Qui dit fêtes de fin d’année dit correction de copies… Avant les vacances, il y avait l’examen final du cours de statistique, de Master. L’énoncé est en ligne, ainsi que des éléments de correction.
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De la Statistique Descriptive à la Statistique Mathématique
J’ai l’impression que la principale difficulté pour rentrer dans un cours de stat(istique) math(ématique) est de comprendre de quoi on parle. Que les grandeurs qui étaient évoquées dans le cours de stat(istique) des(criptive) deviennent aléatoires. On peut alors calculer l’espérance d’une moyenne, ou sa variance, ou la variance d’une variance. Dans mon cours, j’ai toujours pris soin de distinguer les minuscules (correspondant aux observations, aux réalisations de variables aléatoires) des majuscules (correspondant aux variables aléatoires sous-jacentes). Il y a quelques mois, Terry Tao suggérait d’aller un cran plus loin, en notant qu’une variable aléatoire était justement aléatoire. Par exemple, si on considère un tirage de Bernoulli, on a l’échantillon suivant
que l’on peut voir comme une réalisation des variables aléatoires suivantes
Pareil, une statistique peut être soit une fonction construit sur notre échantillon,
ou alors être à son tour une variable aléatoire,
Et comme la moyenne est maintenant vue comme une variable aléatoire, on peut regarder sa loi, sa moyenne, sa variance, etc.
Depuis quelques années, je m’efforçais de faire le cours au tableau, mais je me demande si des slides – avec des animations dès qu’on parle de grandeurs aléatoires – n’auraient pas plus de sens…. A suivre donc (on verra ma motivation à la rentrée).
Exercices de Statistiques
Je mets en ligne une seconde série d’exercices. Il y a quelques exercices supplémentaires en inférence, et des exercices sur les tests. Comme annoncé, je ne taperais pas de correction. Par contre, si quelqu’un bute sur un exercice, on peut le regarder, en cours !
Dominance stochastique, ordre 1 ou ordre 2 ?
Mercredi dernier, on commençait le cours avec une présentation rapide du test de Wilcoxon-Mann-Whitney (parfois appelé test de la somme des rangs, de Wilcoxon). Ce test a été proposé par Frank Wilcoxon en 1945, et (presque en même temps) par Henry Mann et Donald Whitney (en 1947), dans un article intitulé On a Test of Whether one of Two Random Variables is Stochastically Larger than the Other. Le titre est clair. Ce test (non paramétrique) a vocation à tester l’hypothèse selon laquelle la distribution dans deux échantillons est la même. Ou, pour reprendre les notations du derniers billets, la distribution est la même dans deux groupes.
Autrement dit, on va chercher à tester, ici, , au sens où
. Dans le test de Kolmogorov Smirnov, l’hypothèse alternative est
.
Ici, comme le notent d’ailleur Mann et Whitney, “the test is shown to be consistent with respect to the class of alternatives for every
“. Cette propriété est un peu particulière, et correspond à la notion de dominance stochastique à l’ordre 1.
correspond à
, ou encore, pour tout fonction
croissante, si
avec
et
.
Mais regardons un peu le test. On considère deux populations et
. L’idée est de réordonner les
éléments de
par ordre croissant. On note
le vecteur des rangs associés. Soit
la somme des
(premiers) rangs des éléments de
, i.e.
.
Comme l’ont montré Wilcoxon, Mann et Whitney, sous ,
suit une “loi connue”, où classiquement, “connue” veut dire tabulée pour de petits échantillons, et pour des échantillons plus grands.
Histoire d’illustrer, considerons deux échantillons, tirés suivant deux lois et
avec
, par exemple deux lois normales de moyennes différentes (et de même variance)
> u=seq(-3,4,length=251)
> plot(u,pnorm(u,0,1),col="red",type="l")
> lines(u,pnorm(u,.5,1),col="darkblue")
Effectivement, nos deux fonctions de répartition sont ordonnées, et on est bien dans une situation de dominance stochastique à l’ordre 1. Les densité sont ici
>plot(u,dnorm(u,0,1),col="red",type="l")
>lines(u,dnorm(u,.5,1),col="darkblue")
On peut générer 10,000 paires d’échantillons, de taille 100 (respectivement), et regarder la distribution de (et celle de
).
> P=matrix(NA,1e4,3)
> for(i in 1:1e4){
+ x=c(rnorm(100,0,1),rnorm(100,.5,1))
+ P[i,1:2]=c(sum(rank(x)[1:100]),sum(rank(x)[101:200]))
+ x0=c(rnorm(100,0,1),rnorm(100,0,1))
+ P[i,3]= sum(rank(x0)[1:100])
+}
> plot(density(P[,1]),col="red"))
> lines(density(P[,2]),col="darkblue")
> lines(density(P[,3]),lty=2)
Sous , la somme aurait eu la distribution avec les pointillés. On en est manifestement assez loin, autrement dit, on va rejeter ici l’hypothèse de lois égales,
.
Intuitivement, c’est normal, car effectivement, les rangs dans un cas sont – en moyenne – plus faibles que pour l’autre,
Au lieu de simuler des lois dominées, à l’ordre 1, on peut tenter des lois dominées à l’ordre 2. Rappelons que signifie
ou encore
avec et
. où
est unne fonction croissante et concave.
En gestion des risques (ou sur les inégalités), on va supposer en plus que , ce qui correspond à une notion de “mean preserving spread” (on peut relire le document sur la notion de
single crossing, par Alain Chateauneuf). Une caractérisation est
où
et
. où
est concave. Une caractérisation alternative est
avec
(on pourra relire Rothschild et Stiglitz, Increasing Risk: A Definition)
Dans le cas des lois normales, on a cette notion de ‘mean preserving spread’ lorsque les moyennes sont identiques, mais pas les variances. On a alors plus de dispersion,
> u=seq(-4,4,length=251)
> plot(u,pnorm(u,0,1),col="red",type="l")
> lines(u,pnorm(u,0,1.5),col="darkblue")
Effectivement, nos deux fonctions de répartition sont ordonnées, et on est bien dans une situation de dominance stochastique à l’ordre 2, avec du single crossing. Les densités sont ici
> plot(u,dnorm(u,0,1),col="red",type="l")
> lines(u,dnorm(u,0,1.5),col="darkblue")
On peut générer 10,000 paires d’échantillons, de taille 100 (respectivement), et regarder la distribution de (et celle de
).
> P=matrix(NA,1e4,3)
> for(i in 1:1e4){
+ x=c(rnorm(100,0,1),rnorm(100,0,1.5))
+ P[i,1:2]=c(sum(rank(x)[1:100]), sum(rank(x)[101:200]))
+ x0=c(rnorm(100,0,1),rnorm(100,0,1))
+ P[i,3]= sum(rank(x0)[1:100])
+}
> plot(density(P[,1]),col="red"))
> lines(density(P[,2]),col="darkblue")
> lines(density(P[,3]),lty=2)
Autrement dit, ici les sommes des rangs sont identiques, avec les deux échantillons, et donc on aura tendance à accepter ici l’hypothèse de lois égales, . L’idée naturelle est que avec les dans le premiers cas, effectivement, on avait plus de petits rangs avec le petit échantillon. Mais plus ici: le fait d’avoir plus de dispersion fait qu’on a en même temps plus de petits, et plus de grands. Et en moyenne, ça ne change rien
Analyse de la variance, et participation en TD
Nous avons vu lors du dernier cours l’analyse de la variance. Comme je l’avais expliqué, comme son nom ne l’indique pas, le but de l’anova est de comparer des moyennes. Histoire d’illustrer ce test, considerons la base suivante, qui donne la note d’étudiants à un examen final de statistique (note comprise entre 0 et 20), dans un cours de Master. Ca sera notre variable , comme nous l’avions noté en cours. La variable de “traitement” sera la participation des étudiants en TD, avec comme modalité possible ‘participation volontaire’ (pour aller faire des exercices au tableau), ‘participation non-volontaire’ (les étudiants vont au tableau quand ils y sont appelés) et enfin ‘non-participation’ (les étudiants qui ne participent pas, ou qui refusent de passer au tableau s’ils y sont appelés). Afin de constituer des groupes, nous disposons de deux variables. La première est le genre de l’étudiant (‘F’ et ‘M’) et la seconde est sur l’origine des étudiants (suivant qu’ils ont fait leur licence ou pas, à Rennes, ‘R1’ ou ‘autre’).
> download.file("http://freakonometrics.free.fr/notes.RData",destfile= tempfile())
> load("notes.RData")
> tail(base)
PART GENRE ORIGINE NOTE
112 volontaire F R1 16.50
113 non_vol. M R1 11.50
114 non_vol. F R1 10.25
115 non_vol. F R1 10.75
116 non_vol. F autre 10.50
117 volontaire M R1 15.75
Avant de commencer avec une analyse à plusieurs facteurs, commençons par une analyse à un facteur. On peut regarder l’évolution des notes, en fonction de la variable de traitement (la participation en TD)
> boxplot(base$NOTE~base$PART,ylim=c(6,20))
> abline(h=mean(base$NOTE),lty=2,col="red")
> lines(1:3,with(base,aggregate(NOTE,by=list(PART), mean)$x),pch=19,lwd=3,type="b")
On peut aussi regarder la note, en fonction du genre
> boxplot(base$NOTE~base$GENRE,ylim=c(6,20))
> abline(h=mean(base$NOTE),lty=2,col="red")
> lines(1:2,with(base,aggregate(NOTE, by=list(GENRE),mean)$x),)
ou en fonction de l’origine des étudiants
> boxplot(base$NOTE~base$ORIGINE,ylim=c(6,20))
> abline(h=mean(base$NOTE),lty=2,col="red")
> lines(1:2,with(base,aggregate(NOTE, by=list(ORIGINE),mean)$x))
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Tests non-paramétriques et simulations
Lors du dernier cours de statistique, nous avons présenter les tests d’ajustment de lois. Nous avions illustré ces tests à partir de la taille d’individus (déjà utilisé pour présenter l’ajustement de lois, et l’estimation de densité), correspondant à .
> Davis=read.table(
+ "http://socserv.socsci.mcmaster.ca/jfox/Books/Applied-Regression-2E/datasets/Davis.txt")
> Davis[12,c(2,3)]=Davis[12,c(3,2)]
> X=Davis$height
> n=length(X)
On notera la statistique d’ordre, au sens où
Parmi les outils graphiques, nous avons vu le PP plot (graphique probabilité-probabilité) et le QQ plot (graphique quantile). Le code pour créer un PP plot peut être le suivant
> PP=function(Y,F=pnorm){
+ n=length(Y)
+ x=F(sort(Y))
+ y=seq(1/n/2,1-1/n/2,by=1/n)
+ return(data.frame(x=x,y=y))
+ }
qui représente (à un détail près) le nuage de points
et celui pour le QQ plot serait
> QQ=function(Y,Q=qnorm){
+ n=length(Y)
+ x=Q(seq(1/n/2,1-1/n/2,by=1/n))
+ y=sort(Y)
+ return(data.frame(x=x,y=y))
+ }
qui représente (toujours à un détail près) le nuage de points
où est la loi que l’on cherche à tester, au sens où on a
avec comme hypothèse alternative
.
Interpréter un test de Wald
Jeudi, dans le cadre du cours de statistique mathématiques, nous avions passé un peu de temps à mettre en oeuvre le test de Wald, et discuter la construction et l’interprétation d’un test. On reste ici sur un test paramètrique. La vraie valeur du paramètre, on va la fixer, pour générer des données
> p=.5
En l’occurence, on va considérer un modèle de Bernoulli, i.e. une succession de tirages de pièces (pile ou face)
> n=20
> set.seed(1)
> echantillon=sample(c("pile","face"),
+ size=n,replace=TRUE,
+ prob=c(p,1-p))
> echantillon
[1] "face" "face" "pile" "pile" "face" "pile" "pile" "pile" "pile" "face" "face" "face" "pile" "face" "pile" "face" "pile" "pile" "face" "pile"
Classiquement, on va recoder en
> X=(echantillon=="pile")*1
> X
[1] 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1
La vraisemblance est ici donnée par
> L=function(p) prod(dbinom(X,1,p))
> logL=function(p) sum(log(dbinom(X,1,p)))
> xp=seq(0,1,by=.01)
> yL=Vectorize(L)(xp)
> plot(xp,yL,type="l")
mais on va plutôt travailler sur la log-vraisemblance
> ylogL=Vectorize(logL)(xp)
> plot(xp,ylogL,type="l")
Niveau et puissance de test (paramétrique)
Lors du dernier cours de statistique, nous avons vu comme se construisent des tests, et comment on compare leur puissance. Considérons pour cela des observations \{x_1,\cdots,x_n\} tirées suivant une loi uniforme \mathcal{U}([0,\theta]). Et on se pose la question de savoir si l’hypothèse H_0:\theta\leq\theta_0 est rejetée, ou acceptée, avec \theta_0=1 par exemple. L’hypothèse alternative sera ici le complémentaire, autrement dit H_1:\theta>\theta_0.
Comme on l’a vu, la construction d’un test se fait en utilisant une statistique de test (ou plus simplement un estimateur du paramètre inconnu), avec \psi(\mathbf{x})=\mathbf{1}(\widehat{\theta}(\mathbf{x}))\leq c. On prend la décision D_1 (consistant à rejeter H_0) si \psi(\mathbf{x})=1, et la décision D_0 (consistant à ‘accepter’ H_0) si \psi(\mathbf{x})=0.
Le risque d’erreur de première espèce est basé sur \mathbb{E}[\psi(\mathbf{X})]. Si l’hypothèse H_0 est une hypothèse simple H_0:\theta=\theta_0, le risque d’erreur de première espèce est , soit \alpha=\mathbb{P}[\widehat{\theta}(\mathbf{X})>c \vert X_1,\cdots,X_n\sim F_{\theta_0}] pour un seuil c. On va déterminer le seuil c de manière à ce que le risque de première espèce soit 5%.
Pour cela, il nous fait un estimateur \widehat{\theta} dont on connaîtrait la loi. Commençons par l’estimateur du maximum de vraisemblance. Rappelons que l’estimateur du maximum de vraisemblance est \widehat{\theta}=\max\{x_i\}. Nous avons vu – dans la section sur les statistiques d’ordre – que \mathbb{P}[\max\{X_i\}]=\left(\frac{x}{\theta}\right)^n
pour x\leq\theta. Aussi, pour un seuil c, \mathbb{P}[\widehat{\theta}>c]=1-\left(\frac{c}{\theta}\right)^n
pour c\leq\theta. Le risque de première espèce \alpha=\underset{\theta\leq\theta_0}{\max}\left\lbrace\mathbb{P}\big[\widehat{\theta}\geq c\vert X\sim F_{\theta}\big]\right\rbrace
soit \alpha=\underset{\theta\leq\theta_0}{\max}\left\lbrace1-\left(\frac{c}{\theta}\right)^n\right\rbrace
qui atteindra son maximum en \theta_0. Aussi \alpha=1-\left(\frac{c}{\theta_0}\right)^n
soit c=\theta_0\cdot[1-\alpha]^{1/n}. Les régions d’acceptation et de rejet sont les suivantes,
Unbiased Estimators vs. Minimizing a Quadratic Loss Function
Unbiased estimators are important in statistics. I guess because of Cramér Rao bound, for the variance. In the sense that if , then
, where
denotes Fisher information (the proof was writen in an old post).
But what could we be the variance if is not unbiased ?
Consider the following simple case, with a Gaussian i.id. sample from a
. We know that the estimator of the Method of Moments is the same as the Maximum Likelihood estimator, i.e.
. And this estimator is efficient, in the sense that its variance is equal to Cramér-Rao lower bound,
.
But what if we consider another estimator? For instance , with
not necessarily equal to 1. In that case, this estimator is (usually) biased since
And its variance is
We can visualise those two functions (the bias and the variance) using
n=10
alpha=seq(0,2,by=.01)
b=1-alpha
v=alpha^2/n
plot(alpha,b,xlab="alpha",col="red",type="l")
par(new=TRUE)
plot(alpha,v,col="blue",type="l",axes=FALSE
axis(4,)
mtext("bias",side=2,line=-1,col="red")
mtext("variance",side=4,line=-1,col="blue")
Observe that if is small (smaller than 1), the variance is smaller than the Cramér-Rao lower bound. And here, the mean squared error, defined as
which is, here,
The optimal value is obtained when the first order condition is satisfied
i.e.
So biased estimators can be more interesting than unbiased estimators, if the goal is the minimize the mean square error.
Re-parametrization and Maximum Likelihood
The maximum likelihood estimator is invariant in the sense that for all bijective function , if
is the maximum likelihood estimator of
then
. Let
, then
is equal to
, and the likelihood function in
is
. And since
is the maximum likelihood estimator of
,
hence, is the maximum likelihood estimator of
.
For instance, the Bernoulli distribution is with
and
Given sample , the likelihood is
The log-likelihood is then
with ICI
Thus, the first order condition
is satisfied when . In order to illustrate, consider the following data
> set.seed(1)
> X=sample(0:1,size=15,replace=TRUE)
> X
[1] 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1
The (negative) log-likelihood is here
> loglik=function(p){
+ -sum(log(dbinom(X,size=1,prob=p)))
+ }
that we can visualize below
> u=seq(0,1,by=.025)
> v=-Vectorize(loglik)(u)
> plot(u,v,type="l",xlab="",ylab="")
From calculations above, we know that the maximum likelihood estimator for is
> mean(X)
[1] 0.5333333
The numerical version is
> (opt=optim(.5,loglik))
$par
[1] 0.5333008
$value
[1] 10.36385
$counts
function gradient
20 NA
$convergence
[1] 0
$message
NULL
Somehow, we were lucky here, because we did not say that the optimization was on the interval . Nevertheless, our estimator for the probability belongs to
. In order to insure that the optimal value is in
, we can consider some constrained optimization routine
> constrOptim(.5, loglik, grad=NULL,ui=matrix(c(1,-1),2,1), ci=c(0,-1))
$par
[1] 0.5333008
$value
[1] 10.36385
$counts
function gradient
20 NA
$convergence
[1] 0
$message
NULL
$outer.iterations
[1] 2
$barrier.value
[1] 6.909277e-05
On the previous graph, we did – indeed – reach that maximum of the log-likelihood
> abline(v=opt$par,col="red")
An alternative is to consider (as in the exponential family). The log-likelihood is then
since
Here
Thus, the first order condition
is satisfied when
i.e.
From a numerical perspective, we have the same optimal value
> loglik=function(theta){
+ -sum(log(dbinom(X,size=1,prob=exp(theta)/(1+exp(theta)))))
+ }
> (opt=optim(0,loglik))
$par
[1] 0.1335938
$value
[1] 10.36385
$counts
function gradient
20 NA
$convergence
[1] 0
$message
NULL
> exp(opt$par)/(1+exp(opt$par))
[1] 0.5333489
Maximum de Vraisemblance, approche numérique
Histoire de voir des choses plus amusantes dans le cours de statistique, on va aborder le cas où le maximum de la vraisemblance n’a pas d’expression analytique simple, pour insister sur les aspects numériques. Par exemple, si on a un mélange de lois, comme un mélange de lois normales,
Cette loi peut être utile, comme loi paramétrique, pour décrire la loi de la taille de gens. En guise d’illustration, on pourra utiliser les données déjà utilisée au début du cours
> Davis=read.table(
+ "http://socserv.socsci.mcmaster.ca/jfox/Books/Applied-Regression-2E/datasets/Davis.txt")
> Davis[12,c(2,3)]=Davis[12,c(3,2)]
> X=Davis$height
La première étape est d’écrire la fonction de log-vraisemblance du mélange (ou plutôt l’opposé de la log-vraisemblance, les fonctions d’optimisation de R cherchant des minimums de fonctions)
> logL=function(theta){
+ p=theta[1]
+ m1=theta[2]
+ s1=theta[3]
+ m2=theta[4]
+ s2=theta[5]
+ logL=-sum(log(p*dnorm(X,m1,s1)+(1-p)*dnorm(X,m2,s2)))
+ return(logL)
+ }
La fonction la plus simple, pour maximiser la log-vraisemblance est la suivante (à partir d’un jeu de paramètre initiaux, histoire d’avoir un point de départ pour une descente de gradient)
> opt<-optim(c(.5,160,1,180,1),logL) > (theta=opt$par)
[1] 0.5987635 165.2547700 5.9410993 178.4856961 6.3547038
On reviendra dessus en cours car on peut faire ‘mieux’ en utilisant un algorithme d’optimisation sous contrainte, pour tenir compte du fait, par exemple, que la probabilité est forcément comprise entre 0 et 1 (c’est le cas ici, mais on a eu de la chance….).
Pour visualiser la densité estimée, on utilise
> hist(X,col="light green",probability=TRUE)
> lines(density(X))
> p=theta[1]
> m1=theta[2]
> s1=theta[3]
> m2=theta[4]
> s2=theta[5]
> v=p*dnorm(u,m1,s1)+(1-p)*dnorm(u,m2,s2)
> lines(u,v,col="blue",lwd=2)
Une autre solution est d’utiliser l’algorithme EM (sur lequel on reviendra en cours). Le point de départ part du constat que le problème de notre mélange est qu’on ne sait pas à quelle classe appartiennent nos gens. On va partir de valeurs initiales pour nos paramètres, et comparer les chances d’appartenir à chacunes des classes
> theta=c(.5,150,1,200,1)
> p1=dnorm(X,theta[2],theta[3])
> p2=dnorm(X,theta[4],theta[5])
> p=p1/(p1+p2)
A partir de ces probabilités d’appartenir à chacune des classes, on va estimer les paramètres de nos deux lois normales. Soit à l’aide de la formule fermée, soit en faisant du maximum de vraisemblance
> m1=sum(p*X)/sum(p)
> m2=sum((1-p)*X)/sum(1-p)
> s1=sqrt(sum(p*(X-m1)^2)/sum(p))
> s2=sqrt(sum((1-p)*(X-m2)^2)/sum(1-p))
> MlogL=function(a){
+ m1=a[1]
+ s1=a[2]
+ m2=a[3]
+ s2=a[4]
+ logL=-sum(log(p*dnorm(X,m1,s1)+(1-p)*dnorm(X,m2,s2)))
+ return(logL)
+ }
> opt<-optim(theta[2:5],MlogL)
L’idée est en fait d’avoir une boucle: on estime les probabilités d’appartenir dans les classes (compte tenu des paramètres des lois normales), et une fois qu’on a ces probabilités, on peut réestimer les paramètres des lois. Puis on recommence,
> theta=c(.5,150,1,200,1)
> for(s in 1:100){
+ p1=dnorm(X,theta[2],theta[3])
+ p2=dnorm(X,theta[4],theta[5])
+ p=p1/(p1+p2)
+ m1=sum(p*X)/sum(p)
+ m2=sum((1-p)*X)/sum(1-p)
+ s1=sqrt(sum(p*(X-m1)^2)/sum(p))
+ s2=sqrt(sum((1-p)*(X-m2)^2)/sum(1-p))
+ theta=c(mean(p),m1,s1,m2,s2)
+ }
On récupère alors les paramètres ‘optimaux’ de notre loi mélange
> hist(X,col="light green",probability=TRUE)
> lines(density(X))
> u=seq(130,210,by=.25)
> p=theta[1]
> m1=theta[2]
> s1=theta[3]
> m2=theta[4]
> s2=theta[5]
> v=p*dnorm(u,m1,s1)+(1-p)*dnorm(u,m2,s2)
> lines(u,v,col="red",lwd=2)
qui est relativement proche de notre estimation globale.
On reviendra au prochain cours sur ces méthodes ‘pratiques’ de calculs du maximum de vraisemblance.
Exercices de Statistiques
Histoire de se pratiquer un peu, j’ai préparé une feuille d’exercices pour le cours de statistique. Je n’ai pas prévu de mettre en ligne de correction, mais si quelqu’un a des difficultés, on pourra revenir dessus lors du prochain cours. Pour rappel, comme annoncé lors de la présentation du cours, l’examen final sera composé d’exercices du même genre que ceux donnés en exercices.
Reprise du cours de Statistique
Le cours de statistique a repris cette semaine. Parmi les références qui peuvent être utiles (certains ouvrages sont disponibles en pdf, mais il semble illégal de pointer vers les pdf)
- Introduction to Mathematical Statistics, Hoggs & Craig
- Statistical Inference, Casella & Berger
J’en profite pour mettre en ligne une série d’exercices de proba. Ce sont des QCM, et je n’ai pas mis les réponses. Mais si vous bloquez sur un exercice, dites le moi, on le fera en cours. La semaine prochaine, on prévoira deux heures pour faire quelques exercices.
Correction Examen de Statistiques
Avant les vacances, il y avait l’examen final du cours de statistique mathématique. Je mets en ligne quelques éléments de correction.
De la réussite au brevet dans cinq collèges rennais
Ce matin, on a travaillé sur des données de réussite au brevet des collèges, sur Rennes (dans le cadre du cours de statistique). On dispose de données pour 5 collèges rennais, sur une douzaine d’années (entre 2001 et 2015).
- Analyse de le temps de l’agrégation des collèges
On avait commencé par quelque chose de simple: regarder l’évolution dans le temps du taux de réussite,
> base= + read.table( + "http://freakonometrics.free.fr/brevet_rennes.csv", header=TRUE,sep=";",dec=",") > idx=seq(4,ncol(base),by=3) > annees=as.numeric(substr(names(base)[idx],2,5)) > College=6 > plot(annees,base[College,idx],type="b")
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