# from two to three…

A short post to give more details about the final remark in the course of Financial Econometrics, and more precisely the formula that can be found in the book of Philip Jorion, Note that this formula can be found (perhaps written with slight changes) in several papers, e.g. the following sentence (on the http://www.bis.org/website), or the following formula, on documents from the Bank of England website, I recently pulished (in French, here) a paper on the Value-at-Risk, including the following graph, Usually, three times the average over 60 trading days is the larger component, but during the financial crisis, it turned out that the daily component was almost three times higher than the average value over the past the months (this fact was mention by Paul Embrechts in some conference in Paris on risk measures).
The interpreation of the multiplicative k coefficient (which is from 2 to 3 in some publications, or which exceeds 3 in others) has been proposed in a paper of Gerhard Stahl, entitled three cheers. The idea is to use the Bienaymé-Tchebychev inequality. For random variables with finite variance, then Recall that this inequality is simply a corrolary of Markov’s inequality or for any increasing function  (taking function , applied to ). This upper bound can be far away from the true probability, see e.g. the gaussian case below, i.e. if , ```> z = seq(0,3,by=.01)
> P = 2*dnorm(k)
> U = 1/z^2
> plot(z,P,type="l",lwd=2,col="red",xlab="",ylab="")``` The ratio between the two is given below,

`> plot(z,U/P,type="l",lwd=2,col="purple",xlab="",ylab="",ylim=c(0,10))` Note that it is possible to interprete the axis values as probabilities values, taking quantiles of the gaussian distribution

```> plot(pnorm(z),U/P,type="l",lwd=2,col="purple",xlab="",
+ ylab="",ylim=c(0,10),xlim=c(.9,1))
> abline(h=3,lty=2)``` The interpretation is that the upper bound is 3 times higher than the true probability in the Gaussian case when z is the quantile of the distribution associated with probability level 99%.
Note that

• if z is the 95% quantile of the mathcal{N}(0,1) distribution, the ratio is 2 (1.92)
• if z is the 99% quantile of the mathcal{N}(0,1) distribution, the ratio is 3 (3.04)
• if z is the 99.55% quantile of the mathcal{N}(0,1) distribution, the ratio is almost 4 (3.88)
• if z is the 99.75% quantile of the mathcal{N}(0,1) distribution, the ratio is 5 (5.04)

A more formal explaination is to assume that X is symmetric, and then Thus, if , i.e. , we have an upper bound for the Value-at-Risk, where the upper bound is the upper bound for the Value-at-Risk for any distribution with finite variance and centred.
If , then , i.e. .  But since, for a distribution, then and further # Cours de gestion d’actifs (partie 2)

Le second cours portera sur l’approche de Black & Litterman. En plus des slides du cours, il sera possible de consulter un document synthétique de chez GS.Les applications se feront à l’aide du package BLCOP de R (i.e. Black Litterman and copula-opinion pooling). Un très grand nombre de papiers peuvent être trouvés sur le net sur ce sujet, en particulier les papiers de Attilio Meucci, ou encore le mémoire de Charlotta Mankert. Sinon le package BLCOP s’inspire également d’un document (peu technique) de Thomas Idzorek.

Sinon sur Markowitz, on pourra trouver des notes de cours de Paulo Vanini et Luigi Vignola.

# Cours de gestion d’actifs (partie 1) Cours de méthodes avancées en gestion de portefeuille. Le but du cours sera de présenter essentiellement l’optimisation de portefeuille sur d’autres mesures de risques que la variance (ou l’écart-type). Nous présenterons ainsi Black & Litterman, mais surtout l’allocation d’actifs sous contraintes de VaR ou de TVaR. Le 1er cours a lieu le 6 janvier, et les slides sont en ligne. Les références du cours sont les deux ouvrages suivants

• Qian, Hua & Sorensen (2007). Quantitative Equity Portfolio Management: Modern Techniques and Applications. Chapman & Hall
• Scherer & Martin (2007). Introduction to Modern Portfolio Optimization with NuOPT, S-PLUS and S+Bayes. Springer
Parmi les références sur internet, on mentionnera cet article dans l’Agefi de Juin 2008.

Nous avons été surpris de constater que la mesure de risque la plus utilisée par nos répondants est désormais la Value at Risk (VaR), qui a supplanté la volatilité. C’est naturellement un enseignement tout à fait positif car la technique est beaucoup plus récente. Nous avons cependant noté un contraste entre l’utilisation de cette mesure et son calcul, basé sur un schéma de distribution normale, ce qui ne donne aucune valeur ajoutée à cette technique. Cette tactique est finalement un peu dangereuse dans la mesure où l’on a l’impression d’utiliser une mesure de risque extrême qui ne l’est pas. […] Au Royaume-Uni, les gérants utilisent des modèles de l’économie financière – des modèles factoriels -, aussi bien dans la construction de portefeuilles que dans les mesures de performances, bien plus fréquemment que les Suisses ou encore que les Français. Ils sont aussi de gros adeptes des techniques de construction bayésienne. A l’inverse, les gérants français sont beaucoup plus avancés en termes de techniques d’ingénierie, qu’ils utilisent par exemple pour mieux mesurer.”

Un autre article aborde l’utilisation de la VaR en gestion de portefeuille.Les slides du premier cours reprendront les grandes notions sur les mesures de risque, tout en insistant sur la modélisation de la dépendance, avec le cas (classique) Gaussien tout d’abord, puis le cas non-gaussien, avec en particulier l’utilisation des copules.