles & Jones (1937), Some A Posteriori Probabilities in Stock Market ou surtout Samuelson (1965) Proof That Properly Anticipated Prices Fluctuate Randomly. Cet article est passionnant, si on prend le temps de le lire “There is no way of making an expected profit by extrapolating past changes in the future price, by chart or any other esoteric devices of magic or mathematics.” Paul Samuelson est d’une modestie remarquable pour un chercheur, “I have not here discussed what the basic probability distributions are supposed to come from. In whose mind are they ex ante? Is there any ex post validation of them? Are they supposed to belong to the market as a whole? And what does that mean? Are they supposed to belong to the “representative individual”, and who is he? Are there some defensible or necessitous compromises of divergent anticipations patterns? Do price quotations somehow produce a Pareto-optimal configuration of ex ante subjective probabilities? This paper has not attempted to pronounce on these interesting questions“. Il peut y avoir des bulles, des processus non Gaussien, un peu tout ce qu’on peut imaginer, le point important étant qu’il est impossible d’utiliser le passé pour prédire le futur, en finance.
Oui, depuis 50 ans, les économistes savent que la marche aléatoire peut être un bon modèle pour décrire le prix des actifs. Ou pour être plus précis (et rendre à Paul Samuelson ce que Paul Samuelson a dit le premier) les martingales. Mais il faudra surtout attendre les travaux d’Eugène Fama, en particulier Fama (1965) The Behavior of Stock Market Prices et Fama (1970) Efficient Capital Markets: A Review of Theory and Empirical Work, qui vont de manière définitive marquer le début de l’utilisation des martingales en finance. Eugène Fama y retient trois notions d’efficience (pour aller plus loin que le fameux “A market in which prices at any time “fully reflect” available information is called “efficient”“)
- Expected Returns or “Fair Game” Models
- Submartingale Models
- Random Walk Model
(en 1965, l’efficience devait être reliée, pour Eugène Fama, à la notion de marche aléatoire, alors que Paul Samuelson utilisait déjà la notion de martingale). Ces modèles disent tous (on est en 1970) qu’il est inutile d’utiliser l’information passée ou présente “to predict the future in a way which makes expected profits greater than they would be under a naive buy-and-hold model“. N’en déplaise à Pierre Barthélémy , depuis presque 50 ans ce principe est énoncé dans les cours d’asset pricing. Bachelier disait la meme chose en 1900, “l’espérance mathématique du spéculateur est nulle” dans Théorie de la spéculation. Et cela sera confirmé quelques années plus tard par les résultats empiriques de Cowles et Jones. Un an plus tard sera publié Black (1971) Implications of the random walk hypothesis for portfolio management, et trois ans plus tard, Hagerman & Richmond (1973) Random Walks, Martingales and the OTC. La littérature économique va se multiplier pendant les années 70, à tel point qu’en 1978, Michael Jensen, alors professeur à Harvard écrivait “I believe there is no other proposition in economics which has more solid empirical evidence supporting it than the Efficient Market Hypothesis” (cité dans http://economist.com/14030296). Plus récemment, à la fin des années 80 était publié le remarquable LeRoy (1989) Efficient Capital Markets and Martingales, qui étoffait la critique initiée dans LeRoy (1976). Efficient capital markets: Comment. LeRoy et Samuelson ont été les premiers à parler de martingale pour modéliser les prix des actifs. On continue (avec les articles qui font référence, et que tous les étudiants qui ont suivi un cours d’asset pricing ont lu) ? L’année suivante était publié Lehman (1990) Fads, Martingales, and Market Efficiency. Les martingales sont des outils incroyablement riches. Ils ne sont pas équivalent à une marche aléatoire: on peut avoir une martingale, sans avoir de marche aléatoire (par exemple avec un processus ARCH, on pourra relire sur le sujet les notes de cours Predictability of Asset Returns, en particulier le premier paragraphe, ou en français, avec des cours de licence, par Francis Diener, http://math.unice.fr/~diener/…). Pour ceux qui veulent moins de formalisme, une martingale (en simplifant outrageusement) c’est, comme l’explique Nicolas Poupon,
Mais ces articles posent essentiellement les bases de la théorie financière. Qu’en est-il des aspects empiriques ? Andrew Lo et Craig MacKinlay ont publié un livre, en 2001, qui recense plusieurs articles sur le sujet, A Non-Random Walk Down Wall Street. Qui remet en cause l’idée de marche aléatoire, moins celle de marginale. On pourra aussi penser à Beechey Gruen & Vickrey (2000) et leur étude The Efficient Markets Hypothesis: A Survey, en ligne sur la Reserve Bank of Australia. Enfin, Pour une méthodologie plus proche de celle évoquée dans l’article en ligne sur arxiv, on pourra lire Martingales, the Efficient Market Hypothesis, and Spurious Stylized Facts de Joseph McCauley, Kevin Bassler et Gemunu Gunaratne (si on souhaite aussi utiliser des propriétés de mémoire longue). Moralité ? Non, ce n’est pas nouveau que l’on teste l’hypothèse d’efficience et de martingale. Et si je cite des articles académiques, il faut ajouter que les journalistes économiques connaissent également cette littérature. Il y a 10 ans, Justin Fox posait la même question que nos chercheurs dans un article dans Fortune intitulé Is The Market Rational ? No, say the experts. But neither are you–so don’t go thinking you can outsmart it. On pourra aussi relire Efficiency and beyond (mentionné auparavant) qui revient sur la notion d’efficience des marchés. On y retrouve que les spécialistes savent tout ca: “on such ideas, and on the complex mathematics that described them [i.e martingales], was founded the Wall Street profession of financial engineering“. Enfin, en 2009, Richard Thaler faisait quelques rappels sur la difficulté d’interpréter correctement l’hypothèse d’efficience des marchés dans Markets can be wrong and the price is not always right. Pour conclure sur l’histoire des martingales en finance, en 2010, Fama répondait d’ailleurs de manière très claire à la question dans une interview – interview with Eugene Fama – lorsque John Cassidy lui demandait “the fundamental insight of the efficient market hypothesis [is] that you can’t beat the market ?“, et qu’il répondait “Right—that’s the practical insight. No matter what research gets done, that one always looks good“.
Pour revenir sur l’article de Pierre Barthélémy, je trouve qu’écrire “le CAC 40 est une loterie, ce que les spécialistes ne veulent pas admettre” est incroyablement méprisant envers des centaines, pour ne pas dire des milliers de chercheurs en mathématiques financières, et en économétrie de la finance. Mais rassure toi Pierre, je vais continuer à lire tes chroniques. C’est juste que ma grand mère est encore abonnée au Monde, et j’aimerais bien qu’elle continue de croire que je peux sauver l’humanité (et non pas que je refuse d’admettre ce que des chercheurs italiens viennent d’établir, même si cela confirmerait – à ses yeux – que je peux etre têtu comme une mule quand je veux).
Maintenant, pour conclure sur l’article mentionné, et sur l’analyse faite, on ne peut pas dire que les conclusions soient révolutionnaires. Disons, pour quiconque ayant lu un peu de littérature économique dans les 50 dernières années. En fait, pour être honnête, je pense qu’on peut dire que Alessandro Pluchino et Andrea Rapisarda se sont amusé (on inclura Biondo et Helbing). Sans plus de prétention. Pour ceux qui ne se souviennent pas, ils avaient eu un IGNobel en 2011, pour leur étude sur organizations would become more efficient if they promoted people at random. J’avais aussi beaucoup aimé leur article sur les aspects computationnels du principe de Peter, en ligne sur http://arxiv.org/0907.0455. Quand je lis leurs études, j’ai l’impression qu’ils s’amusent. Et le terme n’est absolument pas péjoratif dans ma bouche, loin de là. C’est un peu ce que disait Lucile Quillet la semaine passée dans http://etudiant.lefigaro.fr/… lorsqu’en mentionnant une étude de Baptiste Coulmont, elle écrivait “c’est le jeu auquel c’est amusé Baptiste Coulmont sur son blog“. Je ne sais pas si le terme était voulu, si c’était basé sur le fait qu’un blog, c’est fait pour jouer… mais j’ai toujours revendiqué que je faisais de la recherche pour mon plaisir, pour m’amuser. Et comme me le rappelait Baptiste, le mot schola signifie école, en latin, et son étymologie grecque est le mot σχολή, signifiant loisir.
Crash course on R for financial and actuarial econometrics
The crash course announced for this Friday, in Montréal, entitled Econometric Modeling in Finance and Insurance with the R Language, has been canceled by IFM2 – or to be more specific postponed. I will upload the slides on financial and actuarial applications later on (even if most of the material can be found, here and here, on this blog). Sorry about this late announcement.
Econometric Modeling in Finance and Insurance with the R language
On February 15th, IFM2, the Institute of Financial Mathematics in Montréal will organize an (one day) Executive workshop on Econometric Modeling in Finance and Insurance with the R language. The event is not yet mentioned in the calendar, but the syllabus can be downloaded here. Additional details (slides and R code) will be available soon, on this blog. In the morning, it will be an introduction to the R langage, and in the afternoon, we will focus on applications,
- Principal components analysis and application to yield curves
- Regression tree, logistic regression and application to credit scoring
- Poisson regression and applications to claims reserving (IBNR) and projected mortality tables (LifeMetrics)
Visualizing uncertainty using Jackknife
Once again, I (re)discovered last week at the Rmetrics conference that old tools can be extremely interesting to illustrate complex ideas, like uncertainty in fnancial markets, and stock prices. For instance a 99.5% quantile: we look for the scenario that occur with a probability of 1 out of 200. Are there nice ways to illustrate that quantity ?
Consider the monthly evolution of the SP500 index over the last 22 years,
> library(quantmod) > getSymbols('^GSPC', from='1990-01-01') [1] "GSPC" > GSPC = adjustOHLC(GSPC, + symbol.name='^GSPC') > MGSPC = to.monthly(GSPC) > CLOSE = MGSPC$GSPC.Close > plot(CLOSE)
It is possible to use Jackknife technique to illustrate uncertainty. The idea, in Jackknife, it to remove one of the observations, and to do that for all observations. More formally, from a sample 
, we define a (sub)sample where observation 
as been removed, i.e. 
. Then, we can study all samples when one observation was removed.
Here, in the context of financial time series, over 270 months, we can wonder what might have been the final value of the index if one observation (i.e. one month) had been removed. It is actually the idea of Jackknife,
> R=diff(log(CLOSE)); R=R[-1] > n=length(R) > X=rnorm(n,mean(R),sd(R)) > X=R > MX=t(matrix(X,n,n)) > MX=exp(MX) > diag(MX)=1 > SMX=MX > for(k in 2:n){SMX[,k]=SMX[,k-1]*(MX[,k])}
We can plot the different trajectories of the index, when we remove one month,
> init=as.numeric(CLOSE[1]) > plot(1:n,init*cumprod(exp(X)),type="l", + xlab="",ylab="",col="white") > for(k in 1:n){lines(0:n,init*c(1,SMX[k,]), + col="light blue")} > lines(0:n,init*c(1,cumprod(exp(X))),lwd=2, + col="blue")
This can be used to understand sensitivity, or unccertainty, of financial time series,
We can then look closer at the final value of the index, over those 270 scenarios,
or we also use a Box-Plot,
Here we can clearly see the impact: if we remove one good month, the index ends around 1250, while it reaches 1650 if we remove a bad month. The difference is huge. So instead of talking about volatility (which is actually a complex concept), that Jackknife idea of remove observations might be more intuitive, and much easier to get a first understanding of uncertainty. But those ideas of resampling are great. I will post a nice application soon (but first, I will discuss with some colleagues in Lyon).
Pricing options on multiple assets
I am a big fan of trees. It is a very nice way to see how financial pricing works, for derivatives. An with a matrix-based language (R for instance), it is extremely simple to compute almost everything. Even options multiple assets. Let us see how it works. But first, I have to assume that everyone knows about trees, and risk neutral probabilities, and is familiar with standard financial derivatives. Just in case, I can upload some old slides of the first course on asset pricing we gave a few years ago at École Polytechnique.
Let us get back on the pricing of (European) call options, with trees.The idea is simple. We have to fix the number of periods. Let us start with only one (as described in the slides above). The stock has price 
and can go either up, and then have price 
or go down, and have price 
. And the fundamental theorem of asset pricing says that we do not really care about probabilities of going up, or down. Assuming that we can buy or sell that stock, and that a risk free asset is available on the market, it is possible to price any contingent financial product, like a financial option. Since we know the final value of the option when the stock goes either up, or down, it is possible to replicate the payoff of that option using the stock and the risk free asset. And we can prove that the price of the option is simply
and can go either up, and then have price or go down, and have price . And the fundamental theorem of asset pricing says that we do not really care about probabilities of going up, or down. Assuming that we can buy or sell that stock, and that a risk free asset is available on the market, it is possible to price any contingent financial product, like a financial option. Since we know the final value of the option when the stock goes either up, or down, it is possible to replicate the payoff of that option using the stock and the risk free asset. And we can prove that the price of the option is simply
where the probability is the so-called risk neutral probability
So, we’ve done it here with only one single period, but it is possible to extend it to multiperiods. The idea is to keep that multiplicative representation of possible values of the stock, and to get a recombinant tree. At step 2, the stock can take only three different values: went up twice, went down twice, or went up and down (or the reverse, but we don’t care: this is the point of recombining). If we write things down, then we can prove that
for some probability parameter (the so-call risk neutral probability, if it is unique). But we do not really care about those closed formula, the goal is to write an algorithm which computes the tree, and return the price of a call option (say). But before starting, we have to make a connection between that model with up and down prices, and the parameters of the Black-Scholes diffusion, for the stock price. The idea is to identify the first and the second moment, i.e.
(where, under the risk neutral probability, the trend is the risk free rate) and
The code might look like that
n=5; T=1; r=0.05; sigma=.4;S=50;K=50 price=function(n){ u.n=exp(sigma*sqrt(T/n)); d.n=1/u.n p.n=(exp(r*T/n)-d.n)/(u.n-d.n) SJ=matrix(0,n+1,n+1) SJ[1,1]=S for(i in(2:(n+1))) {for(j in(1:i)){SJ[i,j]=S*u.n^(i-j)*d.n^(j-1)}} OPT=matrix(0,n+1,n+1) OPT[n+1,]=(SJ[n+1,]-K)*(SJ[n+1,]>K) for(i in(n:1)) {for(j in(1:i)){OPT[i,j]=exp(-r*T/n)*(OPT[i+1,j]*p.n+ (1-p.n)*OPT[i+1,j+1])}} return(OPT[1,1]) }
We can plot the evolution of the price, as a function of the number of time periods (or subdivision of the time interval, from now till maturity of the European option),
N=10:400 V=Vectorize(price)(N) plot(N,V,type="l")
Note that we can compare with the Black-Scholes price of this call option, given by
where
and
d1=1/(sigma*sqrt(T))*(log(S/K)+(r+sigma^2/2)*T) d2=d1-sigma*sqrt(T) BS=S*pnorm(d1)-K*exp(-r*T)*pnorm(d2) abline(h=BS,lty=2,col="red")
The code is clearly not optimal, but at least, we see what’s going on. For instance, we do not need a matrix when we calculate using backward recursions the price of the option. We can just keep a single vector. But this matrix is nice, because we can use it to price American options. For instance, with the code below, we compare the price of an American put option, and the price of European put option.
price.american=function(n,opt="put"){ u.n=exp(sigma*sqrt(T/n)); d.n=1/u.n p.n=(exp(r*T/n)-d.n)/(u.n-d.n) SJ=matrix(0,n+1,n+1) SJ[1,1]=S for(i in(2:(n+1))) {for(j in(1:i)) {SJ[i,j]=S*u.n^(i-j)*d.n^(j-1)}} OPTe=matrix(0,n+1,n+1) OPTa=matrix(0,n+1,n+1) if(opt=="call"){ OPTa[n+1,]=(SJ[n+1,]-K)*(SJ[n+1,]>K) OPTe[n+1,]=(SJ[n+1,]-K)*(SJ[n+1,]>K) } if(opt=="put"){ OPTa[n+1,]=(K-SJ[n+1,])*(SJ[n+1,]<K) OPTe[n+1,]=(K-SJ[n+1,])*(SJ[n+1,]<K) } for(i in(n:1)) { for(j in(1:i)) {if(opt=="call"){ OPTa[i,j]=max((SJ[i,j]-K)*(SJ[i,j]>K), exp(-r*T/n)*(OPTa[i+1,j]*p.n+ (1-p.n)*OPTa[i+1,j+1]))} if(opt=="put"){ OPTa[i,j]=max((K-SJ[i,j])*(K>SJ[i,j]), exp(-r*T/n)*(OPTa[i+1,j]*p.n+ (1-p.n)*OPTa[i+1,j+1]))} OPTe[i,j]=exp(-r*T/n)*(OPTe[i+1,j]*p.n+ (1-p.n)*OPTe[i+1,j+1])}} priceop=c(OPTe[1,1],OPTa[1,1]) names(priceop)=c("E","A") return(priceop)}
It is possible to compare those price, obtained on trees, with prices given by closed (approximated) formulas.
> d1=1/(sigma*sqrt(T))*(log(S/K)+(r+sigma^2/2)*T) > d2=d1-sigma*sqrt(T) > (BS=-S*pnorm(-d1)+K*exp(-r*T)*pnorm(-d2) ) [1] 6.572947 > N=10:200 > M=Vectorize(price.american)(N) > plot(N,M[1,],type='l',col='blue',ylim=range(M)) > lines(N,M[2,],type='l',col='red') > abline(h=BS,lty=2,col='blue') > library(fOptions) > (am=BAWAmericanApproxOption(TypeFlag = + "p", S = S,X = K, Time = T, r = r, + b = r, sigma =sigma)@price) [1] 6.840335 > abline(h=am,lty=2,col='red')
Another great thing with trees, is that it becomes possible to plot to region where it is optimal to exercise our right to sell the stock.
Let us move now to a model with two assets, as suggested by Rubinstein (1994). First, observe that a discretization of two independent Brownian motions will be based on two independent random walk, taking values
i.e. both went up (NW), both went down (SE), and one went up while the other went down (either NE or SW). With independent and symmetric random walks, the probabilities will be respectively 1/4. An if we move one step foreward, we have the following tree.
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Here it is still recombining. But the size will increase much faster than in the univariate case. Now, assume that there might be some correlation. Then one can consider the following values, to have a specific correlation,
And again, the idea is then to identify the first two moments. This gives us the following system of equations for the four respective (risk neutral) probabilities
For those willing to do the maths, please do. The answer should be
and for the last one
The code here looks like that
price.spead=function(n){ T=1; r=0.05; K=0 S1=105 S2=100 sigma1=0.4 sigma2=0.3 rho=0.5 u1.n=exp(sigma1*sqrt(T/n)); d1.n=1/u1.n u2.n=exp(sigma2*sqrt(T/n)); d2.n=1/u2.n v1=r-sigma1^2/2; v2=r-sigma2^2/2 puu.n=(1+rho+sqrt(T/n)*(v1/sigma1+v2/sigma2))/4 pud.n=(1-rho+sqrt(T/n)*(v1/sigma1-v2/sigma2))/4 pdu.n=(1-rho+sqrt(T/n)*(-v1/sigma1+v2/sigma2))/4 pdd.n=(1+rho+sqrt(T/n)*(-v1/sigma1-v2/sigma2))/4 k=0:n un=matrix(1,n+1,1) SJ= (S1 * d1.n^k * u1.n^(n-k-1)) %*% t(un) - un %*%t(S2 * d2.n^k * u2.n^(n-k-1)) OPT=(SJ)*(SJ>K) for(k in(n:1)) { OPT0=matrix(0,k,k) for(i in(1:k)) { for(j in(1:k)) {OPT0[i,j]=(OPT[i,j]*puu.n+OPT[i+1,j]*pdu.n+ OPT[i,j+1]*pud.n+OPT[i+1,j+1]*pdd.n)*exp(-r*T/n)}} OPT=OPT0} return(OPT[1,1])}
If we look at the details, consider two periods, like on the figure above, the are nine values for the spread,
> n=2 > SJ [,1] [,2] [,3] [1,] 32.02217 84.86869 119.443578 [2,] -47.84652 5.00000 39.574891 [3,] -93.20959 -40.36308 -5.788184
and the payoff of the option is here
> OPT [,1] [,2] [,3] [1,] 32.02217 84.86869 119.44358 [2,] 0.00000 5.00000 39.57489 [3,] 0.00000 0.00000 0.00000
So if we go backward of one step, we have the following square of values
> k=n > OPT0<-matrix(0,k,k) > for(i in(1:k)) + { + for(j in(1:k)) + { + OPT0[i,j]=(OPT[i,j]*puu.n+OPT[i+1,j]*pdu.n+ + OPT[i,j+1]*pud.n+OPT[i+1,j+1]*pdd.n)*exp(-r*T/n) + } + } > OPT0 [,1] [,2] [1,] 22.2741190 58.421275 [2,] 0.5305465 5.977683
The idea is then to move backward once more,
> OPT=OPT0 > OPT0<-matrix(0,k,k) > for(i in(1:k)) + { + for(j in(1:k)) + { + OPT0[i,j]=(OPT[i,j]*puu.n+OPT[i+1,j]*pdu.n+ + OPT[i,j+1]*pud.n+OPT[i+1,j+1]*pdd.n)*exp(-r*T/n) + } + } > OPT0 [,1] [1,] 16.44106
Here calculations are much (much) longer,
> price.spead(250) [1] 15.66496
and again, it is possible to use standard approximations to compare that price with a more standard one,
> (sp=SpreadApproxOption(TypeFlag = + "c", S1 = 105, S2 = 100, X = 0, + Time = 1, r = .05, sigma1 = .4, + sigma2 = .3, rho = .5)@price) [1] 15.65077
Well, playing with trees is nice, but it might not be optimal for complex products. Next time, we’ll discuss other techniques…
Correlations, dimension, and risk measure
Yesterday, while I was attending the IFM2 conference, at HEC Montreal, I heard a nice talk about credit risk, and a comparison between contagion (or at least default correlation), for corporate and retail companies (in the US). And it was mentioned that default correlation was much lower for retail companies than it could be for corporate risk. In a discussion that followed those slides, it was mentioned that banks in the US should actually have been working more with those small firms, since contagion risk was much lower.
A problem here is that the link between correlation, risk and dimension is rather complicated:
- corporate means a small number of firms, high correlation (and possible large individual losses)
- retail means a large number of firms (even perhaps extremely large), lower correlation (and small individual losses)
A simple model for default models is based on the assumption that we deal with an exchangeable portfolio (as in a previous post). With the following code, given an (individual) default probability, a default correlation, and a number of firms, it is possible to calculate the probability to have more than a given number of defaults.
proba=function(s,a,m,n){ b=a/m-a choose(n,s)*integrate(function(t){t^s*(1-t)^(n-s)* dbeta(t,a,b)},lower=0,upper=1,subdivisions=1000, stop.on.error = FALSE)$value} CDF=function(x=10,r=.4,m=.1,n=50){ a=m*(1-r)/r ; V=rep(NA,n+1) for(i in 0:n){ V[i+1]=proba(i,a,m,n)} V=V/sum(V); return(sum(V[1:(x+1)])) }
It is possible to calculate, for a large range of correlations, the probability to have – at least – 20% of default in the portfolio (in order to compare things that are comparable).
R=seq(.01,.99,by=.01) VQ=matrix(NA,length(A),2) for(i in 1:length(A)){ VQ[i,1]=1-CDF(r=A[i],x=4,n=20); VQ[i,2]=1-CDF(r=A[i],x=200,n=1000)}
With 20 firms (corporate) we want to have at least 4 defaults, while with 1000 firms (retail) there should be 200 defaults. As mentioned in the previous post, the relationship between correlation and quantiles of sums is not simple. Hence, it might not be monotone. The dotted line is the probability to have at least 4 defaults when default correlation is 50% (around 10%). The plain line is the probability to have at least 200 defaults, as a function of the correlation,
plot(A,1-VQ[,2],type="l",col="red",ylim=c(0,.22)) abline(h=1-VQ[50,1],lty=2,col="red")
In that case, with only a correlation of 10% among retail firms, the probability of having 20% defaults is the same as the same probability for corporate, but with 50% correlation… One should remember that in portfolio analysis, the links between correlation, dimension and risk measure is a sensitive issue…
Des calculs en base 12 à la magie des log-rendements
Un des gros avantages dans la culture anglo-saxonne, c’est que culturellement, les anglais ont été de grands amateurs du système duodécimal (en base 12). Par exemple, il y a 12 pouces dans un pied, ou le fait que jusqu’aux années 70, il y avait 12 pences dans un schilling… Et ce que j’apprécie, c’est que ce système pousse à manipuler les fractions (2, 3, 4, 6 étant des diviseurs de 12) alors que le système décimal pousse à utiliser les nombres à virgule. Et compte tenu de la proximité avec les États-Unis, même si ici le système métrique a été adopté, il reste des fonds de ces calculs en base 12.
Par exemple, à l’école à Montréal, les tables d’addition et de multiplication vont jusqu’à 12. Aussi, l’autre soir, je faisais réviser les tables (de multiplication) de 11 et 12 à mon fils, et on a passé du temps sur 
et 
. Car sa première réponse à combien font huit fois douze ? a été ben…. cent ?. J’ai bien entendu protesté (c’est un euphémisme) pour la forme, tout en sachant qu’il est naturel de croire que 
, ou que 
. N’est ce pas ce qu’on pense quand on apprend qu’un prix a augmenté de 20% avant de baisser de 20% le lendemain ? Car c’est la même erreur que l’on commet. Et mine de rien, raisonner avec des rendements, c’est pénible…. (tous ceux qui ont discuté taux d’intérêt avec un banquier le savent).
Pour rappel, on définie le rendement comme la variation relative, i.e.
L’intérêt de cette formule est évident
Et si on regarde ce qui se passe sur deux jours
Aussi, si un jour on a un rendement de 
, et le lendemain un rendement de 
Autrement dit, si on subit une baisse de 10% puis une hausse de 10% (ou le contraire d’ailleurs), on ne revient pas à la position initiale, car 
(ou ce que je voyais avec mon fils quand on notait que 
). En fait, on perd de l’argent… Damned, c’est pénible ça, non ? D’autant plus que si on répète cette alternance (entre une baisse de 10% puis une hausse de 10%) sur un an, au final, on a perdu 85% de valeur… Autrement dit, avec des rendements d’espérance nulle, et symétriques, la volatilité à elle seule fait perdre de l’argent…
Si on s’intéresse maintenant aux log-rendement,
cette fois, on note que
(on retrouve très explicitement la croissance exponentielle des prix). En faisant des développements limités, i.e. si les rendements sont faibles, alors on observe que 
. En effet
Aussi, si 
vaut 0.05, on parlera (abusivement) de hausse de 5%. Si on regarde une évolution sur deux jours,
Autrement dit, si on subit une baisse de 10% (en log-rendement) puis une hausse de 10% (ou le contraire), on revient à la position initiale (et donc on a une variation nulle) car 
.
C’est probablement pour ça que les financiers utilisent des log-rendements: ils n’ont pas (en toute rigueur) la même interprétation que la variation relative, mais au moins on peut faire les calculs de manière très intuitive.