On considère deux entreprises avec des fonctions de coût
et 
La demande total des consommateurs se traduit par une fonction de
demande inverse
où
.Bref, le profit de l’entreprise 1 est alors

soit

et on a une expression similaire pour l’entreprise 2. La courbe d’isoprofit pour l’entreprise 1 est

Si on recherche l’équilibre de Cournot, chaque entreprise va essayer de maximiser son profit, i.e. pour l’entreprise 1, on cherche

La condition du premier ordre donne

soit

On parle alors de fonction de réaction. Pareil, on obtient

en maximisant le profit de l’entreprise 2. L’équilibre de Cournot est le point d’intersection des deux fonctions de réaction, mais on peut aussi y voir une recherche de point fixe, i.e. on veut que
et 
Bref, en l’occurence, le point d’équilibre est obtenu en résolvant

(avec une équation similaire en
).
Pour l’équilibre de Stackelberg, on suppose par exemple que la firme 1 domine l’autre: elle va chercher à maximiser son profit en supposant que l’autre prenne une décision suivant sa fonction de réaction.Elle va donc chercher

L’interprétation graphique est la suivante. Traçons les courbes d’isoprofit de l’entreprise 1 (en vert), soit

L’équilibbre est forcément sur la fonction de réponse de l’entreprise 2, c’est à dire la courbe rouge. L’aire jaune signifie qu’il est possible d’améliorer le profit de l’entreprise 1 (plus la courbe verte est base, plus grand est le profit). La courbe orange est alors l’ensemble des points accessibles par 1, qui correspondent à une réponse de 2. Aussi, l’équilibre se Stackelberg (le point mauvesur le graphique ci-dessous) appartient à cette courbe. Il suffit de trouver le point correspondant au profil maximal de l’entreprise 1 (ce que l’on voit lorsque les courbe verte se déplacent vers le bas).

Aussi, l’équilibre de Stackelberg est obtenu en cherchant le point de tangence entre une courbe d’isoprofit de la firme 1 (c’est le programme de la première firme qui veut maximiser son profit) et la courbe de réponse (l’entreprise 2 se contenant de répondre à la production de l’entreprise dominante).




et
désignent les quantités des deux biens qui sont disponibles, respectivement. Classiquement, on résout ce programme d’optimisation à l’aide du lagrangien









Petit complément sur le premier exercice, sur








de bien 1 sera




qui dépend de paramètres
, i.e. on cherche
est alors la fonction optimale pour les paramètres
la valeur optimale en
, fonction du paramètre

suivant
.


est l’ensemble de multiplicateurs de Lagrange où


(on parle de demande Marshalienne). Je passe rapidement sur le programme d’optimisation de l’agent, mais nous avions vu que le taux marginal de substitution était égal au rapport des prix. En effet, le Lagrangien s’écrit
.

est appelée demande hicksienne. On peut alors considérer la fonction de dépense minimale,




, nous sommes à un optimum, on en déduit

c’est que la somme ![e[mathbf{p},v(mathbf{p},y)]equiv y](https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/tex/26f8db6b28bab6b833296c94df1c2ea7.png)
![v[mathbf{p},e(mathbf{p},bar u)]equivbar u](https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/tex/0c1315f6bbe65bd5b9154624808bb275.png)
![x^m_i(mathbf{p},y)equiv x^h_i[mathbf{p},v(mathbf{p},y)]](https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/tex/86218d8208a7bf0173b9e5ecbe0cb433.png)
![x^h_i(mathbf{p},bar u)equiv x^m_i[mathbf{p},e(mathbf{p},bar u)]](https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/tex/a97d7f4ce9b0b827e73a23f707f45c9d.png)


Premier cours de microéconomie à l’X. Pour les PC (salle PC10), la liste des exercices est disponible
qui maximise
sous contrainte
, c’est-à-dire résoudre le programme
sous contrainte
(correspondant à un ensemble de m contraintes).
, et on définit le 

, donc si la contrainte n’est pas saturée, le multiplicateur de Lagrange est nul). Ces n+m conditions sont appelées “
est solution des conditions de Kuhn-Tucker.