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Economics, Insurance, Publications, Reinsurance, Risk, Ruin theory

Natural Catastrophe Insurance: How Should Governments Intervene?

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The paper, written with Benoit le Maux, “Natural Catastrophe Insurance: How Should Government Intervene?” should appear soon in the Journal of Public Economics.

This paper develops a theoretical framework for analyzing the decision to provide or buy insurance against the risk of natural catastrophes. In contrast to conventional models of insurance, the insurer has a non-zero probability of insolvency which depends on the distribution of the risks, the premium rate, and the amount of capital in the company. When the insurer is insolvent, each loss reduces the indemnity available to the victims, thus generating negative pecuniary externalities. Our model shows that government-provided insurance will be more attractive in terms of expected utility, as it allows these negative pecuniary externalities to be spread equally among policyholders. However, when heterogeneous risks are introduced, a government program may be less attractive in safer areas, which could yield inefficiency if insurance ratings are not chosen appropriately.

The paper is still available on the http://papers.ssrn.com/1832624 website.

Actuarial science, M1-actuariat, Probability, Ruin theory, Stochastic Processes

Simulation d’un processus de Poisson

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Le prochain cours reviendra sur la solvabilité des compagnies d’assurance, et en particulier sur la modélisation et le calcul de la probabilité de ruine. En particulier, nous passerons pas mal de temps sur le “processus de Poisson“.

Nous verrons en cours les notions de base sur les processus de Poisson$ \{N_t\}$. En particulier, nous verrons qu’ils se caractérisent soit par le processus d’arrivées $ \{T_i\}$, correspondant aux dates d’arrivée des sinistres, ou bien par$ W_i=, correspondants aux durées intersinistres. En effet, on peut obtenir des expressions de la forme $ N_t=.

Dans sa forme la plus simple, on s’intéresse aux processus homogènes. $ \{N_t: t \ge 0 \}$ sera un processus de Poisson homogène d’intensité $ \lambda > 0$ si les durées entre arrivées, $ W_i$ i.i.d. de loi exponentielle de paramètre $ \lambda $. L’algorithme naturel pour simuler les dates d’arrivées de sinistre $ T_1,T_2,\ldots,T_n$ est alors

  1. poser $ T_0 =
  2. pour $ i = on génère$ E$ suivant une loi exponentielle de paramètre $ \lambda $, puis on pose $ T_i =

Les choses vont se compliquer si on suppose que le processus de Poisson n’est plus homogène. Cette hypothèse est peut être davantage réaliste pour l’assurance. Par exemple, les assureurs savent qu’il y a plus d’accidents automobiles les jours de brouillard, ou de pluie, ou de verglas. On peut donc supposer qu’il existe un cycle lié au climat.

On suppose ici que le processus de Poisson est d’intensité $ \lambda(t)$. La première idée pour simuler un tel processus est de supposer qu’il existe $ \overline{\lambda}$ tel que $ \lambda(t)\leq\overline{\lambda}$ pour tout $ t$. On note $ T_1^* ,T_2^* , T_3^* ,\ldots$ des arrivées successives d’un processus de Poisson de paramètre $ \overline{\lambda}$. On met alors en place une stratégie acceptation/rejet, telle que l’on garde le $ i$ème sinistre $ T_i^*$ avec probabilité $ \lambda(T_i^* )/\overline{\lambda}$. La suite $ T_1, T_2, \ldots$ ainsi construite suit un processus de Poisson nonhomogène d’intensité $ \lambda(t)$. D’où l’algorithme

  1. On pose $ T_0 = et $ T^* = 0$
  2. on génère une variable exponentielle$ E$ d’intensité $ \overline{\lambda}$.
  3. On pose alors$ T^* = T^* + E$.
  4. On génère une variable $ U$ uniforme sur $ (0,1)$: si $ U>\lambda(T^*)/\overline{\lambda}$ on rejette (et on retourne en 2.), et sinon on pose $ T_i = .

Une autre méthode consiste à noter que l’incrément

$ N_t-N_s$, $ 0 < s < t$, suit une loi de Poisson d’intensité$ \widetilde{\lambda} = \int_s^t \lambda(u)du$. Aussi, la fonction de répartition $ F_s$ du temps d’attente $ W_s$ est qui vaut

On peut utiliser la méthode suivante pour simuler le processus de Poisson

  1. Poser $ T_0 =
  2. Générer $ U$ suivant une loi uniforme sur $ (0,1)$
  3. Poser $ T_i =

Pour aller plus loin, je renvoie à des bouquins sur la simulation de processus, ou pour les applications assurantielles au Statistical Tools for Finance and Insurance, chez Springer.

Actuarial science, Conferences, Ruin theory

Réassurance, solvavilité et probabilté

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Exposé à Lyon dans le cadre du projet ANR AST& Risk.

In this talk, we consider optimal reinsurance from an insurer’s point of view. Given a (low) ruin probability target, the insurers wants to find the optimal risk transfer mechanism, i.e. either a proportional or a nonproportional reinsurance treaty. In the first case, a simple Monte Carlo algorithm can be designed, but in the nonproportional case, so far, no simple (and efficient) algorithm has been proposed