Dans mon cours d’analyse des données, je commençais par présenter les diverses distances et normes, en particulier, celles qui dérivent d’un produit scalaire, comme la norme Euclidienne \|\boldsymbol{X}\|_{\mathbb{I}}^2=\boldsymbol{X}^\top\boldsymbol{X}, ou plus intéressante, la norme que l’on peut construire à partir d’une matrice \boldsymbol{M} symétrique définie positive, \|\boldsymbol{X}\|_{\boldsymbol{M}}^2=\boldsymbol{X}^\top\boldsymbol{M}\boldsymbol{X}. Un exemple bien connu étant la norme de Mahalanobis, ou la distance associée, où on prend pour \boldsymbol{M}  la matrice \boldsymbol{\Sigma}^{-1} où \boldsymbol{\Sigma}=\text{Var}[\boldsymbol{X}]. Sauf que, par abus de langage, j’appelle aussi distance de Mahalanobis le distance obtenue en prenant pour matrice \boldsymbol{M} la matrice diagonale \boldsymbol{\Delta}_{\boldsymbol{\Sigma}}^{-1} définie par \boldsymbol{\Delta}_{\boldsymbol{\Sigma},ii}=\boldsymbol{\Sigma}_{ii}. En fait, c’est cette matrice que l’on utilise principale en analyse de données, par exemple en analyse des correspondances principales… Prenons un petit exemple, avec quelques données centrées

library(FactoMineR)
library(clusterGeneration)
library(mnormt)
n=15
S=genPositiveDefMat("unifcorrmat",dim=4)
X=round(rmnorm(n,varcov=S$Sigma)+8,2)
for(j in 1:ncol(X)) X[,j]=X[,j]-mean(X[,j])
rownames(X)=1:n
colnames(X)=LETTERS[1:4]

et seulement 4 variables. Par défaut, quand on fait une analyse en composantes principales, on va réduire les données

acp = PCA(X,scale.unit = TRUE,graph = FALSE)
fviz_pca_var(acp, col.var = "cos2")

Le fait de centrer et réduire les données fait que l’on travaille avec la matrice de corrélation (\boldsymbol{X}^\top\boldsymbol{X}, à un facteur n, ou n-1, près). D’où le cercle de corrélation qui apparaît sur la figure. Et abusivement, quand je présente l’ACP, je dis qu’on a deux manière de voir : (1) utiliser le produit scalaire et la distance usuelle (Euclidienne) sur les données centrées et réduites, (2) utiliser la distance de Mahalanobis sur les données centrées. Mon abus de langage tient du fait qu’on utilise la version avec la matrice diagonale \boldsymbol{\Delta}_{\boldsymbol{\Sigma}}^{-1} , et pas la vraie distance de Mahalanobis… En discutant avec Gabriel après mon cours de ce matin, je me suis rendu compte de la confusion possible (même si je me faisais la réflexion lors de mes enregistrements de capsules, les jours passés). Mais en réalité, faire une analyse en composantes principales avec la vraie distance de Mahalanobis n’aurait aucun sens.

Pour s’en convaincre, utilisons les données centrées et réduites,

S = var(X)
Sd = diag(diag(S))
X1 = X%*%solve(chol(Sd))
colnames(X1)=colnames(X)
var(X1)
A B C D
A 1.0000000 0.10113165 -0.88021475 0.4733021
B 0.1011316 1.00000000 0.07885109 -0.7400999
C -0.8802147 0.07885109 1.00000000 -0.5743660
D 0.4733021 -0.74009993 -0.57436600 1.0000000

x

acp1 = PCA(X1,scale.unit = FALSE,graph = FALSE)
fviz_pca_var(acp1, col.var = "cos2")

On n’a plus ici, le cercle des corrélations car la fonction ne sait pas que mes données ont été centrées et réduite au préalable… mais on a la même sortie qu’auparavant à part ça…

Si maintenant on utilise la norme de Mahalanobis, on peut là aussi tranformer les données, en notant que \boldsymbol{X}^\top\boldsymbol{M}\boldsymbol{X} peut aussi s’écrire \boldsymbol{X}^\top\boldsymbol{M}^{1/2}\boldsymbol{M}^{1/2}\boldsymbol{X} soit encore la distance euclidienne standard \tilde{\boldsymbol{X}}^\top\tilde{\boldsymbol{X}} sur les données transformées \tilde{\boldsymbol{X}}={\boldsymbol{X}}{\boldsymbol{M}^{1/2}},

S = var(X)
X2 = X%*%solve(chol(S))
colnames(X2)=colnames(X)
> var(X2)
              A             B             C             D
A  1.000000e+00 -3.582611e-17  5.307644e-16 -1.004784e-16
B -3.582611e-17  1.000000e+00 -3.021333e-16  4.164692e-17
C  5.307644e-16 -3.021333e-16  1.000000e+00 -3.649967e-16
D -1.004784e-16  4.164692e-17 -3.649967e-16  1.000000e+00

ce qui donne des données… orthogonales (pour ne pas dire indépendantes, on retrouve ici le processus de whitening, utilisé en ICA, analyse des composantes indépendantes. Et comme on a rendu les données indépendantes… l’analyse des composantes principales n’aura plus grand chose à raconter…

acp2 = PCA(X2,scale.unit = FALSE,graph = FALSE)
fviz_pca_var(acp2, col.var = "cos2")

Chaque axe explique ici pour 25% de l’inertie… bref, on ne va jamais faire une ACP avec la distance de Mahalanobis (la vraie). Elle ne va pas normaliser les variables, mais les orthonormaliser. Et pourtant, par abus de langage, je vais continuer à utiliser ce terme… Désolé…