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Comparer des taux sur deux populations

Lors du dernier cours, nous avions évoqué les tests de comparaison des moyennes et des proportions sur deux échantillons. Pour cela, nous avions vu qu’il était possible d’utiliser la statistique

https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/comp-sample.gif

https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/compar-sample2.gif

La statistique doit alors suivre, sous l’hypothèse où les proportions sont égales une loi normale centrée réduite. Sous R, c’est assez facile à implémenter. Afin d’illustrer, utiliser l’information suivante

Bon, en l’état on n’a pas vraiment un taux, mais un nombre de tués sur les routes. On peut introduire la probabilité d’avoir un tué sur les routes par minute. Le code sous R serait alors

> prop.test(x=c(308,308/1.027), n=c(31*24*60,31*24*60), alt="two.sided")
 
        2-sample test for equality of proportions with continuity correction
 
data:  c(308, 308/1.027) out of c(31 * 24 * 60, 31 * 24 * 60)
X-squared = 0.0834, df = 1, p-value = 0.7727
alternative hypothesis: two.sided
95 percent confidence interval:
 -0.0009198487  0.0012826342
sample estimates:
     prop 1      prop 2
0.006899642 0.006718249

Autrement dit, la probabilité d’avoir un accident, à la minute, est sensiblement le même, avec une p-value de 77%. On notera sur le graphique suivant que l’impact du pas de temps a globalement peu d’importance….)

L’idéal serait d’avoir des données détaillées, mais il faudra attendre un peu pour ça…

STT2700, estimation, tests et coupes du monde

Mercredi, pour le dernier cours, nous allons revenir sur l’estimation, les tests, et plus généralement sur la modélisation statistique. Pour cela, j’avais pensé travailler sur les nombres de buts marqués, par match, lors de différentes coupes du monde de soccer (1982, 1998 et 2010). Je ne mets pas l’intégralité du code aujourd’hui, l’idée est pour l’instant de mettre en ligne des données qui serviront à répondre aux questions qui seront posées mercredi. Le code (accompagné – éventuellement – d’explications théoriques) sera posté par la suite.

soccer1982=read.table("http://freakonometrics.free.fr/soccer1982")
S82=(soccer1982$V1+soccer1982$V2)
soccer1998=read.table("http://freakonometrics.free.fr/soccer1998")
S98=(soccer1998$V1+soccer1998$V2)
soccer2010=read.table("http://freakonometrics.free.fr/soccer2010")
S10=(soccer2010$V1+soccer2010$V3)

Les boxplot associés à ces trois échantillons sont les suivants,

On va se poser des questions autour de ces données, par exemple voir s’il est vraisemblance (ou pas) que le nombre moyen de but dans un match (avant prolongation, s’il y en a eu). On peut commencé par essayer de se demander quel modèle utiliser. Classiquement, la loi de Poisson est la plus utilisée (en plus, c’est la seule loi qui est autorisée lorsqu’on publie un billet le 1er avril). Les histogrammes sont les suivants

boxplot(S82,S98,S10,col=c("red","yellow","blue"),
label=("1982","1998","2010"))
hist(S82,breaks=0:11,col="red")
hist(S98,breaks=0:11,col="yellow")
hist(S10,breaks=0:11,col="blue")

Si on compare les fonctions de répartition empiriques à celles de lois de Poisson ajustées par maximum de vraisemblance, on obtient, pour la coupe du monde de 1982

et pour celle de 2010,

Visuellement, l’ajustement semble relativement bon, surtout en 2010. On peut aussi faire un test du chi-deux,

> library(vcd)
> (GF=goodfit(S10,type="poisson"))

Observed and fitted values for poisson distribution
with parameters estimated by ML

 count observed     fitted
     0        7  6.6409703
     1       17 15.0459484
     2       13 17.0442384
     3       14 12.8719508
     4        7  7.2907534
     5        5  3.3036226
     6        0  1.2474617
     7        1  0.4037543

> summary(GF)

	 Goodness-of-fit test for poisson distribution

                      X^2 df  P(> X^2)
Likelihood Ratio 5.586765  5 0.3485255

On voit que l’on accepte l’ajustement par une loi de Poisson. Pour ceux qui veulent une visualisation, sur la figure ci-dessous, on a la densité d’une loi du chi-deux. Le premier trait vertical est la valeur observée, et l’aire jaune est alors la p-value (qui excède largement 5%). En rouge on a 5%, donc le second trait vertical est la borne de la région critique associé au test pour une erreur de première espèce valant 5%,

On peut ensuite faire plein de tests.  On suppose que . On va pouvoir tester

http://freakonometrics.free.fr/test-soccer-04.gif

contre une hypothèse alternative

http://freakonometrics.free.fr/test-<br /><br /> soccer-06.gif

Comme on a une hypothèse sur la loi des observations qui semble robuste, on peut utiliser un test de type rapport de vraisemblance.
On peut aussi faire un test de la forme

http://freakonometrics.free.fr/test-soccer-09.gif

contre

http://freakonometrics.free.fr/test-soccer-10.gif

(histoire de tester des hypothèses simples – qui ont une interprétation). Sinon, comme ce qui nous intéresse, c’est de savoir si on a plus de trois buts par matchs, on peut définir la variable binomiale http://freakonometrics.free.fr/test-soccer-03.gif, en notant que

http://freakonometrics.free.fr/test-soccer-02.gif

est une proportion – donc facile à tester – qui nous intéresse ici compte tenu du problème que l’on cherchera à résoudre. On pourra alors tester, par exemple

http://freakonometrics.free.fr/test-soccer-08.gif

contre

http://freakonometrics.free.fr/test-soccer-07.gif

Ces derniers tests sont alors facile à mettre en œuvre,

> Z=(S10>=3)*1
> prop.test(sum(Z),length(Z),p=1/2,alternative="less")

	1-sample proportions test with continuity correction

data:  sum(Z) out of length(Z), null probability 1/2 
X-squared = 1.2656, df = 1, p-value = 0.1303
alternative hypothesis: true p is less than 0.5 
95 percent confidence interval:
 0.0000000 0.5322764 
sample estimates:
       p 
0.421875

On peut aussi faire des tests de moyenne sur

http://freakonometrics.free.fr/test-soccer-11.gif

Un test de l’hypothèse

http://freakonometrics.free.fr/test-soccer-04.gif

contre une hypothèse alternative

http://freakonometrics.free.fr/test-soccer-06.gif

s’écrit alors
> t.test(S10,mu=3,alternative ="less")

	One Sample t-test

data:  S10 
t = -3.7763, df = 63, p-value = 0.0001775
alternative hypothesis: true mean is less than 3 
95 percent confidence interval:
     -Inf 2.590273 
sample estimates:
mean of x 
 2.265625
Mais on l’aura l’occasion de revoir tous les points du cours, y compris aller peut être un peu plus loin, par exemple sur la comparaison de moyenne entre échantillons,
> t.test(S82,S98,var.equal=FALSE)

	Welch Two Sample t-test

data:  S82 and S98 
t = 0.427, df = 85.266, p-value = 0.6704
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 
95 percent confidence interval:
 -0.5503669  0.8514658 
sample estimates:
mean of x mean of y 
 2.807692  2.657143

Lâcher de bombes et facteur d’échelle

Pour ceux qui auraient pris mon précédant billet (en ligne ici) un peu trop au sérieux (oui, il y en a) deux petites précisions,

  • tout d’abord ce n’est pas bien de lancer des bombes sur des gens que l’on ne connait pas (oui, j’ai eu un courriel sur ce point),
  • ensuite, l’étude que je mentionnais date un peu: il y a 50 ans, les outils statistiques étaient limités….

En fait, on s’en doute, la notion d’échelle est fondamentale. Vu de loin, les tirs ne sont pas du tout aléatoires ! ils sont même relativement précis.

 

 

C’est lorsque l’on regarde de manière beaucoup plus fine que le hasard apparait.

Les données précédentes étaient tirés d’une carte google dont j’ai extrait les latitudes et les longitudes (ici), et la base est malheureusement trop incomplète pour être utile. Mais il existe d’autres sources. Par exemple Charles Franklin a mis en ligne une étude intéressante (), et il a bien voulu m’envoyer les données (qu’il a saisi auparavant à la main). De la même manière que dans le billet précédant, on compte les points dans une grille relativement fine (ici 1km de long et de large) centrée sur Londres. Les données brutes sont à gauche, et les données lissées à droite,

 

 

L’hypothèse d’observations i.i.d. utilisée implicitement dans la précédente étude (mais que l’on ne pouvait pas discuter faute de données) ne semble pas vraiment tenir la route.  Et on voit que les régions ayant eu la plus grosse concentration de bombe sont très proches, ce qui traduit l’idée que les tirs ne sont pas complètement aléatoire. Plus on regarde sur une échelle fine, plus on a cette impression (à l’échelle de la rue, la probabilité d’être touché par une bombe est la même pour tous les bâtiments; mais pas à l’échelle de la région).
Mais pour aller plus loin, il faudrait des notions plus poussées que celles abordées en cours, et encore une fois, le but était juste de proposer une application (réelle) de test d’ajustement de loi par un test du chi-deux.

Test d’ajustement et lâcher de bombes

Avant les applications demain en cours, un petit billet (presque d’actualité) sur une application évoquée vendredi dernier sur le test du chi-deux: l’ajustement de lois.

Le problème est le suivant: un pays se fait bombarder. Et les dirigeants doivent se demander si certaines cibles sont visées (auquel cas il peut être légitime de les déplacer) ou au contraire si les tirs sont aléatoires. Quand je dis que des cibles sont visées, j’entends aussi par là que les pilotes savent viser. Car les pilotes ont (je pense, ou j’espère) un carnet de route à suivre, avec des cibles à viser

Ce que l’on va se demander c’est plutôt si les pilotes savent – ou arrive à – viser. Bref, le problème peut se modéliser en supposant que le lancer de bombes se fait (globalement) selon un processus de Poisson. Localement, si les tirs sont aléatoires, on devrait observer des tirages de lois de Poisson. C’est tout du moins la théorie que R. D. Clarke (alors actuaire chez Prudential Assurance Company) a utilisé pendant la seconde guerre mondiale, sur les bombardements à Londres (en ligne ici). Cette histoire (vraie) est reprise par Thomas Pynchon dans Gravity’s Rainbow (en ligne ici)

(l’exemple est même repris dans Feller). Bref, le problème n’est pas de savoir quel serait le paramètre de la loi de Poisson, mais si la loi de Poisson est adaptée, ou pas. C’est ce qu’on appelle un problème d’ajustement de loi.

  • Test du chi-deux et ajustement de lois

Jusqu’à présent, on avait supposé que les observations suivaient une certaine loi, e.g. une loi de Poisson https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/chi2-16.gif, et on cherchait à tester une hypothèse de la forme

https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/chi2-13.gif

versus

https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/chi2-14.gif

Ici on va cherche à utiliser un test sur une loi multinomiale, de la forme

https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/chi2-01.gif

versus

https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/chi2-02.gif

L’hypothèse nulle est ici une égalité vectorielle,

https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/chi2-03.gif

ou encore

https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/chi2-56.gif

Dans le cas d’un test d’ajustement de lois de Poisson, si on suppose que les observations suivent une loi https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/chi2-09.gif, on va utiliser un test sur une loi multinomiale, avec

https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/chi2-08.gif

Le soucis est que, puisque l’on se limite à un vecteur de taille finie, le vecteur ne sera pas dans le simplexe (cf ici). Donc classiquement, pour la dernière valeur, on retient une hypothèse de la forme

https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/chi2-10.gif

Le test est alors basé sur la statistique de Pearson

https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/chi2-11.gif

qui va suivre (si effectivement les observations suivent une loi de Poisson https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/chi2-09.gif) une loi https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/chi2-12.gif.
Rappelons que cette statistique peut aussi s’écrire

https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/chi2-21.gif

 

  • Application pour étudier la précision d’un lancer de bombes

Pendant la second guerre mondiale, R.D. Clarke étudia les impacts de bombes V1 et V2 tombées dans une zone de 144 km2 dans le sud de Londres (l’article original, publié après guerre en 1946, est en ligne ici). Il divisa cette zone en 576 zones de 0,25 km2 et compta le nombre d’impact dans chacune des zones. Il obtint plus précisément la distribution suivante

nbre impacts par zone 0 1 2 3 4 5 et plus
fréquence (nbre zones) 229 211 93 35 7 1

(en fait, on sait que le “5
et plus” correspond à 7, car sait qu’il y a eu 537 bombes sur 576 zones). Avant de se lancer tête baissée, réfléchissons un peu au type de loi que l’on pourrait utiliser. Pour cela, notons https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/Nb.gif le nombre de points tombés dans un ensemble https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/asubb.gif (ou https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/calA.gif désigne la région globale). Si on suppose qu’un nombre aléatoire https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/Npois.gif de points sont lancés aléatoirement dans https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/calA.gif, et que https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/Npois.gif suit une loi de Poisson https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/lambda.gif, alors https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/Nb.gif suit une loi de Poisson de paramètre

https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/ratio-aire.gif

Bref, si on regarde plusieurs plusieurs régions https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/calB.gif (de même taille, éventuellement – afin de garder toutes les observations – formant une partition de https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/calA.gif) et si on observe une loi de Poisson, c’est que dans la région https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/calA.gif, les tirs sont faits au hasard.

> (n=c(229,211,93,35,7,0,0,1))
[1] 229 211  93  35   7   0   0   1
> y=0:7
> (lambda=sum(n*y)/sum(n))
[1] 0.9322917
> prob=dpois(y,lambda)
> freq.theo=sum(n)*prob
> freq.emp =n
> cbind(y,trunc(freq.theo),freq.emp)
     y     freq.emp
[1,] 0 226      229
[2,] 1 211      211
[3,] 2  98       93
[4,] 3  30       35
[5,] 4   7        7
[6,] 5   1        0
[7,] 6   0        0
[8,] 7   0        1

On peut commencer par regarder la log-vraisemblance

> logvrais=function(L){sum(log(dpois(y,L))*n)}
> param=seq(.5,1.5,by=.025)
> LV=sapply(param,logvrais)
> plot(param,LV,type="b",col="blue")
https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/logvrais1-bombes.png

La statistique du chi-deux, elle, ressemble à ça

> chi2=function(L)sum(n)*sum(((n/sum(n)-dpois(y,L))^2)/dpois(y,L))
> C2=sapply(param,chi2)
> plot(param,C2,type="b",col="red")xxx.
https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/chi2-bombes.png

Bon, le soucis c’est qu’en tronquant le vecteur (on suppose que le nombre maximum d’impact est 7), la somme des probabilités ne fait pas exactement un. On peut regrouper dans une même classe les fréquences élevées (comme le fait Clarke dans le papier initial d’ailleurs).

> (n=c(229,211,93,35,7,1))
[1] 229 211  93  35   7   1
> y=0:4
> prob=c(dpois(y,lambda),1-ppois(4,lambda))
> freq.theo=sum(n)*prob
> freq.emp =n
> (Q=sum(1
[1] 1.169155
> 1-pchisq(Q,length(y)-1)
[1] 0.8831505

On retrouve les quantités évoquées dans l’article de Clarke. La  statistique de test vaut 1.16 et la p-value associée est de l’ordre de 88%. On va donc accepter l’hypothèse de loi de Poisson,

> chi2=function(L){
+ sum(n)*sum(2)^2)/
+ c(dpois(y,L),1-ppois(4,L)) )}
> C2=sapply(param,chi2)
> plot(param,C2,type="b",col="red")

La valeur de la statistique du chi-deux en fonction du paramètre de la loi de Poisson est représentée ci-dessous,

https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/chi2-bombes-v2.png

et le trait horizontal est la valeur seuil de la région critique (en dessous, on accepte l’ajustement d’une loi de Poisson),

> abline(h=qchisq(.95,length(y)-1),lty=2)

Il existe plusieurs fonctions sous R permettant de faire des choses semblables,

> library(vcd)
> (n=c(229,211,93,35,7,0,0,1))
[1] 229 211  93  35   7   0   0   1
> nsim=c(rep(y[0],n[0]),rep(y[1],n[1]),
       rep(y[2],n[2]),rep(y[3],n[3]),
       rep(y[4],n[4]),rep(y[5],n[5]),
       rep(y[6],n[6]),rep(y[7],n[7]),
       rep(y[8],n[8]))
> gf=goodfit(nsim,type="poisson",method="ML")
> summary(gf)
 
 Goodness-of-fit test for poisson distribution
 
 X^2 df P(> X^2)
Likelihood Ratio 4.007784 3 0.2606249
 
> gf=goodfit(nsim,type="poisson",method="MinChisq")
> summary(gf)
 
 Goodness-of-fit test for poisson distribution
 
 X^2 df P(> X^2)
Pearson 1.275499 3 0.7349592

Bref, quelle que soit la méthode utilisée, on notera que l’on accepte toujours l’hypothèse d’une loi de Poisson. Autrement dit les bombes étaient envoyés un peu au hasard dans Londres….

Et si on y réfléchit un peu, d’un point de vue de la théorie des jeux, c’est effectivement une stratégie optimale…

  1. freq.theo-freq.emp)^2)/freq.theo []
  2. n/sum(n)-c(dpois(y,L),1-ppois(4,L []

Cochrane, Pearson et le test du chi-deux

En cours, nous avons poursuivi sur la loi multinomiale, et le test du chi-deux. Je voulais mettre un petit billet pour récapituler les différents points, et montrer une application numérique (nous reviendrons en détails mercredi sur des applications des outils vus jusqu’à présent).

  • Inférence avec la loi multinomiale

On suppose qu’une variable http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-01.gif peut prendre http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-02.gif modalités, notées http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-03.gif, avec http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-04.gif. On posera

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-05.gif

en notant que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-06.gif appartient au simplexe de http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-07.gif au sens où

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-08.gif

On a vu que l’estimateur du maximum de vraisemblance s’obtenait en faisant un peu d’optimisation sous contrainte, et que

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-10.gif

(en reprenant les notations du cours). On avait montré que

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-11.gif

et on a vu

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-13.gif

(ce qui peut se retrouver en introduisant la variable binomiale http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-16.gif). Mais plus généralement, on finira les calculs permettant d’établir que, pour http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-17.gif

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-18.gif

(ce qui permet d’obtenir la matrice de variance covariance de http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-20.gif).
En utilisant le théorème central limite on peut montrer que

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-23.gif

Sous une forme multivariée, on écrira

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-25.gif
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-26.gif avec http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-27.gif et pour http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-17.gif, http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-28.gif.

On notera que la somme de la ième colonne de http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-29.gif est http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-30.gif.
Aussi, http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-29.gif n’est pas inversible (c’est le fait que notre paramètre appartient au simplexe).
Pour s’en sortir, la première idée est d’utiliser un peu d’algèbre linéaire. Une matrice http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-31.gif est une matrice de projection si elle est idempotente, i.e. http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-32.gif. Ses valeurs propres sont alors 0 ou 1, et si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-35.gif est le nombre de fois où 1 est valeur propre, et si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-36.gif, alors http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-37.gif.
Posons http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-38.gif. Alors

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-39.gif

Or compte tenu de la forme de http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-29.gif,

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-40.gif

qui est une matrice de projection dont la trace est http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-41.gif (qui est aussi le nombre de fois où 1 est valeur propre). Donc

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-42.gif

Le test du chi-deux sera basé sur le fait qu’asymmptotiquement

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-44.gif

Une autre idée consiste à construire http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-41.gif variables aléatoires qui seront indépendantes. Mais on peut plutôt regarder les applications de ce test, en particulier comme test d’indépendance.
Pour information, Frank Yates a proposé un correction “pour continuité“, ici. La statistique considérée est alors

http://fre<br /><br /><br /><br />
akonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-46.gif
  • Retour sur le théorème de Cochrane

Soit http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-50.gif de dimension http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-51.gif. Posons http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-59.gif, pour http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-04.gif, où on notera http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-60.gif le rang de http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-62.gif, en supposant que les http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-62.gif sont positives semidefinies, alors on a équivalence entre

  •  http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-63.gif
  • http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-64.gif pour http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-04.gif,
  • les http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-65.gif sont des variables indépendantes.

Les http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-65.gif s’interprètent comme des longueurs (euclidienne) de projections d’un vecteur Gaussien sur des sous-espaces orthogonaux (de dimension respective http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-60.gif). Si ces vecteurs sont indépendants, et suivent des lois du chi-deux à http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-60.gif degrés de libertés, avec http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-63.gif, alors les sous-espaces sont orthogonaux, et supplémentaires. On peut y voir une espèce d’extension du théorème de Pythagore, en remplaçant la notion de vecteurs orthogonaux par des variables indépendantes suivant des lois du chi-deux, et la somme des carrés des longueurs devient la somme des degrés de liberté.

  • Application comme test d’indépendance

Considérons deux variables http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-66.gif pouvant prendre toutes les deux deux modalités (disons deux lois binomiales). On est alors face a une loi multinomiale à 4 modalités

  • http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-79.gif avec probabilité http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-70.gif
  • http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-78.gif avec probabilité http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-73.gif
  • http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/10gif.gif avec probabilité http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-74.gif
  • http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-77.gif avec probabilité http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/coch-75.gif

Un test d’indépendance revient à tester si la loi multinomiale peut s’écrire

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/chi2-ab.gif
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/chi_ab2.gif
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/chi_ab3.gif
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/chi_ab4.gif

pour des vecteurs http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/chi-a.gif et http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/chi-b.gif. tels que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/chi-a2.gif et http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/chi-b2.gif. On a alors http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/chi212121.gif contraintes sur les paramètres. Ces deux contraintes additionnelles font que la statistique de test s’écrit

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/CHI-INDEP.gif

qui va suivre asymptotiquement une loi http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/CHI1.gif i.e. http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/CHI12.gif d’après le théorème de Cochrane.

  • Peine de mort pour les condamnées pour meurtre en Floride 1976-1987

en fonction de la “race” du meurtrier et de la victime,

  • meurtrier de “race blanche” et victime de “race blanche“: 53 condamnés à mort, 414 non condamnés à mort
  • meurtrier de “race blanche” et victime de “race noire“: 0 condamné à mort, 16 non condamnés à mort
  • meurtrier de “race noire“et victime de “race blanche“: 11 condamnés à mort, 37 non condamnés à mort
  • meurtrier de “race noire“et victime de “race noire“: 4 condamnés à mort, 139 non condamnés à mort

On peut alors faire des tests d’indépendance, entre la “race” du meurtrier et le verdict par exemple.

MEURTRIER=matrix(c(53+0,11+4,414+16,139+37),2,2)
VICTIME  =matrix(c(53+11,0+4,414+37,139+16),2,2)
n=sum(MEURTRIER)
(PROBMEUTR=MEURTRIER/n)
           [,1]      [,2]
[1,] 0.07863501 0.6379822
[2,] 0.02225519 0.2611276

SL=rowSums(PROBMEUTR)
SC=colSums(PROBMEUTR)
(MEUTRINDEP=outer(SL, SC, "*"))
           [,1]      [,2]
[1,] 0.07229966 0.6443176
[2,] 0.02859055 0.2547922

(Q=n*sum((PROBMEUTR - MEUTRINDEP)^2/MEUTRINDEP))
[1] 1.468519

(Qcorrec=n*sum((abs(PROBMEUTR - MEUTRINDEP)-.5/n)^2/MEUTRINDEP))
[1] 1.144741

pchisq(Qcorrec, (2-1)*(2-1), lower.tail
 = FALSE)
[1] 0.2846528

qchisq(.95, (2-1)*(2-1))
[1] 3.841459

chisq.test(MEURTRIER)

Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction

data:  MEURTRIER 
X-squared = 1.1447, df = 1, p-value = 0.2847

On rejette donc l’hypothèse d’indépendance.

Tests statistiques et intervalles de confiance

Comme je l’avais énoncé rapidement à la fin du chapitre sur les intervalles de confiance, il existe une forme de dualité entre tests et intervalles de confiance. Par exemple, si on considère un test sur la moyenne, de la forme http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testic-01.gifcontre http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testic-02.gif dans un modèle Gaussien, http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/test-ic03.gif, la région d’acceptation (de niveau http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testic-04.gif) sera de la forme

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testic-05.gif
c’est à dire si

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testic-06.gif
Aussi, pour qu’une valeur http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testic-07.gif soit acceptée avec un niveau http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testic-04.gif (erreur de première espèce associée à un test bilatéral), une condition nécessaire et suffisante est que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testic-07.gif appartienne à l’intervalle de confiance (symétrique) centré sur la moyenne empirique.
Il y a ainsi dualité entre deux concepts

  • prendre une valeur acceptée pour un test bilatéral de niveau http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testic-04.gif
  • prendre une valeur appartenant à l’intervalle de confiance symétrique de niveau 1-http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testic-04.gif

Considérons par exemple le test asymptotique du rapport de vraisemblance (évoqué ici), dont la région d’acceptation sera de la forme

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/tesp100.gif
Étant donné un échantillon http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testh03.gif, l’intervalle de confiance pour  est

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/tesp101.gif
Numériquement, reprenons l’exemple du jeu de pile ou face abordé ici.

> n=20; alpha=.05
> X=sample(0:1,size=n,replace=TRUE)
> neglogL=function(p){-sum(log(dbinom(X,size=1,prob=p)))}
> pml=optim(fn=neglogL,par=0.5,method="BFGS")$par
Warning messages:
1: In dbinom(x, size, prob, log) : NaNs produced
2: In dbinom(x, size, prob, log) : NaNs produced
> p=seq(0,1,by=.01)
> logL=function(p){sum(log(dbinom(X,size=1,prob=p)))}
>
> TLR=function(p0){2*(logL(pml)-logL(p0))<qchisq(1-alpha,df=1)}
> (IC=sapply(p,TLR))
[1] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
[13] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
[25] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE  TRUE  TRUE
[37]  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE
[49]  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE
[61]  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE
[73]  TRUE  TRUE  TRUE  TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
[85] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
[97] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
> c(p[min(which(IC==TRUE))],p[max(which(IC==TRUE))])
[1] 0.34 0.75


Graphiquement, on visualise l’intervalle de confiance (à 95%) entre les deux traits verticaux.
De manière duale, à partir d’un intervalle de confiance http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-103.gif pour , on peut construire un test. Si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/qqqh20.gif appartient à http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-103.gif, on accepte H_0,  sinon on rejette cette hypothèse. Par construction,

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-102.gif
Par exemple l’intervalle de confiance usuel – à 95% – pour une proportion est de la forme suivante

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp107.gif
Si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/qqqh20.gif appartient à cet intervalle, on accepte http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp109.gif (contre l’hypothèse bilatérale http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp101.gif).

> a=mean(X)-1.96/sqrt(n)*sqrt(mean(X)*(1-mean(X)))
> b=mean(X)+1.96/sqrt(n)*sqrt(mean(X)*(1-mean(X)))
> c(a,b)
[1] 0.3319638 0.7680362


La région entre les deux traits verticaux est la région d’acceptation.

Tests statistiques et p value

Mercredi, nous avons abordé le concept de http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testic-10.gif-value en cours (avant de parler tout à l’heure de tests asymptotiques). Intuitivement, la http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testic-10.gif-value est la probabilité que la statistique de test prenne une valeur au moins aussi extrême que celle qui a été observée, si l’hypothèse http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-08.gif est vraie.

  • Fisher vs. Neyman (et Pearson)

Dans l’approche de Fisher, on suppose que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-01.gif et on cherche à tester http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/TEST-REGION-01.gif. On dispose pour cela d’un échantillon http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-02.gif.
On choisit une statistique http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-03.gif telle que plus http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testic-5.gif est grande, plus on s’éloigne de http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-08.gif (on calcule une distance à l’hypothèse http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-08.gif, quelque chose comme ça). On calcule alors la http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testic-10.gif-value comme

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-07.gif

et on rejette http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-08.gif si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testic-10.gif est trop petite. La notion de “plus petite” est liée à la comparaison avec un seuil prédéfini, souvent 5% (cf plus loin pour une discussion).
C’est un peu heuristique, mais c’est comme cela que ça fonctionne.
Dans l’approche de Neyman-Pearson, on cherche à testerhttp://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/TEST-REGION-01.gif contre une hypothèse alternative, du genre http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-11.gif. Si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-12.gif, on va construire une région de rejet de la forme

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-13.gif

où http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-14.gif est choisi en fonction d’une probabilité d’erreur de première espèce souhaitée a priori, i.e.

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-15.gif

Par exemple, considérons un échantillon suivant une loi http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-16.gif. On dispose de http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-17.gif observations pour tester http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-20.gif. L’échantillon est le suivant

> set.seed(4)
> (X=rnorm(10))
 [1]  0.2167549 -0.5424926  0.8911446  0.5959806  1.6356180  0.6892754
 [7] -1.2812466 -0.2131445  1.8965399  1.7768632

La statistique proposée par Fisher (je ne discuterais pas le choix optimal de la statistique – si quelqu’un a des références, les commentaires sont ouvertes) est la moyenne normalisée,

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-21.gif

On sait que sous H_0, cette statistique suit une loi normale centrée réduite.  La http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testic-10.gif-value se calcule alors simplement

> (T=sqrt(10)*mean(X))
[1] 1.791523
 
> 2*(1-pnorm(T,mean=0,sd=0)))
[1] 0.07320942

Graphiquement, cela se représente de la manière suivante.

Cette probabilité étant faible, on aurait tendance vouloir rejeter http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-20.gif.
Dans l’optique de Neyman Pearson, si on teste http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-20.gif contre http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-22.gif, la région critique s’obtient à l’aide du rapport de vraisemblance

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-25.gif

ou encore

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-26.gif

ce qui se traduit par

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-27.gif

où http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-14.gif est tel que

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-29.gif

Or sous H_0, la somme suit une loi normale centrée de variance http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-30.gif. Ici, http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-14.gif est donné par

> qnorm(1-alpha,mean=0,sd=sqrt(10))
[1] 5.201484

Or pour rappel, la somme vaut ici

> sum(X)
[1] 5.665293

On est dans la région de rejet: on rejette alors http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-20.gif.

  • p-value pour les tests usuels de R

La http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testic-10.gif-value est intéressante en pratique car elle permet à l’utilisateur de ne pas rentrer trop dans les détails de la construction du test, et de la loi de la statistique considérée.
Par exemple (comme celui abordé ici), pour un test d’égalité de proportion, sous R, la commande est

> prop.test(nx,n,.5)
 
1-sample proportions test with continuity correction
 
data:  nx out of n, null probability 0.5
X-squared = 0.05, df = 1, p-value = 0.823
alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
95 percent confidence interval:
0.3204804 0.7617145
sample estimates:
p
0.55

Et de manière générale, tous les tests sous R renvoient une http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testic-10.gif-value.

  • p ne signifie pas puissance

(mais probabilité). Dans un test simple,http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/TEST-REGION-01.gif contrehttp://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testh13.gif, la puissance est la probabilité de rejeter http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/test-H0.gif sous l’hypothèse où http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/H1.gif est vraie (rejeter http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/test-H0.gif avec raison si on veut). C’est donc une fonction de  http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testh14.gif.
Pour un test multiple, avec une hypothèse alternative de la forme http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-36.gif, on définit alors une fonction puissance pour toute valeur  http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testh14.gif.  On a alors des graphiques de fonction puissance, comme ceux évoqués ici. Bref, la http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testic-10.gif-value est une valeur, alors que la puissance sera une fonction, définie sur http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-40.giflorsque H_1 est une hypothèse de la forme http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-41.gif.

  • L’interprétation de p

La http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testic-10.gif-value est la probabilité d’obtenir (au moins) la statistique obtenue pour l’échantillon si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/test-H0.gif est vraie. Classiquement, on rejette http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/test-H0.gif si la http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testic-10.gif-value est inférieure au seuil http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testh04.gif .
Certains interprètent la http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testic-10.gif-value comme la probabilité que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/test-H0.gif est vraie, http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-55.gif. Ce qui n’a pas de sens si l’on s’en tient au formalisme énoncé en cours: http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/test-H0.gif est vraie, ou pas.
Ce n’est pas non plus la probabilité de rejeter, à tort, http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/test-H0.gif , http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-57.gif, correspondant à la puissance du test (cf la discussion dans le paragraphe précédant).

  • Pourquoi 5% ?

En pratique, on prend toujours comme valeur critique 5%, avec la règle décision simple suivante:

  • http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-65.gif: si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-61.gif on accepte http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/test-H0.gif
  • http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-66.gif: si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-60.gif on rejette http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/testp-33.gif

C’est Fisher qui semble être à l’origine de ce 5%, en 1925 “The value for which P=0.05, or 1 in 20, is 1.96 or nearly 2; it is convenient to take this point as a limit in judging whether a deviation ought to be considered significant or not. Deviations exceeding twice the standard deviation are thus formally regarded as significant. Using this criterion we should be led to follow up a false indication only once in 22 trials, even if the statistics were the only guide available.” On retrouve ce “un sur vingt” un an plus tard, “Either there is something in the treatment, or a coincidence has occurred such as does not occur more than once in twenty trials”.
Voilà ce que l’on retient souvent de la lecture des conseils de Fisher.
Maintenant, il lui arrive aussi, à l’occasion, de penser que 4% ce n’est pas significatif, e.g. “P is between .02 and .05. The result must be judged significant, though barely so; in view of the data we cannot ignore the possibility that on this field, and in conjunction with the other manures used, nitrate of soda has conserved the fertility better than sulphate of ammonia; the data do not, however, demonstrate this point beyond the possibility of doubt.” Ou parfois pense que 8% est significatif “P=.089. Thus a larger value of 2 would be obtained by chance only 8.9 times in a hundred, from a series of values in random order. There is thus some reason to suspect that the distribution of rainfall in successive years is not wholly fortuitous, but that some slowly changing cause is liable to affect in the same direction the rainfall of a number of consecutive years.”

Wald, score et rapport de vraisemblance

Vendredi, nous devrions aborder un peu la problématique des tests asymptotiques. Avant, rappelons que l’estimateur du maximum de vraisemblance de  vérifie la propriété asymptotique suivante.

Or on a une propriété intéressante sur les convergences de vecteurs Gaussiens (pour rester assez général). Soit  une suite de vecteurs aléatoires telle que  où . Alors

où  (pour un paramètre univarié, ça sera alors ). Mais ce résultat n’est intéressant que si  est connue. En fait, si on a la suite des variances vérifie , alors

Traduit sur notre estimateur du maximum de vraisemblance, cela signifie que

ou encore

Trois tests peut alors être mis en œuvre (et tant qu’à faire, on peut essayer de l’illustrer sur un exemple: encore et toujours du pile/face).

> set.seed(1)
> n=20
> X=sample(0:1,size=n,replace=TRUE)
> p=seq(0,1,by=.01)
> logL=function(p){sum(log(dbinom(X,size=1,prob=p)))}
> LL=sapply(p,logL)
> plot(p,LL,type="l",col="red",lwd=2)
> p0=.5
> points(p0,logL(p0),pch=3,cex=1.5,lwd=2)
> abline(v=p0,lty=2)

On a alors 20 tirages de pile ou face, on a obtenu 11 piles, et on se demande si la pièce est “juste“.Mais avant toute chose, commençons par calculer l’estimateur du maximum de vraisemblance, ainsi que le score et l’information de Fisher. Dans ce modèle de variables de Bernoulli, on connaît des formes explicites de ces quantités. Mais ici, on va utiliser la méthode la plus générale qui soit, i.e. on va maximiser la log-vraisemblance, puis on va calculer le score et l’information de Fisher à la valeur de  que l’on souhaite tester.

> neglogL=function(p){-sum(log(dbinom(X,size=1,prob=p)))}
> pml=optim(fn=neglogL,par=p0,method="BFGS")$par
Warning messages:
1: In dbinom(x, size, prob, log) : NaNs produced
2: In dbinom(x, size, prob, log) : NaNs produced
> nx=sum(X==1)
> f = expression(nx*log(p)+(n-nx)*log(1-p))
> Df = D(f, "p")
> Df2 = D(Df, "p")
> p=p0
> score=eval(Df)
> (IF=-eval(Df2))
[1] 80
> 1/(p0*(1-p0)/n)
[1] 80

On note que l’information de Fisher calculée par double différenciation de la log-vraisemblance est identique à la formule analytique. Pour rappels, on a

Trois tests (équivalent asymptotiquement comme on le verra en cours) sont alors possibles.

Tout d’abord le test de Wald propose de travailler sur la différence entre l’estimateur du maximum de vraisemblance, et la valeur que l’on cherche à tester (comme le montre le dessin ci-dessous). Cette différence doit être “petite” si  est la vraie valeur.On peut alors utiliser la statistique suivante

Asymptotiquement, en utilisant le résultat évoqué au début, cette statistique tend, sous l’hypothèse que  est la vraie valeur, vers une loi du chi-deux.

> alpha=0.05
> (T=(pml-p0)^2*IF)
[1] 0.1999970
> T<qchisq(1-alpha,df=1)
[1] TRUE

Ici, on accepte l’hypothèse que la pièce n’est pas pipée.

Ensuite le test du rapport de vraisemblance propose de travailler sur les valeurs de la log-vraisemblance. Là encore, cette différence doit être “petite” si  est la vraie valeur. Graphiquement, on mesure une distance normalisée

La statistique est celle d’un test bilatéral,

On pose alors

(le 2 sera détaillé un peu en cours, c’est mis là de manière à avoir trois tests équivalents). Asymptotiquement, on peut montrer que cette statistique tend, sous l’hypothèse que  est la vraie valeur, vers une loi du chi-deux.

> (T=2*(logL(pml)-logL(p0)))
[1] 0.2003347
> T<qchisq(1-alpha,df=1)
[1] TRUE

Là encore, on accepte l’hypothèse que la pièce n’est pas pipée.

Enfin, le test du score propose de travailler sur la pente de la log-vraisemblance en  . Cette pente doit être “petite” si  est la vraie valeur.

La pente correspond au score,

La statistique de test est alors ici

Et là encore, asymptotiquement, on peut montrer que cette statistique tend, sous l’hypothèse que  est la vraie valeur, vers une loi du chi-deux.

> (T=slope^2/IF)
[1] 0.2
> T<qchisq(1-alpha,df=1)
[1] TRUE

Et le test accepte ici encore l’hypothèse que la pièce n’est pas pipée.

Statistiques, de la théorie à la pratique (partie 2)

Il y a une quinzaine de jours (ici) on avait vu comment construire des estimateurs pour l’indice de queue de la loi de Pareto. On avait 4 valeurs (différentes). Maintenant, on peut se demander lequel devrait être le “meilleur“.

  • propriétés de l’estimateur du maximum de vraisemblance

Maintenant que l’on a un peu avancé dans le cours, on peut continuer l’étude de la distribution des couts de sinistres (étude commencée ici).

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-100.gif

i.e.

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-101.gif

de telle sorte que

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-102.gif

et

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-204.gif

Aussi l’information de Fisher est http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-203.gif.
La variance aymptotique de http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-205.gif est alors

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-206.gif
  • propriétés de l’estimateur de la méthode des moments

Nous avions noté que

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-207.gif

i.e. http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-208.gif, alors http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-209.gif. Aussi, comme le théorème central limite limite

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-210.gif

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-211.gif

la delta method permet d’écrire, en posant http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-311.gif,

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/correc-latex-pareto.gif

i.e.

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/correc-latex-pareto2.gif

La variance asymptotique est alors

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-310.gif
  • propriétés de l’estimateur de la méthode de la médiane

Pour le dernier estimateur, le théorème de Glivenko Cantelli sur les fonctions quantiles permet d’écrire

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-309.gif

i.e. pour la médiane,

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-308.gif

où la variance asymptotique (pour la médiane) peut se simplifier sous la forme

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-307.gif

Là encore, en utilisant la delta method (je peux renvoyer ici pour une application numérique de cette méthode), avec

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-306.gif

i.e. http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-305.gif, on en déduit que

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-304.gif

La variance asymptotique de notre estimateur est alors (en enlevant le facteur http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/IC-std-6.gifau dénominateur – car il est commun à tous),

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-303.gif

Pour trois de nos estimateurs (je n’ai pas fait le quatrième, ça serait hors programme), on a pu obtenir facilement des variances asymptotiques. Graphiquement, on a les évolutions suivantes pour les variances asymptotiques de nos trois estimateurs, en fonction de la valeur de http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information09.gif, avec le maximum de vraisemblance (en rouge), celui de la méthode des moments (en bleu) et celui basé sur la médiane (en mauve)

Manifestement le premier estimateur (le maximum de vraisemblance) a une variance asymptotique plus faible que les deux autres (mais on l’avait vu en cours, c’est ce que garantit l’inégalité de Cramér-Rao). Autrement dit, l’estimateur du maximum de vraisemblance est probablement le plus fiable….
En utilisant ces résultats mentionnés, on peut aussi construire des intervalles de confiance asymptotiques pour la valeur du paramètre http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information09.gif, à l’aide de nos trois estimateurs, i.e. pour un intervalle de confiance à 90%,

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-302.gif

où les estimations des variances asymptotiques sont obtenues en substituant http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-205.gifà  http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information09.gif dans les formules au dessus.
Si on considère que l’estimateur du maximum de vraisemblance est le meilleur que l’on puisse utiliser, on obtient comme intervalle de confiance pour http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information09.gif,

2.845093-1.64/sqrt(100)*2.845093
[1] 2.378498
 
2.845093+1.64/sqrt(100)*2.845093
[1] 3.311688

L’étape d’après sera d’introduire des tests. On pourra ainsi se demander si l’on peut accepter l’hypothèse http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-301.gif. Mais c’est une autre histoire… à suivre donc….

Statistiques, de la théorie à la pratique

Afin d’illustrer un peu le cours, je mets en ligne ici. Il s’agit de coûts de sinistres ayant dépassé 1,000$ (qui ont été ordonnés de manière croissante). Pour importer la base en R, le code est simplement,

> X=read.table(
"http://freakonometrics.blog.free.fr/public/data/sinistres.txt")$x
> X
 [1] 1.003 1.016 1.023 1.027 1.037 1.039 1.0
[13] 1.061 1.072 1.078 1.082 1.087 1.094 1.0
[25] 1.110 1.112 1.117 1.132 1.138 1.141 1.1
[37] 1.180 1.186 1.187 1.190 1.193 1.203 1.2
[49] 1.321 1.326 1.338 1.342 1.343 1.344 1.3
[61] 1.428 1.432 1.442 1.457 1.463 1.466 1.4
[73] 1.551 1.553 1.566 1.584 1.632 1.695 1.6
[85] 1.881 1.893 1.897 1.958 2.000 2.175 2.2
[97] 3.045 3.103 4.495 5.614

Pour information, l’histogramme ressemble à ça

On va supposer que l’on peut ajuster une loi de Pareto, dont la fonction de survie est donnée par

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-2700-1.gif

et de densité

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-2700-2.gif

L’espérance est

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-2700-3.gif

et la variance

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-2700-5.gif
  • Estimateur de la méthode des moments
http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-2700-6.gif

Numériquement, on obtient

> mean(X)/(mean(X)-1)
[1] 2.946827
  • Estimateur du maximum de vraisemblance

On peut écrire la vraisemblance, et on recherche – numériquement – la maximum (ou le minimum de l’opposé de la log-vraisemblance car la fonction recherche ici les minimum),

> f=function(x,a){
+ a/x^(a+1)
+ }
> LogV = function(a,echantillon){
+ -sum(log(f(echantillon,a)))
+ }
> optim(fn=LogV,par=2,echantillon=X,method="BFGS")$par
[1] 2.845093

Mais on aurait pu faire mieux… car ici le maximum de vraisemblance peut s’écrire analytiquement

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-2700-7.gif
> length(X)/(sum(log(X)))
[1] 2.845093

(tout va bien, on trouve pareil).

  • Estimateur par régression linéaire

On peut noter que

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-2700-8.gif

ce qui veut dire qu’on peut tracer le nuage de points du log des couts, et s’ils sont alignés suivant une droite (passant par l’origine), la pente nous donnera un estimateur de notre paramètre. Le plus simple est de prendre la pente de la droite qui passe par l’origine, et par le centre de gravité du nuage,

> Z=X
> Y=log((length(Z):1)/length(Z))
> X=log(Z)
> plot(X,Y)
> -mean(Y)/mean(X)
[1] 2.753414
  • Estimation à l’aide de la médiane

Enfin, notons que la médiane est

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-2700-9.gif

Un estimateur naturel est alors

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/pareto-2700-11.gif

Numériquement, c’est alors tout simple,

> log(2)/log(quantile(X,.5))
     50% 
2.413719

Moralité, on a quatre estimateurs, qui nous donne quatre valeurs numériques différentes

2.9468 2.8451 2.7534 2.4137

Pour ceux qui veulent trouver d’autres estimateurs (car on peut en construire des centaines), une référence intéressante est la suivante,
Quandt, R. E. (1966). Old and new methods of estimation and the Pareto distribution, Metrika, 10, 55-82 (ici)
Le but de la statistique mathématique est de mieux connaître les propriétés (fondamentales) de ces estimateurs afin de choisir le “meilleur“. Et c’est un problème important, par exemple si on souhaite mettre en place un contrat de réassurance (et transférer les très grands sinistres). Par exemple si on veut transférer les sinistres dépassant 100,000$, la probabilité de dépasser ce seuil est 10 fois plus grande avec le dernier estimateur par rapport au premier…

> 1/100^2.4137
[1] 1.48799e-05
 
> 1/100^2.9468
[1] 1.277615e-06

Moralité, les résultats théoriques que l’on aborde en ce moment vont nous aider à résoudre des questions très pratiques…. à suivre.

Information de Fisher

Nous avons défini dans le cours l’information de Fisher par

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information01.gif

où http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information02.gif. On verra la semaine prochaine que cette information peut s’écrire (moyennant quelques conditions de régularité)

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information03.gif

Dans un cadre multivarié, on a que http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information04.gif avec

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information05.gif

ou encore

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information06.gif

(avec une écriture analogue au cas univarié en utilisant la matrice Hessienne).
Étant donné un échantillon, l’information de Fisher empirique est la pente de la log-vraisemblance en https://f-origin.hypotheses.org/wp-content/blogs.dir/253/files/2015/12/information09.gif, i.e. dans le cas d’échantillons de 20 tirages de pile/face (avec une pièce non truquée)

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/info-fisher.gif
X=sample(c("PILE","FACE"),size=20,prob=c(.5,.5),replace=TRUE)
X=(X=="PILE")*1
vecP=seq(0,1,by=.01)
logL=function(p){sum(log(dbinom(X,size=1,prob=p)))}
L=lapply(vecP,logL)
plot(vecP,L,type="l",col="blue",lwd=2,xlab="",ylab="")
abline(v=.5,col="red",lty=2)

En répétant plusieurs milliers de fois, on peut étudier la distribution de cette pente

En note que le score est centré, et ici la variance est

> var(SCORE)
[1] 80.00168
> 20/(.5*(1-.5))
[1] 80
20/(.5*(1-.5))

(ce qui correspond effectivement à l’information de Fisher). Mais cette informationest un concept plus général qu’une variance…
Bon, maintenant essayons de creuser un peu cette histoire d’information (c’est Ronald Fisher qui a – le premier – utilisé ce nom en 1925, bien avant les travaux de Shannon et Wiener sur des mesures logarithme d’information dans un contexte de théorie de la communication).

On cherche a quantifier le mesure d’information d’un échantillon http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information07.gif correspondant à une collection de variables aléatoires http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information08.gif, i.i.d. de loi http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information10.gif, et de densité/loi de probabilité http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information11.gif.

Une hypothèse est qu’avoir http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information12.gif observations apporte deux fois plus d’information qu’en avoir seulement http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information13.gif. On a alors quelque chose qui pourrait s’écrire

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information14.gif

Aussi on suppose que pas d’observation signifie pas d’information… J’ai l’impression que les bayésiens ne seraient pas d’accord, mais c’est une autre histoire…

On suppose aussi que l’information dépend de la loi  http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information11.gif, et pas de l’échantillon http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information07.gif.

On peut aussi noter (c’est une idée peut être plus simple à comprendre dans le contexte de la communication) que la compression ne peut que détériorer l’information. Autrement dit, si on utiliser http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/infofi-01.gif et non pas http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/infori-02.gif, l’information est moins bonne, i.e.

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/infofi-03.gif

Et le seul cas pour lequel on n’a pas de perte d’information est le cas d’une statistique exhaustive.

On notera aussi qu’une information doit être positive (au pire on n’a pas d’information).

Mais pour relier cette information a une propriété sur la variance de notre estimateur, il faut creuser un peu. Considérons un estimateur sans biais http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information15.gif de http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information09.gif, i.e.

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/infromation16.gif

ou encore (en supposant que l’échantillon soit réduit à une unique observation)

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information17.gif

soit, en notant que

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information18.gif

(car on a une densité)

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information19.gif

En différenciant par rapport à http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information09.gif, on peut en déduire que

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information20.gif

soit (en admettant que l’on puisse intervertir intégrale et dérivée)

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information21.gif

Or on peut réécrire

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information22.gif

ce qui donne

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information23.gif

ou encore

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information24.gif

Et là, on invoque l’inégalité de Cauchy-Schwarz afin de garantir que

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information25.gif

On reconnait alors deux espérances, i.e.

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/information26.gif

(pour le terme de gauche, on a utilisé le fait qu’on avait un estimateur sans biais). Bref, il existe plein d’application de cette information, cette dernière inégalité étant probablement la plus importante.
Pour aller un peu plus loin, je peux renvoyer vers des notes de cours de Tran Viet Chi, en ligne ici. Et pour ceux qui veulent aller vraiment plus loin, John Pierce Robert Ash et surtout Solomon Kullback ont écrit des livres entiers sur statistiques et mesure d’information….

“standardized” version of the maximum

For the first homework, there was a tricky question in problem 29, chapter 5. Here http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/rice-max-o1.png is the maximum of n random variables i.i.d. uniformly distributed on the unit interval http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/rice-max-02.png. I gave a hint last week about the cumulative distribution function for the maximum, i.e.

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/rice-max-03.png

is equal to the probability that all are smaller than http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/rice-max-04.png,

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/rice-max-05.png

Then, we use independent to obtain that this probability is a product, of equal quantities since all random variables are identically distributed, i.e.

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/rice-max-06.png

Then, the exercise ask the following

i.e. find a standardized version of that the maximum so that the cumulated distribution of that standardized version has a (non degenerated) limiting value. A hint is given in the answers, at the end of the book,

Actually, the question is not that simple (see here for the history of that question).
What I said during the course is that if http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/rice-max-07.png is a random variable with finite variance, then

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso2/rice-max-08b.png

is a standardized (or normalized) version of http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/rice-max-07.png, in the sense that it is centered, i.e.

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/rice-max-09.png

and with a unit variance, i.e.

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/rice-max-10.png

This is the kind of standardization (or normalization) that is used in the central limit theorem i.e. it is interesting when we study the core of our distribution (i.e. the mean).
Here we focus on the maxima (not on the expected value). Note that here

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/rice-max-11.png

while

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/rice-max-12.png

(up to some typing mistakes). Thus, our previous standardization would be

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/rice-max-13.png

that can be simplified as

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/rice-max-14.png

Hence, that random variable can be approximated by

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/rice-max-15.png

since http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/rice-max-16.png as http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/rice-max-17.png. Here, it is then possible to get

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/rice-max-18.png

since if http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/rice-max-20.png, then http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/rice-max-21.png (see the prof of the central limit theorem we got a few days ago).
But this is usually not the way we work with maxima. Actually, Fréchet, Fisher, Tippett, Gnedenko proved that the appropriate standardization to work with maxima is to consider

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/rice-max-22.png

where http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/rice-max-23.png is the cumulative distribution of the http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/rice-max-24.png‘s (the random variables used to build up the maximum). This work since the http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/rice-max-24.png‘s have a finite support, i.e. the http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/rice-max-24.pngare bounded, with an upper limit (here 1).
Note that

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/rice-max-25.png

assuming that the density associated with http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/rice-max-23.png exists. Hence, here the standardization becomes

http://freakonometrics.free.fr/blog/latex/rice-max-26.png

which is exactly the one that John Rice is suggesting… And the proper motivation comes from extreme value theory, but it is a bit far away from what we shall see in that course…

TCL et approximation

Pour répondre (rapidement) à une autre question, sur l’intérêt du théorème central limite, il y tout d’abord l’approximation gaussienne pour les sommes. Pour rappel, le théorème central limite nous permet d’écrire, pour un échantillon i.i.d. de variance finie

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/TCL-approx-2.png

lorsque http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/TCL-approx-8.png, où http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/TCL-approx-10.png et http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/TCL-approx-11.png. On peut aussi l’écrire non pas sur la moyenne empirique, mais sur la somme (c’est cette forme que l’on a démontrée),

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/TCL-approx-1.png

Pour parler d’approximations, rappelons que si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/TCL-approx-3.png, alors http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/TCL-approx-4.png. Et de plus, si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/TCL-approx-6.png, alors http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/TCL-approx-5.png. Bref, en bricolant un peu, on peut en déduire une approximation de la forme suivante

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/TCL-approx-7.png

pour http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/TCL-approx-9.png suffisamment grand. Empiriquement, si on s’amuse à sommer des variables de Bernoulli indépendantes (car on connaît très exactement la loi de la somme) on obtient, pour la fonction de probabilité

http://freakonometrics.free.fr/blog/TCL-cv-1.gif

et pour la fonction de répartition

http://freakonometrics.free.fr/blog/TCL-cv-1.gif

Bref, on a une belle convergence vers la loi normale….

Mais au delà de ces approximations numériques (très utiles à une époque où les ordinateurs n’étaient pas aussi avancés qu’aujourd’hui), il y a les propriétés de normalité asymptotique de plusieurs estimateurs, avec des résultats de la forme

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/TCL-approx-12.png

Ceci permettra de faire des tests, ou de construire des intervalles de confiance.Mais nous verrons ça (très) bientôt…

Estimer une variance… ou un écart-type ?

Lors du cours de demain, nous allons parler (longuement) de l’estimation de la variance (comme cela avait commencé en TD vendredi dernier). Mais en pratique, c’est souvent l’écart-type qui nous intéresse. On va passer par mal de temps à chercher un estimateur sans biais de la variance, et montrer que

devrait convenir, mais cela ne nous donne pas vraiment d’information sur le biais de l’estimateur naturel de l’écart-type, à savoir

car http://freakonometrics.blog.free.fr/public/maths/variance-est03.png.
Bref, il y a sûrement un biais, et ça pourrait être intéressant de le quantifier. Classiquement, on suppose disposer d’un échantillon http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma01.png i.i.d. On va faire une hypothèse forte, à savoir que leur loi est une loi normale http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma03.png, où http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma02.png est inconnu.
Naturellement, on voudrait considérer

http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma04.png

On va poser, afin de simplifier un peu,

http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma07.png
et on va chercher à calculer

http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma06.png

où http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma08.png est la densité de cette variable. Or on sait que http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma20.png suit une loi du chi-deux à http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma11.png degrés de liberté, dont la densité est la loi gamma suivante

http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma13.png

En notant que l’on peut réécrire

http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma22.png

on a que cette espérance s’écrit

http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma24.png

soit en faisant un peu de calculs,

http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma26.png

ou encore

http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma27.png

Ce qui va se simplifier en utilisant la fonction gamma

http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma28.png

On a ainsi

http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/stdvariance.png

http://freakonometrics.free.fr/blog/sigma35.png

Convergences de variables aléatoires

Le schéma – ou diagramme – des relations entre les modes convergences ressemble à ce qui est présenté sur la droite. C’est grosso modo ce que j’ai dit en cours (sans le représenter explicitement).

Je ne vais pas démontrer ces implications car ce sont des théorèmes (qui peuvent donc se trouver dans n’importe quel textbook de probabilité).

En revanche, un étudiant m’avait demandé si les réciproques étaient vraies. Comme toujours en maths, si les réciproques étaient toujours vraies, on le mettrait. Donc ici les réciproques sont généralement fausses. On peut toutefois se demander quand ces réciproques peuvent être vraies…et quand elles sont fausses.

  • de la convergence en proba à la convergence en moyenne

Commençons par le plus simple (à mon avis). Il existe un cas particulier où cette réciproque est vraie: le cas de variables aléatoires bornées. Autrement dit, si http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvv20.png et que l’on a http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvvv22.png pour tout http://freakonometrics.free.fr/blog/lgn10.png, alors http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvvvv23.png pour tout http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvvv24.png.
Bon, en fait la condition est un peu trop forte, et il suffit que la suite http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvv1.png soit uniformément intégrable.
Maintenant, il existe aussi des cas où cette réciproque sera fausse (et on se doute qu’en construisant une suite non bornée, on devrait y arriver). Par exemple, supposons que pour tout http://freakonometrics.free.fr/blog/lgn10.png,
http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvv5.png
On peut montrer que http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvvv7.png, car en effet
http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvv6.png
Toutefois, certes la suite converge dans L1, mais vers une limite différente, étant donné que http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvvv9.png pour tout http://freakonometrics.free.fr/blog/lgn10.png. De plus, http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvv10.png et donc la suite ne converge pas dans L2.

  • de la convergence en loi à la convergence en proba

Un exemple simple ici: si http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvv1.png converge en loi vers une constante, alors on aura convergence en probabilité (vers la même constante).
Maintenant la réciproque est relativement simple, l’idée étant que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/cvvv555.png n’implique en rien http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/cvvvvv5666.png, au sens où http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/cvvvvvv56666.png, pour tout http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/cvvvvv56565.png. Supposons maintenant que l’on ait à la fois http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/cvvvv4646.png et http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvv20.png, où on va supposer que http://freakonometrics.free.fr/wesp30.png est une loi symétrique. La symétrie signifie que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/cvvv5656655.png. Notons que l’on a alors forcément http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/cvvvcv_56.png. Supposons que la réciproque soit toujours vraie, alors on devrait avoir http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/cv65464565645vv.png, et donc on aurait que http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/cvwgfrwegr656.png, ce qui n’arrive que si http://freakonometrics.free.fr/wesp30.png est la constante http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvv4.png.

  • de la convergence en proba vers la convergence presque sûre

Je ne vais pas m’étendre sur la construction d’exemples pour lesquels la réciproque est fausse (formellement, il suffit de changer d’espace de probabilité sous-jacent, je peux renvoyer vers les notes de cours de Philippe Briand (ici) et Hélène m’a suggéré également les exercices en ligne ). Par contre, il existe des cas importants où la réciproque est vraie.
Considérons une suite de variables indépendantes et identiquement distribuées http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvv1.png. Posons alors http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvv30.png On peut alors montrer que http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvvvv26.png si et seulement si http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvvv35.png (ça doit être du Borel-Cantelli).

  • de la convergence en loi à la convergence presque sûre

Je ne vais pas non plus m’étendre davantage, mais on a un résultat qui ressemble à ce que je disais auparavant. En fait, il existe un théorème (dit de Skorohod) qui permet de dire que si on a une convergence en loi, alors on peut construite une suite de variables aléatoires qui
convergera presque sûrement. Formellement on a que si http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/cvvvv4646.png, alors il existe une suite http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvv11.png et une variable http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvv13.png, telles que http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvv16.png et http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvvv15.png telles que http://freakonometrics.free.fr/blog/cvvvv17.png. Mais de manière générale, si la suite n’est pas construite comme il faut (http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/cvvvvv56565.png par http://freakonometrics.blog.free.fr/public/perso/cvvvvv56565.png en quelques sortes) alors il est assez rare d’avoir la réciproque.