Category Archives: 2012

2012, ACT2121

ACT2121, éléments de correction (2)

23/10/2012 Arthur Charpentier 1 Comment

Un petit complément pour revenir sur un calcul fait hier, en classe, au tableau.

“Une police d’assurance couvre des pertes X et Y qui sont des variables aléatoires continues fonction dont on donne la densité conjointes. Trouver l’espérance du remboursement s’il est de X + Y avec un déductible de 1.”

Au tableau, je m’étais lancé dans des calculs un peu compliqué (notant que les variables étaient indépendantes, on pouvait utiliser la convolution pour trouver la loi de la somme facilement… mais on reviendra sur ce calcul plus tard). La solution la plus simple était la suivante: la loi de $https://latex.codecogs.com/gif.latex?(X,Y)$ admet pour densité $https://latex.codecogs.com/gif.latex?f_{X,Y}(x,y)=2xboldsymbol{1}_{[0,1]times[0,1]}(x,y)$ . Le remboursement $https://latex.codecogs.com/gif.latex?R$ est la variable aléatoire

$https://latex.codecogs.com/gif.latex?R=h(X,Y)=(X+Y-1)boldsymbol{1}_{]1,+infty[}(X+Y)$

On peut alors faire le calcul de
$https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{E}(R)=int_{mathbb{R}^2}%20h(x,y)f(x,y)dxdy$

i.e.

$https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{E}(R)=int_0^1%20int_{1-x}^1%20[x+y-1]2x%20dy%20dx$

soit

$https://latex.codecogs.com/gif.latex?int_0^1%202xleft[(x-1)y+frac{y^2}{2} ight]_{1-x}^1%20dx=int_0^1%20x^3dx=frac{1}{4}$

Voilà pour la version simple (et finalement assez générale). Pour la version plus compliquée

$https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20f_{X,Y}(x,y)=2xboldsymbol{1}_{[0,1]times[0,1]}(x,y)=underbrace{2x%20boldsymbol{1}_{[0,1]}(x)}underbrace{%20boldsymbol{1}_{[0,1]}(y)}$

autrement dit, on a obtenu que les deux composantes étaient indépendantes, et que $https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20Y$ est uniformément distribuée sur $https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20[0,1]$ . Aussi, pour la loi de la somme

$https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20mathbb{P}(S%3Es)=int_{0}^1%20mathbb{P}(S%3Es|Y=y)f_Y(y)dy=int_{0}^1%20mathbb{P}(X%3Es-y|Y=y)dy$

et par indépendance,

$https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{P}(X%3Es-y|Y=y)=mathbb{P}(X%3Es-y)=int_{s-y}^1%20f_X(x)dx$

i.e.
$https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{P}(X%3Es-y|Y=y)=%20int_{s-y}^1%202xboldsymbol{1}_{[0,1]}(x)%20dx=int_{max{s-y,0}}^1%202xdx$
soit

$https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{P}(X%3Es-y|Y=y)=left[x^2 ight]_{max{s-y,0}}^1=1-(max{s-y,0})^2$

Aussi

$https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{P}(S%3Es)=int_{0}^1%20big(%201-(max{s-y,0})^2%20big)dy$

Première chose, on note que

$https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{P}(S%3E1)=int_{0}^1%20big(%201-(max{1-y,0})^2%20big)dy=int_{0}^1%20big(%201-(1-y)^2%20big)dy$
i.e.
$https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{P}(S%3E1)=left[y+frac{(1-y)^3}{3} ight]_0^1=1+0-frac{1}{3}=frac{2}{3}$

J’avais alors suggéré d’utiliser (en utilisant la propriété que pour une variable positive, l’espérance est l’intégrale de la fonction de survie) que

$https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{E}(R)=int_0^1%20mathbb{P}(R%3Es)ds$

Or cette expression n’est valide que pour une variable strictement positive ! Or ici, il y a de forte chance (1/3) que le remboursement soit nul. Le plus simple est alors de faire des calculs classiques d’espérance. Notons que
$https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{P}(S%3E1+s)=left[y+frac{(1+s-y)^3}{3}%20 ight]_0^1=1+frac{s^3}{3}-frac{(s+1)^3}{3}$
donc un peu de calcul de dérivées permet d’écrire $https://latex.codecogs.com/gif.latex?f_S(s)=s(2-s)$ pour $https://latex.codecogs.com/gif.latex?sin[1,2]$ . On peut alors calculer l’espérance du remboursement
$https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{E}(R)=int_1^2(s-1)f_S(s)ds=int_1^2(s-1)s(2-s)ds$
soit
$https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{E}(R)=int_1^2(s^3+3s^2-2s)ds=left[frac{s^4}{4}+s^3-s^2 ight]_1^2=frac{1}{4}$

Youpi, avec plein de calculs, on arrive au même résultat…

Faisons un peu de simulations pour vérifier,

> n=1000000 
> set.seed(1) 
> X=sqrt(runif(n)) 
> Y=runif(n)

On peut vérifier par exemple la densité de $https://latex.codecogs.com/gif.latex?S$ sur $https://latex.codecogs.com/gif.latex?[1,2]$ ,

> u=seq(1,2,by=.01) 
> hist(X+Y,probability=TRUE,col="light blue") 
> lines(u,u*(2-u),lwd=2,col="red")

Si on regarde maintenant la prime pure, on retrouve le résultat obtenu par deux calculs différents,

> R=(X+Y-1)*(X+Y>1) 
> mean(R) 
[1] 0.2497528

2012, ACT2121

ACT2121, éléments de correction

15/10/2012 Arthur Charpentier Leave a comment

La plupart des calculs pouvant se faire sans calculs (trop) complexes avec une calculatrice, je vais revenir sur un exercice (l’exercice 11 de la seconde série) pour proposer une correction.

“Le petit Nestor collectionne les cartes de joueurs de Baseball dans les paquets de gommes à mâcher. Il y a en tout 20 cartes différentes (réparties aléatoirement, une par paquet). Combien de paquets de gommes Nestor devrait-il s’attendre à avoir à acheter pour obtenir la collection complète ? ”

La bonne stratégie était d’ordonner les cartes par ordre d’apparition, pour la première fois, et de modéliser le nombre de paquets entre deux premières apparitions, comme indiqué sur le dessin ci-dessous

Si $N$ désigne le nombre total de paquets à acheter, on note $M_i$ le nombre de paquets à acheter, entre l’apparition de la $i-1$ ème nouvelle carte, et la $i$ ème (avec la convention que $M_1$ vaut 1, i.e. à l’achat du premier paquet, on a notre première carte). On notera que

$https://latex.codecogs.com/gif.latex?M_i\sim\mathcal{G}((20-(i-1))/20)$

et à partir de là, les calculs sont simples, puisque

$https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{E}(N)=mathbb{E}(M_1+M_2+cdots+M_{20})$

soit (par linéarité de l’espérance)

$https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{E}(N)=mathbb{E}(M_1)+mathbb{E}(M_2)+cdots+mathbb{E}(M_{20})$

i.e.

$https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{E}(N)=left(%201+%20frac{20}{19}%20+%20frac{20}{18}%20+%20frac{20}{17}%20+%20...%20+%20frac{20}{2}+frac{20}{1}%20 ight)$

ou encore

$https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{E}(N)=20left(%20frac{1}{20}+%20frac{1}{19}%20+%20frac{1}{18}%20+%20frac{1}{17}%20+%20...%20+%20frac{1}{2}+1%20 ight)$

La bonne réponse était alors (il faut sommer les vingt termes)

> sum(20/(1:20)) [1] 71.95479

Mais cette sommation de vingt termes n’est pas triviale, aussi, en cours, j’avais suggéré que

$https://latex.codecogs.com/gif.latex?1+%20frac{1}{2}%20+%20frac{1}{3}%20+%20frac{1}{4}%20+%20...%20+%20frac{1}{n}%20sim%20ln(n)$

> log(20)*20 [1] 59.91465

qui diffère du résultat numérique car il manquait la constante d’Euler

$https://latex.codecogs.com/gif.latex?gamma%20=%20lim_{n%20 ightarrow%20infty%20}%20left(%201+%20frac{1}{2}%20+%20frac{1}{3}%20+%20frac{1}{4}%20+%20...%20+%20frac{1}{n}%20-%20ln(n)%20 ight)$

i.e.

$https://latex.codecogs.com/gif.latex?1+%20frac{1}{2}%20+%20frac{1}{3}%20+%20frac{1}{4}%20+%20...%20+%20frac{1}{n}%20sim%20ln(n)+gamma$

Numériquement, on obtient, en prenant pour $https://latex.codecogs.com/gif.latex?gamma$ 0.57721 (cf Google)

> (log(20)+ 0.57721)*20 [1] 71.45885

2012, ACT2121

Actuariat 1, ACT2121, second cours

14/10/2012 Arthur Charpentier Leave a comment

Comme la dernière fois, je mets en ligne quelques exercices (une soixantaine cette fois). On devrait commencer à parler des lois usuelles de probabilités, pour l’instant des lois discrètes

la loi de Poisson

Si $https://latex.codecogs.com/gif.latex?X$ suit une loi $https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathcal{P}(lambda)$ ,

$https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20%20%20%20%20p(k)%20=%20mathbb%20P(X%20=%20k)=%20e^{-lambda}frac{lambda%20^k}{k!},$

Dans ce cas, $https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb{E}(X)=lambda$ et $https://latex.codecogs.com/gif.latex?text{Var}(X)=lambda$ . La fonction génératrice des moments est alors

$https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20%20%20%20%20M_{X}(t)=%20mathbb{E}(e^{tX})=expleft(lambda%20(e^t-1) ight)$

la loi binomiale

Si $https://latex.codecogs.com/gif.latex?X$ suit une loi $https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathcal{B}(n,p)$ ,

$https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20%20%20%20%20p(k)%20=mathbb%20P(X%20=%20k)=%20{n%20choose%20k}%20,%20p^k%20q^{n-k}$

Dans ce cas, $https://latex.codecogs.com/gif.latex?mathbb%20E(X%20)=np$ et $https://latex.codecogs.com/gif.latex?text{Var}(X%20)=np(1-p)$ . La fonction génératrice des moments est alors

$https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20%20%20%20%20p(k)%20=%20mathbb%20P(X%20=%20k)=%20e^{-lambda}frac{lambda%20^k}{k!},$

la loi binomiale négative

Enfin,, si $https://latex.codecogs.com/gif.latex?X$ suit une loi $https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20BN(r,p)$ ,

$https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20%20%20%20%20p(k)%20=%20mathbb%20P(X%20=%20k)=%20%20frac{Gamma(r+k)}{k!,Gamma(r)},p^r,q^k%20!$

Dans ce cas,

$https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20mathbb%20E(X%20)=%20frac{r(1-p)}{p}!$

$https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20text{Var}(X%20)=%20frac{r(1-p)}{p^2}!$

La fonction génératrice des moments est alors

$https://latex.codecogs.com/gif.latex?%20%20%20%20%20M_{X}(t)=%20mathbb{E}(e^{tX})=%20left(frac{p}{1-[1-p]%20e^t} ight)^r%20!$

Je remettrais la semaine prochaine les lois continues les plus usuelles. Demain, soit on attaque cette nouvelle série, soit on revient sur des exercices de la semaine passée qui auraient posé problème…

2012, ACT2121

Actuariat 1, ACT2121, premier cours

01/10/2012 Arthur Charpentier Leave a comment

Le premier cours de l’automne d’ACT2121 actuariat I aura lieu lundi après midi, au local SH3220. Comme il s’agit de préparer l’examen P de la SOA, nous allons passer les séances à faire des exercices. Le plan de cours sera mis en ligne prochainement. L’ouvrage de référence est le livre de Jacques Labelle, exercices de probabilités appliquées. A chaque séance, je proposerai une série de 90 exercices, et on en fera autant que possible (dans les conditions de l’examen, avec préparation de 6 minutes par exercices). Pour la première séance, les exercices sont en ligne,

Je rajouterai au fur et à mesure des compléments de cours, voire des corrections…

Freakonometrics

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ACT2121, éléments de correction (2)

ACT2121, éléments de correction

Actuariat 1, ACT2121, second cours

Actuariat 1, ACT2121, premier cours

"sendo l'intento mio scrivere cosa utile a chi la intende…"