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Représentation de l’équilibre de Stackelberg

15/10/2009 Arthur Charpentier 1 Comment

On considère deux entreprises avec des fonctions de coût

$https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ergzeh57645.png$ et $https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zev654+54h6.png$

La demande total des consommateurs se traduit par une fonction de
demande inverse

$https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/5z46gh546.png$ où $https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/v6e8z4684.png$ .

Bref, le profit de l’entreprise 1 est alors

$https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/rzh68464hb65zr46.png$

soit

$https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ezg6546546.png$

et on a une expression similaire pour l’entreprise 2. La courbe d’isoprofit pour l’entreprise 1 est

$https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ze3v5ez4v654ze6v.png$

Si on recherche l’équilibre de Cournot, chaque entreprise va essayer de maximiser son profit, i.e. pour l’entreprise 1, on cherche

$https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ez6f87468z4.png$

La condition du premier ordre donne

$https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zg4z654g6.png$

soit

$https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/g64er65g46er54g6er54g6er54g6.png$

On parle alors de fonction de réaction. Pareil, on obtient

$https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ze4686z8v7ze68v76z85v.png$

en maximisant le profit de l’entreprise 2. L’équilibre de Cournot est le point d’intersection des deux fonctions de réaction, mais on peut aussi y voir une recherche de point fixe, i.e. on veut que

$https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/e+b5er46b54e6r.png$ et $https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zev4z6e54v632.png$

Bref, en l’occurence, le point d’équilibre est obtenu en résolvant

$https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/68e4rg9684er68g4er.png$

(avec une équation similaire en $https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/y2.png$ ).
Pour l’équilibre de Stackelberg, on suppose par exemple que la firme 1 domine l’autre: elle va chercher à maximiser son profit en supposant que l’autre prenne une décision suivant sa fonction de réaction.Elle va donc chercher

$https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/z4vze541v3213.png$

L’interprétation graphique est la suivante. Traçons les courbes d’isoprofit de l’entreprise 1 (en vert), soit

$https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ze3v5ez4v654ze6v.png$

L’équilibbre est forcément sur la fonction de réponse de l’entreprise 2, c’est à dire la courbe rouge. L’aire jaune signifie qu’il est possible d’améliorer le profit de l’entreprise 1 (plus la courbe verte est base, plus grand est le profit). La courbe orange est alors l’ensemble des points accessibles par 1, qui correspondent à une réponse de 2. Aussi, l’équilibre se Stackelberg (le point mauvesur le graphique ci-dessous) appartient à cette courbe. Il suffit de trouver le point correspondant au profil maximal de l’entreprise 1 (ce que l’on voit lorsque les courbe verte se déplacent vers le bas).

Aussi, l’équilibre de Stackelberg est obtenu en cherchant le point de tangence entre une courbe d’isoprofit de la firme 1 (c’est le programme de la première firme qui veut maximiser son profit) et la courbe de réponse (l’entreprise 2 se contenant de répondre à la production de l’entreprise dominante).

ECO431, ECO556, Microeconomics

Optimum de Pareto

12/10/2009 Arthur Charpentier 1 Comment

Les exercices de la PC8 sont en ligne ici et là (merci à Yukio pour la dernière feuille), et ceux de la PC9 ici.

Définition de l’optimalité au sens de Pareto

Tout d’abord, pour la petite histoire, Wilfredo Pareto (1848-1923) a pris la suite de Walras à la chaire d’économie politique à l’Université de Lausanne quand celui-ci est parti à la retraite. C’est dans son « Manuel d’économie politique » que se trouve son apport décisif sur l’optimum économique. D’abord, en passant de l’hypothèse walrasienne de cardinalité à celle d’ordinalité des préférences et de l’utilité, ce qui l’amène à privilégier la notion de courbes d’indifférence qu’il emprunte aux travaux d’Edgeworth. Ensuite, et surtout, il va introduire un critère de définition de l’optimum économique.
Le critère d’optimalité paretienne est proche de la conception utilitariste de la justice sociale héritée de John Bentham (et donc dans l’individualisme): une allocation Pareto-optimale est nécessairement « individuellement rationnelle » en ce sens que chaque agent la préfère à sa dotation initiale. Or, une allocation individuellement rationnelle n’est pas toujours « équitable » en ce sens qu’un agent au moins peut avoir envie d’une allocation obtenue par un autre agent. Pour dépasser les limites du critère paretien, d’autres conceptions de l’équité que l’utilitarisme ont été introduite, que ce soit la conception libertarienne (avec von Mises, Hayek et Nozick) ou la conception libérale-égalitaire (avec en particulier Rawls et Sen). Pour reprendre la terminologie de Gérard Debreu (1966) un optimum est « un état réalisable auquel n’est préféré aucun état réalisable ». Connaissant (décrétant) l’optimum , le marché doit déterminer l’équilibre général correspondant. Elle doit donc trouver les prix relatifs “fictifs” ou “prix ombres” comme certains les ont appelés.
D’un point de vue quantitatif, l’utilité d’un individu X doit être est maximale sous contrainte que celle de Y doit rester supérieure à un niveau donné. Supposons que les deux consommateurs consomment deux biens, notés (1) et (2),

$https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ipjpoihezc.png$

sous contraintes

$https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/efzef.png$

$https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zacafgzegr.png$

$https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zceczeczeczergrher.png$

où $https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zefgrhtjhjht.png$ et $https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zenklkn.png$ désignent les quantités des deux biens qui sont disponibles, respectivement. Classiquement, on résout ce programme d’optimisation à l’aide du lagrangien

$https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/rtrnnreverj.png$

les conditions du premier ordre donnent

$https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/erhjjjrt-jk.png$

$https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zeghzhr.png$

$https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zehrejherj.png$

$https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/rherjetjkrtk.png$

On en déduit alors simple que

$https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/zegbhzrbn.png$

ce qui correspond à une égalité des TMS à l’équilibre.
Formellement, on retombe sur des équations semblables en considérant le programme d’optimisation suivant

$https://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/latex/ippipiyout.png$

Le point optimal est obtenu à l’aide du diagramme d’Edgeworth (je peux renvoyer ici pour des slides d’Abdul Noury expliquant simplement la construction, et la lecture, de ce diagramme). Sur le dessin ci-dessous, on la région verte est l’ensemble des allocations pour lesquelles on augmente à la fois l’utilité de X et de Y,

Le théorème de bien être nous garantie que tout optimum de Pareto dans l’espace des répartitions des biens est atteignable en situation de concurrence pure est parfaite moyennant une redistribution forfaitaire des dotations initiales. En fait, tout se passe comme si les deux consommateurs étaient face l’un à l’autre pour négocier des échanges de bien (1) contre bien (2) et réciproquement, dans le but d’améliorer leur bien-être.
Le TMS représente le prix « psychologique » d’échange entre (1) et (2) pour le consommateur considéré, c’est-à-dire la quantité maximum de (2) qu’un agent accepte de céder pour avoir une quantité infinitésimale supplémentaire de (1). Le TMS correspond à un prix psychologique limite. On arrive finalement à la conclusion qu’un état optimal doit être un état réalisable (avec saturation des contraintes, i.e. pour chaque bien, la somme des quantités allouées aux deux consommateurs doit être égale à sa quantité totale disponible) et cet état doit être efficient, en vérifiant l’égalisation des TMS pour les deux consommateurs.

Optimalité au sens de Pareto à la cantine

Lorsque j’étais élève à l’ensae, je ne sais plus quel prof nous avait illustré l’optimalité au sens de Pareto à partir du passage à la cantine de l’insee… Quand on va chercher de l’eau à la fontaine à eau, il y a deux arrivées d’eau, mais qui se fournissent à la même source. Autrement dit, si deux personnes se servent en même temps, le débit est deux fois plus faible que si une seule personne se sert. De mémoire, si on est seul à prendre de l’eau, il faut environ 30 secondes pour remplir un pichet. Supposons que j’arrive à la fontaine à eau, et que quelqu’un soit en train de servir depuis 10 secondes. Deux possibilités s’offrent à moi,

commencer à me servir dès que j’arrive: la première personne a fini de se servir au bout de 40 secondes, et 50 secondes pour moi
attendre que la personne qui se sert ait fini: la première personne a fini de se servir au bout de 20 secondes, et moi 50 secondes

Bon, le raisonnement n’a de sens que si personne ne vient entre temps se servir sur l’autre fontaine (ou alors qu’au moins elle tienne le même raisonnement que moi, c’est à dire qu’elle attende que j’ai fini avant de se servir).

Si je compara les deux situations, on voit que le second cas permet à l’autre personne d’améliorer strictement la situation. Autrement dit l’optimum de Pareto est d’attendre que l’autre personne se soit servi avant de se servir.

ECO431, Microeconomics

Cours microéconomie

21/09/2009 Arthur Charpentier Leave a comment

Les exercices pour les PC sont disponibles ici et là. Je rappelle que pour le “jeu“, le lien est ici, http://www.easywinmode.org/risk/FR/accueil.php

ECO431, Microeconomics

Le bois et la mine

10/09/2009 Arthur Charpentier Leave a comment

Petit complément sur le premier exercice, sur « l’apologue du bois et de la mine »
APOLOGUE, subst. masc.

DIDACT. Court récit imaginaire ou parfois réel dont se dégage une vérité morale. Synon. histoire, conte, parabole, fable :

1. Cependant je ne doute point que vous n’ayez lu, dans beaucoup de préfaces de fables, que l’apologue est une instruction déguisée sous l’allégorie d’une action : …
Florian, Fables, De la Fable, 1792, p. 10.

2. Les patriciens envoyèrent au peuple celui des leurs qui lui était le plus agréable, Menenius Agrippa. Il leur adressa l’apologue célèbre des membres et de l’estomac, véritable fragment cyclopéen de l’ancien langage symbolique.
Michelet, Hist. romaine, t. 1, 1831, p. 110.

ÉTYMOL. ET HIST.

I.− xv^e s. « petit récit d’un fait vrai ou fabuleux, par lequel on veut présenter une vérité instructive » (G. Tardif ds Delb. Rec. ds DG : Le premier apologue ou fable).
II.− 1616-20 « apologiste » (D’Aubigné, Confessions du sieur de Sancy, [dédicace] ds Œuvres, éd. Reaume-de-Caussade, t. 2, p. 236 : un des traducteurs du Tasso, qui a choisi pour son apologue le Prince de Conty); repris par DG où il est qualifié de vieilli.
I empr. au lat. apologus, « id. » Plaute, Stich., 570 ds TLL s.v., 250, 7; cf. Cicéron, Inv. 1, 25, ibid., 249, 83; empr. au gr. ἀπολόγος « récit détaillé, narration » (Platon, Resp. 614a ds Bailly) d’où « fable » (Cependant le mot gr. ne figure pas ds Cicéron, De Orat., 2, 264, éd. Courbaud : Et ad hoc genus ascribamus etiam narrationes apologorum); II dér. de apologie* sur le modèle de analogie/analogue.

Il existe quelques références sur cet apologue, introduit par Gabriel Dessus à la fin des années 40 (sur la tarification des services publiques). Je peux renvoyer vers quelques pages en annexe de la thèse de Frédéric Marty, ici (ou là pour la version intégrale des annexes). Pour remettre dans le contexte de l’époque, cet « apologue du bois et de la mine » a permis de préciser les insuffisances d’une tarification au coût moyen par rapport à la tarification au coût marginal. Tout cela est également repris, avec le contexte historique, dans des documents ici, toujours de Frédérci Marty.

ECO431, Economics

Surplus du consommateur et demande compensée

08/09/2009 Arthur Charpentier Leave a comment

Les exercices traités la semaine dernière et cette semaine sont respectivement en ligne ici et là. Je mets également ici les exercices de la semaine prochaine (que je distribuerais tout à l’heure).
Petit complément suite à la PC de la semaine dernière, sur des slides présentés en cours par Pierre Picard. Dans un premier temps, on s’intéressait à une utilité très particulière, quasi-linéaire, de la forme Dans ce cas très particulier, on peut se ramener à un programme d’optimisation sans contrainte,

$max_{x_1} u(x_1)+ R-p_1 x_1$

La condition du premier ordre est alors

autrement dit, l’utilité marginale de la consommation de bien 1 est égale à son prix, de telle sorte que la fonction de demande s’écrit tout simplement . Compte tenu de la contrainte budgétaire, on en déduit la demande de produit 2. Et en substituant dans la fonction d’utilité, on en déduit la fonction de demande indirecte,

C’est ce qu’on observe dans les slides

En fait (on rejoint ici un commentaire qui avait été faite dans la première PC), ceci marche à condition que le prix du premier bien n’excède pas notre revenu global !

Si on imagine un individu sans revenu a qui l’on donne un tout petit revenu R. Dans ce cas, son accroissement d’utilité sera

Si cet accroissement dépasse 1, le consommateur n’achète que du bien 1. En fait, il achète du bien 1 tant que l’utilité marginale d’une unité supplémentaire de revenu soit égale à 1. Et tout supplément sera alors consacré à l’achat de bien 2. C’est exactement le commentaire qui avait été fait en classe….
Bref, si les individus ont suffisement d’argent, la demande de bien ne dépend que des prix..
Si l’on s’intéresse au surplus du consommateur, notons tout d’abord que la fonction de demande inverse permet d’écrire

Aussi, on peut obtenir l’utilité associée à un niveau particulier de consommation de bien 1 tout simplement par intégration

Aussi, l’utilité totale (associée à une consommation de bien 1 sera

On obtient la surface située sous la courbe de demande du bien 1, en retranchant la dépense de bien 1.

Si la fonction d’utilité est quasi-linéaire, l’intégrale de la demande correspond à la fonction d’utilité en équivalent monétaire.

La variation compensée est la différence de revenu minimum qu’il est nécessaire de donner à un agent, suite à une variation, afin de s’assurer un niveau d’utilité constant. On peut alors monter que les variations compensatoires et équivalente coïncident: la fonction de compensation est linéaire par rapport au revenu, aussi, la valeur d’une unité monétaire supplémentaire est indépendante du prix.

En fait, le surplus du compensateur ne correspond à la variation compensatoire que dans le cas où la fonction d’utilitaire est quasi-linéaire. De manière plus générale (et c’est ce qui est abordé dans les slides suivants), on n’a qu’une approximation. Il faut utiliser l’équation de Slutsky pour récupérer le terme supplémentaire

Cette propriété de la fonction d’utilité quasi-linéaire est abordée dans plusieurs documents, comme ici ou là. Sinon Hal Varian a aussi publié sur le sujet.

ECO431, Maths, Microeconomics

Théorème de l’enveloppe

28/08/2009 Arthur Charpentier 1 Comment

Un tout petit complément sur l’utilité inverse, et l’exercice 2 de la PC de jeudi après midi.
Tout d’abord un petit rappel sur le théorème de l’enveloppe. Supposons que l’on cherche à maximiser une fonction (dite objectif) $f(bold x,bold r)$ qui dépend de paramètres $bold r$ , i.e. on cherche

$f^*(bold r) = max_{bold x} f(bold x,bold r),$

La fonction $f^*(bold r)$ est alors la fonction optimale pour les paramètres $bold r$ donnés. Soit $bold x^*(bold r)$ la valeur optimale en $bold x$ , fonction du paramètre $bold r$ , de telle sorte que

$f^*(bold r) = f(bold x^*(bold r), bold r)$

Le théorème de l’enveloppe nous permet de voir comment $f^*(bold r)$ varie lorsque le paramètre change, et plus particulièrement, on a

$frac{partial f^*(bold r)}{partial r_i} = frac{partial f(bold x,bold r)}{ partial r_i} Bigg|_{bold x =$

Autrement dit, la dérivée de $f^*(bold x,bold r)$ suivant $r i$ est donnée par la dérivée partielle de $f(bold x,bold r)$ suivant $r i$ , lorsqu’on l’évalue en $bold x =$ .

Notons qu’il existe aussi une version un peu plus générale qui autorise un programme d’optimisation avec contrainte.
Supposons que l’on s’intéresse à

$max_{bold x} f(bold x,bold r) ;; s.t. ;; bold g(bold x,bold r) = bold 0$

dont le Lagrangien s’écrit

$mathcal{L}(bold x,bold r) = f(bold x,bold r) - boldsymbol{lambda} cdot bold g(bold x,bold r)$

où de manière classique $boldsymbol{lambda} = (lambda_{1},dots,lambda_{n})$ est l’ensemble de multiplicateurs de Lagrange où

$bold g(bold x,bold r) = (g_{1}(bold x,bold r),dots,g_{n}(bold x,bold r))$

Le théorème de l’enveloppe permet d’écrire

$frac{partial f^*(bold r)}{partial r_i} = frac{partial mathcal{L}(bold x,bold r)}{partial r_i} Bigg|_{ bold x =$

L’autre point important de la PC était le principe de dualité dans les programme d’optimisation, que j’avais abordé ici.
Bref, tout ça permet d’introduire la notion d’utilité inverse et de demande Hicksienne. Pour reprendre calmement cette partie (en s’inspirant d’une page de wikiversité sur le sujet), le programme classique visait à chercher

$max_{mathbf{x}in Bleft(mathbf{p},y<br /> ight)}uleft(mathbf{x}<br /> ight)$

où la contrainte budgétaire s’écrit classiquement

$B=left{mathbf{x}in X|mathbf{p}mathbf{x}=sum_{i=1}^Np_ix_i le y<br /> ight}$

La solution est alors notée $mathbf{x}^mleft(mathbf{p},y<br /> ight)$ (on parle de demande Marshalienne). Je passe rapidement sur le programme d’optimisation de l’agent, mais nous avions vu que le taux marginal de substitution était égal au rapport des prix. En effet, le Lagrangien s’écrit

$mathcal{L}equiv u(mathbf{x})-lambda(mathbf{p}mathbf{x}-y)$

ce qui donne de conditions du premier ordre de la forme

$frac{partial u(mathbf{x}^m)}{partial x_i}=u'_i=lambda p_i forall i$ .

L’idée maintenant est d’injecter les fonction de demande dans la fonction d’utilité, ce qui permet d’obtenir la fonction d’utilité inverse

$v(mathbf{p},y)=u(mathbf{x}^m(mathbf{p},y))$

Une manière alternative d’étudier ce problème est de regarder le programme dual (on a supposé la fonction d’utilité convexe), i.e on cherche à trouver le panier de bien le moins cher possible nous procurant une utilité au moins égale à une utilité minimale, i.e. on cherche à résoudre

$min_{mathbf{x}|u(mathbf{x})gebar u}mathbf{p}mathbf{x}$

La solution de ce programme d’optimisation $mathbf{x}^h(mathbf{p},bar u)$ est appelée demande hicksienne. On peut alors considérer la fonction de dépense minimale,

$e(mathbf{p},bar u)=mathbf{p}mathbf{x}^h(mathbf{p},bar u)$

Le lemme de Shepard permet d’écrire

: $x^h_i(mathbf{p},bar u)=frac{partial e(mathbf{p},bar u)}{partial p_i}$

Ce résultat se montre finalement assez simplement: en effet, par construction

$e(mathbf{p},bar u)=sum_{i=1}^Np_ix_i^h(mathbf{p},bar u)$

dont un calcul de dérivée rapide permet d’écrite

$frac{partial e(mathbf{p},bar u)}{partial p_k}={color{Red}sum_{i=1}^Np_ifrac{partial x_i^h(mathbf{p},bar u)}{partial p_k}}+x_k^h(mathbf{p},bar u)$

Rappelons que la condition de premier ordre s’écrit

$u'_i=frac{p_i}{lambda}$

Comme en $u(mathbf{x})=bar u$ , nous sommes à un optimum, on en déduit

$sum_{i=1}^Nu'_ifrac{partial x_i^h(mathbf{p},bar u)}{partial p_k}=0$

et donc

$frac{1}{lambda}{color{Red}sum_{i=1}^Np_ifrac{partial x_i^h(mathbf{p},bar u)}{partial p_k}}=0$

et comme $lambda e 0$ c’est que la somme rouge est nulle. D’où le lemme dit de Shepard.
Les théorèmes de dualité permettent d’obtenir un certain nombre de résultats, parmi lesquels

$e[mathbf{p},v(mathbf{p},y)]equiv y$
$v[mathbf{p},e(mathbf{p},bar u)]equivbar u$
$x^m_i(mathbf{p},y)equiv x^h_i[mathbf{p},v(mathbf{p},y)]$
$x^h_i(mathbf{p},bar u)equiv x^m_i[mathbf{p},e(mathbf{p},bar u)]$

Enfin, en appliquant le théorème de Slutsky, on écrit

ce qui s’écrit encore

$frac{partial x_k^m}{partial p_j}=frac{partial x_k^h}{partial p_j}-frac{partial x_k^m}{partial y}{color{Red}frac{partial e}{partial p_j}}$

Bref, on retrouve ici ce qu’on avait fait en PC.
Mais si ça n’est toujours pas plus clair, il y a des notes de cours de Michael Manove, à Boston University, sur “indirect utility” et “duality“, dont les slides sont ici. Il y a également des compléments mathématiques, dont le théorème de l’enveloppe (Prop. 21.2) ou le théorème de Kuhn-Tucker (Prop.21.13), ici.
On pourra aussi trouver en ligne l’article de Lawrence Blume sur la dualité pour le dictionnaire Palgrave d’économie, ici. Larry a aussi écrit l’article sur la programmation convexe, diponible là.
Sinon je mets ici les exercices des deux prochaines PC.

ECO431, Maths, Microeconomics

Economie, et optimisation sous contraintes

26/08/2009 Arthur Charpentier Leave a comment

Premier cours de microéconomie à l’X. Pour les PC (salle PC10), la liste des exercices est disponible ici, avec au programme la consommation des ménages. Je mets ici les exos de la prochaine PC (et là une autre feuille d’exercices – que nous ne traiterons pas).

Petit complément sur la résolution du programme d’optimisation avec contrainte, via le Lagrangien. Comme je l’ai évoqué (très) rapidement, c’est lié à des résultats connus sous le nom de théorème (ou condition) de Kuhn et Tucker. De manière assez générale, le but est de trouver $X^* in mathbb{R}^n$ qui maximise $f(X) ,$ sous contrainte $g(X) ge 0$ , c’est-à-dire résoudre le programme
$X^*in arg max_{X in mathbb{R}^n} f(X)$ sous contrainte $g(X) ge 0$ où $g(X)=(g_i(X))_{1 le i le m}$ (correspondant à un ensemble de m contraintes).

Comme précisé en cours, l’idée de la résolution du problème (sous des hypothèses – fortes – de concavité des fonctions) est d’introduire des multiplicateurs de Lagrange (autant que de contraintes) $lambda = (lambda_i)_{1 le i le m} in mathbb{R}_+^m$ , et on définit le Lagrangien comme la fonction

$L(X, lambda) = f(X) + sum_{i=1}^m lambda_i g_i(X)$

On considère alors le problème d’optimisation (sans contrainte) du Lagrangien. Les conditions du premier ordre donne n premières conditions, à savoir

$frac{partial f}{partial X}(X) + sum_{i=1}^m lambda_i frac{partial g_i}{partial X}(X)=0$

et les m dernières correspondent à une saturation des contraintes (en fait $g_i(X)>0 Rightarrow lambda_i = 0$ , donc si la contrainte n’est pas saturée, le multiplicateur de Lagrange est nul). Ces n+m conditions sont appelées “conditions de Kuhn-Tucker“. L’intérêt de cette formalisation est que l’on a le résultat suivant:

$X^*in arg max_{X in mathbb{R}^n} f(X)$ sous les contraintes $g(X) ge 0$ si et seulement si $(X^*, lambda^*) ,$ est solution des conditions de Kuhn-Tucker.

Pour plus plus d’information, je peux renvoyer aux slides de Christophe Gonzales àParis 6, ici, ou aux notes de Julien Grenet, de l’ENS, là. Sinon j’avais fait un billet il y a quelque temps sur un sujet connexe (et qu’on verra apparaître dans les cours suivants normalement), i.e. le principe de dualité en optimisation (ici).

Freakonometrics